高一数学必修第一册 第5章 第一节 课时1 角的概念的推广(解析版)

第5章 第一节 课时1 角的概念的推广一、单选题1．如图，圆O 的圆周上一点P 以A 为起点按逆时针方向旋转，10min 转一圈，24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角是（ ）A ．864-B ．432C ．504D ．864【答案】D【分析】求出点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以24即可求解. 【详解】因为点P 以A 为起点按逆时针方向旋转，10min 转一圈， 所以点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数为3603610=， 设24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角为3624864⨯=， 故选：D ．2．下列各角中与60终边相同的角是（ ）A ．300-B ．240-C ．120D ．390【答案】A【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.【详解】30060360-=-，24060300-=-，0106602=+，39060330=+， 因此，只有A 选项中的角与60终边相同. 故选：A.3．下列角的终边与37角的终边在同一直线上的是A ．37-B ．143C ．379D ．143-【答案】D【分析】根据与37角的终边在同一直线上的角可表示为()37180k k Z +⋅∈，然后对k 赋值可得出正确选项.【详解】与37角的终边在同一直线上的角可表示为37180k +⋅，k Z ∈，当1k =-时，37180143-=-，所以，143-角的终边与37角的终边在同一直线上. 故选D ．【点睛】本题考查终边在同一直线上的两角之间的关系，熟悉结论：与角α的终边在同一直线上的角为()180k k Z α+⋅∈，属于基础题. 4．若角2α与240角的终边相同，则α= A ．120360,k k Z +⋅∈ B ．120180,k k Z +⋅∈ C ．240360,k k Z +⋅∈ D ．240180,k k Z +⋅∈【答案】B【分析】由题意得出()2240360k k Z α=+⋅∈，由此可计算出角α的表达式. 【详解】因为角2α与240角的终边相同，所以()2240360k k Z α=+⋅∈， 则120180k α=+⋅，k Z ∈. 故选B.【点睛】本题考查终边相同的角之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 5．若角αβ、的终边相同，则αβ-的终边在． A ．x 轴的非负半轴上 B ．x 轴的非正半轴上 C ．y 轴的非负半轴上 D ．y 轴的非正半轴上 【答案】A【分析】可用终边相同的公式表示,αβ，再作差根据范围判断即可【详解】设122,2,αa k πβa k πk Z =+=+∈，则()122,k k k Z -=-∈αβπ，终边在x 轴的非负半轴上 故选A【点睛】本题考查任意角的概念，终边相同的角的表示方法，属于基础题 6．如果角α的终边上有一点()0,3P -，那么α A ．是第三象限角 B ．是第四象限角 C ．是第三或第四象限角 D ．不是象限角 【答案】D【分析】根据点P 的位置，可判断出角α终边的位置.【详解】因为点P 在y 轴的负半轴上，即角α的终边落在y 轴的非正半轴上，所以α不是象限角． 故选D.【点睛】本题考查根据角的终边上的点判断出角的终边的位置，考查对任意角概念的理解，属于基础题.7．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【答案】C【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果. 详解：若α是第一象限角，则：90α︒-位于第一象限， 90α︒+位于第二象限， 360α︒-位于第四象限， 180α︒+位于第三象限，本题选择C 选项.点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度. 8．已知角2α是第一象限角，则α的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第一或第二象限D ．第一或第二象限或y 轴的非负半轴上【答案】D【分析】由象限角可得到角2α的范围,进而可求得α的范围,即可得出α的终边所在位置. 【详解】∵由角2α是第一象限角,∴可得π2π2π,22k k k α<<+∈Z ,∴4π4ππ,k k k α<<+∈Z .即α的终边位于第一或第二象限或y 轴的非负半轴上. 故选:D.【点睛】本题考查了象限角,熟练利用角的范围是解题的关键,属于基础题.9．集合(){}180190,nA x x n n Z ==⋅+-⋅∈与{}36090,B x x m m Z ==⋅+∈之间的关系是 A ．ABB ．B AC ．A B =D ．A B =∅【答案】C【分析】对集合A 中的整数n 分偶数和奇数两种情况讨论，并将集合A 中的等式化简，由此可判断出集合A 与集合B 之间的关系.【详解】对于集合A ，当n 为偶数时，设()2n k k Z =∈，()180********nx n k =⋅+-⋅=⋅+；当n 为奇数时，设()21n k k Z =+∈，()180********nx n k =⋅+-⋅=⋅+.所以，集合{}36090,A x x k k Z ==⋅+∈，因此，A B =. 故选C.【点睛】本题考查角的两个集合之间包含关系的判断，解题的关键就是对整数n 进行分类讨论，并将集合A 中的等式化简，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 10．若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则集合{|}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】分k 为偶数和奇数讨论，即可容易判断选择. 【详解】当k 取偶数时，2,k n n Z =∈，2π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈，故角的终边在第一象限. 当k 取奇数时，21,k n n Z =+∈，532π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈， 故角的终边在第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查图形中阴影部分对应角度的集合，属简单题.二、多选题11．（多选）下列四个选项中正确的是（ ） A ．-75°角是第三象限角 B ．225°角是第二象限角 C ．475°角是第二象限角 D ．-315°是第一象限角【答案】CD【分析】根据象限角的定义结合图像逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A ，如图1所示，-75°角是第四象限角，故A 错误；对于B ，如图2所示，225°角是第三象限角，故B 错误；对于C ，如图3所示，475°角是第二象限角，故C 正确；对于D ，如图4所示，-315°角是第一象限角，故D 正确．12．下列命题中，假命题的是（ ） A ．终边在x 轴的非正半轴上的角是零角 B ．第二象限角一定是钝角 C ．第四象限角一定是负角D ．若()360k k βα=+⋅︒∈Ζ，则α与β终边相同 【答案】ABC【解析】角的概念和辨析，按照概率逐一进行判断即可.【详解】终边在x 轴负半轴上的角是2,k k αππ=+∈Z ，零角是没有旋转的角，所以A 为假命题；第二象限角应表示为2,2,2k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，是由无数多个区间的并集构成，所以B为假命题；第四象限角表示为32,22,2k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k ≥时，就是正角，所以C 为假命题；若()360k k βα=+⋅︒∈Z ，则α与β终边相同，所以D 为真命题. 故选：ABC.13．（多选）已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】AC【分析】由角2α的终边的位置，可得角2α的范围：3602360180k k α⋅<<⋅+，k Z ∈，即得角α的范围：18018090k k α⋅<<⋅+，k Z ∈，再对k 分奇数和偶数讨论可得解. 【详解】因为角2α的终边在x 轴的上方，所以3602360180k k α⋅<<⋅+，k Z ∈，则有18018090k k α⋅<<⋅+，k Z ∈.故当2k n =，n Z ∈时，36036090n n α⋅<<⋅+，n Z ∈，α为第一象限角； 当21k n =+，n Z ∈时，360180360270n n α⋅+⋅<<⋅+，n Z ∈，α为第三象限角.【点睛】本题考查角2α和角α的终边的位置关系，关键在于由角的终边的位置得角的范围，再分k 为奇数和偶数讨论，属于基础题.14．下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ）． A ．540αβ+=︒ B ．360αβ+=︒ C ．180αβ+=︒ D ．90αβ+=︒【答案】AC【解析】假设α，β为0180内的角，可得180αβ+=，再由终边相同角的表示即可求解.【详解】假设α，β为0180内的角，如图所示：由α和β的终边关于y 轴对称，所以180αβ+= 根据终边相同角的概念，可得()36018021180,k k k Z αβ+=+=+∈， 所以满足条件的为A 、C 故选：AC三、填空题15．将90︒角的终边按顺时针方向旋转30︒所得的角等于________． 【答案】60︒【分析】顺时针旋转所得角为负角，即903060︒︒︒-=．【详解】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为90(30)60︒︒︒+-=． 【点睛】此题考查角定义逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，属于简单题目． 16．已知角α为钝角，角4α与角α有相同的始边与终边，则角α=______．【答案】120【分析】由题意得出()4360k k Z αα=⋅+∈，可得出120k α=⋅，再由90120180k <⋅<求出整数k 的值，即可得出角α的值.【详解】若角4α与角α有相同的始边与终边，则()4360k k Z αα=⋅+∈，即()120k k Z α=⋅∈．又角α为钝角，则90120180k <⋅<，所以1k =，所以120α=． 故答案为120.【点睛】本题考查利用终边相同求角的值，解题的关键就是利用两角终边相同这一条件得出角的表达式，根据题中条件列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.四、双空题17．如图，花样滑冰是冰上运动项目之一．运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．运动员顺时针旋转两圈半所得角的度数是______，逆时针旋转两圈半所得角的度数是______．【答案】 900-︒ 900°【分析】根据正角和负角及任意角的定义即可得出答案.【详解】解：顺时针旋转两圈半所得角的度数是236018()0900-⨯︒+︒=-︒，则逆时针旋转两圈半所得角的度数为900°． 故答案为：900-︒；900°五、解答题18．在与530°角终边相同的角中，找出满足下列条件的角β． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)720360β-︒≤<-︒． 【答案】(1)190β=-︒ (2)170β=︒(3)550β=-︒【分析】（1）写出与530°角终边相同的角为360530k ⋅︒+︒，k ∈Z ，再根据3603605300k -︒<⋅︒+︒<︒，即可的解；（2）根据0360530360k ︒<⋅︒+︒<︒，即可的解； （3）根据720360530360k -︒≤⋅︒+︒<-︒，即可的解.【详解】(1)解：与530°角终边相同的角为360530k ⋅︒+︒，k ∈Z ，由3603605300k -︒<⋅︒+︒<︒且k ∈Z ，可得2k =-，故所求的最大负角190β=-︒； (2)解：由0360530360k ︒<⋅︒+︒<︒且k ∈Z ，可得1k =-，故所求的最小正角170β=︒； (3)解：由720360530360k -︒≤⋅︒+︒<-︒且k ∈Z ，可得3k =-，故所求的角550β=-︒． 19．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．（1）终边落在射线OB 上； （2）终边落在直线OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．【答案】（1）{}160360,S k k Z αα==+⋅∈；（2）{}230180,S k k Z αα==+⋅∈；（3）{}33018060180,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈【分析】（1）可得出终边落在射线OB 上的一个角为60，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（2）可得出终边落在射线OB 上的一个角为30，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果.【详解】（1）终边落在射线OB 上的角的集合为{}160360,S k k Z αα==+⋅∈； （2）终边落在直线OA 上的角的集合为{}230180,S k k Z αα==+⋅∈； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为{}3036060360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈，终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为{}210360240360,k k k Zαα+⋅≤≤+⋅∈{}3018036060180360,k k k Zαα=++⋅≤≤++⋅∈()(){}30211806021180,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈，因此，终边落在阴影区域内的角的集合为{}33036060360,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈⋃()(){}30211806021180,k k k Z αα++⋅≤≤++⋅∈{}3018060180,k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈.【点睛】本题考查角的集合的表示，解题的关键就是要找出阴影部分区域边界线对应的角的集合，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.20．如图，半径为1的圆的圆周上一点A 从点()1,0出发，按逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A 在1min 内转过的角度为1(080)θθ︒<<︒，2min 到达第三象限，15min 回到起始位置，求θ．【答案】96θ=︒或120°．【分析】由题意列出关于θ的关系式，直接求解即可【详解】由题意，得()0180180227015360k k θθθ⎧︒<<︒⎪︒<<︒⎨⎪=⋅︒∈⎩Z ，即()9013524k k θθ︒<<︒⎧⎨=⋅︒∈⎩Z ，解得96θ=︒或120°．。