排队模型
排队模型(掌握mm1,mmc,mm1k)
(1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) i τi si ti wi i τi si ti wi i τi si ti wi 13 49 1 3 5 23 86 6 2 2 33 117 4 4 7
现实生活中的排队系统序Leabharlann 到达的顾客 号要求服务内容
服务机构
1 不能运转的机器 修理
修理技工
2 修理技工
领取修配零件 发放修配零件的管理员
3 病人
诊断或做手术 医生(或包括手术台)
4 电话呼唤
通话
交换台
5 文件搞
打字
打字员
6 提货单
提取存货
仓库管理员
7 驶入港口的货船 装(卸)货
装(卸)货码头(泊位)
二、排队系统的特征及其组成
1、排队系统的特征即拥挤现象的共性 1）、有请求服务的人或物 2）、有为顾客服务的人或物 3）、具有随机性 4）、服务的数量超过服务机构的容量
2、排队系统的三大基本组成部分
1）、输入过程(顾客到达的方式) a、顾客的总体（顾客源）的组成可能是有限的，也
可能是无限的； b、顾客相继到达的时间间隔可以是确定的，也可以
平均服务率： 41/127=0.32(人/分钟)
六、典型排队系统模型的结构及应用
M/M/C等待制排队模型研究要点： a、系统意义 b、状态转移速度图与状态转移速度矩阵 c、状态概率方程 d、系统的基本数量指标
Passion分布
设N(t)表示在时间[0, t)内到达顾客数； 令Pn(t1, t2)表示在时间区间[t1, t2)（t2 > t1）内有n（0） 个顾客到达的概率，即 Pn(t1, t2)=P{ N(t2) –N(t1)=n } （t2>t1，n0） Passion分布的三条件：
机场航班调度中的排队理论与模型
机场航班调度中的排队理论与模型机场是现代航空运输中，最重要的交通枢纽之一。
在一个繁忙的机场中，每天都有成千上万的航班起降，这就需要对航班进行科学的调度。
而排队理论和模型则是机场调度中十分重要的基本理论，它的运用可以在很大程度上提高航班的调度效率，降低排队的时间和成本。
一、排队理论排队理论也叫等待行列理论，是一种研究队列或者说等待行列的数学工具。
所谓队列，是指一些等待服务的顾客，如机场排队等待进行登机、检票等操作的乘客。
而等待行列则是指处在等待这些服务的顾客组成的行列。
排队理论主要研究顾客解决问题的等待时间、队列长度、服务速率等问题，为机场的航班调度等方面提供了重要的理论支持。
二、排队模型排队模型是指根据队列理论建立起来的数学模型，主要用于研究排队系统的稳态和瞬态性质。
排队模型通常包括以下几个部分：输入流，服务设施，服务规则和出口流。
机场航班调度中比较常用的两种基本排队模型分别为M/M/1和M/M/k模型。
M/M/1指单通道排队模型，M/M/k指k通道排队模型。
其中M 代表输入流和出口流均为泊松分布，M/M/k模型具有多个服务通道，而M/M/1模型只有一个服务通道。
排队模型可以用来预测机场的航班调度效率和成本。
通过排队模型，可以分析航班等待时间，到达率，离开率等因素的影响，合理地规划机场资源的配置，并且减少航班的延误时间。
三、排队模型的应用在机场航班调度中，排队模型广泛应用于航班的调度、门口等待和停机位分配等方面。
通过建立不同的排队模型，可以优化机场的调度，并降低机场的延误率。
1.队列模型应用于航班调度航班调度是机场运营的核心环节，可以通过建立相应的排队模型，优化登机，卸载和转换等操作的流程，实现航班资源的高效和灵活调度。
一些机场管理系统，也采用排队模型来分析不同时段的航班负荷和服务质量，进而进行调整。
2.排队模型应用于门口等待控制门口等待控制是机场航班调度中的一个比较常见的问题，同时也是一个比较困难的问题。
排队模型——精选推荐
排队模型一 1. 一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。
排队过程的一般过程可用下图表示。
我们所说的排队系统就是指图中方框所包括的部分:在现实生活中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。
它们可以是人，也可以是某种物质或设备。
排队可以是有形的，也可以是无形的。
尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构.1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。
包括：顾客源中顾客的数量是有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2)排队规则：描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。
包括：即时制还是等待制；等待制下队列的情况（是单列还是多列，顾客能不能中途退出，多列时各列间的顾客能不能相互转移）；等待制下顾客接受服务的次序（先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务）。
3)服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。
包括：服务台（员）的数目和排列情况；服务台（员）的服务方式；服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2.到达和服务过程的模型2.1 到达过程的模型用表示第i 个顾客到达的时间,.i t 称为第i 个到达时间间隔.1i i T t t +=−i 我们用的特征来刻画顾客到达过程. 最常见的情况是独立同分布. 用X 表示这样的随机变量.12,,T T 12,,T T 如果X 服从参数为λ的指数分布.这时1()()i E T E X λ==即平均每隔1λ来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个顾客到来.称λ为到达速率. 用表示到时刻t 为止到达的顾客总数,则在上面的假设下()N t ()()N t P t λ∼.除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为1()(), 0.(1)!k RxR Rx e f x x k −−=≥− 这时2(), ()i i k k E T D T R R==. k 叫形状参数, R 叫速率参数.当取λ使得R k λ=, 则爱尔朗分布可以看成是k 个独立的服从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.2.2服务过程的模型一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独立的. 用Y表示一个客户接受服务的时间长短, 它是一个随机变量.若Y的分布是参数为μ的指数分布, 意味着一个顾客的服务时间平均为1μ. 单位时间里可以完成的平均顾客数为μ.若Y服从形状参数为k, 速率参数为R kμ=的爱尔朗分布, 则平均服务时间为1μ, 根据爱尔朗分布的性质, 可以将Y看作是k个相继子服务的总时间, 每个子服务都服从参数为1kμ的指数分布且相互独立.在排队论中,我们常用如下字母表示特定的到达时间间隔或服务时间分布:M: i.i.d. 指数分布D: i.i.d. 的确定分布E k: i.i.d. 的形参为k的爱尔朗分布GI: 到达时间间隔是i.i.d. 的某种一般分布G: 服务时间是i.i.d. 的某种一般分布在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。
带优先权排队论模型简介应用案例
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案例求解 3
即
W1
=W
= Wq
+
1 m
=
Lq l
+
1 m
=
P0(l m)s r s!(1- r)2 l
+
1 m
其中
r= l sm
åé s-1 (l / m)n (l / m)s 1 ù
➢ 非强占性优先权(Nonpreemptive Priorities)——虽然一种高优先级
旳顾客到达，也不能强制让一种正在接受服务旳低优先级顾客返回排队。
➢ 强占性优先权(Preemptive Priorities)——若有高优先级旳顾客到达，
服务员即中断对低优先级顾客旳服务，并立即开始为高优先级顾客服务。
N
l = å li
i=1
r= l m
k
å 【注:】这里假设了 li < sm，
i=1
从而使其能到达稳定状态。
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计算公式 2
抢占性优先权(基于M/M/1)
1/ m
Wk = Bk-1Bk
for k=0,1,2,…,N
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案例求解 3
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案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求解 3
W1-1/μ W2-1/μ W3-1/μ
Preemptive Priorities
s=1
s=2
0.024 hour
0.154 hour
mm1n排队论模型参数
mm1n排队论模型参数
M/M/1 排队论模型是一种简单的排队系统模型，用于分析单一服务台、顾客到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的系统。
在M/M/1 模型中，有三个主要参数：
1. 到达率（λ）：表示单位时间内到达系统的顾客数的期望值，服从参数为λ的泊松分布。
到达率决定了系统中的顾客数量变化速率。
2. 服务率（μ）：表示单位时间内一个顾客被服务完成的期望值，服从参数为μ的指数分布。
服务率决定了系统中顾客等待服务的速度。
3. 顾客到达和服务时间是独立的：这个条件表明顾客的到达和服务的完成之间没有影响，使得模型更具有现实意义。
通过平衡方程法，可以对M/M/1 模型进行稳态分析，计算出以下几个重要性质：
1. 队长（Ls）：表示系统中的顾客数（n）的期望值。
2. 排队长（Lq）：表示系统中排队等待服务的顾客数（n）的期望值。
3. 逗留时间（Ws）：指一个顾客在系统中的全部停留时间，为期望值。
4. 等待时间（Wq）：指顾客在系统中等待服务的時間，为期望值。
了解这些参数后，可以对M/M/1 模型进行评估和优化，以提高系统的效率和服务质量。
M/M/1 模型虽然简单，但在实际应用中具有广泛的价值，如电话交换系统、计算机网络、银行窗口等。
掌握M/M/1 模型的基本原理和分析方法对于学习排队论和实际应用具有重要意义。
排队论模型专业知识课件
(队长)=等待服务旳顾客数+正被服务旳顾客数，所以
越大，
；排队长度则仅指在队列中
. 系统中旳顾客数
阐明服务效率越低。
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受
顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要旳时间，
逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙旳时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止旳这段时间。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工作强度，与忙期相相应旳是闲期，这是指服务台连续保持空闲旳时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现旳。
从而在生灭过程中取
(9.5)
记 ，称为服务强度 当 时，模型不稳( 时达不到统计) 当 ＜1时，模型稳定，有稳定解 (3)X(t)旳分布律 由(9.12)，(1.15)式得此模型旳微分差分方程组 (9.6) 当 时，稳态解满足
1.生灭过程旳定义 设有一种系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1，2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为系统在时刻t所处旳状态，若在某一时刻t系统旳状态数为n，假如对△t>0有。 (1)到达(生):在(t，t+△t)内系统出现一种新旳到达旳概率为
服务时止旳这段时间，其期望值记
；逗留时间则指从
即是顾客在系统中所花费旳总时间，其期望值记
。
排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务台旳利用率(即服务员忙碌旳时间在总时间中所占百分比)在排队论旳研究中也是很主要旳指标。
（二）排队模型旳符号表达与几种主要排队模型 1.排队模型旳符号一般表达法 一般表达法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔旳分布类型 B:服务时间旳分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务旳等待排队模型主要由三参数法即A/B/C例“M/M/1/k/
排队模型的随机模拟
ListNode *p,*s,*q;
p=L;
while (p!=NULL)
{
if(newelem>p->OccurTime)
{
if(!p->next)
{
s=new(ListNode);
s->OccurTime=newelem;
AvgLenth(L);
}
srand( (unsigned)time( 0 ) );
while(temp2<=CloseTime)
{
Customer++;
x1=rand()%1001;
ServerTime=x1/500.0;
y1=rand()%1001;
y=y1/1000.0;
{
ListNode *p;
p=L;
while (p!=NULL)
{
printf("OccurTime=%.2f EventType=%d \n",p->OccurTime ,p->EventType);
p=p->next;
}
}
void InsertList(LinkList L,DataType newelem,int EventType)
SumWaitTime：顾客总的等待时间；SumServerTime：服务员总的服务时间；
SumFreeTime：空闲时间；
四，思考过程：
给出两个随机数分别是：（ServerTime，NextCusTime），把这两个数当成一组数据。 把顾客离开置为“1”，顾客到达置为“0”。以顾客离开作为分界点，统计顾客人数，顾客的排队时间，顾客队伍长度，服务员的服务时间。根据顾客的到达时间和服务时间要分两种情况：①上一个顾客还没服务完，而下一个顾客已经到了。②上一个顾客服务结束后，而下一个顾客过一段时间才到达。
运营管理排队模型公式推导
运营管理排队模型公式推导简介运营管理中的排队模型是用来研究顾客到达系统，并在系统中等待和接受服务的模型。
它可以帮助企业优化运营流程，提高服务质量，提升效率。
本文将对运营管理中常用的排队模型公式进行推导和解释。
系统组成排队模型中的系统通常由以下几个部分组成：•顾客：顾客是指需要接受服务的人或物。
在排队模型中，假设所有的顾客都是独立到达系统的。
•服务设备：服务设备是指提供服务的设备或人员。
它们可以是单个设备或多个设备，并且可以根据具体需求进行扩展。
•排队区域：排队区域是指顾客在等待服务时所处的区域。
在排队模型中，假设排队区域的容量无限大。
•到达率和服务率：到达率是指单位时间内到达系统的顾客平均数，通常用λ表示。
服务率是指单位时间内每个服务设备完成服务的顾客平均数，通常用μ表示。
单通道排队模型单通道排队模型是指系统中只有一个服务设备的情况。
在单通道排队模型中，顾客到达的过程和服务的过程都是随机的，并且符合泊松过程和指数分布。
下面推导两个常用的公式：到达率和排队平均等待时间。
到达率（λ）假设顾客到达时间的间隔服从参数为λ的指数分布，设顾客到达的平均时间间隔为1/λ，则到达率（λ）可以表示为：λ = 1 / 平均到达时间间隔排队平均等待时间（W）假设服务时间服从参数为μ的指数分布，设顾客的平均服务时间为1/μ，则排队平均等待时间（W）可以表示为：W = (1 / 服务率) / (1 - (到达率 / 服务率))多通道排队模型多通道排队模型是指系统中有多个服务设备的情况。
在多通道排队模型中，顾客到达的过程和服务的过程仍然是随机的，并且符合泊松过程和指数分布。
下面推导两个常用的公式：利用率和平均等待时间。
利用率（ρ）利用率（ρ）表示服务设备被利用的程度，它可以表示为到达率（λ）和服务率（μ）的比值：ρ = 到达率 / (通道数 * 服务率)平均等待时间（W）假设服务时间服从参数为μ的指数分布，设顾客的平均服务时间为1/μ，则平均等待时间（W）可以表示为：W = (1 / 服务率) / (通道数 * (1 - 空闲概率))其中，空闲概率可以表示为：空闲概率 = 1 - 利用率结论排队模型是运营管理中常用的工具，通过对顾客到达和服务过程的建模，可以帮助企业优化运营流程。
单服务台排队模型
n
n
Pk 95% (1 ) k 1 n1 95%
k 0
k 0
n1 5%
解得 n 15.4 16
即至少为病人准备15个座位（正在取药的人除外）。
26
例8-3 某医院欲购一台X光机，现有四种可供选择的 机型。已知就诊者按泊松分布到达，到达率每小时4 人。四种机型的服务时间均服从指数分布，其不同机 型的固定费用C1，操作费C2，服务率µ见表。若每位 就诊者在系统中逗留所造成的损失费为每小时15元， 试确定选购哪一类机型可使综合费（固定费+操作费+ 逗留损失费）最低。
过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从负 指数分布； （2）排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服 务； （3）服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机 的，服从相同的负指数分布 。
17
排队系统的状态n随时间变化的过程称为生灭过程， 设平均到达率为λ,平均服务率为μ,负指数分布排队系统 （M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表 示：
40
解：3个M/M/1系统，
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
（3）每个系统的平均等待队长
Lq
2 ( )
0.09 0.4(0.4 0.3)
9 4
2.25
（4）每个系统的平均队长
L 0.3 （3 人） 0.4 0.3
41
解：3个M/M/1系统，
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
30
31
1、状态概率
C－1
P0＝ k＝0
k1！
k
＋
11
C！1－
C 1
C
Pn＝
n1！
n
1 C! C n－C
计算机网络的排队论模型
计算机网络的排队论模型计算机网络的排队论模型是一种理论模型，用于研究计算机网络中传输数据时产生的排队现象和性能表现。
排队论模型可以帮助我们理解计算机网络中的数据传输过程，优化网络性能，提高网络的吞吐量和响应速度。
在本文中，我们将介绍计算机网络排队论模型的基本概念、分类和应用。
一、排队论模型的基本概念1.1 排队系统排队系统是指在一个服务设施之前等待服务的顾客队列。
在计算机网络中，排队系统可以看作是数据包在网络节点之间传输时产生的排队现象。
排队系统包括输入过程、服务机构和排队规则。
1.2 排队论模型排队论模型是对排队系统进行数学建模和分析的方法。
排队论模型通常包括顾客到达过程、服务时间分布、队列容量和服务规则等因素。
排队论模型可以帮助我们预测排队系统的性能表现，如平均等待时间、系统繁忙度和响应时间等指标。
二、排队论模型的分类2.1 M/M/1排队模型M/M/1排队模型是最简单的排队论模型之一，其中"M"代表顾客到达过程和服务时间满足指数分布，"1"代表只有一个服务设施。
M/M/1排队模型可以用来分析单一服务节点的性能表现，如平均等待时间和系统繁忙度等指标。
2.2 M/M/C排队模型M/M/C排队模型是相对复杂一些的排队论模型，其中"C"代表有C个服务设施。
M/M/C排队模型可以用来分析多个服务节点的性能表现，如系统的吞吐量和响应时间等指标。
2.3 其他排队模型除了M/M/1和M/M/C排队模型，还有很多其他类型的排队论模型，如M/M/∞排队模型、M/G/1排队模型和多类别排队模型等。
每种排队模型都有其独特的特点和适用范围，可以根据实际情况选择合适的模型进行性能分析。
三、计算机网络排队论模型的应用3.1 网络流量建模计算机网络排队论模型可以用来建模网络中的数据传输过程，分析网络节点的繁忙度和数据包的平均等待时间。
通过对网络流量进行建模，可以优化网络拓扑结构、改进路由算法和提高网络性能。
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排队模型一 1. 一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。
排队过程的一般过程可用下图表示。
我们所说的排队系统就是指图中方框所包括的部分:在现实生活中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。
它们可以是人，也可以是某种物质或设备。
排队可以是有形的，也可以是无形的。
尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构.1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。
包括：顾客源中顾客的数量是有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2)排队规则：描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。
包括：即时制还是等待制；等待制下队列的情况（是单列还是多列，顾客能不能中途退出，多列时各列间的顾客能不能相互转移）；等待制下顾客接受服务的次序（先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务）。
3)服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。
包括：服务台（员）的数目和排列情况；服务台（员）的服务方式；服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2.到达和服务过程的模型2.1 到达过程的模型用i t 表示第i 个顾客到达的时间,.称1i i i T t t +=-为第i 个到达时间间隔.我们用12,,T T 的特征来刻画顾客到达过程. 最常见的情况是12,,T T 独立同分布. 用X 表示这样的随机变量.如果X 服从参数为λ的指数分布.这时1()()i E T E X λ==即平均每隔1λ来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个顾客到来.称λ为到达速率.用()N t 表示到时刻t 为止到达的顾客总数,则在上面的假设下()()N t P t λ .除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为1()(), 0.(1)!k RxR Rx e f x x k --=≥- 这时2(), ()i i k k E T D T R R==. k 叫形状参数, R 叫速率参数.当取λ使得R k λ=, 则爱尔朗分布可以看成是k 个独立的服从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.2.2服务过程的模型一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独立的. 用Y表示一个客户接受服务的时间长短, 它是一个随机变量.若Y的分布是参数为μ的指数分布, 意味着一个顾客的服务时间平均为1μ. 单位时间里可以完成的平均顾客数为μ.若Y服从形状参数为k, 速率参数为R kμ=的爱尔朗分布, 则平均服务时间为1μ, 根据爱尔朗分布的性质, 可以将Y看作是k个相继子服务的总时间, 每个子服务都服从参数为1kμ的指数分布且相互独立.在排队论中,我们常用如下字母表示特定的到达时间间隔或服务时间分布:M: i.i.d. 指数分布D: i.i.d. 的确定分布E k: i.i.d. 的形参为k的爱尔朗分布GI: 到达时间间隔是i.i.d. 的某种一般分布G: 服务时间是i.i.d. 的某种一般分布在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。
经验分布的主要指标如下：1==总时间平均时间间隔到达客户总数平均到达率1==服务时间总和平均服务时间顾客总数平均服务率2.3.排队规则常用的排队规则有:FCFS: 先来先服务LCFS: 后来先服务SIRO:按随机顺序服务GD: 一般排队规则D.G.Kendall在1953年提出了一个分类方法，按照系统的三个最主要的、影响最大的三个特征要素进行分类，它们是：顾客相继到达的间隔时间分布、服务时间的分布、并列的服务台个数。
用符号（称为Kendall记号）表示为X/Y/ZX:顾客相继到达的间隔时间分布Y:服务时间的分布，Z:并列的服务台个数。
例如M/M/1，表示顾客相继到达的间隔时间为指数分布、服务时间为指数分布、单服务台的模型。
在1971年关于排队论符号标准化的会议上决定，将Kendall 符号扩充为：X/Y/Z/A/B/C其中前三项意义不变。
A处填写系统容量限制(等待与接受服务顾客总数);B处填写顾客源中的顾客数目;C处填写服务规则（如先到先服务FCFS，后到先服务LCFS）。
约定，如略去后三项，即指X/Y/Z/∞/∞/FCFS的情形.略去第六项表示先到先服务FCFS的情形。
3.排队系统基本指标3.1一个排队系统，运行状况的好坏既涉及到顾客的利益，又涉及到服务机构的利益，还有社会效果好坏的问题。
为了研究排队系统运行的效率、估计服务质量、研究设计改进措施，必须确定一些基本指标，用以判断系统运行状况的优劣。
下面介绍几种常用的指标。
1)队长：系统中的顾客数. 它的期望值记作L。
系统中排队等待服务的顾客数称为排队长（队列长），它的期望值记作Lq。
显然有队长＝排队长＋正被服务的顾客数（L s）。
2)逗留时间：一个顾客从到达排队系统到服务完毕离去的总停留时间称为逗留时间，它的期望值记作W。
一个顾客在系统中排队等待的时间称为等待时间，它的期望值记作Wq。
显然有逗留时间＝等待时间＋服务时间（W s）。
3)瞬态和稳态把系统中的顾客数称为系统的状态。
考虑在t 时刻系统的状态为n 的概率，它是随时刻t 而变化的，用P n (t)表示，称为系统的瞬态。
求瞬态解是很不容易的，一般即使求出也很难利用，因此我们常用它的极限lim P n (t)＝P nt →∞称为稳态概率或平稳分布或统计平衡状态的解。
对于任意存在平稳分布的排队系统，下列关系成立：q q s sL WL W L W λλλ===其中λ表示单位时间进入排队系统的到达者平均值。
3.2 生灭过程与稳态概率排队系统的状态n 随时间变化的过程称为生灭过程，设平均到达率为λ,平均服务率为μ, 指数分布排队系统（M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表示：利用生灭过程理论可得稳态概率满足的方程0111n n n nP P P P P P λμλμλμ-+=⎧⎨+=+⎩ 再利用01n n P ≥=∑解得P 0=1-ρP n =(1-ρ) ρn , n ≥1这里的ρ称为服务强度，也称话务强度，它刻划了服务机构的繁忙程度，所以又称服务机构的利用率。
实际上我们可以更一般的看待以上生灭过程, 只要求它满足如下三条基本性质即可:A. 在时间间隔t ∆内排队系统由状态j “出生”一个的概率为()j t t λο∆+∆；B. 在时间间隔t ∆内排队系统由状态j “灭亡”一个的概率为()j t t μο∆+∆；C. 生和灭相互独立。
利用生灭过程理论就可以得到稳态概率满足的如下关系：()()()0011111002222211331111n n n n n n n P P P P P P P P P P P λμλμλμλμλμλμλμ--++=+=++=++=+定义01112, 1,2,j j jc j λλλμμμ-== 则可以证明0, 1,2,j j P c P j ==再利用01n n P ≥=∑可解得0111jj P c ∞==+∑如果1j j c ∞=∑发散，稳态概率不存在。
稳态概率不存在的常见原因是到达速率至少与最大服务速率一样大。
4．M /M /1/GD /∞/∞排队系统这是包含下列参数的生灭过程:0, j =0,1,20, , j =1,2,3j j λλμμμ===4.1稳态分布可以求得 0:, 1,2,jj j P P P j λρμ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ , λρμ=是服务强度. 如果01ρ≤<, 则易知 ()01, 1, 1,2,j j P P j ρρρ=-=-= .如果1ρ≥,系统不存在稳态分布, 顾客人数最终“爆炸”。
4.2 稳态下排队系统指标计算顾客平均数L ：()0011jj j j L jP j ρλρρρμλ∞∞====-==--∑∑等待顾客平均数L q ：()()()221111j q j L j L ρλρρρρμμλ∞==--=-==--∑ 正在接受服务顾客平均数L s ：s 012001()1L P P P P ρ=⨯+++=-=顾客平均逗留时间W ：1(1)L W ρλλρμλ===-- 顾客平均等待时间W q ： ()qq L W λλμμλ==- 例 4.1 设所有车主在他们的油箱剩下一半时加油.目前,平均每小时有7.5位顾客到只有一个油泵的加油站加油.给一辆汽车提供服务平均需要4分钟.假设到达时间间隔和服务时间都服从指数分布.(1).在当前情况下计算计算该加油站的平均对长和平均逗留时间;(2).假如汽油短缺出现了抢购,所有车主在他们的油箱剩下四分之三油量时购买汽油.由于每个车主加油的量减少了,所以我们假设平均服务时间也减少到了133分钟.抢购对平均对长和平均逗留时间有何影响?解: 这是一个M /M /1/GD /∞/∞排队系统.其中7.57.5/, =15/, =0.5.15λμρ==辆小时辆小时 所以可求的11, 0.13.17.5LL W ρρλ=====-小时(2). 还是一个M /M /1/GD /∞/∞排队系统.其中27.515/,60155=18/, =.118633λμρ=⨯===辆小时(因为每个车主加油次数是以往的两倍)辆小时所以可求的515(, .1153LL W ρρλ=====-辆)(小时)=20分钟 抢购导致排长队.5．M /M /1/GD /c/∞排队系统在这个排队系统中,总容量为c.当系统有c 位顾客时,所有到达者都会被拒绝.这是一个包含下列参数的生灭过程: 0, j =0,1,2, 1.0,0,, j =1,2,3,.j c j c c λλλμμμ=-===5.1稳态分布 如果1λρμ=≠, 可以求得 0101,1, 1,2,,,0, 1,2,.c j j j P P P j c P j c c ρρρ+-=-====++ ,1101(1).(1)(1)c c c j c j c c L jP ρρρρρ++=⎡⎤-++⎣⎦==--∑ 如果1λρμ==, 可以求得 11,0,1,2,,; .2j c c P j c L +===5.2 稳态下排队系统指标计算正在接受服务顾客平均数L s ：s 012001()1L P P P P =⨯+++=-等待顾客平均数L q ：s .q L L L =-顾客平均逗留时间W ：每单位时间平均有λ名到达者,但有c P λ名到达者发现系统已满而离去.所以每单位时间平均有()1c c P P λλλ-=-名到达者将实际进入系统, 所以, .(1)(1)q q c c L L W W P P λλ==-- 对于这种系统,稳定分布一定存在, 系统不会“爆炸”。