高中数学新教材选择性必修第三册第七章 随机变量及其分布列 7.1 条件概率与全概率公式(南开题库含详解)
新教材2023年高中数学第七章随机变量及其分布列7
[规律方法] 应用乘法公式的关注点 1．功能：已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的 概率，求事件A与B同时发生的概率． 2 ． 推 广 ： 设 A ， B ， C 为 三 个 事 件 ， 且 P(AB) ＞ 0 ， 则 有 P(ABC) ＝ P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)．
[解析] (1)令事件 A＝{取得蓝球}，B＝{取得蓝色 E 型玻璃球}．
解法一：∵P(A)＝1116，P(A∩B)＝146＝14，
1 ∴P(B|A)＝PPA∩AB＝141＝141.
16
解法二：∵n(A)＝11，n(A∩B)＝4，
∴P(B|A)＝nnA∩AB＝141.
题型二
概率的乘法公式
典例2 (1)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)＝ ___0_._7_5__；
及格的概率是
( A)
A．51
B．130
C．12
D．31
[解析] 设 A 为事件“数学不及格”，B 为事件“语文不及格”， P(B|A)＝PPAAB＝00..0135＝15，所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的 概率为15.
2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一
次失败、第二次成功的概率是
(2)某市场供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂 产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率为80%，则买到一个甲厂的合 格灯泡的概率为___0_.6_6_5___.
[解析] (1)∵P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6， ∴ P (AB)＝ P (B) ·P (A|B) ＝0.5×0.6＝0.3. ∴P(B|A)＝PPAAB＝00..34＝0.75. (2)记事件 A 为“买到甲厂产品”，事件 B 为“买到合格产品”，则 P(A)＝70%，P(B|A)＝95%，所以 P(AB)＝P(A) ·P(B|A)＝70%×95%＝0.665.
高中数学新教材选择性必修第三册《7.1条件概率与全概率公式》课件
1.下列说法正确的是( ) A.P(B|A)＜P(AB) C.0＜P(B|A)＜1
B.P(B|A)＝ PB是可能的 PA
D.P(A|A)＝0
解析 ∵P(B|A)＝PPAAB，而 P(A)≤1，
∴P(B|A)≥P(AB)，∴A错， 当P(A)＝1时，P(AB)＝P(B)， ∴P(B|A)＝PPAAB＝PPBA，∴B 正确. 而0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1， ∴C，D错，故选B. 答案 B
人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞 机被一人 击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概 率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率.
解: 设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3 则 B=A1B+A2B+A3B
由全概率公式
依题意，
P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1
跟踪演练1 某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人， 全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人.从该 班任选一人作学生代表. (1)求选到的是共青团员的概率； 解 设“选到的是共青团员”为事件A，“选到的是第一小 组学生”为事件B， 则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件AB. P(A)＝1450＝38.
计算AB发生的概率，而P(A|B)表示在缩小的样本空间ΩB中，计算
A发生的概率.用古典概型公式，
则
AB中样本点数
P(A|B)＝
，Leabharlann AB中样本点数ΩB中样本点数
P(AB)＝
.
Ω中样本点数
7.1.2全概率公式
[学习目标] 1.理解全概率公式和贝叶斯公式. 2.会利用公式解决一些简单的实际问题.
高中数学第七章随机变量-1条件概率与全概率公式7-1-2全概率公式探究导学新人教A版选择性必修第三册
本题条件不变,现不放回地从中取产品三次,每次一件,求第三次取得正品的概率.
【解析】记Ai={第i次取得正品},i=1,2,3,
则A3=A1A2A3+1 A2A3+A12 A3+1 2 A3,
所以P(A3)=P(A1A2A3+1 A2A3+A12 A3+1 2 A3)=P(A1A2)P(A3|A1A2)+
出的这个“青团”是肉松馅的概率.
【解析】(1)从甲箱中任取2个“青团”的事件数为C72 =21,
这2个“青团”馅不同的事件数为C31 C41 =12,
12 4
所以这2个“青团”馅不同的概率为P= = .
21 7
(2)设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团’,取出的这个‘青团’是肉松馅”,事件B1为“从甲箱中取出的
49
课堂素养达标
1.市场上某种商品由三个厂家同时供应,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙、
丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,则市场上该商品的次品率为
(
)
A.0.035
B.0.05
C.0.025
D.0.075
【解析】选C.设Ai表示取到第i个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品,由题意得:
团”之称大约始于唐代,已有1000多年的历史.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观
均相同的“青团”,已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”,乙箱中
有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”.
(1)若从甲箱中任取2个“青团”,求这2个“青团”馅不同的概率;
(2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中,然后再从乙箱中任取1个“青团”,求取
【思维导引】用A表示“取到的是一只次品”,Bi表示“所取到的产品是由第i家制造
高中数学选择性必修三 7 1 1条件概率7 1 2全概率公式
第七章随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式7.1.1 条件概率 7.1.2 全概率公式课后篇巩固提升基础达标练1.已知P (B|A )=13,P (A )=25,则P (AB )等于 ( )A.56B.910C.215D.115(AB )=P (B|A )·P (A )=13×25=215.2.市场上供应的灯泡中,甲厂灯泡占70%,乙厂灯泡占30%,甲厂灯泡的合格率是95%,乙厂灯泡的合格率是80%,则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是 ( )A.0.665B.0.564C.0.245D.0.285A 为“买到一个甲厂灯泡”,事件B 为“买到一个合格灯泡”,则P (A )=0.7,P (B|A )=0.95,故P (AB )=P (A )·P (B|A )=0.7×0.95=0.665.3.(2020北京临川学校高三月考)将三枚骰子各掷一次,设事件A 为“三个点数都不相同”,事件B 为“至少出现一个6点”,则P (A|B )的值为( ) A.6091B.12C.518D.91216,P (AB )=6063=518,P (B )=1-P (B )=1-5363=1-125216=91216,故P (A|B )=P (AB )P (B )=51891216=6091.4.某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知某学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是( ) A.0.2B.0.33C.0.5D.0.6“数学不及格”为事件A ,“语文不及格”为事件B ,则P (AB )=0.03,P (A )=0.15,故P (B|A )=P (AB )P (A )=0.030.15=0.2.5.(多选)(2019广东高二期末)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有6个红球、2个白球和2个黑球,先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐,分别以事件A 1,A 2,A 3表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球,再从乙罐中随机取出一个球,以事件B 表示由乙罐取出的球是红球,下列结论正确的是( )A.事件B 与事件A 1不相互独立B.A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件C.P (B )=35 D.P (B|A 1)=711A,由题意可知,事件A 1发生与否影响事件B 的发生,故事件B 与事件A 1不相互独立,故A 正确;对于B,A 1,A 2,A 3两两不可能同时发生,故B 正确; 对于C,P (B )=510×711+510×611=1322,故C 不正确;对于D,已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐,这时乙罐中有11个球,其中红球有7个,因此,在事件A 1发生的条件下,事件B 发生的概率为P (B|A 1)=711,故D 正确.故选ABD .6.(2020湖南衡阳高二月考)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12,两次闭合后都出现红灯的概率为15,则在第一次闭合后出现红灯的条件下,第二次闭合后出现红灯的概率为 .“第一次闭合后出现红灯”为事件A ,“第二次闭合后出现红灯”为事件B ,则P (A )=12,P (AB )=15,故在第一次闭合后出现红灯的条件下,第二次闭合后出现红灯的概率为P (B|A )=P (AB )P (A )=25.7.某种元件用满6 000小时未坏的概率是34,用满10 000小时未坏的概率是12,现有一个此种元件,已经用过6 000小时未坏,则它能用到10 000小时的概率为 .“用满6 000小时未坏”为事件A ,“用满10 000小时未坏”为事件B ,则P (A )=34,P (AB )=P (B )=12,故P (B|A )=P (AB )P (A )=1234=23.8.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为 .A 为“其中一瓶是蓝色”,事件B 为“另一瓶是红色”,事件C 为“另一瓶是黑色”,事件D 为“另一瓶是红色或黑色”,则D=B ∪C ,且B 与C 互斥.又P (A )=C 21C 41C 52=45,P (AB )=C 21C 11C 52=15,P (AC )=C 21C 21C 52=25,故P (D|A )=P (B ∪C|A )=P (B|A )+P (C|A )=P (AB )P (A )+P (AC )P (A )=34.9.在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,考生至少能答对其中4道题即可通过,至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.A 为“该考生6道题全答对”,事件B 为“该考生答对了其中5道题”,事件C 为“该考生答对了其中4道题”,事件D 为“该考生在这次考试中通过”,事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A ,B ,C 两两互斥,且D=A ∪B ∪C ,E=A ∪B ,由题意可知P (D )=P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )=C 106C 206+C 105C 101C 206+C 104C 102C 206=12 180C 206,P (AD )=P (A ),P (BD )=P (B ),故P (E|D )=P (A|D )+P (B|D )=P (A )P (D )+P (B )P (D )=210C 20612 180C 206+2 520C 20612 180C 206=1358. 故获得优秀成绩的概率为1358.10.坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋,其中有3个是绿皮的,2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋,求:(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率;(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率;(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ,“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ,则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋包含的样本点的个数为n (Ω)=A 52=20.又n (A )=A 31×A 41=12,于是P (A )=n (A )n (Ω)=1220=35.(2)因为n (AB )=3×2=6, 所以P (AB )=n (AB )n (Ω)=620=310. (3)由(1)(2),可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B|A )=P (AB )P (A )=31035=12.能力提升练1.某班有6名班干部,其中4名男生、2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为( ) A.15 B.25C.12D.23“男生甲被选中”为事件A ,“女生乙被选中”为事件B.则P (A )=C 52C 63=12,P (AB )=C 41C 63=15,故P (B|A )=P (AB )P (A )=25.2.抛掷两枚质地均匀的骰子,在已知它们点数不同的情况下,有一枚出现6点的概率是( ) A.13 B.118C.16D.19“有一枚出现6点”为事件A ,“两枚骰子的点数不同”为事件B ,则n (B )=6×5=30,n (AB )=10,所以P (A|B )=n (AB )n (B )=13.3.7名同学站成一排,已知甲站在中间,则乙站在末尾的概率是( ) A.14B.15C.16D.17“甲站在中间”为事件A ,“乙站在末尾”为事件B ,则n (A )=A 66,n (AB )=A 55,故P (B|A )=A 55A 66=16.4.(2020山东潍坊检测)甲袋中有5个白球、7个红球,乙袋中有4个白球、2个红球,从两个袋中任选一袋,从中任取一球,则取到的球是白球的概率为( ) A.512B.23C.12D.1324A 表示“选中甲袋”,B 表示“选中乙袋”,C 表示“取到的球是白球”,则P (A )=12,P (B )=12,P (C|A )=512,P (C|B )=46=23,故P (C )=P (C|A )·P (A )+P (C|B )·P (B )=512×12+23×12=1324.5.设A ,B 为两个事件,若事件A 和B 同时发生的概率为310,在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率为12,则事件A 发生的概率为 .P (B|A )=P (AB )P (A ),P (AB )=310,P (B|A )=12,∴12=310P (A ),解得P (A )=35.6.先后掷两次骰子(骰子的六个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6),落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x ,y ,记事件A 为“x+y 为偶数”,事件B 为“x ,y 中有偶数且x ≠y ”,则概率P (B|A )= .P (A )=1836=12,P (AB )=636=16,故P (B|A )=P (AB )P (A )=13.7.甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.从甲箱中任取2个产品包含的样本点数为C 82=28,这2个产品都是次品包含的样本点数为C 32=3,所以这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A 为“从乙箱中取一个正品”,事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B 2为“从甲箱中取出1个正品,1个次品”,事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事件B 1,B 2,B 3彼此互斥.P (B 1)=C 52C 82=514, P (B 2)=C 51C 31C 82=1528,P (B 3)=C 32C 82=328,P (A|B 1)=23, P (A|B 2)=59, P (A|B 3)=49.所以P (A )=P (B 1)P (A|B 1)+P (B 2)P (A|B 2)+P (B 3)P (A|B 3)=514×23+1528×59+328×49=712.素养培优练某电子设备厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件厂提供的.根据以往的记录,这三个厂家的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供元件的份额分别为0.15,0.8,0.05,设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志.(1)在仓库中随机地取一个元件,求它是次品的概率.(2)在仓库中随机地取一个元件,若已知它是次品,则此次品来自哪个厂家的可能性大?A=“取到的元件是次品”,B=“取到的元件来自甲厂”,B 2=“取到的元件来自乙厂”,B 3=“取到的元件来自丙厂”,则P (B 1)=0.15,P (B 2)=0.8,P (B 3)=0.05,P (A|B 1)=0.02,P (A|B 2)=0.01,P (A|B 3)=0.03. (1)P (A )=P (B 1)P (A|B 1)+P (B 2)P (A|B 2)+P (B 3)P (A|B 3) =0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03 =0.012 5. (2)P (B 1|A )=P (B 1)P (A |B 1)P (A )=0.15×0.020.012 5=0.24,P (B 2|A )=P (B 2)P (A |B 2)P (A )=0.8×0.010.012 5=0.64, P (B 3|A )=P (B 3)P (A |B 3)P (A )=0.05×0.030.012 5=0.12.故此次品来自乙厂的可能性大.。
人教版高中数学选择性必修第三册7-1-2全概率公式
课前篇·自主预习 检测篇·达标小练
课堂篇·互动学习 课时作业
课前篇·自主预习
知识点 全概率公式
1．一般地，设 A1，A2，…，An 是一组 两两互斥 的事件， A1∪A2∪…
∪An＝Ω
，且 P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有
n
PB＝ PAiPB|Ai
i＝1
.称该公式为全概率公式．
2．利用全概率公式计算概率的难点是什么？
提示：全概率公式中“全”就是总和的含义：每一原因都可能导致 B 发生，故 B 发生的概率是各原因引起 B 发生概率的总和，即事件 B 发生的可能性，就是其原因 Ai 发生的可能性与在 Ai 发生的条件下 B 发生的可能性的乘积之和．具体运用公式时，难 点在于如何选择事件 A1，A2，…，An，一定要把产生结果的原因全找出来，不能遗漏， 并且保证 A1，A2，…，An 为两两互斥事件，选择恰当将会使计算大为简化，若选择不 当，将会影响计算，甚至导致错误．
i＝1
类型二 贝叶斯公式的应用
[例 2] 临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下效果：对癌症患 者进行试验结果呈阳性反应者占 95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者 占 96%，现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居 民总数的 0.4%，求：
(1)试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率； (2)试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率． [思路分析] 根据条件概率和贝叶斯公式即可求出结果．
[变式训练2] 若某种病菌在人口中的带病概率为0.83.当检查时，带菌者未必 检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假设P(阳性|带菌)＝0.99，P(阴性| 带菌)＝0.01，P(阳性|不带菌)＝0.05，P(阴性|不带菌)＝0.95，设某人检出阳性， 问：他“带菌”的概率是多少？
高中数学7-1条件概率与全概率公式7-1-1条件概率新人教A版选择性必修第三册
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
课标解读
1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概
率．
2．结合古典概型，会利用乘法公式计算概率．
新知初探·课前预习
教 材 要 点
要点一 条件概率
1．一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝
P AB
)
10
8
1
3
3
A．
B．
C．
D．
225
2
8
4
答案：D
解析：设事件A为“刮风”，事件B为“下雨”，事件AB为“既刮风又下雨”，
P AB
则P(B|A)＝
P A
故选D.
＝
1
10
2
15
3
＝ .
4
3
4．春季是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为 ，
5
1
鼻炎发作且感冒的概率为 ，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概
10
5
一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是(
)
3
2
27
81
A．
B．
C．
D．
5
350100答 Nhomakorabea：B解析：设该选手第一次击中目标为事件A，第二次击中目标为事件B，则P(A)＝
9
3
，P(AB)＝ ，则该选手在第一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击
10
5
P AB
中目标的概率是P(B|A)＝
1
2．若P(A|B)＝ ，P(B)＝ ，则P(AB)的值是(
9
3
新课程新教材高中数学选择性必修3：全概率公式【可编辑全文】
P(B|A3) ＝0.1,
P(A2)=0.2， 写概率
P(A4)＝0.4，
P(B|A2)＝0.3，
P(B|A4)＝0.2，
0.25
0.3
B
由全概率公式，得
P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 ) P( A4 ) P( B | A4 )
=0.3×0.25＋ 0.2×0.3＋ 0.1×0.1＋ 0.4×0.2=0.225
A2 0.2
0.1
0.2
代公式
A3 0.1
A4 0.4
16
四、引导与迁移
变式：例2中，条件不变，问题变为：
“他迟到了，求他乘汽车迟到的概率”．
贝叶斯公式
已知结果
求原因
分析：就是计算在B发生的条件下，事件A3发生的概率.
10 9 10 9
0.6
B
所以，第2次摸到红球的概率是0.6.
5
9
A1
6
10
A2
4
10
6
9
BA1
A1
BA标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再
由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率.
P( B) PBA1 BA2
贝叶斯公式
五、引申与评价
(1)求该考生选出此题正确答案的概率；
全概率公式
解：设 A 表示“该考生会做这道题”，B 表示“该考生选出正确答案”，
则 P(A)＝0.85，P( A )＝0.15，P(B|A)＝1，P(B| A )＝0.25.
(1)由全概率公式得
人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第七章 条件概率与全概率公式 全概率公式
为正品,
则由已知,得() = 50%,() = 30%,() = 20%,
(|) = 95%,(|) = 90%,(|) = 85%,
故() = ()(|) + ()(|) + () ⋅ (|) =
() = ∑ ( )(| )
( ) > 0, = 1,2,⋅ ,,则对任意的事件 ⊆ Ω,有_______________________,我们称
=1
此公式为全概率公式.
*2.贝叶斯公式：设1 ,2 ,⋅ , 是一组两两互斥的事件,1 ∪ 2 ∪⋅ ∪ = Ω,且
=1
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画×）
（1）() = ()(|) + ()(|).
() √
（2）全概率公式为概率论中的重要公式,它将一个复杂事件的概率求解问题,转化为在
不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
(√ )
（3）全概率公式用于求复杂事件的概率,是求最后结果的概率.
（1）不会判断实际问题的概率类型；
（2）事件拆分不合理或不全面.
= ，C对；
A选项，由全概率公式() = ()(|) + ()(|)得
= × (|) + ( − ) × ,∴ (|) = ，
∴ () = ()(|) =
，A错；
D选项,( ∪ ) = () + () − () =
+ ()(|) = × + × =
7.1.2全概率公式课件高二下学期数学人教A版选择性
P(R1)P(R2 | R1) P(B1)P(R2 | B1) a a 1 b a
P(R1) R1
R2 B2
a b a b 1 a b a b 1
R2
a ab
P ( B1 )
B1
B2
R1 R2
R1B2 B1R2
B1B2
探究新知
问题1 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显
知识应用
解:设事件 = “换门后中奖”,
= ”首次猜对”,
= “首次猜错”,
∪ = 且 为 互斥,
由题意得: 1
= 3, ∣ = 0,
2 = 3, ∣ =1
=
∣+
∣
1
2
2
= 3 × 0+ 3 × 1= 3
所以,换门后中奖概率更高
知识应用
解:设事件 = “换门后中奖”, = ”首次猜对”,
= “首次猜错”,
abc 概率是多大? ”你能类比上述过程进行计算吗?
探究新知
问题2 上述解决问题的过程采用了怎样的方法？
按照某种标准, 将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并, 再由概率的 加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率.
P(R 2) P(R1R2 B1R2 ) P(R1R2 ) P(B1R2 ) P(R1)P(R2 | R1) P(B1)P(R2 | B1) P(R 2) P(R1R2 B1R2 Y1R2 ) P(R1R2 ) P(B1R2 ) P(Y1R2 ) P(R1)P(R2 | R1) P(B1)P(R2 | B1) P(Y1)P(R2 | Y1)
换门是否能增加赢得汽车的概率?
新知探究
问题1 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显 然，第1次摸到红球的概率为 a ，那么第2次摸到红球的概率是多大? 如何计算这个
人教版高二下数学选择性必修第三册-7.1 条件概率与全概率公式(第2课时)【课件】
【解析】 设事件Bi＝“从第i个箱子中取到产品”(i＝1，2，3)，事件A＝ “取得正品”．
由题意知Ω＝B1∪B2∪B3且B1，B2，B3是两两互斥事件． P(B1)＝P(B2)＝P(B3)＝13， P(A|B1)＝23，P(A|B2)＝34，P(A|B3)＝12，由全概率公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋ P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝2336.
【解析】 用事件A表示“丢失一箱后任取两箱是英语书”，用事件Bk表示 “丢失的一箱为k”，k＝1，2，3分别表示英语书，数学书，语文书．由全概率 公式，得P(A)＝k∑＝3 1P(Bk)·P(A|Bk)＝12×CC4922＋15×CC5922＋130×CC5922＝386＝29.
(2)有三个形状相同的箱子，在第一个箱中有两个正品，一个次品；在第二 个箱中有三个正品、一个次品；在第三个箱中有两个正品，两个次品．现从任 意一个箱子中，任取一件产品，求取得的是正品的概率．
(2)设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第 2车间的次品率为0.12，两个车间生产的产品都混合堆放在一个仓库，假设第 1，2车间生产的产品比例为2∶3，今有一客户从仓库中随机提一台产品，求该 产品合格的概率．
【解析】 设事件B＝“从仓库中随机提出的一台是合格品”，事件Ai＝ “提出的一台是第i车间生产的”，i＝1，2，则有Ω＝A1∪A2，且A1，A2互 斥．由题意知P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率 公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
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第七章 随机变量及其分布列 7.1 条件概率与全概率公式一、选择题（共40小题；共200分）1. 位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 12，质点 P 移动 5 次后位于点 (2,3) 的概率是 ( ) A. (12)5B. C 52(12)5C. C 52(12)2D. C 53(12)32. 甲盒中有 20 个螺杆，其中 16 个A 型的，乙盒中 24 个螺母，其中 18 个A 型的，现从甲、乙两盒中任取一个，则能配成A 型螺栓的概率为 ( ) A. 120B. 1516C. 35D. 19203. 已知 A ，B 是两个相互独立事件，P (A )，P (B ) 分别表示它们发生的概率，则 1−P (A )P (B ) 是下列哪个事件的概率 ( ) A. 事件 A ，B 同时发生 B. 事件 A ，B 至少有一个发生 C. 事件 A ，B 至多有一个发生D. 事件 A ，B 都不发生4. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 23 和 34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( ) A. 12B. 512C. 14D. 165. 抛掷甲、乙两枚殷子，若事件 A ：“甲骰子的点数小于 3”；事件 B ：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于 6”，则 P (B ∣A ) 等于 ( ) A. 13B. 118C. 16D. 196. 设某批产品合格率为 34，不合格率为 14，现对该产品进行测试，设第 ξ 次首次取到正品，则 P (ξ=3) 等于 ( ) A. C 32(14)2×(34)B. C 32(34)2×(14)C. (14)2×(34) D. (34)2×(14)7. 一个袋子中有号码为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 大小相同的 5 个小球，现从袋中任取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为 ( )A. 35 B. 45 C. 320 D. 3108. 一袋中装有 5 只白球，3 只黄球，在有放回地摸球中，用 A 1 表示第一次摸得白球，A 2 表示第二次摸得白球，则事件 A 1 与 A 2 是 ( ) A. 相互独立事件 B. 不相互独立事件 C. 互斥事件D. 对立事件9. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为 x ，转盘乙得到的数为 y （若停在边界则重新转），x ，y 构成数对 (x,y )，则所有数对 (x,y ) 中满足 xy =4 的概率为 ( )A. 116B. 18C. 316D. 1410. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P(A∣B)=( )A. 29B. 13C. 49D. 5911. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. 18B. 38C. 58D. 7812. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6．已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.4513. 一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的8个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A. 132B. 164C. 332D. 36414. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )A. P(B)=25B. 事件B与事件A1相互独立C. P(B∣A1)=511D. P(B)的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关15. 某同学用计算器产生了两个[0,1]之间的均匀随机数，分别记作x，y，当y<x2时，x>12的概率是( )A. 724B. 12C. 712D. 7816. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A. 8225B. 12C. 38D. 3417. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A，“骰子向上的点数是偶数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )A. 14B. 12C. 34D. 71218. 在区间 (0,1) 内随机投掷一个点 M （其坐标为 x ），若 A ={x∣ 0<x <12}，B ={x∣ 14<x <34}，则 P (B ∣A ) 等于 ( ) A. 12B. 14C. 13D. 3419. 在投篮测试中，每人投 3 次，其中至少有两次投中才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为 ( ) A. 0.352B. 0.432C. 0.36D. 0.64820. 张家的 3 个鸡仔钻进了李家装有 3 个鸡仔的鸡笼里，现打开笼门，让鸡仔一个一个地走出来，若第一个走出来的是张家的鸡仔，那么第二个走出的也是张家的鸡仔的概率是 ( ) A. 25B. 23C. 15D. 3521. 某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 0.5，两次闭合后都出现红灯的概率为 0.2，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为 ( )A. 0.1B. 0.2C. 0.4D. 0.522. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是 3 的倍数”为事件A ，“两颗骰子的点数之和大于 8”为事件B ，则 P (B ∣A )= ( ) A. 512B. 712C. 12D. 1323. 2016 年 7 月 4 日是“期末考试”，这天小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件 A =‘‘取到的两个为同一种馅"，事件 B =‘‘取到的两个都是豆沙馅"，则 P (B ∣A )= ( )A. 14 B. 34 C. 110 D. 31024. 10 件产品中有 3 件次品，不放回的抽取 2 件，每次抽 1 件，在已知第 1 次抽出的是次品的条件下，第 2 次抽到仍为次品的概率为 ( ) A. 145B. 115C. 29D. 2325. 袋中装有完全相同的 5 个小球，其中有红色小球 3 个，黄色小球 2 个．如果不放回地依次摸出2 个小球，那么在第一次摸出红色小球的条件下，第二次摸出红色小球的概率是 ( ) A. 310B. 35C. 12D. 1426. 将 3 颗骰子各掷一次，记事件 A 为“3 个点数都不相同”；事件 B ：“至少出现一个 6 点”，则P (A ∣B ) 等于 ( ) A. 6091B. 12C. 518D. 9121627. 盒中装有 5 件产品，其中 3 件是一等品，2 件是二等品，从中不放回地取出产品，每次取 1 件，共取 2 次，已知第 2 次取得一等品，则第 1 次取得二等品的概率为 ( ) A. 25B. 310C. 12D. 3528. 10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中，恰有 1 人中奖的概率为( ) A. C 103×0.72×0.3B. C 31×0.72×0.3C. 310D.3A 72⋅A 31A 10329. 将 3 颗骰子各掷一次，设事件 A =“3 个点数都不相同”，B =“至少出现一个 6 点”，则概率P (A ∣B ) 等于 ( )A. 6091B. 12C. 518D.9121630. 某道路的A ，B ，C 3 处设有交通灯，这 3 盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒、 35 秒、45 秒，某辆车在这条路上行驶时，3 处都不停车的概率是 ( ) A.35192B.25192C.35576D.6519231. 某人有 5 把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在 3 次内能打开房门的概率是 ( )A. 1−A 33A 53 B. 1−(35)3C.A 32⋅A 21A 53+A 31⋅A 22A 53D. C 32×(35)2×(25)+C 31×(35)1×(25)232. 从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B “取到的2 个数均为偶数”，则 P (B ∣A ) 为 ( ) A. 18B. 14C. 25D. 1233. 中央电视台《幸运 52 》栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在 20 个商标牌中，有 5 个商标牌的背面注明了一定的奖金金额，其余商标牌的背面是一张苦脸，若翻到苦脸就不得奖，参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会，某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是 ( )A. 14 B. 16 C. 15D. 32034. 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 170、 169、 168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件次品率为 ( ) A. 368B. 369C. 370D. 17035. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为 ( ) A. 0.45B. 0.6C. 0.65D. 0.7536. 某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 12，两次闭合后都出现红灯的概率为 15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为 ( ) A. 110B. 15C. 25D. 1237. 某校投篮比赛规则如下：选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮．假设某选手每次命中率都是 0.6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮 4 次晋级下一轮的概率为 ( ) A. 216625B. 108625C. 36625D. 1812538. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 ( ) A. 13B. 25 C. 23 D. 4539. 袋子中装有大小相同的 6 个小球，2 红 1 黑 3 白．现从中有放回的随机摸球 2 次，每次摸出 1个小球，则 2 次摸球颜色不同的概率为 ( ) A. 59B. 23C. 1118D. 131840. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记 A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为4}，则 P (B ∣A )= ( )A. 112B. 14C. 29D. 23二、填空题（共40小题；共200分）41. 甲袋中有 8 个白球，4 个红球；乙袋中有 6 个白球，6 个红球，从每袋中任取一个球，则取得的球是同色的概率是 ( )．42. 某地区气象站由长期统计资料得知：在4月份下雨（记作事件 A ）的概率为 415，刮风（记作事件B ）的概率为 715，既刮风又下雨的概率为 110，则 P (A ∣B )= ．43. 已知 A ，B 是相互独立事件，且 P (A )=12，P (B )=23，则 P(AB)= ；P(AB)= ．44. 在如图所示的简单电路中，开关 T 1，T 2 开或关的概率都是 12，且相互独立，设事件 A ：灯泡 L 1亮；事件 B ：灯泡 L 2 亮，则 P (B ∣A )= ．45. 将一枚硬币连掷 5 次，5 次都出现正面的概率是 ．46. 甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是 0.8 与 0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．47. 甲，乙两人独立地破译 1 个密码，他们能破译密码的概率分别是 15和 14，则这个密码能被破译的概率为 ．48. 已知每个人的血清中含有乙型肝炎病毒的概率为 3‰，混合 100 人的血清，则混合血清中有乙型肝炎病毒的概率约为 ．（参考数据：0.996100≈0.669 8，0.997100≈0.740 5，0.998100≈0.818 6）49. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 13，两人下成和棋的概率为 12，则乙不输的概率为 ． 50. 抛掷红、黄两颗骰子，事件 A 表示“红色骰子出现 3 点”，事件 B 表示“黄色骰子出现的点数为奇数点”，则 P (A∣B )= ．51. 小李同学在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 13，则他在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率为 ．（用最简分数表示）52. 一道竞赛题，甲生解出它的概率为 12，乙生解出它的概率为 13，丙生解出它的概率为 14，由甲、乙、丙 3 人独立解答此题，且只有一人解出的概率为 ．53. 袋中装有红黑两个颜色球共有 10 个，其中 3 个是黑球，任意取出 3 个，这 3 个球中有且仅有 2个球是红球的概率是 ．54. 6 位同学参加百米短跑出赛，赛场共有 6 条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学被排在第二跑道的概率是 ．55. 从一副不含大小王的 52 张扑克牌中不放回地抽取 2 次，每次抽一张，已知第一次抽到 A ，第二次也抽到 A 的概率为 ．56. 100 件产品中有件 5 次品，不放回地抽取两次，每次抽一件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率为 ．57. 在 4 次独立重复试验中事件 A 出现的概率相同，若事件 A 至少发生一次的概率为 6581，则事件 A在一次试验中出现的概率是 ．58. 将一枚硬币连掷 5 次，如果出现 k 次正面的概率等于出现 k +1 次正面的概率，那么 k 的值为 ．59. 在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白次（各不相同），不放回地依次摸出 2 个球，则第一次、第二次都摸到红球的概率为 ．60. 从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同，每次取出一件产品后总以一件合格品放回这批产品中，直到取出合格品为止．若用随机变量 ξ 所需抽取次数，则 P (ξ=2)= ．61. 袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为 ．62. 三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对第二局败者，则乙队连胜四局的概率为．63. 某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为．64. 某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人．来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，则该女生来自北京的概率是．65. 甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为．66. 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为．67. 在一次反恐演习中，三名狙击手分别从三个不同的方位对某个恐怖分子同时射击．由于位置的原因，三人击中目标的概率分别为0.9，0.8，0.7，若至少两人命中目标才能确保人质安全，那么至少两人命中目标的概率为．68. 生产零件需要经过三道工序，在第一、二、三道工序中生产出废品的概率分别为0.02，0.03，0.02．假设每道工序生产废品是独立事件，则经过三道工序后得到的零件不是废品的概率是．（精确到0.01）69. 一个三位数字的密码锁，每位上的数字都可在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人开锁时，在对好前两位数字后，随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为．70. 某地100000名男子中，活到60岁的有68000人，记为事件A，活到80岁的有7800人，记为事件B，那么P(A∣B)=，P(B∣A)=．71. 一个口袋中有标号为1∼7的7个白色球和标号为8∼10的3个黑色球，事件A表示“从袋中摸出的是黑色球”，事件B表示“从袋中摸出的是号码为偶数的球”，如果摸出的球不放回，连续摸两次，每次摸一个，求P(A∣B)．72. 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有—瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是．73. 某电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合，出现红灯和绿灯的概率都是12，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率为13，出现绿灯的概率为23；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率为35，出现绿灯的概率为25，则前3次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的概率是．74. 如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P(B∣A)=．75. 一个盒子中装有 4 只产品，其中 3 只一等品，1 只二等品，从中取产品两次，每次任取 1 只，做不放回抽样．设事件 A 为“第一次取到的是一等品”，事件 B 为“第二次取到的是一等品”，则 P (B ∣A )= ．76. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是 3 的倍数”为事件A ，“两颗骰子的点数之和大于 8”为事件B ，则 P (B ∣A )= ．77. 棉籽的发芽率为 0.9，发育为壮苗的概率为 0.6 .（1）每穴播 2 粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播 3 粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．78. 一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中）．设投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A ，投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正方形区域的事件记为 B ，则 P (A ∣B )= ．79. 国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是 13，14，15．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为 ．80. 甲乙丙丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一，设 P n 表示经过 n 次传递后球回到甲手中的概率，则 P n = ．（用含 n 的式子表示）三、解答题（共20小题；共260分）81. 某市为了解各校《 国学》 课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为 A ，B ，C ，D 四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各 60 名学生的成绩，得到如图所示分布图：（1）试确定图中实数 a 与 b 的值；（2）规定等级D 为“不合格”，其他等级为“合格”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．82. 某生在一次考试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率．83. 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮?84. n张彩票中有一张中奖票．（1）已知前面k−1个人没摸到中奖票，求第k个人摸到的概率；（2）求第k个人摸到中奖票的概率，并说明每人摸到中奖票的概率与摸的先后次序有无关系．85. A，B，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A班6 6.577.58B班6789101112C班3 4.567.5910.51213.5（1）试估计 C 班的学生人数；（2）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A，B，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小（结论不要求证明）．86. 抛掷红、黄两颗骰子，在红色骰子的点数为4点或6点时，求两颗骰子的点数之积大于20的概率．87. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0−9中任选一个某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．（1）任意按最后一位数字，求不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，求不超过2次就接对的概率．88. 某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0∼500元；500∼1000元；1000∼1500元；1500∼2000元四个档次，针对A，B两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，各档次人数统计结果如下表所示：档次人群0∼500元500∼1000元1000∼1500元1500∼2000元A类20502010B类50301010月均服装消费额不超过1000元的人群视为中低消费人群，超过1000元的视为中高收入人群．（1）从A类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；（2）从A，B两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率；（3）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计A，B两类人群哪类月均服装消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）．89. 某市有10个施工队，施工期间由于雾霾的影响要对10个工程队采取暂停施工的措施，根据以往经验，空气质量指数X(AQI)与暂停施工队数Y之间有如下关系：空气质量指数X X<150150≤X<350350≤X<450X≥450暂停工程队数Y02610历年气象资料表明，工程施工期间空气质量指数X小于150，350，450的概率分别为0.3，0.7，0.9．（1）求暂停工程队数Y的均值和方差；（2）在空气质量指数X至少是150的条件下，求暂停工程队数不超过6个的概率．90. 某次运动会的游泳比赛中，已知5名游泳运动员中有1名运动员服用过兴奋剂，需要通过检验尿液来确定因服用过兴奋剂而违规的运动员，尿液检验结果呈阳性的即为服用过兴奋剂的运动员，呈阴性则没有服用过兴奋剂，组委会提供两种检验方法：方案A：逐个检验，直到能确定服用过兴奋剂的运动员为止．方案B：先任选3名运动员将他们的尿液混在一起检验，若结果呈阳性则表示违规的运动员是这3名运动员中的1名，然后再逐个检验，直到能确定为止；若结果呈阴性则在另外2名运动员中任选1名检验．（1）求依方案A所需检验次数不少于依方案B所需检验次数的概率；（2）ξ表示方案B所需检验次数，求ξ的数学期望．91. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X的分布列；（2）若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个?92. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体指，给出结论即可）．（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．93. 抛掷红、蓝两枚骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”．（1）求P(A)，P(B)，P(AB)；（2）当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少?94. A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间相互独立．从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；（2）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（3）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?（结论不要求证明）95. 为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测验．现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采用A，B，C等级制，各等级对应的测试成绩标准如下表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）假设每个新生的测试成绩互相独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率．测试成绩[85,100][70,85)(60,70)基础等级A B C．为了研究连续服用该药物后出现96. 已知某种动物服用某种特药一次后当天出现A症状的概率为13A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关．（1）如果出现A症状即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；（2）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望．97. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16（1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（2）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．98. 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．99. A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A班6 6.577.58B班6789101112C班3 4.567.5910.51213.5。