相似理论与结构模型试验

一、相似理论与结构模型试验

相似理论主要应用于指导模型试验，确定“模型”与“原型”的相似程度、等级等。随着计算机技术的进步，相似理论不但成为物理模型试验的理论而继续存在，而且进一步扩大应用范围和领域，成为计算机“仿真”等领域指导性理论。

相似理论是说明自然界和工程中各相似现象相似原理的学说。在结构模型试验研究中，只有模型和原型保持相似，才能由模型试验结果推算出原型结构的相应结果。结构模型中的“相似”主要是指原型结构和模型结构的主要物理量相同或成比例。常需要满足的相似条件有：几何相似、质量相似、荷载相似、物理相似、时间相似和边界初始条件相似。

1.几何相似

模型与原结构之间所对应部分的尺寸成比例，模型比例即为几何相似常数。

S l=l m

l p

=

b m

b p

=

ℎm

ℎp

式中：

S l——几何相似常数；

l、b、ℎ——结构的长、宽、高三个方向的线性尺寸；

m、p——分别代表模型和原型。

对一矩形截面，模型和原型结构的面积相似常数、截面抵抗矩相似常数和惯性矩相似常数分别为：

S A=A m

A p

=

ℎm·b m

ℎp·b p

=S l2

式中：

S A——面积相似常数。

S w=W m

W p

=

1

6b m·ℎm

2

1

6b p·ℎp2

=S l3

式中：

S w——截面抵抗矩相似常数。

S I=I m

I p

=

1

12b m·ℎm

3

1

12b p·ℎp

3

=S l4

式中：

S I——惯性矩相似常数相似常数。

2.质量相似

要求模型与原型结构对应部分质量成比例，质量之比称为质量相似常数。

S m=m m m p

式中：

S m——质量相似常数。

对于具有分布质量部分，用质量密度ρ表示。

Sρ=S m

S V

=

S m

S l3

式中：

Sρ——质量密度相似常数。

3.荷载相似

要求模型与原型在各对应点所受的荷载方向一致，大小成比例。

S p=P m

P p

=

A m·σm

A p·σp

=Sσ·S l2

式中：

S p——集中荷载相似常数。

Sω=Sσ·S l 式中：

Sω——线荷载相似常数。

S q=Sσ式中：

S q——面荷载相似常数。

S M=Sσ·S l3

式中：

S M——弯矩或扭矩相似常数。

4.物理相似

要求模型与原型的各相应点的应力和应变、刚度和变形间的关系相似。

Sσ=σm

σp

=

E m·εm

E p·ϵp

=S E·Sε

Sτ=τm

τp

=

G m·γm

G p·γp

=S G·SγSμ=

μm

μp

式中：

Sσ，S E，Sε，S G，Sγ，Sμ——分别代表正应力、弹性模量、正应变、剪应力、剪切模量、剪应变和泊松比的相似常数。

5.时间相似

对于结构的动力问题，在随时间变化的过程中，要求模型与原型在对应时刻进行比较，要求相对应的时间成比例。

S t=t m t p

式中：

S t——时间相似常数。

6.边界条件相似

要求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条件（支承条件、约束条件和边界上的受力情况等）保持相似。

7.初始条件相似－动力问题

要求模型与原型在初始时刻的运动参数相似。初始几何位置、质点的位移、速度和加速度。模型上的速度、加速度和原型的速度和加速度在对应的位置和对应的时刻保持一定的比例，并且运动方向一致。

二、结构相似定理

1.第一相似定理

彼此相似的现象，以相似常数组成的受现象制约的相似指标等于1或相同文字组成的相似准数为一不变量，就是用已知系统相似来确定相似条件。

以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质。

对于原型：

F p=m p a p（式2.1）

对于模型：

F m=m m a m（式2.2）

如果模型与原型相似，则各对应物理量成比例：

力相似常数：

F m=S F F p（式2.3）

质量相似常数：

m m=S m m p（式2.4）加速度相似常数：

a m=S a a p（式2.5）

由式2.1、式2.2、式2.3、式2.4、式2.5得：

S F

S m S a

·F p=m p a p（式2.6）

S F

S m S a

=1（式2.7）式2.6和2.7为判别模型与原型是否相似的条件，称为相似指标，若两个物理系统现象相似，则它们的相似指标为1。

由式2.3、式2.4、式2.5、式2.6、式2.7得：

F p m p a p =F m

m m a m

=idem（式2.8）

称这一无量纲量为相似准数，也称相似判决，相似系统相似准数相同，去掉角标，写成一般形式：