相似理论与模型试验例题集

（1） （2）
[ξ ] = [L];⎡⎣t0 −ty ⎤⎦ = [D]; [t0 −tD ] = [D]
式中 L—长度；T—时间; D—温度；Q—热量。
④把各物理量纲代入π项式，列出因次 （量纲）等价式（3）
[π] =[D]k [T]b ⎡⎣L2T−1⎤⎦c [L]d ⎡⎣QT−1L−1D−1⎤⎦e ⎡⎣QL−3⎤⎦f [L]g [D]h [D]i [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] π = D T L Q k−e+h+i b−c−e 2c+d−e−3f +g e+f
相似理论与模拟实验例题
例1 静态应力模型 这是一个弹性模型，可求解静态应力问题。 a、 求导准则 平衡方程： ∂σ x + ∂τ yx + ∂τ zx + X = 0
∂x ∂y ∂z
∂τ xy + ∂σ y + ∂τ zy + Y = 0
∂x ∂y ∂z
∂τ xz + ∂τ yz + ∂σ z + Z = 0
Cl2 = 1 Cτ Ca
④将（3）式代入（5）式得
x2
( x ' )2
τ a =1
τ ' a'
经整理得 τ a = τ 'a' = π 。
( ) x2
x' 2
（5）
（1）式中有4个参数（n=4）。基本量
[L];[T];[D] (k=3),则准则数为n-k=4-3=1个。
导出之准则称傅里叶（J.Fourier）准则，记
型，故有：
CE= Cσ=Cp=CR=1 ；Cμ=1；Cρ=1
(2)
式中 CR为强度相似常数；
Cμ为钢筋配筋率相似常数；
Cρ为钢纤维体积率的相似常数。
在这种情况下，只要确定适当的几何相似常 数就可以了。
试验得到的模型强度就等于结构强度。
例3、一钢桥跨度10m，最大集中荷重为10t，现 用一个1m长，几何形状与钢桥相似之梁作试验， 求桥的应力。
复合结构，要使模型和原型各组成部分应力变形严格
相似，必须要使加载变形前后结构模型与原型始终保
持几何相似，故有Cl= Cδ，即Cε=1，因此，上述应力 变形相似条件可写为：
Cp/ Cσ=1；CE Cε/ Cσ=1；Cv=1
（1）
为了使模型的破坏荷载和破坏形态与原结构完全
相似，不但要满足上述弹性状态下应力应变相似，而
则可写出以下函数式
( ) ϕ⎡⎣t、τ、a、x、λ、δ、ξ、t0 −ty 、(t0 −tD)⎤⎦=0
②写出π项式
( ) ( ) π = tkτbacxdλeδ fξ g t0 −ty h t0 −tD i
③列出各参数的基本因次
[t] = [D];[τ ] = [T ]; [a] = ⎡⎣L2T −1⎤⎦ ;[x] = [L]; [λ ] = ⎡⎣QT L −1 −1D−1 ⎤⎦ ;[δ ] = ⎡⎣QL−3 ⎤⎦ ;
= P'
2
则
（7）
p
σ σ'
=
⎛
p' L ⎞2
⎜⎝ L ' ⎟⎠
即 Cσ
= CP Cl2
（8）
因
C得E：=
1, CE
CP
=
=
Cσ ，则Cσ
Cl2
=1
。代入（1）式
钢桥长10m,模型长1m，则Cl
= 10 1
=10
。
CP =
P P'
= Cl2
= 102
= 100
P' = P 100
（9）
原钢桥上集中荷载。则模型对应处应力荷载
模型试验相似指标为： 由几何方程得：Cε Cl /Cδ=1； 由边界方程得：Cp/Cσ=1； 由物理方程得：CECε/Cσ=1，Cv = 1 。 其中：Cl为几何相似常数；
Cp为荷载（面力）相似常数；
CE为弹性模量相似常数； Cδ为位移相似常数； Cε为应变相似常数； Cσ为应力相似常数； Cv为泊松比相似常数。 钢筋钢纤维高强混凝土结构是由三种材料组成的
解 假设应力σ 与荷载P，长度L和材料弹性模量E
有关。则可写出方程
f (σ , P, L, E ) = 0
将（1）式转换成准则方程
f
⎛ ⎜⎝
σ
K M2
, PK, LM , E
K M2
⎞ ⎟⎠
=
0
令：
LM = 1 PK = 1 即
M K
= =
1 L 1 P
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
（1） （2）
（3）
将（3）式代入（2）式得：
= 5×2 = 20
1 2
γ ' = 2γ ，故可在石膏中
这就是说，不是 cε 非取1不可，在小变形范围内
，可取cε ≤ 8
对于相似材料试验，如果：
Cl=20，Cr=1/2，CE=2，Cu=1
则有：Cε=CrCl/CE=5
Cδ= CεCl=5*20=100 但对C于x− =大1多0 数结构试验，采用严格相似，则
d2 y' dl ' 2
= Kq'
l'
2
（2）
式中符号同（1）。
②写出单值条件的相似常数式：
CE
=
E E'
; CI
=
J⎫
J
'
⎪ ⎪
Cy
=
y y'
; Cl
=
l l'
⎪ ⎬ ⎪
Cq
=
q q'
⎪ ⎪ ⎭
③将（3）式代入（1）式得：
( ) ( ) CE E'CJ J '
Cyd2 y' Cl 2 dl ' 2
= =
t t' ; a a'
Cτ ; Cl
=τ τ'
=x x'
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
③将（3）式代入（1）式得：
( ) Ct∂t'
Cτ ∂τ '
= Caa'
Ct∂2t ' Cl 2 ∂x'
2
即
( ) Cl2
Cτ Ca
∂t '
∂τ '
= a'
∂ 2t ' ∂x' 2
（3） （4）
比较（4）式和（2）式得：
cε =1，这时不考虑自重应力场，上部荷载采用施
加边界面力模拟。
例2 对钢筋钢纤维高强混凝土梁或柱的强度特性 （极限承载力）试验研究。
由于钢筋钢纤维高强混凝土结构的强度高，几何 尺寸大，不易进行原型的破坏性试验，可采用缩尺结 构模型。
根据试验目的，此类试验不但要搞清加载过程中 结构截面上的应力分布情况，而且还要测量模型的破 坏荷载。所以，模型设计不但要满足应力、变形的相 似条件，而且还要满足强度相似条件。根据相似理论 和弹性力学的基本方程，采用方程分析法，可推导出 其静力模型相似指标为：
X'
=0
对于平衡方程：
cσ cγ cL
(
∂σ ' x
∂x '
+
∂τ
' yx
∂y '
+
∂τ
' zx
∂z '
)
+
X'
=0
相似指标：ccγ σcL = 1
,相似准则π1=
σ γL
=
σ' γ ' L'
①
由几何方程： c ε .c L = 1 ， л2= εL
②
cδ
δ
由物理方程： cε c E = 1
cσ
,л3=
CE=
E E'
=2
，由
cσ cγ cL
=1
得： cγ
=
cσ cL
=
2 = 1 =γ 20 10 γ '
即 γ ' = 10γ （石膏的混合料比岩石大10倍，很难，
找不到这种材料。）
为此：取cε ≠1而是 cε =5，cσ = cε .cE = 5 * 2 = 10
加铁则屑即cγ 可= c。cELcε
f
⎛ ⎜
⎜⎜σ
⎜ ⎝
⎛ ⎜⎝
1
P 1 ⎞2 L ⎟⎠
,
P
1 P
,L
1 L
,
E
⎛ ⎜⎝
1
P 1 ⎞2 L ⎟⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
0
f
⎛ σ L2
⎜ ⎝
P
,1,1,
E L2 P
⎞ ⎟ ⎠
=
0
（4）
由(4)式得到两个准则：
π1
=
σ L2
P
π2
=
EL2 P
①当试验模型的材料与钢桥材料相同（即E相同）
为：
F0
=
τa
x2
例6、求在半无限平面的不稳定导热的准则方程。
解： ①罗列参数，写出现象的函数式。
已知在半无限平面不稳定导热问题的影响参
数有：
温度 t ；时间 τ ；导温系数a ；
几何量 x ；导热系数 λ ；
结冰时单位体积潜热δ ；
冻结壁面位置ξ ；初始温度 t0；
冻结温度 tD ；冷源温度 t y 。
且还要满足以下强度相似条件：
强度相似条件： (a) 模型与原型的材料，在加载全过程中应 力应变曲线相似；
(b) 结构各部分材料的强度相似； (c) 结构破坏的强度准则相似。
显而易见，要完全满足上述相似条件，模型材料