相似理论与结构模型试验
模型试验
2.2.4.时间相似
对结构的动力问题，在随时间变化的过程 中，要求结构模型和原型在对应的时刻进行比 较，要求相对应的时间成比例。虽然不直接采 用St时间相似常数，但速度，加速度等物理量 都与时间有关，按相似要求它们在模型与原型 中应成比例。
2.2.5.边界条件和初始条件
在材料力学和弹性力学中，常用微分方程 描述结构的变形和内力，边界条件和初始条件 是求微分方程的必要条件。原型与模型采用相 同组微分方程和边界条件及初始条件描述。
3、模型设计
•
1 1 ~ 200 50 1 1 ~ 30 10
1 25
1 1 ~ 100 50
1 1 ~ 20 4 1 1 ~ 20 4 1 1 ~ 10 4
1 25
1 400
1 1 ~ 300 50
1 75
3、模型设计
模型尺寸不准确是引起模型误差的主要原因之 一。模型尺寸的允许误差范围和原结构的允许误 差范围一样，为5%，但由于模型的几何尺寸小， 允许制作偏差的绝对值就较小，在制作模型时对 其尺寸应倍加注意。 模板对模型尺寸有重要的影响，制作模型板 的材料应体积稳定，不随温度、湿度而变化。有 机玻璃是较好的模板材料，为了降低费用，也可 用表面覆有塑料的木材做模型，型铝也是常用的 模板材料，它和有机玻璃配合使用相当方便。
（三）体力加载 在结构模型试验中，体力是一项重要的荷载 ，它是指结构、基础结构及其地基岩土的自重。
5、模型制作与加载方法
通常施加体力的方法有： ①、用分散集中载荷代替自重 ②、用面力代替体力的方法 ③、选高容重、低强度模型材料。 （四）预应力加载 对于预应力钢筋砼或其它预应力结构，预应力 产生的载荷在模型在施加的方法一般有两种。一 是采用锚头和张拉设备；另一种方法是施加外载 ，但应在弹性范围内。
相似理论
相似理论相似理论，是说明自然界和工程中各相似现象相似原理的学说。
是研究自然现象中个性与共性，或特殊与一般的关系以及内部矛盾与外部条件之间的关系的理论。
在结构模型试验研究中，只有模型和原型保持相似，才能由模型试验结果推算出原型结构的相应结果。
1特点编辑相似理论主要应用于指导模型试验，确定“模型”与“原型”的相似程度、等级等。
随着计算机技术的不断进步，相似理论不但成为物理模型试验的理论而继续存在，而且进一步扩充其应用范围和领域，成为计算机“仿真”等领域的指导性理论之一。
随着“相似”概念日益扩大，相似理论有从自然科学领域扩展到包括经济、社会科学以及思维科学和认知哲学领域的趋势。
相似理论从现象发生和发展的内部规律性(数理方程)和外部条件(定解条件)出发，以这些数理方程所固有的在量纲上的齐次性以及数理方程的正确性不受测量单位制选择的影响等为大前提，通过线性变换等数学演绎手段而得到了自己的结论。
相似理论的特点是高度的抽象性与宽广的应用性相结合，相似理论的内容并不多，甚至不被当作一个单独的学科。
相似理论是试验的理论，用以指导试验的根本布局问题，它为模拟试验提供指导，尺度的缩小或放太，参数的提高或降低，介质性能的改变等，目的在于以最低的成本和在最短的运转周期内摸清所研究模型的内部规律性。
相似理论在现代科技中的最主要价值在于它指导模型试验上。
尽管相似理论本身是一个比较严密的数理逻辑体系，但是，一旦进入实际的应用课题，在很多情况下，不可能是很精确的。
因为相似理论所处理的问题通常是极其复杂的。
2理论基础编辑相似理论中的三个定理赖以存在的基础为：(1)现象相似的定义；(2)自然界中存在的现象所涉及到的各物理量的变化受制于主宰这种现象的各个客观规律，它们不能任意变化；(3)现象中所涉及的各物理量的大小是客观存在的，与所采用的测量单位无关。
3相关概念编辑(1)相似及相似常数如果原型和模型相对应的各点及在时间上对应的各瞬间的一切物理量成比例，则两个系统相似。
大型结构试验模型相似理论分析与推导-xieshen
~rn =
i =l
! miS 2 + CiS
ri! ni !
以得到 C!= C ~ 。 由前面得出的相似判据 " 、5 、 可得： " l " 7
C ~RI =
l = C! I Cl C E
（ l4 ）
ri! ni ! ， 所以有： 2 - mi#
（#"# ， 因此可将（ 式简化为 ~rn = 3 ）模态质量。由于模型桥的频率比较低 l3 ） i ）
!
性模量和密度的要求较严格， 需要满足的条件是 C E／ （CgCP）= Cl 。因实桥和模型桥处于同一重力场 中， 故有： Cg = 1 ，
C E／ CP = Cl
联立相似判据 K 由式 （ 7） 2 得：
（ 7） （ 8）
CG = ! C E／ Cl ／ CP 由以上相似判据可得动力学理想模型的相似常数：
［ ］ 型的尺寸， 并把结构的轴向刚度和弯曲刚度即 EA 、 EI 和E W 作为复合物理量来确定相似关系 2 。 ! ." 静力相似准则的确定
本模型作为弹性模型设计， 首先需确定相似常数 （包括几何相似常数 C L 和弹性模量相似常数C E ） ， 通过量纲分析的方 而其它的物理量相似常数都是 C L 和C E 的函数。对于其它的物理量的相似常数， 法， 可以得到：
a L F O E
LT 2 L F LT -1 FL -2
量纲矩阵为：
a
b d
c W
0 0 -1
d
e
f a
g l
0 1 0
h F
1 0 0
l O
0 1 -1
m E
1 -2 0
F L T
《相似理论与模型试验》知识点
1、常用的解决物理问题（包括工程力学问题）的方法有：直接试验法、连续试验法、试验设计法（多因素法）、量纲分析法、解析法、数值分析法、模拟试验法（模型试验法）2、三个关于模型的概念：数学模型：描述所研究现象的固有形状和单值条件的物理变量之间的数学关系式（通常是微分方程）。
计算模型：建立在数学模型及其变换基础上的，可直接用于数值计算的代数方程组。
物理模型：将所研究对象根据相似理论的原则按比例制成的物体或系统。
而被研究的对象则称为模型的“原型”。
物理模拟是指基本现象相同情况下的模拟，这时模型与原型的所有物理量相同、物理本质一致。
数学模拟是指存在于不同类型现象之间的模拟，它们的对应量都遵循同样的方程式。
3、模型试验的定义及其作用：模型试验是按一定的几何、物理关系，用模型代替原型进行测试研究，并将研究成果用于原型的试验方法。
作用：（1）对复杂的、尚未或难以建立准确数学模型的结构的力学行为进行研究，为设计或施工方案提供参考和依据，直接服务于工程目的；（2）为建立新的理论或计算（数学）模型提供依据；（3）检验新的理论或计算（数学）模型的正确性或实用性。
意义：（1）模型试验作为一种研究手段，可以严格控制试验对象的主要参数而不受外界和自然条件的限制；（2）模型试验有利于在复杂的试验过程中突出主要矛盾，便于把握、发现现象的内在联系；（3）它制造容易，装拆方便，试验人员少；（4）它能预测尚未建造出来的实物对象或根本不能进行直接研究的实物对象的性能。
4、模型试验的优点与局限：优点：（1）可以严格控制试验对象的主要参数而不受外界环境的影响；（2）可以突出主要因素而略去次要因素，便于改变因素和进行重复试验，有利于验证或校核新的理论；（3）与直接试验相比可节省人力、物力和时间；（4）对于某些正在设计的结构，可用模型试验来比较设计方案并校核该方案的合理性；（5）当所研究的对象尚难或难以建立数学模型时，模型试验可能是最重要的研究手段。
相似理论与模型试验
如
：
1 s=v0t+ 2
g t 2 [L]
但对于非完全方程如P=0.013H(重液公式)则 不成立。
2.6 量纲分析 基本量纲为: [L][M][T]
例1、现在研究一个动力学问题，即m、t、v、F间相 系，简写为：
F=f(m,t，v) F=k.ma . tb.vc
Lc
[F]=k[MaTb
T
c
]
①
[F]=[M.L.T-2 ] ②
两式量纲相同：a=1,
a 1
b-c=-2 c=1
mv
所以 F=kmt-1v=k(
b
1
c 1
) k Ft
——牛顿准则。
t
mv
互关
例2：均布荷载作用下简支梁的跨中挠度。
[解] y=f(q，EI，L) 基本量纲：[F] [L] 静力学问题，与时间无关。 [y]=[L] y=k qa(EI)b.Lc [L]=k[FaL-a.(FbL-2b.L4b).Lc]
L
（2）
t c t t
（1）式实际上可用于描述彼此相似的两个现象。这
时第一现象质点的运动方程为：
v dL dt
（3）
第二现象质点运动方程为：
v dL （4）
dt
将式（2）代入式（4），亦即在基本微分方程中对参 数作相似变换，
v v
1
3.1.3 运动相似
时间相似:
ct
t1 t1'
t2 t2'
t3 t3'
时间相似常数
cL
s s'
（距离相似）
则速度相似常数:
cv
cL ct
研究动力学还有质量相似：c m
相似理论与结构模型试验
一、相似理论与结构模型试验相似理论主要应用于指导模型试验，确定“模型”与“原型”的相似程度、等级等。
随着计算机技术的进步，相似理论不但成为物理模型试验的理论而继续存在，而且进一步扩大应用范围和领域，成为计算机“仿真”等领域指导性理论。
相似理论是说明自然界和工程中各相似现象相似原理的学说。
在结构模型试验研究中，只有模型和原型保持相似，才能由模型试验结果推算出原型结构的相应结果。
结构模型中的“相似”主要是指原型结构和模型结构的主要物理量相同或成比例。
常需要满足的相似条件有：几何相似、质量相似、荷载相似、物理相似、时间相似和边界初始条件相似。
1.几何相似模型与原结构之间所对应部分的尺寸成比例，模型比例即为几何相似常数。
S l=l ml p =b mb p=ℎmℎp式中：S l——几何相似常数；l、b、ℎ——结构的长、宽、高三个方向的线性尺寸；m、p——分别代表模型和原型。
对一矩形截面，模型和原型结构的面积相似常数、截面抵抗矩相似常数和惯性矩相似常数分别为：S A=A mA p =ℎm·b mℎp·b p=S l2式中：S A——面积相似常数。
S w=W mW p =16b m·ℎm216b p·ℎp2=S l3式中：S w——截面抵抗矩相似常数。
S I=I mI p =112b m·ℎm3112b p·ℎp3=S l4式中：S I——惯性矩相似常数相似常数。
2.质量相似要求模型与原型结构对应部分质量成比例，质量之比称为质量相似常数。
S m=m mm p式中：S m——质量相似常数。
对于具有分布质量部分，用质量密度ρ表示。
Sρ=S mS V =S mS l3式中：Sρ——质量密度相似常数。
3.荷载相似要求模型与原型在各对应点所受的荷载方向一致，大小成比例。
S p=P mP p =A m·σmA p·σp=Sσ·S l2式中：S p——集中荷载相似常数。
相似理论与模型试验
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7
④ 模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不 能直接研究的实物对象的性能。 ⑤当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了 现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。 目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工 程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛的应用 前景。
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2
但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性， 在于它常常只能得出个别量之间的规律性关系，难以发现或抓 住现象的全部本质，从而无法向实验条件范围以外的同类现象 推广。 但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自然规律研究 的全新理论——“相似理论”，便应运而生了。它是把数学解 析法和试验法的优点结合起来，用来研究和解决生产和工程中 的问题。这是科学研究的主要方法之一，也是解决生产和工程 问题的一种有效方法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。
相似理论与模型实验
授课对象：研究生 授课教师：严仁军 二О一四年十月
引 言
1.人们对自然规律的不倦探索
在古代，人们以初等数学为工具从量的方面来探索自然界 的规律性。但初等数学以研究常量为主，只能研究事物在静 止状态下的规律性，这就大大限制了它在客观世界中被利用 的范围。 高等数学的出现，是人们认识客观世界的一个飞跃，也是 探索自然规律的一种有力工具。但自然界的现象毕竟是错综 复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或 根本无法解决，于是逼使人们不得不走直接实验的道路。
8
一、物理模拟和数学模拟
物理模拟——是指基本现象相同情况下的模拟。 这时模型与原型的所有物理量相同，物理本质一致。 区别只在于各物理量的大小比例不同。因此，物理模拟也可说 成是保持物理本质一致的模拟。 （两个现象物理量及其性质相同，只有大小不同）。
相似原理与模化实验
1 6 226.8 10 80.64 pa 800 11.25
（3） 说明：以空气为介质作模型：由Re相等，则
m lp 30 p lm
m 180m / s
此时空气压缩性不能忽视，故不能用空气作介质，
则用水质后，
m 11.25m / s
5.3相似定理
三个定理回答了三个问题：
1.实验研究必须测量哪些量→相似第一定理 2.如何做到模型与原型相似→相似第三定理 3.如何对测量结果进行加工整理→相似第二定理
5.3相似定理
5.3相似定理
5.3相似定理
例：
总结： ⒈相似第一定理是对相似性质的总概括，阐明了 相似现象中各物理量之间存在一定关系。 ⒉对于复杂的现象，常存在几个相似准数。 例：对不可压缩粘性流体的不稳定等温流动共有 四个： t H0 均时性准数： 不稳定流体流动必与 t 有关。 l l Re 雷诺准数： 与粘性有关的流动，惯性力/粘性力 付鲁德准数： Fr
b 1 c 1 0 ab vd 1 1 v k d , k
1 b
Re
vd
5.4量纲分析和π定理
5.4.2.2 布金汉（Buckingham）定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为函数 关系， f(a1,a2, …an)=0 而这些变量含有m个基本量纲，可把这n个变量转换成为有 (n-m)=i个无量纲量的函数关系式 F(1,2, … n-m)=0 这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中 的变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物 理现象的内在关系。
or 其中：
1 f（ 2， 3 n）
1 ——非定性准数 2 n ——定性准数
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B
保证模拟的要求
A要 求
保证制作方便
E
D
保证材料徐变变 小要求
4、模型材料的选择
模型材料的选择，要根据模型试验的目的来正 确选择。如果模型试验的目的在于研究弹性阶段 的应力状态，则模型材料应尽可能与一般弹性理 论的基本假定一致，即均质、各向同性、应力与 应变呈线性关系和固定不变的泊松比。模型材料 可以与原型材料不同，常用的有金属、塑料、有 机玻璃、石膏等。 如果模型试验的目的在于研究结构的全部特性 ，包括超载以致破坏时的特征，此时通常采用与 原型极相似甚至完全相同的材料。
p 导出量纲可与基本量纲组合，但基本量纲之间 不能组成无量纲组合。 p 若方程中有x1,x2,„,xn等物理参数，和k个基 本量纲，则可组成（n-k）个独立的无量纲组 合，如： f（x1,x2,„,xn）=0 按相似第二定理，上式可写成 ø（π1，π2,„πn-k）=0
2.5.3量纲关系小结
根据量纲关系，可以证明两相似的物理过 程的相对应的π数必然相等，仅仅是相应各物 理量间数值大小不同。这就是量纲分析求相似 条件的依据。
相似判据
单值条件
相似误差
2.3.1.相似指标
两个系统中的相似常数之间的关系式为相 似指标。以牛顿第二定律说明如下： 原型：Fp=mpdvp/dtp 模型：Fm=mmdvm/dtm
3.1.0
相似常数引入：
Fm=SFFp,mm=Smmp,vm=Svvp,tm=Sttp
3.1.1
将相似常数代入后得
FmSmSv/(SFSt)=mmdvm/dtm 3.1.2
1.2.模型试验原则
1
2
严格按照相似理论进行设 1 计，要求模型和原型尺寸 的几何相似并保持一定的 比例
3
要求模型和原型的材料相似 或具有某种相似关系
遵循 原则
4
要求施加于模型的荷载 按原型荷载的某一比例 缩小或放大
要求确定模型结构试验过程中各 参与的物理量的相似常数，并由 此求得反映相似模型整个物理过 程的相似条件
2.4.3.相似第三定理
现象的单值条件相似，且有单值条件导出 的相似判据相等的现象彼此相似。 第一第二定理是以现象相似为前提的情况 下，确定了相似现象的性质，给出了相似现象 的必要条件。第三相似定理补充了前两个定理 ，明确了只要单值条件和由此导出的相似判据 相等，即可使现象相似。
2.5.量纲分析
与模型3.1.0式：Fm=mmdvm/dtm 比较，并由 于模型与原型相似得 SmSv/(SFSt)=1 3.1.3
2.3.2.相似判据
又称为相似准则或相似准数，由物理量组成的无量 量纲。 如将式3.1.1代入3.1.3得：
Fptp/(mpvp)=Fmtm/(mmvm)
这即表示了一个相似判据。当模型和原型各物理量 满足上式时，两个系统相似。在相似定理中习惯用π表 示相似判据，即
4、模型材料的选择
4.3 常用结构模型试验材料
a 金属 金属的力学特性大多符合弹性理论的基本假定 ， 如果原型结构为金属结构且对测量值的准确度有 严格要求时，则它是最适宜的模型材料，最常见 的是钢和铝。 最近，铝合金材料用得较多，因为它有较低的E 和良好的导热性。
4、模型材料的选择
b 塑料 有双氧树脂、聚乙烯和有机玻璃等。 和钢材、砼、石膏相比较，其优点是强度高而 弹模低（约是金的0.1～0.02倍），便于加工。 缺点是徐变大、E随温度、时间而变化。 塑料被大量地用来制作板、壳、框架、桥梁以 及形状复杂的结构模型，其中有机玻璃和环氧树 脂用得最多。（光弹模型材料）。
1.3.模型试验特点
经济性好
特点
针对性强 数据准确
1.4.模型试验适用范围
适用范围
1
代替大型结构试验或作为大型结构 试验的辅助试验 作为结构分析计算的辅助手段
2
3
验证和发展结构计算理论
1.5.模型试验过程
模型设计
模型试验
分析总结
模型制作
模型测试
2.模型试验理论基础
自然界中自相似现象
几何相似
2.5.1量纲的基本概念
基本量纲
长度L 时间T 无量纲[1]表示
liT
量纲
导出量纲
速度
冲量
功率
量纲，又成因次。说明测量 物理量时所采用的单位性质。
2.5.2量纲的相互关系
p 两个物理量相等，指其数值和量纲都相同 p 连个同量纲参数的比值是无量纲参数，其比值 不随所取单位的大小而改变 p 均衡性，一完整的物理方程式中各量纲相同， 同名单位制相同，才可进行加减并用等号联系 起来。
3、模型设计
3.2 模型几何尺寸的确定
确定几何尺寸是关键的一步，主要应考虑： a、 模型的尺寸大小要适中，可行，对于与 结构物相互作用问题，应考虑影响范围。 b、 测量手段，应考虑传感器的大小和精确 度要求。当传感器精度不够时应加大模型尺寸。 c、 试验待求量应方便、可以实施 因此，设计时应综合考虑模型类型、制作条件 及试验等，才能确定出一个最优的几何尺寸。
相似理论与模型试验
谭潇 刘良坤
L/O/G/O
目录
1
2 3 4 5
模型试验简介
模型试验理论基础
模型设计 模型材料的选择 模型加载方法
1.1.模型试验简介
由于受试验规模、试验场所、设备容量 和试验经费等各种条件的限制，结构试验 绝大多数的试验对象都是采用结构模型。 它是按照原型的整体、部件或构件复制的 试验代表物，而且较多的还是采用缩小比 例的模型试验。
π=Fptp/(mpvp)=Fmtm/(mmvm)=不变量
2.3.3.单值条件
决定一个物理现象基本特性的条件。单值 条件是该物理现象从其他众多物理现象中区分 出来。属于单值条件的因素有： 系统几何特性 材料特性 对系统有重大影响的物理参数 系统初始状态 边界条件等
Ø Ø Ø Ø Ø
2.3.4.相似误差
3、模型设计
•
1 1 ~ 200 50
1 25
1 1 ~ 30 10
1 1 ~ 20 4 1 1 ~ 20 4 1 1 ~ 10 4 1 75
1 1 ~ 100 50
1 25 1 400
1 1 ~ 300 50
3、模型设计
模型尺寸不准确是引起模型误差的主要原因之一 。模型尺寸的允许误差范围和原结构的允许误差 范围一样，为5%，但由于模型的几何尺寸小，允 许制作偏差的绝对值就较小，在制作模型时对其 尺寸应倍加注意。 模板对模型尺寸有重要的影响，制作模型板的材 料应体积稳定，不随温度、湿度而变化。有机玻 璃是较好的模板材料，为了降低费用，也可用表 面覆有塑料的木材做模型，型铝也是常用的模板 材料，它和有机玻璃配合使用相当方便。
3、模型设计
选择适当的模型制作材料
确定相似准数
模型设 计 程序
确定模型几何尺寸（几何相似常数） 确定其他相似常数 绘出模型施工图
3、模型设计
3.1 模型的类型分类
如按模型试验研究范围可分为：弹性模型试验 、强度模型试验。 如按试验模拟的程度分类：断面模型试验（平 面），半整体模型，整体模型试验。 如按试验加载方法分类：静力结构模型试验， 动力结构模型试验，等等。
Ft/(mv)=π=不变量 即原型与模型的π相同，两个系统相似
2.4.2第二相似定理
某一现象各物理量间的关系方程式，都可 以表示为相似判据之间的函数关系。 描述物理现象的函数关系式一般方程可写成 f（x1,x2,„,xn）=0 按相似第二定理，上式可写成 ø（π1，π2,„πn-m）=0 也就是说可以用此定理将物理方程转换为 像是判据方程，这个无量纲的π关系式可推广 到与其相似的原型结构。
SA=Am/Ap=bmhm/bphp=S2l SW=Wm/Wp=(bmh2m/6)/(bph2p/6)=S3l SI=Im/Ip=(bmh3m/12)/(bph3p/12)=S4l
其中SA、Sw、SI分别为有几何相似常数导出 的面积比，截面抵抗矩比和惯性矩比。
2.2.2.质量相似
在结构动力问题分析中要求结构的质量分 布相似，即模型与原模型结构对应部分的质量 成比例 Sm=mm/mp或Sp=ρm/ρp 质量是密度与体积的乘积： Sp=ρm vmvp/(ρpvpvm)=Sm/S3l 可见，在给定几何常数后，密度相似常数 可以由质量相似常数导出。
2.2.3.荷载相似
模型与原型在各对应点所受的荷载方向一 致，荷载大小成比例。集中荷载与力的量纲相 同，而力又可以用应力与面积乘积表示则集中 荷载相似常数表示如下： Sp=pm/pp=Amðm/(Apðp)=S2lSð
其中Sð为应力相似常数。当Sð=1表示模型 结构的应力和原型相同，上式可写为Sp=S2l。
2.2.6.1 边界条件
原型与模型在外界接触的区域内各种条件 保持相似。如支撑条件、约束情况、边界受力 等相似。
2.2.6.2 初始条件
对动力问题，为保证模型和原型的动力反 应相似，还要求初始时刻的运动参数相似，如 初始几何位置，质点位移、速度、和加速度等 。
2.3.基本概念
相似原理基本概念
相似指标
4、模型材料的选择
4.1 模型材料选择的意义 准确的了解材料的性质及其对试验结果的 影响，是成功地完成模型试验的先决条件 。可以用来制作模型的材料很多，但是没 有绝对理想的材料。因此，正确地了解材 料性质及其对试验结果的影响，对于顺利 完成模型试验往往具有决定性意义。
4、模型材料的选择
保证量测的要求
相似要求
基本概念 相似原理 量纲分析
2.5
2.1.相似的含义
在结构模型中的“相似”主要是指原型结构和模 型结构的主要物理量相同或成比例。
2.2.相似要求
在相似系统中，各物理量之比称为相似常数， 相似系数或相似比。以下为与结构性能有关的主要 物理量相似常数。