初中数学三角函数综合练习题集
三角函数综合练习题
一．选择题（共10 小题）
1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ ABC的正切值是（）
A． 2 B． C ．D．
2．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙ A上，BD是⊙ A的一条弦，则sin ∠OBD= （）
A． B ．C．D．
3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠ A=35°，则直角边BC的长是（）
A．msin35 ° B ．mcos35° C．D．
4．如图，△ ABC中AB=AC=4，∠ C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）
A． B ．C．D．
5．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠ B=36°，则中柱AD（D 为底边中点）的长是（）
A．5sin36 °米B．5cos36 °米C．5tan36 °米D．10tan36 °米
6．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA 与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度 1 米，则地毯的面积至少需要（）
A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tan θ）米 2 7．如图，热气球的探测器显示，从热气球
A处看一栋楼顶部 B 处的仰角为30°，看这栋楼
底部C处的俯角为60°，热气球 A 处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A．160m B．120m C．300m D．160m 8．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达 B 处，在 B 处测得建筑物
顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）
A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m
9．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点 A 处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13 米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1 ：2.4 ，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36 °≈0.59 ，cos36 °≈0.81 ，tan36 °≈0.73 ）（）
A．8.1 米B．17.2 米C．19.7 米D．25.5 米
10．如图是一个3× 2 的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的 2 倍，△ ABC的顶点都是网格中的格点，则cos ∠ABC的值是（）
A． B ．C．D．
二．解答题（共13 小题）11．计算：（﹣）0+（）﹣1﹣|tan45 °﹣|
12．计算：．
13．计算：
2
sin45 °+cos 30°﹣+2sin60 °
14．计算：cos 245°﹣+cot °．
15．计算：sin45 °+sin60 °﹣2tan45
16．计算：
22
cos 245°+tan60 °?cos30°﹣3cot 260°．
17．如图，某办公楼AB的后面有筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶 A 在地面上的影子F 与墙角C有25 米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB 的高度；
（2）若要在A， E 之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．
18．某国发生 8.1 级强烈地震， 我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图， 某探 测对在地面 A 、B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别 是 25°和 60°，且 AB=4米，求该生命迹象所在位置 C 的深度．（结果精确到 1 米，参考数 据： sin25 °≈ 0.4 ，cos25 °≈ 0.9 ， tan25 °≈0.5 ，≈ 1.7 ）
AB=800米， BC=200米，坡角∠ BAF=30°，∠ CBE=45°．
1）求 AB 段山坡的高度 EF ； 2）求山峰的高度 CF ．（1.414 ，CF 结果精确到米）
20．如图所示，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60°，沿山坡向上走到 P 处再测得 C 的仰角为 45°，已知 OA=200米，山坡坡度为（即 tan ∠PAB=），且 O ，A ，B 在同 一条直线上， 求电视塔 OC 的高度以及此人所在的位置点 P 的垂直高度．（侧倾器的高度忽略 不计，结果保留根号）
参考数据： sin22 cos22 °， tan22 )
19．如图，为测量一座山峰 CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为 AB 和 BC 两段，每一段山
坡近似是“直”的，测得坡长
21．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1 ：的斜坡DB前进30 米到达点B，在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53 °≈0.8 ，cos53 °≈0.6 ，tan53 °≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
22．如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端 A 的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C 两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈ 1.414 ，≈ 1.732 ）
根据图示尺寸计算 AC 和 AB 的长度（精确到 0.1 米，≈1.41 ，23．某型号飞机的机翼形状如
图， ≈）．
2016 年12 月23 日三角函数综合练习题初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题）
1．（2016?）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ ABC 的
正切值是（）
A． 2 B． C ．D．
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【解答】解：如图：，
由勾股定理，得
AC=，AB=2，BC=，
∴△ ABC为直角三角形，
∴tan ∠ B==，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．
2．（2016?）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙ A上，BD是⊙ A的一条弦，则sin ∠OBD=（）
A． B ．C．D．
【分析】连接CD，可得出∠ OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin ∠ OBD即可．【解答】解：∵ D（0，3），C（4，0），
∴OD=3，OC=4，
∵∠ COD=9°0 ，
∴CD==5，
连接CD，如图所示：
∵∠ OBD=∠OCD，
∴sin ∠ OBD=sin∠ OCD=．=
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
3．（2016?）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠ A=35°，则直角边BC的长是（
）
A．msin35 ° B ．mcos35° C．D．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边 c 的比叫做∠ A的正弦可得答案．【解答】解：sin ∠A=，
∵AB=m，∠ A=35°，
∴BC=msin35°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．
4．（2016?）如图，△ ABC中AB=AC=4，∠ C=72°，D是AB中点，点E在AC上，
DE⊥AB，则cosA 的值为（）
A． B ．C．D．
【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形角和定理得出∠EBC=36°，∠ BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△ BCE∽△ ABC，根据相似三角形的性质列出比例式=，求出AE，然后在△
ADE中利用余弦函数定义求出cosA 的值．
【解答】解：∵△ ABC中，AB=AC=4，∠ C=72°，
∴∠ ABC=∠C=72°，∠ A=36°，
∵D 是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ ABE=∠A=36°，
∴∠ EBC=∠ABC﹣∠ ABE=36°，
∠BEC=180°﹣∠ EBC﹣∠ C=72°，
∴∠ BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC．
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．
在△ BCE与△ ABC中，
∴△ BCE∽△ ABC，
∴ =，即=，
解得x=﹣2±2（负值舍去），
∴AE=﹣2+2．
在△ ADE中，∵∠ ADE=90°，
∴cosA===．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ ABC是解题的关键．
5．（2016?）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠ B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）
A．5sin36 °米B．5cos36 °米C．5tan36 °米D．10tan36 °米
【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠ B 的正切进行计算即可得到AD的长度．
【解答】解：∵ AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，
∴DC=BD=5米，
在Rt △ ADC中，∠ B=36°，
∴tan36 °=，即AD=BD?tan36 ° =5tan36 °（米）．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
6．（2016?）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度 1 米，则地毯的面积至少需要
（）
A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tan θ）米2
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC?tan θ =4tan θ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），
2
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tan θ）=4+4tan θ（米2）；故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．
7．（2016?）如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部 C 处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）
A．160m B．120m C．300m D．160m
【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠ BAD=30°，∠ CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠ BAD=30°，∠ CAD=60°，AD=120m，
在Rt△ABD中，BD=AD?tan30 °=120×=40（m），
在Rt△ACD中，CD=AD?tan60 °=120×=120（m），
∴BC=BD+CD=16（0 m）．
故选A．
【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．
8．（2016?）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上 A 处测得建筑物顶端M的仰角为
30°，向N点方向前进16m到达B处，在 B 处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）
A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m
【分析】设MN=xm，由题意可知△ BMN是等腰直角三角形，所以BN=MN=，x 则AN=16+x，在
Rt△ AMN中，利用30°角的正切列式求出x 的值．
【解答】解：设MN=xm，
在Rt △ BMN中，∵∠ MBN=45°，
∴BN=MN=，x
在Rt△AMN中，tan ∠ MAN=，
∴tan30 ° ==，
解得：x=8（+1），
则建筑物MN的高度等于8（+1）m；
故选A．
【点评】本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角或俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角；并与三角函数相结合求边的长．
9．（2016?）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点 A 处测
得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13 米至坡顶 B 处，然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1 ：2.4 ，
那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36 °≈0.59 ，cos36 °≈0.81 ，tan36 °≈0.73 （）
）
A．8.1 米B．17.2 米C．19.7 米D．25.5 米
【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x 米，则AF=2.4 米，在Rt△ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，
由三角函数求出CE，即可得出结果．
【解答】解：作BF⊥ AE于F，如图所示：
则FE=BD=6米，DE=BF，
∵斜面AB的坡度i=1 ： 2.4 ，
∴AF=2.4BF，
设BF=x 米，则AF=2.4x 米，
在Rt △ ABF中，由勾股定理得：x2+（ 2.4x ）2=132，
解得：x=5，
∴DE=BF=5米，AF=12 米，
∴AE=AF+FE=18米，
在Rt△ACE中，CE=AE?tan36 °=18×0.73=13.14 米，
∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣ 5 米≈8.1 米；
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
10．（2016?模拟）如图是一个3× 2 的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的 2 倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos ∠ABC的值是（）
A． B ．C．D．
【分析】根据题意可得∠ D=90°，AD=3× 1=3，BD=2×2=4，然后由勾股定理求得AB的长，又由余弦的定义，即可求得答案．
【解答】解：如图，∵由 6 块长为2、宽为 1 的长方形，
∴∠ D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，
∴在Rt △ ABD中，AB==5，
∴cos ∠ ABC==．
故选D．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想
的应用．
二．解答题（共13 小题）
11．（2016?模拟）计算：（﹣）0+（）﹣1﹣|tan45 °﹣|
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=1+3×﹣︳1﹣︳
=1+2﹣+1
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的
关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
12．（2016?顺义区二模）计算：．
【分析】要根据负指数，绝对值的性质和三角函数值进行计算．注意：（）﹣1=3，|1 ﹣|=
﹣1，cos45°=．
【解答】解：原式===2．
【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练
掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0 数的0 次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．
13．（2016?天门模拟）计算：sin45 ° +cos230°﹣+2sin60 °．
【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式=?+（）2﹣+2×
=+﹣+
=1+．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
14．（2016?黄浦区一模）计算：cos 245°﹣+cot 230°．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：原式=（）2﹣+（）2
=﹣+3
点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．15．（2016?校级模拟）计算：sin45 ° +sin60 °﹣2tan45
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算．
【解
答】
解：原式=× +2×﹣2×1
=+3﹣2
【点
评】
本题考查了特殊角的三角函数值．特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30 °=；cos30 °=；tan30 °=；
sin45 °=；cos45 ° =；tan45 ° =1；
sin60 °=；cos60 ° =；tan60 ° =．
22
16．（2016?虹口区一模）计算：cos 245°+tan60 °?cos30 °﹣3cot 260°
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解
答】解：原式=（）2+×﹣3×（）2
=1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
17．（2016?）如图，某办公楼AB的后面有筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶 A 在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB 的高度；
（2）若要在A， E 之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．
（参考数据：sin22 °≈，cos22 °，tan22 ）
【分析】（1）首先构造直角三角形△ AEM，利用tan22 °=，求出即可；
（2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可
【解答】解：（1）如图，
过点 E 作EM⊥ AB，垂足为M．设AB 为x．
Rt△ABF中，∠ AFB=45°，
∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，
在Rt△AEM中，∠ AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，
tan22 ° =，
则=，
解得：x=20．
即教学楼的高20m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=4．5
在Rt△AME中，cos22°=．
∴AE=，
即A、E 之间的距离约为48m
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22 ° =是解题关键18．（2016?）某国发生8.1 级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B 两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到 1 米，
参考数sin25 °≈0.4 ，cos25°≈0.9 ，tan25 °≈0.5 ，≈ 1.7 )
【分析】过 C 点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt △ ADC得到AD=2CD=2，x
在Rt △BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．
【解答】解：作CD⊥ AB交AB延长线于D，
设CD=x 米．
在Rt △ ADC中，∠ DAC=25°，
所以tan25 °==0.5 ，
所以AD==2x．
Rt△ BDC中，∠ DBC=60°，
由tan 60 ° ==，
解得：x≈3．
即生命迹象所在位置C的深度约为 3 米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．（2016?）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为A B和BC两段，每
一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠ BAF=30°，∠
CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（1.414 ，CF结果精确到米）
【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而
得到EF 的长；
（2）先在Rt △ CBE中利用∠ CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF 的和即可．
【解答】解：（1）作BH⊥ AF于H，如图，
在Rt△ABF中，∵ sin ∠ BAH=，
∴BH=800?sin30 ° =400，∴EF=BH=400m；
（2）在Rt△ CBE中，∵ sin ∠CBE=，∴CE=200?sin45 ° =100≈141.4 ，
∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．
答：AB段山坡高度为400 米，山CF的高度约为541 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=1 ：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i 与坡角α之间的关系为：i
═ tan α．
20．（2016?）如图所示，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上
走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan ∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P 的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
【分析】在直角△ AOC中，利用三角函数即可求解；在图中共有三个直角三角形，即RT△ AOC、RT△ PCF、RT△ PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO=200米，∠ CAO=60°，
∴CO=AO?tan60 ° =200（米）
（2）设PE=x米，
∵tan ∠ PAB==，
∴AE=3x．
在Rt △ PCF中，
∠CPF=45°，CF=200﹣x，PF=OA+AE=200+3，x
∵PF=CF，
∴200+3x=200 ﹣x ，
解得x=50（﹣1）米．
答：电视塔OC的高度是200 米，所在位置点P的铅直高度是50（﹣1）米．
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及坡度坡角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．（2016?）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底 C 处60 米的点D（点D与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1 ：的斜坡DB前进30 米到达点B，在点 B 处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53 °≈0.8 ，cos53°≈0.6 ，tan53 ° ≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．
【解答】解：如图作BN⊥ CD于N，BM⊥AC于M．
在RT△BDN中，BD=30，BN：ND=1：，
∴BN=15，DN=15，
∵∠ C=∠ CMB∠= CNB=90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴ CM=BM=1，5 BM=CN=6﹣0 15=45，
在RT△ABM中，tan ∠ ABM==，
∴AM=60，
∴AC=AM+CM=15+6．0
【点评】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．
22．（2016?）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼D E，在小楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C 两点间的距离（结果精确到
0.1m）（参考数据：≈1.414 ，≈ 1.732 ）
【分析】如图，过点 D 作DF⊥AB于点F，过点 C 作CH⊥DF于点H．通过解直角△ AFD 得到DF的长度；通过解直角△ DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点 C 作CH⊥DF于点H．
则DE=BF=CH=10，m
在直角△ ADF中，∵ AF=80m﹣10m=70m，∠ ADF=45°，
∴DF=AF=70m．
在直角△ CDE中，∵ DE=10m，∠ DCE=30°，
∴CE===10（m），
∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32 ≈52.7 （m）．
答：障碍物B，C 两点间的距离约为52.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23．（2016?模拟）某型号飞机的机翼形状如图，根据图示尺寸计算
AC和AB的长度（精确到0.1 米，≈1.41 ，≈ 1.73 ）．
【分析】在Rt△ CAE中，∠ ACE=45°，则△ ACE是等腰直角三角形即可求得AC的长；在Rt △BFD中已知∠ BDF与FB 的长，进而得出AB的长．
【解答】解：在Rt△ CAE中，∠ ACE=45°，
∴ AE=CE=5（m），
∴AC=CE=5≈5× 1.414 ≈7.1 （m），
在Rt △ BFD中，∠ BDF=30°，
∴BF=FD?tan30 °
=5×
≈5×≈ 2.89 （m），
∵DC=EF=3.4（m），
∴AF=1.6m，则AB=2.89 ﹣ 1.6=1.29 ≈1.3 （m），
答：AC约为7.1 米，BA约为 1.3 米．
【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
三角函数基础练习题-及答案
三角函数基础练习题 一、 选择题： 1. 下列各式中,不正确．．．的是 （ ） (A)cos(―α―π)=―cos α (B)sin(α―2π)=―sin α (C)tan(5π―2α)=―tan2α (D)sin(k π+α)=(―1)k sin α (k ∈Z) 3． y=sin )2 33 2(π+x x ∈R 是 （ ） (A)奇函数 (B)偶函数 (C)在[(2k ―1)π, 2k π] k ∈Z 为增函数 (D)减函数 4．函数y=3sin(2x ―3 π)的图象，可看作是把函数y=3sin2x 的图象作以下哪 个 平移得到 （ ） (A)向左平移3 π (B)向右平移3 π (C)向左平移6 π (D)向右平移6 π 5．在△ABC 中，cosAcosB ＞sinAsinB ，则△ABC 为 （ ） (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)无法判定 6．α为第三象限角, 1 sec tan 2tan 1cos 1 2 2 -+ +ααα α化简的结果为 （ ） (A)3 (B)－3 (C)1 (D)－1 7．已知cos2θ= 3 2 ，则sin 4θ+cos 4θ的值为 （ ） (A)18 13 (B)18 11 (C)9 7 (D)－1 8． 已知sin θcos θ=8 1且4 π＜θ＜2 π，则cos θ－sin θ的值为 （ ） (A)－ 2 3 (B)43 (C) 2 3 (D)±4 3
9． △ABC 中，∠C=90°，则函数y=sin 2A+2sinB 的值的情况 （ ） (A)有最大值，无最小值 (B)无最大值，有最小值 (C)有最大值且有最小值 (D)无最大值且无最小值 10、关于函数f(x)=4sin(2x+3 π), (x ∈R )有下列命题 （1）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数 (2) y=f(x)可改写为y=4cos(2x －6 π) (3)y= f(x)的图象关于(－6 π，0)对称 (4) y= f(x)的图象关于直线x=－6 π 对称其中真命题的个数序号为 （ ） (A) (1)(4) (B) (2)(3)(4) (C) (2)(3) (D) (3) 11．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=2 6，则a 、b 、c 大小 关系（ ） (A)a ＜b ＜c (B)b ＜a ＜c (C)c ＜b ＜a (D)a ＜c ＜b 12. 若 sinx ＜ 2 1 ，则x 的取值范围为 （ ） (A)(2k π，2k π+6 π)∪(2k π+6 5π，2k π+π) (B) (2k π+6 π，2k π+6 5π) (C) (2k π+6 5π，2k π+6 π) (D) (2k π－67π，2k π+6 π ) 以上k ∈Z 二、 填空题： 13．一个扇形的面积是1cm 2，它的周长为4cm, 则其中心角弧度数为______。 14．已知sin α+cos β=3 1，sin β－cos α=2 1，则sin(α－β)=__________。
三角函数综合练习题
三角函数综合 1、若点P 在 3 2π 的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2、已知=- =-ααααcos sin ,4 5 cos sin 则（ ） A ． 47 B ．169- C ．32 9 - D ． 32 9 3、下列函数中，最小正周期为2 π 的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)3 2tan(π -=x y C ． ) 6 2cos(π +=x y D ．)6 4tan(π +=x y 4、等于则)2cos(),,0(,3 1 cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．9 7 5、若α是三角形的内角，且2 1 sin =α，则α等于（ ） A ． 30 B ． 30或 150 C ． 60 D ． 120或 60 6、下列函数中，最小值为－1的是（ ） A ．1sin 2-=x y B ．cos 1y x =- C ． x y sin 21-= D ．x y cos 2+= 7、设)4 tan(,41)4tan(,52)tan(π απββα+=-= +则的值是（ ） A ． 1813 B ． 22 13 C ． 22 3 D ．6 1 8、 300cos 的值是( ) A ． 2 1 B ．2 1- C ． 2 3 D ．2 3- 9、将函数x y 4sin =的图象向左平移 12 π 个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12 π - B ．3 π- C ． 3 π D ． 12 π 10、 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ． 3 3 C ．3 3- D ．3- 11、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++等于( ) A ．)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin 12、若θθθ则,0cos sin >在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四 象限 13、函数是x x y 2cos 2sin 2=( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为4π的奇函数 D 周期为4 π的偶函数 14、设m M 和分别表示函数1cos 3 1 -= x y 的最大值和最小值，则等于m M +
高中三角函数典型例题(教用)
【典型例题】： 1、已知2tan =x ，求x x cos ,sin 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又1cos sin 22=+a a ， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=???????==x x x x 2、求) 330cos()150sin()690tan() 480sin()210cos()120tan(οοοοοο----的值。 解：原式) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o ο οοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3、若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求x x cos sin 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=- 得到x x cos 3sin -=，又1cos sin 22=+a a ，联立方程组，解得 ，，??? ??? ?=-=???????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =10 3 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-， 所以2 2)cos (sin 4)cos (sin x x x x +=-，所以x x x x cos sin 84cos sin 21+=-，
三角函数能力提高训练题含答案
三角函数 能力提高训练 2017.12 选择题 1．若π04α<< 0，则（ ） Ａ．sin 2sin αα> Ｂ．cos 2cos αα< Ｃ．tan 2tan αα> Ｄ．cot 2cot αα< 答案：Ｂ 2．函数s i n ()y A a x b =+的 图象与函数cos()y A ax b =+的图像在区间π(0)m m a a ??+>???? ，（ ） Ａ．可能没有交点 Ｂ．一定有两个交点 Ｃ．至少有一个交点 Ｄ．只有一个交点 答案：Ｃ 3．在ABC △，cos 2cos 2A B <是A B >的（ ） Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件 答案：Ｃ 填空题 4．函数23sin cos 3cos 2y x x x =+- 的最小正周期是 ． 答案：4π 5．函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是 ． 答案：12 +6．关于函数π()4sin 23f x x ? ?=+ ??? ()x ∈R ，有下列命题： ①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍； ②()y f x =的表达式可改写为π4cos 26y x ? ?=- ??? ； ③()y f x =的图象关于点π06??- ???，对称； ④()y f x =的图像关于直线π6x =- 对称． 其中正确命题的序号是 ． 答案：②③ 解答题
7．已知22sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，且αβ，为锐角，求证：π22 αβ+=． 解：223sin 12sin cos2αββ=-= 又3sin 22sin 2αβ= 2sin 22cos 2tan 2sin sin ααβαα ∴= = tan 2cot βα∴= 1tan tan tan 2tan tan(2)1 1tan tan 21tan tan ααβααβαβαα +++==--无意义 π02α<< ，π02 β<<，02πβ<< 3π022αβ∴<+< π22αβ∴+=． 8．已知tan α，tan β是方程2 410x x --=的两个根，求22sin ()4sin 2()6cos ()αβαβαβ+-+++的值． 解：由已知：tan tan 4αβ+=且tan tan 1αβ=- tan()2αβ∴+=． 原式2222sin ()8sin()cos()6cos ()sin ()cos () αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++ 22tan ()8tan()6tan ()1 αβαβαβ+-++=++ 65 =- 9．在ABC △中，求222sin sin sin 222A B C ++的最小值，并指出取最小值时，ABC △的形状，并说明理由． 解：设2 22sin sin sin 222A B C y =++ 31(cos cos cos )22A B C =-++ 312cos cos cos()2222A B A B A B +-??=--+???? 2312cos cos 2cos 122222A B A B A B +-+??=--+ ???
高中三角函数综合题及答案
三角函数习题 1．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>u r r 且m n ?u r r 的最大值是5,求k 的值 2．在ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向 量 (2sin ,m B =r ,2cos 2,2cos 12B n B ??=- ???r ,且//m n r r ? (I)求锐角B 的大小; (II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值 3．已知??? ? ??-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x ππ=,x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间? (2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3 4,0[∈x 时,)(x g y =的最大值? 4．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =?+ (I)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式3()2 f x ≥成立的x 的取值集合? 5 ．已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，． （1）求)(x f 的最大值和最小值； （2）2)(<-m x f 在ππ42x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围．
6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+ (I)求角A; (II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值? 7．在锐角ABC ?中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ． (1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小； (2)已知向量m ρ＝(sinA ，cosA)，n ρ＝(cosB ，sinB)，求｜3m ρ－2n ρ｜的取值范围． 三角函数习题答案 1.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵01,∴t =1时,m n ?u r r 取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k = 2 3. ? 2.【解析】:(1) //m n r r 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B
高中数学基础知识典型例题4——三角函数
高中数学基础知识典型例题4——三角函数
数学基础知识与典型例题 第四章三角函数 三 角 函 数 相 关 知 识 关 系 表 角的概念1.①与α（0°≤α<360°）终边相 同的角的集合 （角α与角β的终边重 合）:{}Z k k∈ + ? =, 360 |α β β ; ②终边在x轴上的角的集 合:{}Z k k∈ ? =, 180 | β β; ③终边在y轴上的角的集合： {}Z k k∈ + ? =, 90 180 | β β; ④终边在坐标轴上的角的集 合：{}Z k k∈ ? =, 90 | β β. 2. 角度与弧度的互换关系： 360°=2π180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数， 例1.已知2弧度的圆心 角所对的弦长为2,那么 这个圆心角所对的弧长 为( ) ()2 A ()sin2 B 2 () sin1 C ()2sin1 D 例 2. 已知α为第三象 限角,则 2 α 所在的象限 是( ) (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限 负角的弧度数为负数，零角的 弧度数为零,熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下，扇形弧长公式 1 2 r α =，扇形面积公 式2 11 || 22 S R Rα ==，其中α为弧所对圆心角的弧 度数。 三 角 函 数 的 定 义 1.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角 形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边 上任取一点(,) P x y（与原点不重合），记 22 || r OP x y ==+， 则sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=。 注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由 角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量, 以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即 2 kπ αα ±→或 90 2 k αα ±→ 之间函数值关系() k Z ∈，其规律是“奇变偶不变， 符号看象限”；如sin(270) α -=cosα - ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商 数关系. ⑶重视用定义解题. ⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各 种三角函数值的一种图示方法.如单位圆 例 3.已知角α的终边经 过P(4,-3),求 2sinα+cosα的值. 例 4.若α是第三象限 角,且cos cos 22 θθ =-, 则 2 θ 是( ) ()A第一象限角 ()B第二象限角 () C第三象限角 () D第四象限角 例5. 若cos0, θ>sin20, θ< 且
高中数学必修4三角函数综合测试题
必修4三角函数综合测试题及答案详解 一、选择题 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π 6的值为( ) A ．0 B.3 3 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ 2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π 2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π 2 5．若sin ? ???? π2－x ＝－32，且π 7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ? ?? ?? x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θ sin θ＋2cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.54 9．函数f (x )＝tan x 1＋cos x 的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 三角函数大题综合训练 1.已知函数 ()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 2.设函数f (x )=cos(2x + 3 π)+sin 2 x .（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A ,B ,C 为?ABC 的三个内角，若cos B =31， 1 ()24 c f =-，且C 为锐角，求sin A . 3.已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω?ω?π++>>∈的形式， 并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,]12 f x π π在上的最大值和最小值 4.已知函数 ()2sin cos 442x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ? ?=+ ?? ?，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 5.已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在 区间[,]122 ππ-上的值域 6.设2()6cos 2f x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；Ⅱ）若锐角α 满足 ()3f α=-4 tan 5 α的值． 7.已知0α βπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且m =·a b ．求22cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 8.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2()π2－x 满足f ()－π3＝f (0)．求函数f (x )在[] π4，11π 24上的最大值和最小值． 学科: 数学任课教师：黄老师授课时间：2013年3月日(星期) 1 :00-1 :00 姓名年级：教学课题三角函数典型例题剖析与规律总结 阶段 基础（√）提高（）强化（）课时计划共次课第次课 课前 检查作业完成情况：__________________ 建议_________________________________________________________ 教学过程一：函数的定义域问题 1.求函数1 sin 2+ =x y的定义域。 分析：要求1 sin 2+ = y的定义域，只需求满足0 1 sin 2≥ + x的x集合，即只需求出满足 2 1 sin- ≥ x的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk2()Z k∈即可。 解：由题意知需0 1 sin 2≥ + x，也即需 2 1 sin- ≥ x①在一周期? ? ? ?? ? - 2 3 , 2 π π 上符合①的角为? ? ? ?? ? - 6 7 , 6 π π ,由此 可得到函数的定义域为? ? ? ?? ? + - 6 7 2, 6 2 π π π πk k()Z k∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1 ,0 log≠ > =a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。求下列函数的值域 （1）x y2 sin 2 3- =（2）2 sin 2 cos2- + =x y x 分析：利用1 cos≤ x与1 sin≤ x进行求解。 解：（1） 1 2 sin 1≤ ≤ -x∴[]5,1 5 1∈ ∴ ≤ ≤y y （2） ()[].0,4 ,1 sin 1 1 sin 1 sin 2 sin 2 sin 22 2 2 cos- ∈ ∴ ≤ ≤ - - - = - + - = - + =y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13 A =。 (Ⅰ)求A B A C ； (Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。 设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值。 已知函数2 ()2cos 2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值 设函数()3sin 6f x x πω?? =+ ?? ? ，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以 2 π 为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知9 4125f απ??+= ?? ?，求sin α的值． 已知函数2 ()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。 (II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。 在ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且 2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状。 (17)（本小题满分12分） 已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π， （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π?? ???? 上的最小值. 在?ABC 中， cos cos AC B AB C = 。 （Ⅰ）证明B=C ： （Ⅱ）若cos A =-13，求sin 4B 3π? ?+ ?? ?的值。 ABC 中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B = ，3 cos 5 ADC ∠=，求AD 。 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且222333b c a +-=. 三角函数大题综合训练 1.已知函数 ()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 2.设函数f (x )=cos(2x + 3 π)+sin 2 x .（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A ,B ,C 为?ABC 的三个内角，若cos B =31，1()24c f =-， 且C 为锐角，求sin A . [ 3.已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω?ω?π++>>∈的形式， 并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,]12 f x π π在上的最大值和最小值 ! 4.已知函数 ()2sin cos 442x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ? ?=+ ??? ，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 5.已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在 区间[,]122 ππ-上的值域 ; 6.设2()6cos 2f x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；Ⅱ）若锐角α 满足 ()3f α=-4 tan 5 α的值． 7.已知0α βπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且m =·a b ．求22cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． ) ） 8.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2????π2－x 满足f ????－π3＝f (0)．求函数f (x )在??? ?π4，11π 24上的最大值和最小值． 【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】 三角函数的诱导公式 【知识点1诱导公式】 【知识点2诱导公式的记忆】 诱导公式一: sin(α+2kπ) = Sin a , cos(α + 2kπ) = COSα, taιι(α + 2kπ) = xana ,其中 k ∈Z 诱导公式二: sin(∕r + G) = -Sin a, cos(∕r+α) =—COSα, tan(∕r+α) = tana,其中keZ 诱导公式三: sin(-a) =-Sina, cos(-a) = COSa , tan(-a) = -taιιa ,其中k ∈Z 诱导公式四: cos(∕F -a) = -cosa, taιι(^?-a) = -tana,其中k ∈Z 诱导公式五: Sin π ——a 2 COS π ——a 2 = Sina ,其中R ∈Z 诱导公式六: Sin π —+a 2 COS —+a =-sinα ,其中k ∈Z U 丿 记忆11诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角k-90 ±a(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数 时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视Q 为锐角 时原函数值的符号. 【考点1利用诱导公式求值】 【方法点拨】对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化 过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完 成求值. 【例1】(2018秋?道里区校级期末)已知点P(l,l)在角Q 的终边上，求下列各式的值. T 、 COS (Λ^ + α)sin(^? - a) (I )------------------------------------- ； tan(∕r + α) + sin 2 (彳-a) sin(- + α)cos(- 一 a) (II) 、 2 、——召—— cos^ a - sm^ a + tan(;T - a) 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得smα, cosα, Sna 的值，再利用诱导公式即可求得要 求式子的值. 【答案】解：?.?角α终边上有一点P(l,l), .x = l , y = l , r =|OP I= √7, Sill CL = — = _ , COS Ct = — = — , tan Ct — -- = It r 2 r 2 X ([) cos(∕r + α)sin(%-α) 、 -、，兀 、 tan(^? + α) + sιn^ (― 一 a) ./3∕r 3π ([[)SInq-+Q )COS (T _Q ) _ (γosα)(-smα) cos 2 a - sin 2 a + tan(∕r - a) cos 2a - sin 2a 一 tan a 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思 想，属于基础题. 【变式1-1】 (2019春?龙潭区校级月考)己知tan(^+ ?) = -!,求下列各式的值: -COSa ?smα ton a + cos 2(x 三角函数大题压轴题练习 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ -上的值域 解：（1） ()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ =-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x = ++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x = ++- 1cos 22cos 222 x x x = +- s i n (2) 6 x π =- 2T 2 π π= =周期∴ 由2(),()6 2 23 k x k k Z x k Z π π ππ π- =+ ∈= +∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3 x k k Z π π=+ ∈ （2） 5[,],2[,]122636 x x ππ πππ ∈- ∴-∈- 因为()sin(2)6 f x x π =- 在区间[,]123ππ- 上单调递增，在区间[,]32 ππ 上单调 递减， 所以 当3 x π= 时，()f x 取最大值 1 又 1()()12 222f f π π- =- <=，当12 x π =-时，()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域为[ 2．已知函数2 π()sin sin 2f x x x x ωωω?? =+ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03 ?????? ，上的取值范围． 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以 2π π2ω =，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?． 因为2π03 x ≤≤， 所以ππ7π2666 x --≤≤， 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤， 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤，即()f x 的取值范围为302?????? ，． 3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1 2sin()1,sin().662 A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6 6 3 A A π π π - = = （Ⅱ） 由（Ⅰ）知1 cos ,2 A = 所以2 2 1 3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2 2 f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3 2 . 当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-???? ， 2019 年高考三角函数大题专项练习集（一） 1. 在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90 °，∠A=45 °，AB=2 ，BD=5． （1）求cos∠ADB ； （2）若DC = 2 2 ，求BC． 2. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知c=2 且ccosA+bcosC=b. （1）判断△ ABC 的形状； （2）若C= ，求△ABC 的面积. 6 3. 在△ ABC 中，角A, B,C 的对边分别为a, b, c ，且2a b cosC c cosB . （1）求角C 的大小； （2）若c 2 ，△ABC 的面积为 3 ，求该三角形的周长. 4. ABC 的内角 （1）求C ； A, B,C 的对边分别为a,b, c .已知 a b sin A csin C bsin B ．（2）若ABC 的周长为 6 ，求ABC 的面积的最大值． 5. ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ,已解 a b sin( A B) （1）求角A； c b sin A sin B （2）若a 3 ，c b1，求b 和c 的值 6. 已知函数 f x sin x cos x 3 cos2 x ．2 2 2 （1）求 f x 的最小正周期； （2）求 f x 在区间,0 上的最大值和最小值． 7. 在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，且3a cos C2b 3c cos A . （1）求角 A 的大小； （2）若a=2，求△ ABC 面积的最大值. 2 8. 在锐角 △ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ， BC 边上的中线 AD m ，且满足 a 2 2bc 4m 2 . （1） 求 BAC 的大小； （2） 若 a 2，求 ABC 的周长的取值范围 . 9. 已知a (1 cosx,2 sin x ), b 2 (1 cosx,2 cos x ) . 2 （1） 若 f ( x) 2 sin x 1 a b ,求 4 f ( x) 的表达式； （2） 若函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的图象关于原点对称，求函数 g( x) 的解析式； （3） 若 h( x) g( x) f ( x) 1 在 , 上是增函数，求实数 的取值范围 . 2 2 10. 已知 a ( 3 sin x, m cos x) ， b (cos x, m cos x) , 且 f ( x) a b （1） 求函数 f (x) 的解析式 ; （2） 当 x x 的值 . , 时, 6 3 f ( x) 的最小值是－ 4 , 求此时函数 f ( x) 的最大值 , 并求出相应的 11. △ABC 的内角为 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 a b c ． （1） 求 sin A B sin Acos A cos A B 的最大值； cos C sin B sin B cos C （2） 若 b 2 ，当 △ABC 的面积最大时， △ ABC 的周长； 12. 如图 ,某大型景区有两条直线型观光路线 AE ， AF , EAF 120 ,点 D 位于 EAF 的 平分线上，且与顶点 A 相距 1 公里 .现准备过点 D 安装一直线型隔离网 BC ( B, C 分别在 AE 和 AF 上)，围出三角形区域 ABC ，且 AB 和 AC 都不超过 5 公里 .设 AB x ， AC y (单位：公里 ). （1） 求 x, y 的关系式； （2） 景区需要对两个三角形区域 ABD ， ACD 进行绿化 .经 测算， ABD 区城每平方公里的绿化费用是 ACD 区域的两 倍，试确定 x, y 的值 ,使得所需的总费用最少 . 三角函数的易错点以及典型例题与真题 1.三角公式记住了吗两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。 万能公式： (1) (sinα)2 +(cosα)2 =1 (2)1+(tanα)2=(secα)2 (3)1+(cotα)2=(cscα)2 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （证明：利用A+B=π-C ） 同理可得证,当x+y+z=n π(n ∈Z)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论： (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA ）2+(cosB ）2+(cosC ）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA ）2+（sinB ）2+（sinC ）2=2+2cosAcosBcosC (9)设tan(A/2)=t sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z） 2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗正切函数在整个定义域内是否为单调函数你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗 3.在三角中，你知道1等于什么吗（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+= ABC 的面积是30，内角A, B, C所对边长分别为 12 a, b, c ，cos A。 uuur uuur 13 ( Ⅰ ) 求ABgAC； ( Ⅱ ) 若c b 1，求 a 的值。 设函数 f x sin x cosx x 1 , 0 x 2，求函数 f x 的单调区间与极值。 已知函数 f ( x) 2cos 2x sin 2 x （Ⅰ）求 f () 的值； 3 （Ⅱ）求 f ( x) 的最大值和最小值 设函数 f x3sin x，＞0 ， x,，且以为最小正周期． 62 （ 1）求f0；（2）求f x 的解析式；（3）已知f 129 ，求 sin的值． 45 已知函数 f ( x) sin 2x2sin 2 x （ I ）求函数 f (x) 的最小正周期。 (II)求函数 f ( x) 的最大值及 f (x) 取最大值时x 的集合。 在 VABC 中， a、b、c 分别为内角A、B、C 的对边，且 2a sin A (2b c)sin B (2c b)sin C （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 sin B sin C 1，是判断 VABC 的形状。 (17)（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) sin(x)cos x cos2x （0）的最小正周期为，（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）将函数 y f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 ，纵坐标不变，得到2 函数 y g ( x) 的图像，求函数y g( x) 在区间 0, 16 上的最小值 . 在 ABC中，AC cos B 。AB cosC （Ⅰ）证明 B=C： （Ⅱ）若 cosA =-1 ，求 sin 4B的值。 33 53 VABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD 33 ， sin B，cos ADC，求AD。 135 设△ ABC的内角 A、 B、 C 的对边长分别为a、 b、 c，且3b23c23a2 4 2bc . 三角函数专项训练 1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B． （1）证明a2+b2﹣c2＝ab； （2）求角C和边c． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值． 3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣． （1）求cos2α的值； （2）求tan（α﹣β）的值． 4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB； （2）若DC＝2，求BC． 5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值． 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2） （Ⅰ）求cos A的值； （Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值 7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值． 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝ ． （Ⅰ）求b和sin A的值； （Ⅱ）求sin（2A+）的值． 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C； （2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长． 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B； （2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b． 11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x． （I）求f（x）的最小正周期； （II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣． 12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]． （1）若，求x的值； （2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a． （1）求sin C的值； （2）若a＝7，求△ABC的面积． 14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B； （2）若cos B＝，求cos C的值． 16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．三角函数大题综合训练
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