三角函数实际应用题答案解析版本

三角函数的实际应用

知识：

直角三角形中其他重要概念

⑴ 仰角与俯角： 在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的叫做仰角， 在水平线

方的叫做俯角．如图⑴． ⑵ 坡角与坡度： 坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 （或叫做坡比） ，用字母表 示为 i h ，坡面与水平面的夹角记作 ，叫做坡角，则 i h tan ．坡度越大，坡 ll 面就越陡．如图⑵．

⑶ 方向角（或方位角） ：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 为

起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东 西）××度 . 如图⑶．

2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：

⑴ 分析题意， 根据已知条件画出它的平面或截面示意图， 分清仰角、 俯角、 坡角、 坡

度、 水平距离、垂直距离等概念的意义；

⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线， 把

它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； ⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；

⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算， 检验是否符合实际， 并按题目要求的精

确度取近似值，注明单位

三角函数

0° 30 °

45°

60°

90 ° sin

0 1

2 3 1 2

2 2

cos

1 3

2 2 2

1 2

0 tan 0 3 3

1 3

- cot

-

3

1

3 3

典型例题

类型一 .所求线段由两段和差组成。

例题 1. （2018成都） 由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于 2018年 5月成 功完成第一次海上试验任务 . 如图，航母由西向东航行，到达 A 处时，测得小岛 C 位于它的 北

偏东70 方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛C 位于它的北偏东37 方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D 处，求还需航行的距离BD的

长. （参考数据：sin700.94 ，cos70 0.34，tan70 2.75 ，sin37 0.6 ，

cos37 0.80，tan370.75)

. 解：由题

知：ACD 70 ，BCD 37

，AC80.

在Rt ACD 中，c os ACD CD

CD

，∴0.34 ，∴

CD27.2( 海里）.

AC80

在Rt BCD 中，t an BCD BD BD

，∴0.75 ，

BD20.4（海里）.

CD27.2

答：还需要航行的距离BD的长为20.4 海里.

变式 1. 为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏上方增加隔音屏．如图，工程人员在高架上的车道M 处测得某居民楼顶的仰角∠ ABC 的度数是20°，仪器BM 的高是0.8m，点M 到护栏的距离MD 的长为11m，求需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离ED 的长（结果保留到0.1m，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°

≈0.94，tan20°≈0.36)

解：由题意： CD ＝BM ＝ 0.8m ， BC ＝MD ＝11m ， 在 Rt △ECB 中， EC ＝BC?tan20°＝ 11×0.36≈3.96（m ）， ∴ED ＝ CD+EC ＝3.96+0.8≈4.8（m ）， 答：需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离

2.如图，登山缆车从点 A 出发，途径点 B 后到达终点 C 。其中 AB 段与 BC 段的运行路程为

200m ，且 AB 段的运行路线与水平面的夹角为 30 ， BC 段的运行路线与水平面的夹角为 42 ，求缆车从点 A 运行到点 C 的垂直上升的距离。 （参考数据： sin42 0.67 ， cos42 0.74， tan42 0.90 ）

3.（成华二诊）如图，大楼沿右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼

DE ，在小楼的

顶端D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30 ，测得大楼顶端 A 的仰角为 45（点 B,C,E 在 同一水平直线上） 。已知 AB 80m ， DE 10m ，求障碍物 B,C 两点间的距离。 （结果精 确到 0.1m ，参考数据： 2 1.414， 3 1.732 ）

解：如图，过点 D 作 DF ⊥AB 于点 F ，过点 C 作 CH ⊥DF 于点 H ． 则 DE ＝BF ＝CH ＝10m ，

在直角△ ADF 中，∵ AF ＝80m ﹣10m ＝70m ，∠ADF ＝45°，

ED 的长

4.8m

答案： 234 米

∴DF＝AF＝70m．

在直角△ CDE 中，∵ DE ＝10m，∠ DCE ＝30°，

CE＝

∴BC＝BE﹣CE＝70﹣10 ≈70﹣17.32≈52.7（m）．

答：障碍物B，C 两点间的距离约为52.7m．

类型二：辅助线技巧

例题1（2017 成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行。如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60 方向行驶 4 千米至B地，再沿北偏东45 方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求

B,C 两地的距离。

解：过B作BD⊥AC 于点D．

=2（千米），

在Rt△ABD 中，AD=AB?cos∠BAD=4cos60°=4

BD=AB?sin∠BAD=4 × =2 （千米），

∵△BCD 中，∠ CBD=4°5 ，

∴△BCD 是等腰直角三角形，

∴ CD=BD=2 （千米），

∴ BC= BD=2 （千米）．答：B，C 两地的距离是 2 千米．