(完整word版)函数解析式的七种求法.docx

一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是

y ＝f（x），不能把它写成 f （x，y）＝0；

2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；

3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出 y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；

（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f （x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x 代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去 f（－x）（或 f（1/x））即可求出 f（x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出 y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

4、对复合函数 y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由 y＝f （u）求出 u 的范围，即 g（x）的范围，再从中解出

x的范围 I1；再由 g（x）求出 y＝g（x）的定义域 I2，I1和 I2的交集即为复合函数的定义域；

5、分段函数的定义域是各个区间的并集；

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述

结论时分别说明；

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；

（三）求函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；

2、在函数 f：A→B中，集合 B 未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为 C，则 C 是 B 的子集；若 C＝B，

那么该函数作为映射我们称为“满射”；

3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；

5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结

函数解析式的七种求法

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例 1 设f (x)是一次函数，且f [ f ( x)] 4x 3 ，求f (x)

解：设 f ( x) ax b(a 0) ，则

f [ f ( x)] af ( x) b a(ax b) b a2 x ab b

a 2 4 a 2 或

a 2

ab b

3

b

1 b

3

f (x) 2x 1

或f ( x)

2x 3

二、

配凑法：已知复合函数 f [ g( x)] 的表达式，求 f (x) 的解析式， f [g(x)] 的表达式容易配成 g( x) 的

运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g( x) 的值域。

例 2 已知 f (x

1 ) x

2 1 (x

0) ，求 f ( x) 的解析式

x

x 2

解：

f ( x

1

) ( x 1 ) 2 2 ， x

1

2

x x x

f ( x)

x 2

2

( x 2)

三、换元法：已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时，还可以用换元法求 f (x) 的解析式。与配凑法一样，要注意

所换元的定义域的变化。

例 3 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f ( x 1)

解：令 t

x 1，则 t

1 ， x (t

1) 2

f ( x 1)

x 2 x

f (t ) (t 1) 2 2(t 1) t 2

1,

f (x)

x 2

1 (x 1)

f (x 1) ( x 1) 2 1 x 2

2x ( x 0)

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例 4 已知：函数 y

x 2

x 与 y g (x) 的图象关于点 ( 2,3) 对称，求 g( x) 的解析式 解：设 M ( x, y) 为 y

g (x) 上任一点，且 M ( x , y ) 为 M (x, y) 关于点 ( 2,3) 的对称点

x

x 2 x x 4

2

则

y

，解得：

6 ，

y 3

y

y

2

点 M ( x , y ) 在 y g ( x) 上

y

x 2

x

x x 4 代入得：

把

6 y y

6 y

( x

4) 2

( x 4)

整理得 y

x 2 7 x

6

g( x) x 2

7x 6

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程

组求得函数解析式。

例 5 设 f (x)满足 f ( x)

2 f ( 1

) x, 求 f ( x)

x

解

f ( x) 2 f ( 1

) x ①

x

显然 x 0,将 x 换成

1

，得：

x

f ( 1

) 2 f ( x)

1 ②

x

x

解① ②联立的方程组，得：

x 2

f ( x)

3x

3

例 6 设 f (x) 为偶函数， g(x) 为奇函数，又 f (x) g( x)

1

, 试求 f (x)和 g( x) 的解析式

x

1

解

f ( x) 为偶函数， g( x) 为奇函数，

f ( x) f ( x),

g ( x)

g( x)

又 f ( x)

1 ① ，

g(x)

x 1

用 x 替换 x 得： f (

x)

1

g( x)

x 1

即 f ( x)

g( x)

1

②

x 1

解① ②联立的方程组，得

f (x)

1

g (x)

1

2 ，

2 x

x 1 x

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，

使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例 7已知：f (0)1，对于任意实数x、y，等式 f ( x y) f ( x)y(2x y 1) 恒成立，求f (x)

解对于任意实数 x、y，等式 f (x y) f ( x)y( 2x y 1) 恒成立，

不妨令 x0 ，则有f (y) f (0)y(y1)1y( y1)y 2y1

再令y x得函数解析式为： f (x)x 2x1

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代

等运算求得函数解析式。

例 8设 f ( x) 是定义在 N上的函数，满足 f (1) 1 ，对任意的自然数 a, b都有f (a) f (b) f (a b)ab ，求 f ( x)

解f (a) f (b) f (a b)ab， a,b N，

不妨令 a x, b1，得： f ( x) f (1) f ( x1) x ，

又 f (1)1, 故 f (x1) f ( x)x 1①

分别令①式中的 x1,2n 1 得：

f (2) f (1)2,

f (3) f (2)3,

f (n) f (n1)n,

将上述各式相加得： f ( n) f (1)23n ，

f (n)123n n(n1)

2

f (x) 1 x21

x, x N

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