第六章常微分方程习题
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F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F(0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
于是
F(x) e2x e2x
练习题: P326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)
提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程
(4) dy xy x3 y3 0 dx 提示: 为贝努里方程 , 令 z y2
(5)
xdx
yd y
y
dy x2
xdy y2
0
微分倒推公式
提示: 为全微分方程 , 通解
(9) ( y4 3x2 ) dy xydx 0
提示: 可化为贝努里方程
令 z x2
(2) 2 x ln x dy y ( y2 ln x 1) dx 0 (3) y 3x2 y2 6x 3
2xy 2y (4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0
提示: (1) 原方程化为
令 u = x y , 得 d u u ln u (分离变量方程) dx x
提示: 如图所示建立坐标系. 则
a (a ,0)
o
x
设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 则鸭子游速 b 为
b b PO0 b
x, x2 y2
y
x2 y2
y A
鸭子的实际运动速度为 v dx , dy ,
dt dt
h b
v ab a
bx , x2 y2
by
x2 y2
o
由此得微分方程 dx vx a x2 y2 x
(题3只考虑方法及步骤)
P326 题2 求以
为通解的微分方程.
提示:
( 2
x C )2 (xC)
y2 2y
y
1
0
消去
C
得
P327 题3 求下列微分方程的通解:
提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :
提示: 这是一阶线性方程 , 其中
(3) dy y dx 2( ln y x)
利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.
例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸
为平行直线, 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点
O , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b
(b a), 且鸭子游动方向始终朝着点O ,
求鸭子游动的轨迹方程 .
y A
hb Pa
通解
1ey3 ex C 3
(2) xy x2 y2 y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y 1 y 2 y
xx
xu 1 u2
x 0 时，y 1 y 2 y
xx
xu 1 u2
(3)
y
2xLeabharlann Baidu
1
y2
调换自变量与因变量的地位 , 化为 dx 2x y2 , dy
(2) 将方程改写为
d y 1 y y3 (贝努里方程) 令 z y2 d x 2x ln x 2x
(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
化方程为 d y 3(x 1)2 y2 d x 2y (x 1) 令 t = x – 1 , 则 dy dy dt dy dx d t dx d t d y 3t 2 y2 (齐次方程) dt 2ty
(03考研)
解: (1) F(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g2(x) f 2(x)
[g(x) f (x)]2 2 f (x)g(x)
(2ex )2 2F(x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F(x) 2F(x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
(2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
例1. 求下列方程的通解
(1)
y
1 y2
e y3x
0;
(3)
y
1 2x
y2
;
(2) xy x2 y2 y ;
(4)
y
6x3 3xy2 3x2 y 2y3
.
提示: (1) 因e y3 x e y3 ex , 故为分离变量方程:
y2ey3 dy ex dx
用线性方程通解公式求解 .
(4)
y
6x3 3xy2 3x2 y 2y3
方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u y
方法 2 化为微分形式
x
( 6x3 3xy2 ) dx (3x2 y 2y3) dy 0
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
例2. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
两边乘积分因子 y2
x dx y2 dy 3( ydx xdy) 0
用凑微分法得通解:
1 x2 y1 3 xy C 2
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f (x) g(x), g(x) f (x), 且 f (0) 0, f (x) g(x) 2ex.
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出F(x) 的表达式 .
dy vy
by
y
即
dx a x 2 1 x ( 齐次方程 )
dy b y
y
Pa
v
x
定解条件 x yh 0 . ( 求解过程参考P273例3 )
高等数学
习题课 (一)
第十二章
一阶微分方程的
解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
(10) y x x2 y
提示: 令 u x2 y x , 即 y 2 x u u2, 则
dy 2u 2x du 2u du
dx
dx dx
原方程化为
x
e
2 u
d
u
2
e
2 u
du
du
C
1 u2
2u2
du
C
故原方程通解
二、解微分方程应用问题
关键问题是正确建立数学模型, 要点:
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F(0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
于是
F(x) e2x e2x
练习题: P326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)
提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程
(4) dy xy x3 y3 0 dx 提示: 为贝努里方程 , 令 z y2
(5)
xdx
yd y
y
dy x2
xdy y2
0
微分倒推公式
提示: 为全微分方程 , 通解
(9) ( y4 3x2 ) dy xydx 0
提示: 可化为贝努里方程
令 z x2
(2) 2 x ln x dy y ( y2 ln x 1) dx 0 (3) y 3x2 y2 6x 3
2xy 2y (4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0
提示: (1) 原方程化为
令 u = x y , 得 d u u ln u (分离变量方程) dx x
提示: 如图所示建立坐标系. 则
a (a ,0)
o
x
设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 则鸭子游速 b 为
b b PO0 b
x, x2 y2
y
x2 y2
y A
鸭子的实际运动速度为 v dx , dy ,
dt dt
h b
v ab a
bx , x2 y2
by
x2 y2
o
由此得微分方程 dx vx a x2 y2 x
(题3只考虑方法及步骤)
P326 题2 求以
为通解的微分方程.
提示:
( 2
x C )2 (xC)
y2 2y
y
1
0
消去
C
得
P327 题3 求下列微分方程的通解:
提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :
提示: 这是一阶线性方程 , 其中
(3) dy y dx 2( ln y x)
利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.
例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸
为平行直线, 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点
O , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b
(b a), 且鸭子游动方向始终朝着点O ,
求鸭子游动的轨迹方程 .
y A
hb Pa
通解
1ey3 ex C 3
(2) xy x2 y2 y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y 1 y 2 y
xx
xu 1 u2
x 0 时，y 1 y 2 y
xx
xu 1 u2
(3)
y
2xLeabharlann Baidu
1
y2
调换自变量与因变量的地位 , 化为 dx 2x y2 , dy
(2) 将方程改写为
d y 1 y y3 (贝努里方程) 令 z y2 d x 2x ln x 2x
(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
化方程为 d y 3(x 1)2 y2 d x 2y (x 1) 令 t = x – 1 , 则 dy dy dt dy dx d t dx d t d y 3t 2 y2 (齐次方程) dt 2ty
(03考研)
解: (1) F(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g2(x) f 2(x)
[g(x) f (x)]2 2 f (x)g(x)
(2ex )2 2F(x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F(x) 2F(x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
(2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
例1. 求下列方程的通解
(1)
y
1 y2
e y3x
0;
(3)
y
1 2x
y2
;
(2) xy x2 y2 y ;
(4)
y
6x3 3xy2 3x2 y 2y3
.
提示: (1) 因e y3 x e y3 ex , 故为分离变量方程:
y2ey3 dy ex dx
用线性方程通解公式求解 .
(4)
y
6x3 3xy2 3x2 y 2y3
方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u y
方法 2 化为微分形式
x
( 6x3 3xy2 ) dx (3x2 y 2y3) dy 0
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
例2. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
两边乘积分因子 y2
x dx y2 dy 3( ydx xdy) 0
用凑微分法得通解:
1 x2 y1 3 xy C 2
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f (x) g(x), g(x) f (x), 且 f (0) 0, f (x) g(x) 2ex.
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出F(x) 的表达式 .
dy vy
by
y
即
dx a x 2 1 x ( 齐次方程 )
dy b y
y
Pa
v
x
定解条件 x yh 0 . ( 求解过程参考P273例3 )
高等数学
习题课 (一)
第十二章
一阶微分方程的
解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
(10) y x x2 y
提示: 令 u x2 y x , 即 y 2 x u u2, 则
dy 2u 2x du 2u du
dx
dx dx
原方程化为
x
e
2 u
d
u
2
e
2 u
du
du
C
1 u2
2u2
du
C
故原方程通解
二、解微分方程应用问题
关键问题是正确建立数学模型, 要点: