高三文科数学第二轮复习资料
高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：策略(四)回扣九复数、算法、推理与证明含答案
环节一：记牢概念公式，避免临场卡壳1．复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ；(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i≠0)． 2．算法的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示．(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．环节二：巧用解题结论，考场快速抢分1．复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )； (4)若ω＝－12±32i ，则ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0. 2．关于复数模的运算性质(1)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|；(2)|z |n ＝|z n |；(3)⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|.3．合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程：实验、观察→联想、类推→猜测新的结论环节三：明辨易错易混，不被迷雾遮眼1．复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ))．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．2．类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比．用数学归纳法证明时，易盲目认为n 0的起始取值n 0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n ＝k 成立的归纳假设．3．在循环体结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果． 环节四：适当保温训练，树立必胜信念1．(2016·北京高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 开始a ＝1，b ＝1，k ＝0；第一次循环a ＝－12，k ＝1；第二次循环a ＝－2，k ＝2；第三次循环a ＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k ＝2.2．已知z ＝3＋2i 2 0075＋i 2 015(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为z ＝3＋2i 2 0075＋i 2 015＝3－2i 5－i ＝（3－2i ）（5＋i ）（5－i ）（5＋i ）＝17－7i 26＝1726－726i ，所以z 在复平面内对应的点(1726，－726)位于第四象限． 3．如图所示的程序框图的运行结果为( )A ．－1 B.12C ．1D ．2 解析：选A a ＝2，i ＝1，i ≥2 016不成立；a ＝1－12＝12，i ＝1＋1＝2，i ≥2 016不成立； a ＝1－112＝－1，i ＝2＋1＝3，i ≥2 016不成立； a ＝1－(－1)＝2，i ＝3＋1＝4，i ≥2 016不成立；……，由此可知a 是以3为周期出现的，结束时，i ＝2 016＝3×672，此时a ＝－1，故选A.4．观察下列各式：f (1)＝3，f (1＋2)＝6，f (1＋2＋3)＝11，f (1＋2＋3＋4)＝20，…，则根据以上式子可以得到第10个式子为________．解析：根据上述各式的特点，可知f (1)＝3＝2＋1，f (1＋2)＝6＝22＋2，f (1＋2＋3)＝11＝23＋3，f (1＋2＋3＋4)＝20＝24＋4，所以f (1＋2＋3＋…＋10)＝210＋10＝1 034.答案：f (1＋2＋3＋…＋10)＝1 034。
高三数学二轮复习建议——专题二：概率统计 PPT课件 图文
目目 录录
CCOONNTTEENNTTSS
1 历年高考分析 22 重点、热点分析 3 复习目标、方案专题 4 命题预测、优题展示
一 高考试题分析
1.1 2012——2017年高考考查内容分析
2 道 小 题
1 道 大 题
年份 题号
理科 考查 内容
题号
文科 考查 内容
2017 年
2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 2012 年
T1 9
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
T14 二项式定理
2016 年
T4 几何概型
T3 古典概型
从文科高考试题看，解答题一般以工农业生产和生活中的实 频数分布、频率与概率、事件的
频数分布、频率与概率、事件的
T19 独立性、互斥事件、分布列、概 T19 独立性、互斥事件、分布列、概
√√
√
古典概型
几何概型 率 随机模拟
√√√ √ √
随机变量间的函数关系
√
√
二 重点、热点分析
重点、热点、规律方法（一）二项式定理
例
1.（1）（2017▪全国卷Ⅰ理科▪T6）
(1
1 x2
)(1
x)6
展开式中
x2
的系数为
A.15
B.20
C.30
D.35
（2）（2016▪全国卷Ⅰ理科▪T14） (2x x )5 的展开式中，x3 的系数是
T1 8
分步乘法计数原理、组合
正态分布、对立事件
T3
函数、频率与概率、分布列、期 望、方差、概率的意义
T 18
数字特征及其意义 几何概型
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
高三第二轮复习知识点总结
高三第二轮复习知识点总结一、数学复习要点1.1 函数与方程在复习函数与方程时，首先要掌握各种基本函数的性质，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
同时，要熟悉函数图像的绘制和变换规律，理解函数的奇偶性、单调性和周期性。
方程部分要重点掌握一元一次方程、一元二次方程、不等式以及方程组的解法。
1.2 几何知识几何部分包括平面几何和立体几何。
平面几何要掌握各种图形的性质，如三角形、四边形、圆的基本性质和计算方法。
立体几何则要熟悉空间图形的体积和表面积公式，以及空间直线和平面的位置关系。
1.3 概率与统计概率与统计部分要求掌握概率的基本概念，如事件、概率的计算和条件概率。
同时，要了解随机变量、期望值和方差的概念，以及统计中的基本概念，如平均数、中位数、众数和标准差等。
二、语文复习要点2.1 文言文阅读文言文阅读要求掌握常见的文言虚词和实词的含义，理解句子结构和修辞手法。
通过阅读经典文言文，提高文言文的阅读理解能力。
2.2 现代文阅读现代文阅读要注重提高对文章主旨的把握能力，理解作者的观点和态度。
同时，要学会分析文章的结构和论证方法，提高批判性阅读的能力。
2.3 写作技巧写作部分要掌握议论文、记叙文和说明文等不同文体的写作技巧。
注意文章结构的合理性，语言的准确性和表达的流畅性。
同时，要注重积累素材，提高写作的创新性和说服力。
三、英语复习要点3.1 词汇与语法词汇是英语学习的基础，要通过不断的积累和复习，扩大词汇量。
语法部分要掌握时态、语态、非谓语动词等基本语法规则，并通过练习提高应用能力。
3.2 阅读理解阅读理解要注重提高速度和准确度。
通过广泛阅读不同类型的文章，提高对文章主旨和细节信息的理解能力。
同时，要学会运用阅读策略，如略读、寻读和细读等。
3.3 写作与听力英语写作要掌握基本的句型结构和段落组织方法，注意语言的连贯性和逻辑性。
听力部分要通过反复练习，提高对不同口音和语速的适应能力，以及捕捉关键信息的技巧。
高考二轮复习高考文科数学课标版第一讲 函数的图象与性质
第一讲 函数的图象与性质A 组 基础题组1.函数f(x)=+的定义域为( )1x -1x A.[0,+∞)B.(1,+∞)C.[0,1)∪(1,+∞)D.[0,1)2.已知函数f(x)=3x -,则f(x)( )(13)xA.是偶函数,且在R 上是增函数B.是奇函数,且在R 上是增函数C.是偶函数,且在R 上是减函数D.是奇函数,且在R 上是减函数3.(2018湖北武汉调研)函数f(x)=log 2(x 2-4x-5)的单调递增区间是( )A.(-∞,-2) B.(-∞,-1)C.(2,+∞)D.(5,+∞)4.(2018河北石家庄模拟)已知f(x)=(0<a<1),且f(-2)=5, f(-1)=3,则f(f(-3))=( ){log 3x,x >0,a x+b,x ≤0A.-2B.2C.3D.-35.(2018湖南益阳、湘潭调研)函数f(x)=的图象大致是( )x 1-x26.(2018陕西质量检测一)设x ∈R,定义符号函数sgn x=则函数f(x)=|x|sgn x 的图{1,x >0,0,x =0,-1,x <0,象大致是( )7.(2018贵州贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时, f(x)=log 2(x+2)-1,则f(-6)=( )A.2 B. 4C.-2D.-48.已知函数f(x)=则下列结论正确的是( ){x 4+1,x >0,cos2x ,x ≤0,A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)9.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,则f(8)=( )A.-1B.0C.1D.-210.已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )2x -1A.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称B.函数f(x)在(-∞,1)上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称D.函数f(x)的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB ∥x 轴11.(2018四川成都模拟)已知定义在R 上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x ∈[0,1]时, f(x)=log 2(x+1),则下列不等式正确的是( )A.f(log 27)<f(-5)<f(6)B.f(log 27)<f(6)<f(-5)C.f(-5)<f(log 27)<f(6)D.f(-5)<f(6)<f(log 27)12.(2018广东惠州模拟)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象上关于原点对称的{kx -1,x ≥0,-ln(-x ),x <0,点有2对,则实数k 的取值范围是( )A.(-∞,0)B.(0,12)C.(0,+∞)D.(0,1)13.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a 的值为 .{2x,x >0,x +1,x ≤0,14.(2018广东惠州模拟)已知f(x)=x+-1,f(a)=2,则f(-a)= .1x 15.(2018河南洛阳第一次统考)若函数f(x)=ln(e x +1)+ax 为偶函数,则实数a= . 16.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x ∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a 的取值范围是 .B 组 提升题组 1.(2018重庆六校联考)函数f(x)=的大致图象为( )sin πx x22.已知函数f(x)=e |ln x|-,则函数y=f(x+1)的大致图象为( )|x -1x|3.某地一年的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示C(t)与t 之间的函数关系的是( )4.函数f(x)=的图象如图所示,则下列结论成立的是( )ax +b (x +c )2A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<05.(2018河南开封模拟)已知f(x)是定义在R 上周期为4的奇函数,当x ∈(0,2]时, f(x)=2x +log 2x,则f(2 015)=( )A.5 B. C.2 D.-2126.设函数f(x)=若f =2,则实数n 的值为( ){2x +n ,x <1,log 2x,x ≥1,(f(34)) A.-B.-C.D.541314527.∀x ∈,8x ≤log a x+1恒成立,则实数a 的取值范围是( )(0,13)A. B. C. D.(0,23)(0,12][13,1)[12,1)8.设曲线y=f(x)与曲线y=x 2+a(x>0)关于直线y=-x 对称,且f(-2)=2f(-1),则a=( )A.0B.C.D.113239.(2018福建福州模拟)已知函数f(x)=e x +e 2-x ,若关于x 的不等式[f(x)]2-af(x)≤0恰有3个整数解,则实数a 的最小值为( )A.1 B.2eC.e 2+1D.e 3+1e310.已知函数f(x)的定义域为R,且满足下列三个条件:①对任意的x 1,x 2∈[4,8],当x 1<x 2时,都有 >0;f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2②f(x+4)=-f(x);③y=f(x+4)是偶函数.若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c 的大小关系正确的是( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a 11.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a 的取值范围是 . {(1-2a )x +3a ,x <1,ln x ,x ≥112.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f(x)=x 2,若对任意的x ∈[m-2,m],不等式f(x+m)-9f(x)≤0恒成立,则实数m 的取值范围是 .13.已知函数f(x)=若f(x-1)<f(2x+1),则x 的取值范围{3x 2+ln(1+x 2+x),x ≥0,3x 2+ln(1+x 2-x),x <0,为 .14.(2018陕西西安八校联考)函数f(x)在定义域R 内可导,若f(x)=f(2-x),且(x-1)f '(x)<0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则a,b,c 的大小关系是 .(12)答案精解精析A 组 基础题组1.C 由题意知即0≤x<1或x>1.{x -1≠0,x ≥0,∴f(x)的定义域为[0,1)∪(1,+∞).2.B 易知函数f(x)的定义域为R,∵f(-x)=3-x -=-3x =-=-f(x),(13)-x (13)x[3x-(13)x ]∴f(x)为奇函数.又∵y=3x 在R 上为增函数,y=-在R 上为增函数,∴f(x)=3x -在R 上是增函数.故选B.(13)x(13)x3.D 由x 2-4x-5>0得x ∈(-∞,-1)∪(5,+∞).原函数f(x)=log 2(x 2-4x-5)由t=x 2-4x-5与y=log 2t 复合而成,当x ∈(-∞,-1)时,t=x 2-4x-5为减函数;当x ∈(5,+∞)时,t=x 2-4x-5为增函数.又y=log 2t 为增函数,所以函数f(x)=log 2(x 2-4x-5)的单调递增区间是(5,+∞).故选D.4.B 由题意得f(-2)=a -2+b=5①, f(-1)=a -1+b=3②.联立①②,结合0<a<1,得a=,b=1,所以f(x)=则f(-3)=+1=9,所以f(f(-12{log 3x,x >0,(12)x +1,x ≤0,(12)-33))=f(9)=log 39=2.故选B.5.B 易知函数f(x)的定义域为{x|x ≠±1}, f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.-x 1-(-x )2x 1-x 2当x ∈(0,1)时, f(x)=>0,排除D;当x ∈(1,+∞)时, f(x)=<0,排除A,C.故选B.x 1-x2x1-x26.C 函数f(x)=|x|sgn x=即f(x)=x,{x ,x ≠0,0,x =0,故函数f(x)=|x|sgn x 的图象为直线y=x.故选C.7.C 由题意,知f(-6)=-f(6)=-(log 28-1)=-3+1=-2,故选C.8.D 由f(-x)≠f(x)知f(x)不是偶函数,当x ≤0时, f(x)不是增函数,显然f(x)也不是周期函数,故选D.9.B 由奇函数f(x)的定义域为R,可得f(0)=0,由f(x+2)为偶函数,可得f(-x+2)=f(x+2),故f(x+4)=f((x+2)+2)=f(-(x+2)+2)=f(-x)=-f(x),则f(x+8)=f((x+4)+4)=-f(x+4)=-[-f(x)]=f(x),即函数f(x)的周期为8,所以f(8)=f(0)=0.故选B.10.A 由题知,函数f(x)=的图象是由函数y=的图象向右平移1个单位长度得到的,可得2x -12x 函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,选项A 正确;函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,选项B 错误;易知函数f(x)=的图象不关于直线x=1对称,选项C 错误;由函数f(x)的单调性及函数f(x)2x -1的图象可知函数f(x)的图象上不存在两点A,B,使得直线AB ∥x 轴,选项D 错误.11.C 因为奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(-5)=f(-1)=-f(1)=-1, f(6)=f(2)=f(0)=0.于是,结合题意可画出函数f(x)在[-2,4]上的大致图象,如图所示.又2<log 27<3,所以结合图象可知-1<f(log 27)<0,故f(-5)<f(log 27)<f(6).故选C.12.D 依题意,函数f(x)的图象上存在关于原点对称的点,可作出函数y=-ln(-x)(x<0)的图象关于原点对称的函数y=ln x(x>0)的图象,使得它与直线y=kx-1(x>0)的交点个数为2即可,当直线y=kx-1与函数y=ln x 的图象相切时,设切点为(m,ln m),又y=ln x 的导函数为y'=,则1x解得可得切线的斜率为1,结合图象可知k ∈(0,1)时,函数y=ln x 的图{km -1=ln m ,k =1m ,{m =1,k =1,象与直线y=kx-1有2个交点,即函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对.故选D.13.答案 -3解析 ∵f(1)=2>0,且f(1)+f(a)=0,∴f(a)=-2<0,故a ≤0.依题知a+1=-2,解得a=-3.14.答案 -4解析 因为f(x)=x+-1,所以f(a)=a+-1=2,所以a+=3,所以f(-a)=-a--1=--1=-3-1=-4.1x 1a 1a 1a (a +1a )15.答案 -12解析 ∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)-f(-x)=ln(e x +1)+ax-ln(e -x +1)+ax=ln+2ax=lne x+1e -x +1e x +2ax=(1+2a)x=0恒成立.∴1+2a=0,即a=-.1216.答案 [-1,+∞)解析 如图,要使f(x)≥g(x)恒成立,则-a ≤1,∴a ≥-1.B 组 提升题组1.D 易知函数f(x)=为奇函数且定义域为{x|x ≠0},只有选项D 满足,故选D.sin πx x22.A 根据已知函数关系式可得f(x)=作出其图象,然后将其向左{e-ln x+(x -1x )=x,0<x ≤1,e ln x-(x -1x )=1x ,x >1.平移1个单位即得函数y=f(x+1)的图象,结合选项知A 正确.3.A 若增加的数大于当前的平均数,则平均数增大;若增加的数小于当前的平均数,则平均数减小.因为12个月的平均气温为10 ℃,所以当t=12时,平均气温应该为10 ℃,故排除B;因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃,因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10℃,故排除C;6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值,故平均气温不可能出现先减小后增加的情况,故排除D.故选A.4.C 函数f(x)的定义域为{x|x ≠-c},由题中图象可知-c=x P >0,即c<0,排除B.令f(x)=0,可得x=-,则x N =-.又x N >0,所以<0.所以a,b 异号,排除A,D.故选C.ba ba ba 5.D 由题意得f(2 015)=f(4×504-1)=f(-1)=-f(1).又当x ∈(0,2]时, f(x)=2x +log 2x,故f(1)=2+log 21=2,所以f(2 015)=-2.故选D.6.D 因为f=2×+n=+n,当+n<1,即n<-时, f =2+n=2,解得n=-,不符合题意;(34)34323212(f(34))(32+n )13当+n ≥1,即n ≥-时, f =log 2=2,即+n=4,解得n=.故选D.3212(f(34))(32+n )32527.C 由各选项及题意可得解得≤a<1.{0<a <1,log a 13+1≥2,138.C 依题意得曲线y=f(x)即为-x=(-y)2+a(其中-y>0,即y<0,注意到点(x 0,y 0)关于直线y=-x 的对称点是点(-y 0,-x 0)),化简后得y=-,即f(x)=-,于是有-=-2,由此解得-x -a -x -a 2-a 1-a a=.故选C.239.C 因为f(x)=e x +e 2-x >0,所以由[f(x)]2-af(x)≤0可得0<f(x)≤a.令t=e x ,g(t)=t+(t>0),画出函e2t数g(t)的大致图象,如图所示,结合图象分析易知原不等式有3个整数解可转化为0<g(t)≤a 的3个解分别为1,e,e 2.又当t=e x 的值分别为1,e,e 2时,x=0,1,2.画出直线y=e 2+1,故结合函数图象可知a 的最小值为e 2+1.故选C.10.B ∵对任意的x 1,x 2∈[4,8],当x 1<x 2时,都有 >0,f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2∴函数f(x)在区间[4,8]上为增函数.∵f(x+4)=-f(x),∴f(x+8)=-f(x+4)=f(x),∴函数f(x)是周期为8的周期函数.∵y=f(x+4)是偶函数,∴函数f(x)的图象关于直线x=-4对称,又函数f(x)的周期为8,∴函数f(x)的图象也关于直线x=4对称.∴b=f(11)=f(3)=f(5),c=f(2 017)=f(252×8+1)=f(1)=f(7).又a=f(6),函数f(x)在区间[4,8]上为增函数,∴b<a<c.故选B.11.答案 [-1,12)解析 要使函数f(x)的值域为R,则有∴{1-2a >0,ln1≤1-2a +3a ,{a <12,a ≥-1,∴-1≤a<.1212.答案 [4,+∞)解析 依题意知函数f(x)在R 上单调递增,且当x ∈[m-2,m]时, f(x+m)≤9f(x)=f(3x),所以x+m ≤3x,即x ≥恒成立,于是有≤m-2,解得m ≥4,即实数m 的取值范围是[4,+∞).m 2m213.答案 (-∞,-2)∪(0,+∞)解析 若x>0,则-x<0, f(-x)=3(-x)2+ln(+x)=3x 2+ln(+x)=f(x),同理可得,当x<01+x 21+x 2时, f(-x)=f(x),且x=0时,f(0)=f(-0),所以f(x)是偶函数.因为当x>0时,函数f(x)单调递增,所以不等式f(x-1)<f(2x+1)等价于|x-1|<|2x+1|,整理得x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.14.答案 b>a>c解析 因为f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称.因为(x-1)f '(x)<0,所以当x>1时, f '(x)<0,所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递减;当x<1时, f '(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递增.取符合题意的函数f(x)=-(x-1)2,则a=f(0)=-1,b=f=-,c=f(3)=-4,故b>a>c.(12)14。
高考文科数学二轮复习1-5-2
课
堂
第20页
专题五 第二讲
与名师对话·系列丛书
二轮专题复习·课标版·数学（文）
解析：由题可设斜率存在的切线的方程为 y－12＝k(x－1)(k
重 难
为切线的斜率)，即 2kx－2y－2k＋1＝0，由|－42kk2＋＋14|＝1，解得 k
点
透 析
＝－34，∴圆 x2＋y2＝1 的一条切线方程为 3x＋4y－5＝0，求得切
二轮专题复习·课标版·数学（文）
2．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点
重 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，
难
点 透
且△ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为________．
析
课
时
名 师
作 业
微
课
堂
第10页
专题五 第二讲
其渐近线方程是 y＝±abx.
第22页
专题五 第二讲
与名师对话·系列丛书
二轮专题复习·课标版·数学（文）
(2)渐近线方程为 y＝±bax 的双曲线方程可设为ax22－by22＝
重 λ(λ≠0)．
难
点 透
(3)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两
析
个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、
面积等于 9，那么P→A1·P→A2＝(
)
课
名 师
A．－12454
144 B. 25
C．－8215
81 D.25
时 作 业
微
课
堂
第18页
专题五 第二讲
与名师对话·系列丛书
二轮专题复习·课标版·数学（文）
文科数学专题概率与统计(学案)高考二轮复习资料含答案
文科数学专题概率与统计(学案)高考二轮复习资料含答案1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算．4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型．(1)在频率分布直方图中：频率①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝；②各小矩形面积之和等于1；③中位数组距左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．(2)茎叶图当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，从总体中逐个抽取少在起始部分抽样时采按事先确定的规则在各用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样时采用简单总体由差异明显的随机抽样或系统抽样几部分组成即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．3．样本的数字特征(1)众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．(2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数与方差－1样本数据的平均数某＝(某1＋某2＋＋某n)．n1－2－2－22方差＝[(某1－某)＋(某2－某)＋＋(某n－某)]．n注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．4．变量间的相关关系(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量某和y具有线性相关关系．(2)用最小二乘法求回归直线的方程^^^设线性回归方程为y＝b某＋a，则^b＝－某－某^－^－a＝y－b某ni＝1nii＝1－－某i－某yi－y＝－－某iyi－n某yi＝1nn22i－n某某2－i＝1.－－注意：回归直线一定经过样本的中心点(某，y)，据此性质可以解决有关的计算问题．5．回归分析n某i－某yi－yi＝1－－r＝n，叫做相关系数．某i－某2yi－y2i＝1i＝1－n－相关系数用来衡量变量某与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低．6．独立性检验假设有两个分类变量某和Y，它们的取值分别为{某1，某2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2某2列联表)为某1某2总计2y1aca＋c2y2bdb＋d总计a＋bc＋da＋b＋c＋da＋b＋c＋dad－bc则K＝，a＋bc＋da＋cb＋d若K>3.841，则有95%的把握说两个事件有关；若K>6.635，则有99%的把握说两个事件有关；若K<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关.7.随机事件的概率随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.8．古典概型①计算一次试验中基本事件的总数n；②求事件A包含的基本事件的个数m；③利用公式P(A)＝计算．9．一般地，如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．－10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和A不会同时发生，但一定有一个发生，因此有222mnP(A)＝1－P(A)．11．互斥事件与对立事件的关系－对立必互斥，互斥未必对立．12．几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝考点一几何概型例1．【2022课标1，】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是d的测度.D的测度141C．2A．【答案】Bπ8πD．4B．【变式探究】(2022·江苏卷)记函数f(某)＝6＋某－某的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数某，则某∈D的概率是________．5【答案】93－－252【解析】由6＋某－某≥0，解得－2≤某≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为＝.5－－49【变式探究】从区间[0，1]随机抽取2n个数某1，某2，，某n，y1，y2，，yn，构成n个数对(某1，y1)，(某2，y2)，，(某n，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4n2m2nB.mC.4mn2mD.n【答案】Cmπ4m4m【解析】由题意知，＝，故π＝，即圆周率π的近似值为.n4nn考点二古典概型例2．(2022·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.B.C.D.【答案】D3102511015【2022山东】从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A）5475（B）（C）（D）18999【答案】C【解析】标有1，2，，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡112C5C45,选C.片上的数奇偶性不同的概率是989【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.51011B.C.D．1212121【变式探究】(2022·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共424种，所以所求概率P＝＝.105故选C.考点三概率与其他知识的交汇例3、(2022·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数[10,15)2[15,20)16[20,25)36[25,30)25[30,35)7[35,40)44 5352515以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【变式探究】某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数收费比例第1次1第2次0.95第3次0.90第4次0.85第5次及以上0.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数频数第1次60第2次20第3次10第4次5第5次及以上5假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．40【解析】(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为100＝0.4.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)．50＋40第2次消费时，公司获得的利润为200某0.95－150＝40(元)，所以，公司获得的平均利润为＝245(元)。
高中文科数学二轮复习资料,补习复习资料(含解析)：108高考冲刺：填空题的解题策略
高考冲刺：怎样解填空题【高考展望】数学填空题与选择题同属客观性试题，是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题。
它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量（计算）型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。
由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等。
近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题。
在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。
为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
【方法点拨】在解决填空题时，时常用到以下几种方法：一：直接法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法。
它是解填空题的最基本、最常用的方法。
使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
二：特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论。
这样可大大地简化推理、论证的过程。
三：数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果。
人教版 高三文科数学二轮复习 第一部分论方法1-3
答案 解析
D 设g(x)＝ex(2x－1)，y＝ ax－a，
由题知存在唯一的整数x0，使得 g(x0)在直线 y＝ax－a的下方．因为 g′(x)＝ex(2x＋1)， 1 1 所以当x<－ 时，g′(x)<0，当 x>－ 时，g 2 2 1 1 ′(x)>0，所以当x＝－ 时，g(x)min＝－2e－ .如图所示，当x＝0 2 2 时，g(x)＝－1，g(1)＝e>0，直线 y＝ax－ a恒过(1，0)且斜率为 3 a，故－a>g(0)＝－1，且g(－1)＝－3e ≥－a－a，解得 ≤a<1. 2e
第 2页
高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学（文）
2．分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如 绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定 理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如 等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算要求引起的分类讨论： 如除法运算中除数不为 零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数 的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.
3． (2017· 课标全国Ⅲ)设函数
x＋1， x≤0， f(x)＝ x 则满足 2 ，x>0，
f(x)
1 ＋f(x－ 2)>1 的 x 的取值范围是________．
第26页
高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学（文）
1 答案 (－ ，＋∞) 4 1 1 解析 当 x>0 时，f(x)＝2 >1 恒成立，当 x－ >0，即 x> 时， 2 2
第22页
高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学（文）
高考文科数学二轮复习 1-2-3
课 时 作 业
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂
第4页
二轮专题复习·课标版·数学（文） 课 时 作 业
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂
第5页
二轮专题复习·课标版·数学（文） 课 时 作 业
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
课
名 边形的一些定理．因此，在求向量时要尽可能转化到平行四边形
师
时 作 业
微 或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向
课
堂 量，运用向量加、减法运算及实数与向量相乘来求解，即充分利
用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用三角形的加法法
第7页
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
二轮专题复习·课标版·数学（文）
重
难 点
因为 a 与 b 的夹角为 0 时，a·b>0；两个非零向量 a 与 b 的夹角
透
析 为钝角，则 a·b<0；反之也不成立，因为 a 与 b 的夹角为 π 时，a·b<0. 课
时
名 师
作 业
微
课
堂
第23页
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
二轮专题复习·课标版·数学（文）
1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a
透
析
C．B、C、D D．A、C、D
课
时
名 师
作 业
微
课
堂
第20页
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
二轮专题复习·课标版·数学（文）
高三数学(文)二轮复习课件 方法攻略 攻略4.4
得分点②
第(3)问踩点说明(针对得分点④⑤⑥)：
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的 ④分别计算并得出这 100 台中 70 台、20 频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的 台、10 台的相关费用且正确，各得 1 分； 最小值为 19.2 分 得分点③ （参见下页） ⑤计算平均数得 2 分；
本题可拆解成以下 几个小问题： (1)①求 x≤19 时的 费用； ②求 x>19 时的费 用；
个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这
③将二者合并起来．
种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得右面柱状图：
(2)分别计算不大于
ห้องสมุดไป่ตู้
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购 18 的频率和不大于
第(1)问踩点说明(针对得分点①②)： ①分别正确写出 x≤19 和 x>19 时的解析 式，各得 1 分； ②正确写出 y 与 x 的函数解析式得 2 分． 第(2)问踩点说明(针对得分点③)：
y＝350800x0－，5x≤ 70109，，x>19 (x∈N).2 分
③比较需更换零件数不大于 18 和不大于 19 的频率而得出正确结论得 2 分．
二轮数学·文 第二部分 方法攻略——高效提分宝典
第二部分 方法攻略——高效提分宝典
二轮数学·文 第二部分 方法攻略——高效提分宝典
攻略四 破解 6 大解答题
二轮数学·文 第二部分 方法攻略——高效提分宝典
四、概率与统计
典型例题
题目拆解
(12 分)某公司计划购买 1 台机器，该种机 器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零 件，在购进机器时，可以额外购买这种零 件作为备件，每个 200 元．在机器使用期 间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三文科数学第二轮复习资料
——《立体几何》专题
一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：
条件
结论
线线平行 线面平行 面面平行 垂直关系
线线平行 如果a∥b，b∥c，那么a∥c 如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b 如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b 如果a⊥α，b⊥α，那么a
∥b
线面平行 如果a∥b，aα，bα，那么a∥α —— 如果α∥β，aα，那么α∥β ——
面面平行 如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β 如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么α∥β 如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ 如果a⊥α，a⊥β，那么α
∥β
条件
结论
线线垂直 线面垂直 面面垂直 平行关系
线线垂直 二垂线定理及逆定理 如果a⊥α，bα，那么a⊥b 如果三个平面两两垂直，那么它
们交线两两垂直
如果a∥b，a⊥
c，那么b⊥c
线面垂直 如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α —— 如果α⊥β，α∩β=b，aα,a
⊥b，那么a⊥β
如果a⊥α，b∥
a，那么b⊥α
面面垂直 定义（二面角等于900） 如果a⊥α，aβ，那么β⊥α —— ——
二、练习题：
1．1∥2，a，b与1，2都垂直，则a，b的关系是
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交、异面都有可能
2．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥
B—APQC的体积是
A．V21 B．V31 C．V41 D．V32
3．设、、为平面， m、n、l为直线，则m的一个充分条件是
A．,,lml B．,,m
C．,,m D．,,nnm
A
B
D
C
A
1
D
1
C
1
B
1
图
1
4．如图1，在棱长为a的正方体ABCDABCD1111中， P、Q是对角
线AC1上的点，若aPQ2，则三棱锥PBDQ的体积为
A．a3336 B．a3318 C．a3324 D．不确定
5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是
A 12Q B23Q C2Q D23Q
6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与
BD的交点（如图），求证：
（1）EG∥平面BB1D1D；
（2）平面BDF∥平面B1D1H；
（3）A1O⊥平面BDF；
（4）平面BDF⊥平面AA1C．
7．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，
侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求
此三棱柱的侧面积和体积．
8．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积VP-ABC．
9．如图6为某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，
点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.
沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合，请画出其直观图，试问需要几个
这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCDABCD1111？
10． 如图10，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，
AA1=2a，M、N分别是BB1、DD1的中点．
（1）求证：平面A1MC1⊥平面B1NC1；
（2）若在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V，
三棱锥M-A1B1C1的体积为V1，求V1：V的值．
11．直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCAB，E是A1C的中点，
EDAC
1
且交AC于D，AAABBC122 (如图11) ．
（I）证明：BC11//平面ABC1；
（II）证明：AC1平面EDB．
A
Q
B
P
D S C
R
图6
图
11
D
E
A1
C
B
A
C1
B1
A
N
B
C
D
A1
B1
C1
D1
图
10
M
参考答案
1．D 2．B 3．D 4．A 5．D
6．解析：（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助
平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是．
（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，
在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，
转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF．
（3）为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，
再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线．
猜想A1O⊥OF．借助于正方体棱长及有关线段的关系
计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF．
（4）∵ CC1⊥平面AC，∴ CC1⊥BD
又BD⊥AC，∴ BD⊥平面AA1C
又BD平面BDF，∴ 平面BDF⊥平面AA1C
7．解析：在侧面AB’内作BD⊥AA’于D，连结CD．
∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450
∴ △DAB≌△DAC
∴ ∠CDA=∠BDA=900，BD=CD
∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’
∴ △DBC是斜三棱柱的直截面
在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=a22
∴ △DBC的周长=BD+CD+BC=(2+1)a，△DBC的面积=4a2
∴ S侧=b(BD+DC+BC)=(2+1)ab
∴ V=DBCS·AA’=4ba2
8．解析：取PC和AB的中点M和N
∴ AMBAMBCAMBPABCPSPC31VVV
在△AMB中，AM2=BM2=172-82=25×9
∴ AM=BM=15cm，MN2=152-92=24×6
∴ S△AMB=21×AB×MN=21×18×12=108(cm2)
∴ VP-ABC=31×16×108=576(cm3)
9．解：它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥（如图）．
需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.
10．解：（1）取CC1的中点P，联结MP、NP、D1P(图18)，
则A1MPD1为平行四边形 ∴ D1P∥A1M，∵A1B1C1D1是边长
为a的正方形，又C1P=a，
∴C1PND1也是正方形，∴C1N⊥D1P．∴C1N⊥A1M．
又 C1B1⊥A1M，∴ A1M⊥平面B1NC1，又A1M平面A1MC1， ∴平面A1MC1⊥平面B1NC1； （2）V=32a ，VM-A1B1C1=VC-MA1B1=23111326aaa，∴ V1：V =112 11．证明：（I）证： 三棱柱ABCABC111中BCBC11//， 又BC平面ABC1，且BC11/平面ABC1， BC11//平面ABC1 （II）证：三棱柱ABCABC111中AAAB1， RtAAB1中，ABAB221，BCABABC11，是等腰三角形． E是等腰ABC1底边AC1的中点， ACBE1① 又依条件知 ACED1② A Q B P D S C R 第九题 图11 D E A1 C B A C1 B1 A N B C D A1 B1 C1 D1 图 10 M
A B C D
E
H
G
A1 B1 C1 D1
第九题
且EDBEE③
由①，②，③得AC1平面EDB．