第13课时 二次函数的图象与性质(中考复习第一轮)

∴当b≤x≤b＋3时，y随x的增大而减小， ∴当x＝b＋3时，y最小值＝(b＋3)2＋b(b＋3)＋b2＝3b2＋9b＋ 9，∴3b2＋9b＋9＝21，即b2＋3b－4＝0，解得b1＝1(舍)， b2＝－4，∴二次函数解析式为y＝x2－4x＋16， 综上所述，b＝ 或 7 b＝－4， x7 ＋7或y＝x2－4x＋16. ∴此时二次函数的解析式为y＝x2＋
(3)抛物线y＝x2－3kx＋2k＋ ∵抛物线与x轴的两个交点在y轴的两侧，
∴x1x2＜0， 1 2k ＋ c 1 4 ∴x1x2＝ ＝ ＜0，即k＜－ . a 8 1
变式拓展 已知：二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)． (1)当b＝2，c＝－3时，求二次函数的最小值； (2)当c＝b2时，若在自变量x的值满足 b≤x≤b＋3的情况下， 与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析 式．
性
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) a>0时，当x＝⑦ 判断 函数 性质 a<0时，y的最大值
4ac b 2 为⑧________ ； 4a
b 最 ______ 的最小 2a 时，y 4ac b 2 值 值为 ； 4a 离对称轴越近的点函
数值越小
离对称轴越近的点 函数值越大
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) a，决定抛物
特殊 关系 b2－4ac 2a＋ b 2a－ b
b － 与1比较 2a b － 与－1比较 2a
与x轴交点个数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) a＋ b＋ c 判断 特殊 关系 令x＝1，看纵坐标
a－ b＋ c
4a＋2b＋c
令x＝－1，看纵坐标
令x＝2，看纵坐标
4a－2b＋c
令x＝－2，看纵坐标
(3)抛物线与x轴无交点⇔b2－4ac＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0 无实数根． 2. 二次函数与不等式的关系 (1)ax2＋bx＋c>0的解集⇔函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x 轴上方对应的点的横坐标的取值范围； (2)ax2＋bx＋c<0的解集⇔函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x 轴下方对应的点的横坐标的取值范围．
判断
函数
性质
对称轴
b 直接运用公式x＝①________ 求解 2a 注：还可利用x＝(其中x1、x2为y值 相等的两个点对应的横坐标)求解
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
顶 1. 直接运用顶点坐标公式
判断 函数 性质
b 4ac b 2 ( , ) 点 2a 4a ②________________ 求解； 坐 2. 运用配方法将一般式转化为顶点式求解； 标 3. 将对称轴的x值代入函数表达式求得对应y值
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) a>0时，在对轴左侧 a<0时，在对称轴⑤ 判断 函数 性质 增减 ，y随x的增大而③ ________ 减小；在对称 轴右侧，y随x的增 增大 大而④________ 左侧 ，y随x的 ________ 增大而增大；在对 右侧， 称轴⑥______ y随x的增大而减小
解：(1)当b＝2，c＝－3时，二次函数的解析式为y＝x2＋2x －3，即y＝(x＋1)2－4， ∴当x＝－1时，二次函数取得最小值－4； (2)当c＝b2时，二次函数的解析式为y＝x2＋bx＋b2，其图象 b 是开口向上，对称轴为x＝－ 的抛物线， 2 b ①若－ ＜b，即b＞0， 2 ∴当b≤x≤b＋3时，y随x的增大而增大，
(6)根据图象回答：x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0；x 取何值时，y随x的增大而增大；x取何值时，y随x的增大而 减小？ 当x＜－1或x＞3时，y＞0；当－1＜ x＜3时，y＜0；当x＞1时，y随x的 增大而增大；当x＜1时，y随x的增 大而减小．
练习1 已知：抛物线y＝x2－3kx＋2k＋. 0 ； (1)当顶点在y轴上时，k的值为________ 1 1或- ； (2)当顶点在x轴上时，k的值为________ 9 1 (3)当函数图象经过原点时，k的值为________ 8； (4) 当函数图象与 1 x 轴的两个交点在 y 轴的两侧时， k 的取值 k范围为________ 8 ．
解法提示： (1)∵抛物线y＝x2－3kx＋2k＋ ∴－3k＝0，解得k＝0； (2)∵抛物线y＝x2－3kx＋2k＋ ∴b2－4ac＝0， ∴(－3k)2－4×1×(2k＋
1 顶点在y轴上， 4 1 在x轴上， 4
1 解得k＝1或k＝－ ； 9
1 )＝0， 4
1 经过原点， 1 1 4 ∴2k＋ ＝0，解得x＝－ ； 4 8 1 2 (4)设抛物线y＝x －3kx＋2k＋ 的两个交点坐标为(x1，0)， 4 (x2，0)，
y＝a（x-h-m）2＋k 向右平移m个单位 方法二：y＝ax2＋bx＋c左右平移时，给每一个x都加m或减m. 规律： 向左平移m个单位 左+ y＝a（x+m）2＋b(x＋m)＋c
向右平移m个单位 右-
y＝a（x-m）2＋b(x－m)＋c

基础点 5
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1．二次函数与一元二次方程的关系 (1)抛物线与 x轴有两个交点 ⇔b2 － 4ac ＞ 0⇔方程 ax2 ＋ bx ＋c＝0有两个不相等的实数根； (2)抛物线与x轴有一个交点⇔b2－4ac＝0⇔方程ax2＋bx＋ c＝0有两个相等的实数根；
例2题图
【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称 b 轴为直线x＝－ ＝－1＜0，∴b＝2a，∴b＜0，∵抛物 2a 线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，∴①错误 ；∵x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，∴②正确；∵抛物线 的对称轴为直线x＝－1，抛物线与x轴的一个交点在点(0 ，0)和(1，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(－3 ，0)和(－2，0)之间，∴当x＝－2时，y＞0，∴4a－
线与y轴交点
的位置
c>0
c<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 判断
b2－4ac＝0
b2－4ac，决 定抛物线与x 轴交点个数 b2－4ac>0
与x轴有唯一交点(顶 点) 两个 与x轴有⑬________
函数
图象
交点 与x轴没有交点
b2－4ac<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 判断
＞ 0 a㉔____ b＞ 0 = 0 c㉕____ b2－4ac＞0
＜ 0 a㉖____ ＞ 0 b㉗____ c＝0 b2－4ac＞0
a＞ 0 = b㉘____0 c=0 = b2－4ac㉙__0
基础点 3
二次函数表达式的确定
1．表达式的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)；
x＝ 1 ； 轴为________ －4 ； 1 时，函数取最小值，最小值为________ (3)当x＝____
(0，－3) ，与x轴交点坐标 (4)函数图象与y轴交点坐标为__________ (－1，0)，(3，0) ； 为_________________
(5)画出此函数图象；
例1题图
例1题解图
未知，则代入任意一点坐标；若有两个未知，则代入任
意两点坐标；若三个都未知，根据下表所给的点坐标选
择适当的表达式
已知 顶点＋其他点 与x轴的两个交点＋其他点
与x轴的一个交点＋对称轴＋其他点
所设表达式 y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－x1)(x－x2)
任意三个点
y＝ax2＋bx＋c
(2)联立方程(组)，求得系数或常数项；将所得系数或常数
＝a(x－h)2＋ka 为常数， a≠0 ， (h ， k) 为顶点 (2) 顶点式：y ____________(
坐标)；
y＝a(x－x1)(x－x2) (3)交点式：_________________ (a为常数，a≠0，x1，x2
为抛物线与x轴交点的横坐标)；
(4)三种表达式之间的关系 顶点式 配方 一般式 因式分解 交点式，若顶点在原 点，可设为y＝ax2. 2．待定系数法求二次函数的表达式： (1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，若系数a、b、c中有一个
类型
2
二次函数图象与系数a、b、c的关系
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 图象如图所示，给出以下四个结论：①abc ＜0；②a＋b＋c＜0；③4a＋c＞2b；④2a－ b＝0；⑤m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)，其中， 正确结论的个数为( C) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
项代入表达式即可．
基础点 4
二次函数图象的平移
向上平移m个单位
(1)上加下减： y＝ax2＋bx＋c (2)左加右减： 方法一： y＝ax2＋bx＋c
化为
y＝ax2＋bx＋c＋m
y＝ax2＋bx＋c＋n
向下平移m个单位
y＝a（x-h）2＋k
规律： 向左平移m个单位
左+
右-
y＝a（x-h+m）2＋k
重难点精讲优练
类型 1 二次函数的顶点坐标、对称轴与增减性
例1 在探究二次函数图象性质的过程中，x与y的对应值 如下表： x … －1 0 1 2 3 …
y
…
0
－3
－4
－3
0
…
x y
… …
－1 0
0 －3
1 －4
2 －3
3 0
… …
y＝x2－2x－3 ； (1)表中二次函数表达式为______________ 上 (1，－4) ，对称 (2)函数图象开口向________ ，顶点坐标为________
2．根据函数图象判断相关结论
＞ 0 a⑭____ ＞ b⑮____0
c＜0
a⑯＜ ____0