JY3第三讲乘法公式(一)

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人教版七年级上册第3讲有理数的乘法

第3讲有理数的乘法知识导航1.有理数的乘方；2.科学计数法与近似数；3.定义新运算与规律探究.【板块一】有理数的乘方题型一基本计算【例1】填空：（1）42＝__________；（2）()42-＝__________；（3）42-＝__________ （4）()20181-＝__________；（5）20181-＝__________；（6）()20181-＝__________；【例2】选择：下列各式正确的个数是（）①()2222-=-； ②()2222-=； ③2222-=； ④()3322-=； ⑤()3322-=-.A .1个B .2个C .3个D .4个题型二混合运算【例3】计算：（1）()33422()93-÷⨯-；（2）()3231225()44-+-⨯--÷（3）()222143(2)()2225-+--⨯-+-；（4）()()232322222-+--+--题型三探究规律【例4】综合探究：观察下面三行数－2， 4，－8， 16，－32， 64， ……； ① 0， 6，－6， 18，－30， 66， ……； ② －1， 2，－4， 8，－16， 32， ……； ③（1）第①行第8个数是_________，第②行第8个数是_________，第③行第8个数是_________；（2）第①行第n 个数是_________；（用字母n 表示）若设第①行第n 个数为x ，则第②，③行第n 个数分别为__________，__________；（用含x 的式子表示）（3）第③行中是否存在连续的三个数的和为－192，若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由. （4）是否存在这样的一列数，使得其中的三个数的和为1282，若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由.针对练习11.对任意实数a ，下列式子不成立的是（）A . ()22a a =- B . ()33a a -=-C . 33a a -=D . 22a a -=2.填空：（1）（－3）2＝_________；（2）（－3）3＝_________；（3）－（－3）2＝____________.（4）下列各式中：①－（－5）；（2）－5-；③（－5）2；④－5²；⑤－（－5）4；⑥－（－5）3，其中结果为正数的有：____________（填序号）. 3.计算：（1）－3²－（－2）²；（2）（－2）²＋（－2²）－（－3²）＋（－3）²（3）()()232524-⨯--÷；（4）()()3232438⨯--⨯-+.（5）222143(2)()2225-+-⨯-+-；（6）()()()()344423112---÷-+-⨯-.4.观察下面三行数：－3， 9，－27， 81 … ① 1，－3， 9，－27 … ② －2， 10，－26， 82 … ③ （1）第①行数按什么规律排列？（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？（3）设x ，y ，z 分别为第①②③行的2018个数，求x ＋6y ＋z 的值.【板块二】科学记数法与近似数知识导航1.科学计数法:把一个数写成a×10n(其中1≤|a|＜10，n为正整数)的记数方法叫做科学记数法.注意点:①1≤|a|＜10;②n＝整数位数－1.(等于小数点向左移动的位数)2.近似数:接近真实数值的一个数.取近似值的方法有三种:四舍五入法、进一法、去尾法.一般采取四舍五入的方法取近似值.一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.题型一科学记数法【例5】(2018株洲)据资料显示，地球的海洋面积约为360 000 000平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积面积约为多少平方千米( )A.36×107B.3.6×108C.0.36×109D.3.6×109【例6】(2018绵阳)四川省公布了2017年经济数据GDP排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP总量为2 75亿元将2075亿用科学记数法表示为( )A.0.2075×1012B.2.075×1011C.20.75×1010D.2.075×1012题型二近似数【例7】下列各数精确到什么位?请分别指出来.(1)0.016; (2)1680; (3)1.20; (4)2.49万，【例8】用四舍五入法得到a的近似数1.30，其准确数a的范围是( )A.1.25≤a＜1.35B.1.25＜a＜1.35C.1.294＜a＜1.305D.1.295≤a＜1.305针对练习 21.一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿km，用科学记数法表示1.496亿是( )A.1.496×107B.14.96×108C.0.1496×108D.1.496×1082.用四舍五人法，对下列各数按括号中的要求取近似数:(1)0.6328(精确到0.01)(2)7.9122(精确到个位)(3)130.96(精确到十分位)(4)46021(精确到百位)3.已知一台计算机的运算速度为1.2×109次/秒.(1)求这台计算机6×103秒运算了多少次?(2)若该计算机完成一道证明题需要进行1.08×1013次运算，求完成这道证明题需要多少分钟4.车工小王加工生产了两根轴，当它把轴交给质检员验收时，质检员说:“不合格，作废!”小王不服气地说:“图纸要求精确到2.60m，一根为2.56m，另一根为2.62m，怎么不合格?”(1)图纸要求精确到2.6m，原轴的范围是多少?(2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难?【板块三】定义新运算与规律探究【例9】我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103＋6×102＋5×101＋7×100，数要用10个数码(又叫数字):0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码:0和1，如二进制中110＝1×22＋1×21＋0×20＝6即等于十进制的数6，110101＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝53，等于十进制的数53.计算二进制中的数101011等于十进制中的哪个数?【例10】我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算定义:如果a b ＝N (a ＞0，a ≠1，N ＞0) ，则b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b . 例如:因为53＝125，所以log 5125＝3;因为112＝121，所以log 11121＝2. (1)填空:log 66＝，log 381＝ . (2)如果log 2(m －2)＝3，求m 的值.针对练习31.(1)将二进制数10101换成十进制数是 ; (2)将十进制数13换成二进制数是 .2.探索规律:观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题. 1＋3＝4＝221＋3＋5＝9＝32 1＋3＋5＋7＝16＝421＋3＋5＋7＋9＝25＝52(1)试猜想113＋5＋7＋9＋…＋19＝ ;(2)试猜想1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1)＋(2n ＋3)＝ ; (3)请用上述规律计算:1001＋1003＋1005＋…＋2015＋2017(请算出最后数值哦!)13579※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※【板块四】有理数的计算技巧方法技巧计算是数学的核心和根本，计算能力的强弱将直接影响到数学成绩的好坏，抓数学必先抓计算学习有理数的运算，除了要熟练掌握基夲的运算法则外，若能根据题目的结构特点，采用适当的计算技巧，不仅能够提高计算速度，而且还能提高正解率，达到事半功倍的效果.方法一对消法将相加得零的数结合计算【例11】计算:8＋(－4)＋6＋4＋12＋(－8)＋(－2)方法二凑整法将和为整数的数结合计算【例12】计算:36.54＋22.57＋63.46＋(－10.57)方法三归类法将同类数(如正数或负数)归类计算【例13】计算:16＋(－25)＋24＋(－35)方法四组合法将分母相同或易于通分的数结合计算【例14】计算:57721 56(10)2() 241524153 -++--+-方法五观察法根据0，1，－1在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0，1或－1的部分优先计算.【例15】计算:(－2019)2÷(－201816)×(3.75－334)＋(－1)2018方法六变序法运用运算律改变运算顺序【例16】计算:3887 (1)(1) 59158--⨯-方法七逆用法正难则反，逆用运算律改变次序【例17】计算:(－128)÷(－37)＋62÷37＋187÷(－37)方法八拆项法将复杂的项拆开来算【例18】计算:(－13379)÷(－7)方法九 “两定“法进行乘除运算时，先定符号，再定积．第一步一般可同时完两件事：一是先确定最终的符号：二是把所有带分数化成假分数并把所有除法变为乘法；第二步约分【例19】计算：17124(2)(1).22545-÷÷-⨯-方法十裂项法常见的裂项一般是将一项拆分成两項或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，其中分数的裂项是重要考点“裂项”型运算：11;b a a b a b-=-⨯ “裂差”的基本类型： ① 111;(1)1n n n n =-++②11();(1)1a a n n n n =-⨯++③1111();()n n k k n n k=-⨯++【例20】计算：1111.26129900++++【例21】计算：1111.24466820182020++++⨯⨯⨯⨯方法十一换元法如果算式较为复杂，并且某些体反复出现，则可尝试将这些整体用字母代替，化繁为简。

三年级上册数学课件口算乘法人教版(共24张PPT)

答：3人需要36元。
新课讲授
做一做
小组合作：想：12×4=？
新课讲授
做一做 12×4= 48
10×4=40 2×4=8
10×4=40,2×4=8,4 0+8=48
新课讲授
做一做
21cnjy
口算下面各题，说说你是怎样想的。
20×7= 140
21×4= 84
200×7= 1400
23×2= 46
700×2= 1400
32×3= 96
归纳总结
口算乘法：
1.整十整百数乘一个数，先用整十整百数0前面的数与这个数相乘，再在积的后面添1个0或2个0。
2.两位数乘一位数，先把两位数分成整十数和一位数，再分别与一位数相乘，最后把两次乘得的积相加。
巩固提升
21cnjy
1.轻轻松松来口算。 50×2= 100 300×3= 900 14×2= 28
数学人教版三年级上
口算乘法
导入新课
你会做吗？
口算。
2×3=（ 6 ）
3×3=（ 9）
2×4=（ 8） 1×4=（ 4） 3×5=（ 15）
3×4=（ 12） 2×5=（ 10） 2×2=（ 4）
导入新课
游乐园
21cnjy
游乐园真热闹呀！
你能提出用乘法解决的数学问题吗？
新课ห้องสมุดไป่ตู้授
你知道吗？
坐碰碰车每人20元，3人需要多少钱？
3.水果店运来了20箱梨，30箱苹果，每箱都是 9千克。水果店一共运来多少千克水果？
小组合作
你会列式计算吗？说说你是怎样想的。
巩固提升
3.水果店运来了20箱梨，30箱苹果，每箱都是 9千克。水果店一共运来多少千克水果？

2024–2025学年初升高数学衔接及预备知识(全国)衔接点01 乘法公式(解析版)

衔接点01乘法公式1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意义和应用2、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式展开与化简3、掌握立方和，立方差公式，并能灵活展开与化简4、掌握三数和公式展开过程，并能灵活应用1、初中知识再现（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；注意公式的正逆应用.（2）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+（3）高频应用方式：①222()2x y x y xy+=+-②222()2x y x y xy+=-+③22()()4x y x y xy+=-+④22()()4x y x y xy-=+-⑤2222()()2()x y x y x y ++-=+⑥22()()4x y x y xy+--=2、高中相关知识（1）立方和公式：3322()()x y x y x xy y +=+-+（2）立方差公式：3322()()x y x y x xy y -=-++（3）两数和立方公式：33223()33x y x x y xy y +=+++过程：32223223()()()()(2)33x y x y x y x y x xy y x x y xy y +=++=+++=+++（4）两数差立方公式：33223()33x y x x y xy y -=-+-过程：32223223()()()()(2)33x y x y x y x y x xy y x x y xy y +=++=+++=+++（5）三数和平方公式：2222()2()x y z x y z xy yz xz ++=+++++过程：2222222()(())()2()2()x y z x y z x y x y z z x y z xy yz xz ++=++=++++=+++++对点特训一：平方差公式的应用典型例题例题1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一个长方形的宽为2x y -，长为2x y +，则这个长方形的面积是（）A．224x y -B．224x y +C．222x y -D．222x y +【答案】A【分析】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据长方形的面积公式进行计算即可．【详解】解：由长方形的面积公式可得，22(2)(2)4x y x y x y +-=-．故选：A ．例题2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（）A．()()m n n m +-B．()()m n m n +--C．()()m n n m --D．()()m n n m ++【答案】A【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．【详解】解：A．()()22m n n m n m +-=-，能用平方差公式计算，因此选项A 符合题意；B．()()()2m n m n m n +--=-+，能用完全公式计算，因此选项B 不符合题意；C．()()()2m n n m m n --=--，能用完全公式计算，因此选项C 不符合题意；D．()()()2m n n m m n ++=+，能用完全公式计算，因此选项D 不符合题意；故选：A例题3．（2023·浙江丽水·模拟预测）先化简，再求值：()()()2422121x x x --+-，其中=1x -．【答案】1617,33x -+【分析】本题考查整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．先根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，再合并同类项，最后将x 的值代入化简后的式子计算即可．利用平方差公式，单项式乘多项式计算，然后进行加减运算可得化简结果，最后代值求解即可．【详解】解：(2)(2)(1)a a a a +-+-224a a a =-+-4a =-，将2024=a 代入原式202442020=-=．对点特训二：完全平方公式的应用典型例题例题1．（2023·广西南宁·模拟预测）阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“已知6a b +=，8ab =，求2a +2b 的值．”可以这样解：将完全平方公式222()2a b a ab b +=++变形得到2a 222()262820b a b ab +=+-=-⨯=．请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形BHEC 周长为16，15BHEC S =长方形，则ABCD CEFG S S +正方形正方形的值是（）A．34B．31C．64D．94【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用．熟练掌握完全平方公式在几何图形中的应用是解题的关键．由题意知，()216a b +=，15ab =，根据()2222ABCD CEFG a b a b ab S S =+++=-正方形正方形，计算求解即可．【详解】解：由题意知，()216a b +=，15ab =，解得，8a b +=，∴()22222821534ABCD CEFG a b S b S a b a =+=+=+--⨯=正方形正方形，故选：A．例题2．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）若()()222023202526x x -+-=，则()22024x -的值是（）A．4B．8C．12D．16【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式()222a b a ab b ±=±+，熟练运用整体思想是解题的关键．设2024x a -=，(1)任选材料中一种方法解答：若()()22108124x x -+-=，求()(10x -(2)如图1，长方形ABCD 空地，15AB =米，12BC =米，在中间长方形度相同，设该宽度为x 米，则长方形EFGH 中，EF =米，FG =米（用含(3)在（2）的条件下，如图2，以长方形EFGH 四边为直径在形外做半圆，的面积为30平方米，求种花的面积．（结果保留π）【答案】(1)60-对点特训三：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的应用【答案】（1）33+a b ，33a b -；（2）6；（3）14；（4）198【分析】（1）根据整式的混合运算法则展开计算即可；（2）利用完全平方公式变形，再代入求值；（3）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；（4）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；【详解】解：（1）()()22+-+a b a ab b =322223a ab ab a b ab b -++-+=33+a b ()()22a b a ab b -++=322223a ab ab a b ab b ++---=33a b -，故答案为：33+a b ，33a b -；（2）22a b +=()22a b ab-+=2221+⨯=6；（3）33a b -=()()22a b a ab b -++=()()23a b a b ab ⎡⎤--+⎣⎦=()22231⨯+⨯=14；（4）66a b +=()()224224a b a a b b +-+=()()22222223a b ab a b a b ⎡⎤⎡⎤-++-⎢⎥⎣⎦⎣⎦=()()2222163+⨯-=198【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．2．（23-24七年级上·上海普陀·阶段练习）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：()()2233a b a ab b a b +++=+立方差公式：()()2233a b a ab b a b -++=-如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：99a b +（2）因式分解：66a b -（3）已知：6631a b ab a b +==+，，的值【答案】（1）（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）．（3）322【分析】根据已知条件中的公式分解即可．【详解】（1）因式分解：a 9＋b 9＝（a 3）3＋（b 3）3＝（a 3＋b 3）（a 6−a 3b 3＋b 6）＝（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）因式分解：a 6−b 6＝（a 2）3−（b 2）3＝（a 2−b 2）（a 4＋a 2b 2＋b 4）＝（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a 2＋b 2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a 6＋b 6=（a 2＋b 2）（a 4−a 2b 2＋b 4）＝[（a＋b）2−2ab][（a 2＋b 2）2−2a 2b 2−a 2b 2]＝7×（49−3×1）＝322．【点睛】本题考查了因式分解−运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．3．（23-24七年级上·全国·单元测试）阅读理解题：拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把3234x x -+分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成()()32133x x +--，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：原式()()()()()32213311311x x x x x x x =+--=+-+-+-()()()()22113312x x x x x x =+-+-+=+-公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+，()()3322a b a b a ab b -=-++A．()()a b a b +--B．()()b m m b -+-C．()()x b x b --D．()()x a x a +-【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，根据平方差公式的形式：()()22a b a b a b +-=-，逐项判断即可．【详解】A、()()()()a b a b a b a b +--=-++，该选项不符合题意；B、()()()()b m m b m b m b -+-=--，该选项不符合题意；C、该选项不符合题意；D、()()x a x a +-符号平方差公式，该选项符合题意．故选：D3．（23-24八年级上·贵州黔南·阶段练习）在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形()a b >（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（）A．()2222a b a ab b +=++B．()2222a b a ab b -=-+C．()()22a b a b a b -=+-D．()()2222a b a b a ab b +-=--【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出图甲和图乙中的阴影部分面积，再根据图甲和图乙中阴影部分面积相等，即可得到答案．【详解】解：图甲中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即为22a b -；图乙中阴影部分面积为一个长为a b +，宽为a b -的长方形面积，即为()()a b a b +-；∵图甲和图乙中阴影部分面积相等，∴()()22a b a b a b -=+-，故选：C．4．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）下列各式，能用平方差公式计算的是（）A．()()11a a --B．()()22a a -+-C．()()a b a b -+-D．()()a b a b +-+【答案】D【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．【详解】解：A、()()()()1111a a a a --=---，不能用平方差公式计算，不符合题意；B、()()22a a -+-，不能用平方差公式计算，不符合题意；C、()()()()a b a b a b a b -+-=---，不能用平方差公式计算，不符合题意；D、()()()()a b a b a b a b +-+=-+-，能用平方差公式计算，符合题意；故选D．5．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．()()11a a -+B．()()a b a b ---+C．()()22a b b a+-D．()()x y x y +--【答案】D【分析】此题主要考查了乘法公式，根据乘法公式进行计算即可得到结论．【详解】解：A．()()2111a a a -+=-，故能用平方差公式计算，不符合题意；B．()()()2222a b a b a b a b ---+=--=-，故能用平方差公式计算，不符合题意；C．()()()2222242a b b a b a b a +=---=，故能用平方差公式计算，不符合题意；D．()()()()2222222x x xy y x xy y x y x y y =-=-+++-=---+-，故不能用平方差公式计算，符合题意．故选：D．6．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）多项式291x +加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单项式不能是（）A．6xB．6x -C．3x ±D．6x±【答案】C【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：多项式291x +加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单项式可以是6x ±,不能是3x ±,故选：C．7．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）若多项式216x mx ++是完全平方式，则m 的值为（）A．16B．4C．8±D．16±【答案】C【分析】本题考查完全平方式．根据2164=可确定m 是4的2±倍即可．【详解】222164x mx x mx ++=++ 248m ∴=±⨯=±．(1)观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是202220231a b m m ∴+=-+-=-，22(2022)(2023)2023m m -+-= ，222023a b ∴+=，1a b +=- ，2()1a b ∴+=，2221a ab b ∴++=，202321ab ∴+=，22022ab ∴=-，1011ab ∴=-，(2022)(2023)1011m m ∴--=-，(2022)(2023)m m ∴--的值为1011-．。

初升高衔接课件3乘法公式ppt_3

乘法公式
乘法公式: ⑴平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2. ⑵完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.
计算 ⑴(x+2y+z)2;
解:原式=x2+(2y)2+z2+2x·2y+2xz+2·2yz =x2+4y2+z2+4xy+2xz+4yz.
证明:(a+b)(a2－ab+b2)=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3 (a－b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2－a2b－ab2－b3=a3－b3
注:这两个公式的左边是两个数的和(或者差),与一个三项式相乘, 其首末两项是这两个数的平方和,中间减去(或加上)它们的积,右边是这两个数的立方和(或者立方差).
例：下列各式,能用立方和,立方差公式计算的是
__②__④____.
①(a－1)(a2－a+1);
②(x2－y)(x4+x2y+y2);
③(a+b)(a2－2ab+b2); ④(a － 2b)(a2+2ab+4b2).
⑸两数和立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; 两数差立方公式:(a－b)3=a3－3a2b+3ab2－b3。
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=64+132=196=142,
∴a+b+c=14,所有棱长的和为4(a+b+c)=4×14=56。

3乘法公式与法则

乘法公式与法则：1、同底数的幂的乘法法则：同底数的幂相乘，等于底数不变，指数相加。

即：m n m n a a a += ；2、幂的乘方的法则：幂的乘方，等于底数不变，指数相乘。

即：()n m mn a a =；3、积的乘方的法则：积的乘方，等于每个因式的乘方的乘积。

即：()n n n ab a b = ；4、商的乘方的法则：商的乘方，等于分子分母分别乘方的商。

即：nn n b b a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 5、多项式乘以多项式的法则：多项式乘以多项式，等于把其中一个多项式里的每一项分别乘以另一个多项式里的每一项，再把所得的积相加。

即：()()a b m n am an bm bn ++=+++6、2()()()x a x b x a b x ab ++=+++(b )a 这里的与都是已知数；7、平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；8、两数和的完全平方公式：222()2a b a ab b +=++；9、两数差的完全平方公式：222()2a b a ab b -=-+；10、三数和的完全平方公式：2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++；11、立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+；12、立方差公式：2233()()a b a ab b a b -++=-；13、两数和的立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++；14、两数差的立方公式：33223()33a b a a b ab b -=-+-；公式变形：1、222()2a b a b ab +=+-；2、222()2a b a b ab +=-+；3、22()()4a b a b ab +=-+；4、22()()4a b a b ab -=+-；5、22()()4a b a b ab +--=；6、2222()ab a b a b =+--；7、2222()ab a b a b =+--；8、333()3()a b a b ab a b +=+-+；9、333()3()a b a b ab a b -=-+-。

第三讲条件概率与独立事件

P ( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
90 89 10 0.0826 100 99 98
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第三讲条件概率与独立事件
例４:（罐子模型）设罐中有b个黑球，r个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，还加进c 个同色球和d个异色球．记 Bi＝“第i次取出的是 Rj 黑球”，＝“第j次取出的是红球”．若连续从罐中取出三个球，其中有两个红球，一个黑球，则由乘法公式得
P( B1 R2 R3 ) P( B1 ) P( R2 B1 ) P ( R3 B1R2 )
b rd r d c b r b r c d b r 2c 2d
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第三讲条件概率与独立事件
P( R1 B2 R3 ) P( R1 ) P( B2 R1 ) P ( R3 R1B2 )
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第三讲条件概率与独立事件
由全概率公式可得 P(是)=P(白球)P(是1白球)+P(红球)P(是１红球) 由于 P(是)=已知 P(红球)=已知 P(白球)=已知 P(是1白球)=已知故P(是１红球)可得。
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第三讲条件概率与独立事件
1.4
性质4
贝叶斯公式
若事件B1, B2 , ··, Bn是样本空间的一个分割， ·· ·· 且P(A)>0, P(Bi)>0，则
P( Bi | A) P( Bi ) P( A | Bi )
P( B j ) P( A | B j ) j 1
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n

七年级数学拓展第三讲整式的乘法讲义

第三讲整式的乘法整式的乘法1.乘方知识回顾求多个相同因数的乘积的运算，叫做乘方。

一般地将乘方写做a n ，读作a 的n 次方，也读作a 的n 次幂，其中a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果叫做幂和数字的乘方运算类似，字母的乘方运算也遵循以下法则（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即m n m n a a a+⋅=（2）乘积的幂，等于各因数的幂的乘积，即()n n n a b a b⋅=⋅（3）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()n m mna a =（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即()m n m n a a am n -÷=>（5）任何不为0的数的0次幂都是“1”，即a 0=1一般的，我们不用特意强调字母a 、b 的取值范围，但是我们默认它们要使得整个式子有意义，例如上面的（4）、（5）中，都要求a ≠0在整式的乘法运算中，我们主要会用到上面的（1）、（2）、（3）2.单项式乘以单项式（1）系数相乘作为积的系数；（2）相同字母的因式相乘，应用同底数幂的运算法则底数不变，指数相加；（3）只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一项例如：()()()3232525(25)10x x y x x y x y⨯=⨯⨯⋅⨯=注意：单项式与单项式的乘积仍然是单项式3.单项式乘以多项式利用乘法分配律，用单项式分别去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式相乘的形式，再把得到的所有乘积相加例如：()()()2323253235232(5)610a a ab a a a ab a a b ⎡⎤⨯-=⋅+⋅-=-⎣⎦4.多项式乘以多项式先把其中一个多项式看作整体，用它去乘另一个多项式的每一项，利用分配律拆开括号。

此时括号由两个减少为一个。

再利用单项式乘以多项式的方法，将所有括号拆开，最后将所有项加起来例如：注意：把所有括号展开后，最后一定要记得合并同类项例1.计算：()()54232233232224(1)(2)3()3(3)(4)m n m n a a x xy z ⋅⨯⨯-⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()232222432322322(1)371(2)2(3)354(4)332ax a xy mn mnx a b a bc ac a b ab a b ⋅---⋅-⋅--⋅-⋅-例3.计算：()()()232222(1)(4)3211(2)8742(3)()25(4)7834xy x xy x x x x y xy a ab b b a b +-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+⎛⎫--++- ⎪⎝⎭()()()()22222222(1)(31)(2)(2)(2)35(3)2(32)(54)1(4)4(32)2(5)2326(6)(232)23x y a b a b x y x y m n n m n x y z x y z bc ab ac a b c ++--+-⎛⎫++ ⎪⎝⎭++-+++-+例5.计算：(1) (x+2)(y+2)(z+2)(2) (x+1)(y+1)(z+1)(3) (x+7)(y+2)(1-x+xy)(4) (3x+2)(6y+5)(2z+1)一元整式的乘法关于一元整式（只含有一个字母）的乘法，我们可以运用列竖式来运算。

1-乘法公式精讲

乘法公式乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

1、基本公式完全平方和公式：完全平方差公式：平方差公式：立方和公式：立方差公式：2、公式的推广：三个数的和的平方公式：两数和的立方公式：两数差的立方公式：欧拉公式：欧拉公式变式：3、公式的变形及其逆运算a2+b2=ab=a3+b3=●当n为正整数时，a n－b n能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

例1. 己知x+y=a，xy=b，求①x2+y2②x3+y3③x4+y4④x5+y5例2.求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。

例3.求证：2222＋3111能被7整除例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律1、填空：①a 2+b 2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a －b)2+___③a 3+b 3=(a+b)3－3ab(___) ④a 4+b 4=(a 2+b 2)2－____ ⑤a 5+b 5=(a+b)(a 4+b 4)－_____ ⑥a 5+b 5=(a 2+b 2)(a 3+b 3)－____2、填空：①(x+y)(___________)=x 4－y 4②(x －y)(__________)=x 4－y 4③(x+y)( ___________)=x 5+y 5④（x －y ）(__________)=x 5－y 53、计算：①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=4、计算下列各题，你发现什么规律⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=5、已知x x 1=3, 求①x 2+21x ②x 3+31x ③x 4+41x的值6、化简：①（a+b ）2(a －b)2②(a+b)(a 2－ab+b 2)③(a －b)((a+b)3－2ab(a 2－b 2)④(a+b+c)(a+b －c)(a －b+c)(－a+b+c)7.己知a+b=1, 求证：a 3+b 3－3ab=18.己知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值9.求证：233＋1能被9整除10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方的直径分别是a,b,c①求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长②求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。

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博思教育初一数学春季班教材
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第三讲乘法公式（一）
【知识梳理】
乘法公式是特殊的多项式乘法，不仅常用，更重要的是它比使用多项式乘以多项式的法则要简
单、方便和快捷，在以后学习的内容中，如计算、因式分解中也起着重要的作用。
1、常用公式：
（1）2222)(bababa→abbaba2)()(222 （完全平方公式）
（2）22))((bababa （平方差公式）
（3）])()()[(21222222accbbaacbcabcba
2、平方差公式结构特点：
（1）等号左边两数相同，两数相反。
（2）等号右边符号相同数的平方减去符号相反数的平方。
3、完全平方公式结构特点：
（1）等号左边两数均相同或两数均相反。

（2）2a与2b符号相同。
（3）2a、2b与ab2都是二次式。
（4）222)2()2(babbaa
（5）22ba，ba，ab三式知二求一。
【例题精讲】
【例1】计算：（1）)2)(2(yxyx （2）)23)(23(baba

【巩固】计算：
（1）)2)(2(yxyx （2）)2)(2)(4)(16(24xxxx
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（3）1.1009.991002 （4）22498502

【例2】计算：1)13)...(13)(13)(13(23242

【巩固】计算：)1(2)12)(12)(12(12842

【例3】计算：（1）2)52(yx （2）22)()(yxyx
【巩固】计算：（1）2)2(ba （2）22498502
【例4】计算：（1）2201620162016201420162015222 （2）22)111049()11150(
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【例5】（1）x241加上一个单项式，使其成为一个完全平方式.请你写出所有符合条件的单项
式 .

（2）求84222yxyx的最小值。

【巩固】已知942mxx是一个完全平方式，则_______m
【例6】（1）已知5ba，6ab，求22ba、44ba的值。

（2）已知三角形ABC的三边长分别是a、b、c，且有：0222cabcabcba，试判
断三角形ABC的形状

【巩固】已知,20082009xa 20092009xb，20102009xc，求代数式
cabcabcba
222
的值