第三讲+复杂乘法公式以及配方十分钟训练(提高班)
稍复杂的分数乘法应用题课件
涉及分数与整数相乘的应用题
总结词
这类题目要求我们掌握分数与整数的乘法运算，理解分数与整数相乘的意义，并能够灵 活运用。
详细描述
涉及分数与整数相乘的应用题通常会要求我们将一个整数与一个分数相乘，或者将一个 分数与一个整数相乘。例如，题目可能要求我们计算 $3 times frac{4}{5}$ 或
$frac{2}{3} times 4$ 的结果。这需要我们理解分数与整数相乘的意义，即“一个数乘 上一个分数等于这个数与分子相乘，与分母相除”。
04
练习与巩固
基础练习题
01
02
03
总结词
掌握分数乘法的基本概念 和计算方法
题目1
一本书共有200页，已经 读了1/4，还剩多少页未 读？
题目2
一个果园里有桃树20棵， 梨树是桃树的3/4，梨树 有多少棵？
中等难度练习题
总结词
提高分数乘法的应用能力 和计算技巧
题目1
一个班级有男生24人，女 生是男生的3/4，女生有多 少人？
分数乘法的运算规则
01
同分母的分数相乘，分 子相乘，分母保持不变 。
02
异分母的分数相乘，先 通分，然后再进行分子 相乘、分母相乘。
03
04
分数与整数相乘，直接 将整数与分子相乘，分 母保持不变。
例如：$frac{2}{3} times 2 = frac{2 times 2}{3} = frac{4}{3}$。
涉及分数的加减乘混合运算应用题
总结词
这类题目要求我们掌握分数的加减乘混合运算，理解各运算之间的关系，并能够灵活运用。
详细描述
涉及分数的加减乘混合运算应用题通常会包含多个运算，如加法、减法和乘法等。例如，题目可能要求我们计算 $frac{3}{4} + frac{1}{2} times frac{2}{3}$ 的结果。这需要我们理解加减乘混合运算的优先级，并能够正确运用 运算顺序进行计算。
华东师大初中数学八年级上册乘法公式(提高)知识讲解[精品]
![华东师大初中数学八年级上册乘法公式(提高)知识讲解[精品]](https://img.taocdn.com/s3/m/95da2032964bcf84b9d57bc7.png)
乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】【高清课堂 乘法公式 知识要点】 要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三：【高清课堂 乘法公式 例1（7）（8）】 【变式1】计算：(1)2(3)(9)(3)x x x -++(2)(a ＋b )( a －b )( 22a b +)( 44a b +) 【答案】解：(1)原式＝[(x ＋3)(x －3)](29x +)＝(29x -)(29x +)＝481x -． (2)原式＝[(a ＋b )( a －b )]( 22a b +)( 44a b +) ＝[(22a b -)( 22a b +)]( 44a b +)＝(44a b -)( 44a b +)＝88a b -．【变式2】（2015•内江）（1）填空：（a﹣b）（a+b）= ；（a﹣b）（a2+ab+b2）= ；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= ．（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）= （其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．【答案】解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．2、（2016春•户县期末）先化简，再求值．已知|m﹣1|+（n+）2=0，求（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）的值．【思路点拨】先根据非负数的性质，求出m，n的值，再根据平方差公式求代数式的和即可．【答案与解析】解：∵|m﹣1|+（n+）2=0，∴m﹣1=0，n+=0，∴m=1，n=﹣，∴（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）=m4n2﹣1==1×﹣1==﹣．【总结升华】本题考查了非负性的应用，解决本题的关键是熟记乘法公式，掌握公式的基本形式，才能使问题更加简单化．举一反三：【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩【答案】 解： (3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩①②由①得22921x x x --+>，210x >，5x >．由②得2225(2)44x x x -<-，2225444x x x -<-，425x -<-， 6.25x >．∴ 不等式组的解集为 6.25x >．类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”． 【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c--=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；2222-+++=-+++，所以最小值为4.222514x xy y y x y y提示：()()。
【精选】北师大版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．【答案】(1)1；(2)3．【解析】【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a-b=4，ab+c2-6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．【详解】解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0，∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，∴(x+y)2+(y+1)2=0，∴x+y=0，y+1=0，解得，x=1，y=−1，∴2x+y=2×1+(−1)=1；(2)∵a−b=4，∴a=b+4，∴将a=b+4代入ab+c2−6c+13=0，得b2+4b+c2−6c+13=0，∴(b2+4b+4)+(c2−6c+9)=0，∴(b+2)2+(c−3)2=0，∴b+2=0，c−3=0，解得，b=−2，c=3，∴a=b+4=−2+4=2，∴a+b+c=2−2+3=3．【点睛】此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.2．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．【解析】【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD 的面积求解．【详解】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；（3）∵a+b=10，ab=20，∴S阴影=a2+b2﹣12（a+b）•b﹣12a2=12a2+12b2﹣12ab=12（a+b）2﹣32ab=12×102﹣32×20=50﹣30 =20．【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积.3．若一个正整数x 能表示成22a b -(,a b 是正整数，且a b >)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解. 例如：因为22532=-，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：22222222()M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 是正整数)，所以M 也是“明礼崇德数”，()x y +与y 是M 的一个平方差分解.(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；(2)已知2246N x y x y k =-+-+(,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+)，要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若m 既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m 的所有平方差分解.【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，222794845=-，222792011=-.【解析】【分析】(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；(2)根据题意分析N 应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N 平方差分解，得到答案；(3)确定“七喜数”m 的值，分别将其平方差分解即可.【详解】(1)∵9=52-42，∴9是“明礼崇德数”，故答案为：是；(2)当k=-5时，N 是“明礼崇德数”，∵当k=-5时，22465N x y x y =-+--，=224649x y x y -+-+-，=22(44)(69)x x y y ++-++，=22(2)(3)x y +-+，=(23)(23)x y x y ++++--=(5)(1)x y x y ++--.∵,x y 是正整数，且1x y >+，∴N 是正整数，符合题意，∴当k=-5时，N 是“明礼崇德数”；(3)由题意得：“七喜数”m=178或279，设m=22a b -=（a+b ）（a-b ），当m=178时，∵178=2⨯89，∴892a b a b +=⎧⎨-=⎩，得45.543.5a b =⎧⎨=⎩（不合题意，舍去）； 当m=279时，∵279=3⨯93=9⨯31，∴①933a b a b +=⎧⎨-=⎩，得4845a b =⎧⎨=⎩，∴222794845=-， ②319a b a b +=⎧⎨-=⎩，得2011a b =⎧⎨=⎩，∴222792011=-， ∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m 是279，222794845=-，222792011=-.【点睛】此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.4．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：若代数式M ＝a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2，利用配方法求M 的最小值：a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2＝a 2﹣2ab +b 2+b 2﹣2b +1+1＝（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+1．∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣1）2≥0，∴当a ＝b ＝1时，代数式M 有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2+4a + ；（2）若代数式M ＝214a +2a +1，求M 的最小值； （3）已知a 2+2b 2+4c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c +2＝0，求代数式a +b +c 的值． 【答案】（1）4；（2）M 的最小值为﹣3；（3）a +b +c=122. 【解析】【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；（2）先提取14，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案； （3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a ，b ，c 的值，从而问题得解．【详解】（1）∵a 2+4a+4＝（a+2）2故答案为：4；（2）M ＝21a 4+2a+1 ＝14（a 2+8a+16）﹣3 ＝14（a+4）2﹣3 ∴M 的最小值为﹣3（3）∵a 2+2b 2+4c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c+2＝0，∴（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+（2c ﹣1）2＝0，∴a ﹣b ＝0，b ﹣1＝0，2c ﹣1＝0∴a ＝b ＝1，1c=2 ， ∴a+b+c=122.． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．5．你会对多项式(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．对于(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12．解法一：设x 2+5x ＝y ，则原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y 2+5y ﹣6＝(y+6)(y ﹣1)＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．解法二：设x 2+5x+2＝y ，则原式＝y(y+1)﹣12＝y 2+y ﹣12＝(y+4)(y ﹣3)＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．解法三：设x 2+2＝m ，5x ＝n ，则原式＝(m+n)(m+n+1)﹣12＝(m+n)2+(m+n)﹣12＝(m+n+4)(m+n ﹣3)＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：(1)(x 2+x ﹣4)(x 2+x+3)+10；(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2；(3)(x+y ﹣2xy)(x+y ﹣2)+(xy ﹣1)2．【答案】（1） (x+2)(x-1) (2 x x ++1)(2)(266x x ++)2(3) (x+y-xy-1)2【解析】【分析】（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++因式分解即可；（2）()()()()21236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x ,令n=256x x ++，再将原式=（n+2）n+x 2进行因式分解即可；（3）令a=x+y,b=xy ，代入原式即可因式分解.【详解】（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++=m 2-m-2=(m-2)(m+1)= (2x x +-2)(2x x ++1)=(x+2)(x-1) (2x x ++1)(2)()()()()21236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x , 令n=256x x ++，原式=（n+2）n+x 2=n 2+2n+x 2=(n+x)2=(266x x ++)2(3) 令a=x+y,b=xy ，原式=()()()2221a b a b --+-=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2【点睛】此题主要考查复杂的因式分解，解题的关键是读懂材料学会材料中因式分解的方法.6．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)]＝(1＋x )2(1＋x )＝(1＋x )3.(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；(2)若分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；(3)分解因式：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n (n 为正整数).【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n ＋1.【解析】【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．【详解】(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）(3)原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1]＝(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2]＝(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－3]＝(1＋x)n(1＋x)＝(1＋x)n＋1.【点睛】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.7．一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m为“半期数”；把四位数m的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c﹣a ﹣d|最小时，称此时的m′是m的“伴随数”，并规定F（m′）＝a2+c2﹣2bd；例如：m＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F（5236）＝52+32﹣2×2×6＝10．（1）最大的四位“半期数”为；“半期数”3247的“伴随数”是．（2）已知四位数P＝abcd是“半期数”，三位数Q＝2ab，且441Q﹣4P＝88991，求F（P'）的最大值．【答案】（1）4192，7324；（2）42.【解析】【分析】（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b+2c﹣a﹣d|最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．（2）根据定义可知a+b=5，c+d=11．再根据441Q﹣4P=88991，可以算出P的值，从而求出F（P'）的最大值．【详解】解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．故答案为4192；7324．（2）∵P为“半期数”∴a+b=5，c+d=11，∴b=5﹣a，d=11﹣c，∴P=1000a+100（5﹣a）+10c+11﹣c=900a+9c+511．∵Q=200+10a+c，∴441Q﹣4P=88991，∴441（200+10a+c）﹣4（900a+9c+511）=88991化简得：2a +c =7①当a =1时，c =5，此时这个四位数为1456符合题意；②当a =2时，c =3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；③当a =3时，c =1，不符合题意，舍去；综上所述：这个四位数只能是1456，则P '可能为4561，5614，6145．∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P 的“伴随数”，∴F （5614）=a 2+c 2﹣2bd =25+1﹣2×6×4=﹣22；F （4561）=a 2+c 2﹣2bd =16+36﹣2×5×1=42；F （6145）=a 2+c 2﹣2bd =36+16﹣2×1×5=42；∴F （P '）的最大值为42．【点睛】解决本道题的关键是理解好半期数的定义：一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m 的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”，然后根据当|b +2c ﹣a ﹣d |最小时，称此时的m '是m 的“伴随数”来确定伴随数．8．阅读下列材料：1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为：对于一个高于二次的关于x 的多项式，“x a =是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x a -）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．例如：分解因式3223x x +-．∵1x =是32230x x +-=的一个解，∴3223x x +-可以分解为()1x -与另一个整式的乘积．设()()322231x x x ax bx c +-=-++ 而()()()()2321x ax bx c ax b a x c b x c -++=+-+--，则有 1203a b a c b c =⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，得133a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而()()32223133x x x x x +-=-++ 运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）①运用上述方法分解因式323x x ++时，猜想出3230x x ++=的一个解为_______（只填写一个即可），则323x x ++可以分解为_______与另一个整式的乘积；②分解因式323x x ++；（2）若1x -与2x +都是多项式32x mx nx p +++的因式，求m n -的值．【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②3223=(1)(3)x x x x x +++-+；（2）3【解析】（1）①计算当x=-1时，方程成立，则323x x ++必有一个因式为（x+1）,即可作答； ②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；（2））设32=(1)(2)x mx mx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，然后列方程组求解即可．【详解】解：（1）①323x x ++，观察知，显然x=-1时，原式=0，则3230x x ++=的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．故答案为：x=-1；（x+1）②设另一个因式为（x 2+ax+b ），（x+1）（x 2+ax+b ）=x 3+ax 2+bx+x 2+ax+b=x 3+（a+1）x 2+（a+b ）x+b∴a+1=0 ，a=-1， b=3∴多项式的另一因式为x 2-x+3．∴3223=(1)(3)x x x x x +++-+．（2）设32=(1)(2)x mx nx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解， ∴可得108420m n p m n p +++=⎧⎨-+-+=⎩①②， ∴②-①，得m-n=3∴m n -的值为3．【点睛】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．9．由多项式的乘法：(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)．(1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.【答案】(1) (x+2)(x ＋4)；(2) x ＝4或x ＝－1.【解析】【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．(1)原式=(x+2)(x ＋4)；(2)x 2－3x －4＝(x －4)(x ＋1)＝0，所以x －4＝0或x ＋1＝0，即x ＝4或x ＝－1.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．探究题：观察下列式子：（x 2-1）÷（x -1）=x +1；（x 3-1）÷（x -1）=x 2+x +1；（x 4-1）÷（x -1）=x 3+x 2+x +1；（x 5-1）÷（x -1）=x 4+x 3+x 2+x +1；（1）你能得到一般情况下(1)(1)n x x -÷-的结果吗？（n 为正整数）（2）根据（1）的结果计算：1+2+22+23+24+…+262+263．【答案】（1）12n n x x --++…+1；（2）6421-． 【解析】【分析】（1）根据已知的式子可得到的式子是关于x 的一个式子，最高次数是n-1，共有n 项； （2）把2当作x ，即可把所求的式子看成是两个二项式的商的形式，逆用（1）的结果即可求解．【详解】由题意可得：（1）()()1211n n n x x x x ---÷-=++ (1)（2）()()234626364641222222212121+++++⋯++=-÷-=-． 【点睛】 考查了多项式与多项式的除法，观察所给式子，发现运算规律是解题的关键.。
初高中衔接知识专题乘法公式
初高中衔接知识专题乘法公式
先来看今天的知识点：
乘法公式：
1. 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b
2.
2. 立方和公式： (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b
3.
3. 立方差公式： (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3.
4. 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2;
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
5. 完全立方公式：
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
这些公式可以用多项式乘多项式的方法，通过计算获得，亲爱的同学，你可以把这些公式作为练习，自己计算一下.
记忆这些公式时，要注意以下几点：
第一：要注意公式中有负号时，负号所处的位置.
第二：完全平方公式展开后，每一项的次数都是2，如果某一项里面有两个字母，它的系数也是2，如： 2ab；如果某一项是单独一个字母的平方，它的系数是1，如： a2.
完全立方公式与此类似.
有“负号”的那个完全立方公式，展开后，如果某一项含有b的奇数次方，这一项的符号就是“负号”. 如： -3a2b，因为它含有b的一次方，所以它的符号是“负号”.
千万不要小看上面的这两道例题哦，它们不但经常会出现在初中的一些探究题中，而且可以作为最基本的模型，在高中的好多知识模块中都能用到. 亲爱的同学，你一定要好好琢磨这两道例题的特点和解法，最好能自己再做一遍.。
2021年秋华师大版八年级上册 12.3乘法公式(复习)课件ppt
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试一试
1、已知x+y=3,x2+y2=5,则xy的 值等于多少？
2、已知x-y=4,xy=21,则x2+y2的 值等于多少？
作业： 补充练习
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结构特征: 左边是 二项式(即两数和 (差) )的平方; 右边是 两数的平方和加上(减去)这两数
乘积的两倍.
练一练
计算：
（1）（x＋2）（x－2） （2）（－m－n）（－m＋n） （3）（x＋y）2 （4）（－m－n）（m＋n）
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改一改
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (3) （3a+2）（3b-2）=9ab-4 (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (4) （0.5+a)(-a+0.5)=a2 -0.25
学校公开课 教育教学样板
讲课人：教育者
年
班
城南中学 蒲元军
回顾
(a+b)(a−b)=a2 − b2;
公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积.
右边是 这两数的平方差.
回顾
两数和的平方: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2 两数差的平方: (a-b)2= a2 - 2 ab + b2
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想一想
.若x2 y2 12，x y 6，则x=
,
y
.
解：( x y) 12
x y 6
x y 2
x 4, y 2
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想一想
已知x+y=3，xy=-12，求下列各式 的值。
2020年暑假初升高衔接课——乘法公式(含详细解答)
2020年暑假初升高衔接课——乘法公式主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式公式一、平方差公式在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下：1.2.3.4.5.公式三、立方和公式公式四、立方差公式例1、计算例2、计算例3、已知a、b是方程的两个根，求：（1）；（2）；（3）；（4）【解答】（1）77；（2）（3）112；（4）24【解析】∵a、b是方程的两个根，∴a+b=7，ab＝11.（1）；（2）；（3）；乘法公式巩固练习一. 选择题1．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2【解答】C【解析】A、m3•m2＝m5，故A错误；B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．2．如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2B．（m+n）2＝m2+2mn+n2C．（m﹣n）2＝m2+n2D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）【解答】D【解析】图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），3．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．ab﹣b2＝b（a﹣b）【解答】A【解析】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.4．如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a【解答】A【解析】设左上角阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，S＝S1﹣S2＝AD•AB﹣5a•AD﹣3a•AB+15a2﹣[BC•AB﹣b（BC+AB）+b2]＝BC•AB﹣5a•BC﹣3a•AB+15a2﹣BC•AB+b（BC+AB）﹣b2＝（5a﹣b）BC+（b﹣3a）AB+15a2﹣b2．∵AB为定值，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，∴5a﹣b＝0，∴b＝5a．5．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36【解答】C【解析】∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．二．填空题6．已知（a+b）2＝7，a2+b2＝5，则ab的值为．【解答】﹣1【解析】∵（a+b）2＝7，∴a2+2ab+b2＝7，∵a2+b2＝5，∴7+2ab＝5，∴ab＝﹣1．7．我们规定一种运算：，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2，．按照这种运算规定，当x＝时，＝0．【解答】8【解析】由题意得（x+2）（x﹣2）﹣（x+4）（x﹣3）＝0，x2﹣4﹣（x2+x﹣12）＝0，解得x＝8．8．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解析】连接EC，∵正方形ACDE和正方形CBFG，∴∠ACE＝∠ABG＝45°，∴EC∥BG，∴△BCG和△BEG是同底（BG）等高的三角形，即S△BCG＝S△BEG，∴当BC＝n时，S n n2，∴S2020﹣S201920202201922020+2019）（2020﹣2019）＝；9．如果，那么a+2b﹣3c＝．【解答】0【解析】原等式可变形为：a﹣2+b+1+ ﹣5（a﹣2）+（b+1）+ +5＝0（a﹣2+4+（b+1+1+ 0（﹣2）2+﹣1）2+ 0；即：﹣2＝0﹣1＝0﹣1＝0，∴＝2，＝1＝1，∴a﹣2＝4，b+1＝1，c﹣1＝1，解得：a＝6，b＝0，c＝2；∴a+2b﹣3c＝6+0﹣3×2＝0．10．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n展开式共有项，系数和为．【解答】（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n【解析】（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．三．解答题11．已知x+y＝﹣6，xy＝5，求下列代数式的值：（1）x+y（1﹣x）；（2）x2+y2．【解答】（1）﹣11；（2）26【解析】（1）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴原式＝x+y﹣xy＝﹣6﹣5＝﹣11；（2）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣6）2﹣2×5＝26．12．已知A＝2x+3，B＝x﹣2．化简A2﹣AB﹣2B2，并求当x＝【解答】1【解析】∵A＝2x+3，B＝x﹣2，∴A2﹣AB﹣2B2＝（2x+3）2﹣（2x+3）（x﹣2）﹣2（x﹣2）2＝4x2+12x+9﹣（2x2﹣4x+3x﹣6）﹣2（x2﹣4x+4）＝4x2+12x+9﹣2x2+4x﹣3x+6﹣2x2+8x﹣8＝21x+7，当x＝21×（）+7＝1．13．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2]÷y，其中x＝﹣1，y＝﹣2．【解答】﹣2【解析】原式＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣2y2）÷y＝（﹣4xy+3y2）÷y＝﹣4x+3y，当x＝﹣1，y＝﹣2时，﹣4x+3y＝4﹣6＝﹣2．14. 已知，求的值.【解析】15. （1，，求的值；（2）若，求的值.【解答】（1）40；（2）27【解析】（1）将代入得.16. 已知三角形的三条边分别是a、b、c，且满足等式，试确定三角形的形状.【解答】等边三角形【解析】由已知得，∵a、b、c，∴，即，，，，，，即三角形为等边三角形.17．前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来验证，请结合下列两组图形回答问题：图①说明：左侧图形中阴影部分由右侧阴影部分分割后拼接而成；图②说明：边长为（a+b）的正方形的面积分割成如图所示的四部分．（1）请结合图①和图②分别写出学过的两个乘法公式：图①：；图②：．（2）请利用上面的乘法公式计算：①1002﹣99×101；②（60）2．【解答】（1）①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，②（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1，②3602【解析】（1）由图①可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；由图②可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1002﹣99×101＝1002﹣（100﹣1）×（100+1）＝1002﹣（1002﹣1）＝1002﹣1002+1＝1；②（60）2＝（）2＝3600+2+＝3602．18．要说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程．（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立．【解答】见解析【解析】（1）小刚：（a+b+c）2＝（a+b+c）（a+b+c）＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）小王：（a+b+c）2＝[（a+b）+c]2＝（a+b）2+2（a+b）c+c2＝a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2；（3）小丽：如图所示：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc，19．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x 的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝2020，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．【解答】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；（2）①13；（2）﹣4036【解析】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy．（2）①由题意得：把a2+b2＝10，a+b＝6代入上式得，②由题意得：（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝（2021﹣c+c﹣2019）2﹣2（2021﹣c）（c﹣2019）＝22﹣2×2020＝﹣4036．20．如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：S阴影＝．方法2：S阴影＝．（2）写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系为．（3）①若（2m+n）2＝14，（2m﹣n）＝6，则mn的值为．②已知x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．【解答】（1）4ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①40，②x﹣y＝6，或x﹣y ＝﹣6【解析】（1）方法1：图2的阴影部分面积等于图1的面积，即2a×2b＝4ab，方法2：大正方形与小正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，（2）由（1）可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）①由（2）得，4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2＝142﹣62＝（14+6）（14﹣6）＝20×8＝160，∴mn＝160÷4＝40，②由（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，把x+y＝10，xy＝16代入得，（x﹣y）2＝102﹣4×16＝36，∴x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6．21．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：；方法2：；（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：若ab＝2，a+b＝4，求a2+b2的值．【解答】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）12【解析】（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即，a2+b2，方法2，阴影部分的面积等于总面积减去两个长方形的面积，即，（a+b）2﹣2ab，（2）两种方法求得的结果相等，因此有，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（3）由（2）得，ab＝2，a+b＝4，求a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12．22．如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分面积为：（用a、b的代数式表示）；（2）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（3）利用（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求（x﹣y）2的值；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式；（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解答】（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）16；（4）（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab；（5）2019.5【解析】（1）图2中，阴影部分的边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为（a﹣b）2，也可以从边长为（a+b）的正方形面积减去图1的面积，即（a+b）2﹣4ab＝a2+b2﹣2ab，（2）通过（1）的计算可知，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝26﹣9＝16，（4）整体长方形的面积为（3a+b）（a+b），图中八个四边形的面积和为3a2+b2+4ab，因此有：（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab，（5）如图，连接EC，则EC∥BG，如图所示：∴S△BEG＝S△CBG＝BC2，∴S2020﹣S20192020220192，＝2020+2019）（2020﹣2019），＝2019.5，。
复杂整式乘法公式专题讲义
复杂乘法公式一、完全平方公式系列多个完全平方公式： (a ＋b )2＋(b ＋c )2+(c ＋a )2多个完全平方公式： (a ＋b ＋c )2 (a ＋b ＋c ＋d)2高次：完全立方公式：(a ＋b )3 (a －b )3多个完全平方公式： (a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2=2a 2＋2b 2＋2c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac变形 2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab ＋2bc －2ac =(a －b )2＋(b ＋c )2+(c －a )2 （符号）变形 a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ac = 2)()()(22a c c b b a +++++ （系数） 变形 与 (a ＋b ＋c )2 转化(1) (a ＋b )2＋(b －c )2+(c ＋a )2=2a 2＋2b 2＋2c 2＋2ab －2bc ＋2ac (2) a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac =2)()()(22a c c b b a -+-+- 2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac = (3) a 2＋b 2＋c 2－ab ＋bc －ac =2)()()(22a c c b b a -+++- 2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab ＋2bc －2ac 已知a=201x ＋20，b =201x ＋19，c =201x ＋21，求代数式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值. 解：原式=2222222222ac bc ab c b a ---++ =2)2()2()2(222a ca c c bc b b ab a +-++-++- = 2)()()(222a c c b b a -+-+- 又由已知解得： a －b=(201x ＋20)－(201x ＋19)=1 b －c=(201x ＋19)－(201x ＋21)=－2 c －a=(201x ＋21)－(201x ＋20)=1 代入原式=21)2(1222+-+=3 已知：a －b=3，b －c=1，求代数式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值.原式=2)()()(22a c c b b a -+-+-=2)4(13222-++=13 a －b=3，b －c=1，a －b ＋b －c=a －c=4 c －a=－4多项完全平方公式： (a ＋b )2=a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b ＋c )2 =a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac(a ＋b ＋c ＋d )2 =a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋2ab ＋2ac ＋2ad ＋2bc ＋2bd ＋2cd 项数：平方项＋每个字母互乘次数：均为2次系数：平方项系数为1，其余系数均为2变形： (a ＋b －c )2 = [a ＋b ＋(－c )]2 (符号)变形： 与 (a ＋b )2＋(b ＋c )2+(c ＋a )2 转化(a ＋b )2＋(b ＋c )2+(c ＋a )2 = (a ＋b ＋c )2 ＋(a 2＋b 2＋c 2)(x ＋y ＋3)2 =x 2＋y 2＋32＋2xy ＋2x · 3＋2y · 3=x 2＋y 2＋9＋2xy ＋2x · 3＋2y · 3(2x －y －21z )2 =[2x ＋(－y )＋(－21z )]2=(2x )2＋(－y )2＋(－21z )2＋2·2x (－y )＋2·2x (－21z )＋2·(－y )(－21z ) =4x 2＋y 2＋41z 2－4xy －2xz ＋yz 完全立方公式：项数：按某个字母降幂排列次数：均为3次系数：杨辉三角 1，3，3，1(a ＋b )3 = a 3＋3a 2b ＋3ab 2 ＋b 3(a －b )3 = [a ＋(－b )]3 = a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3(x ＋2)3 = x 3＋3x 2·2＋3x·22 ＋23 = x 3＋6x 2＋12x ＋8(3x ＋2y )3 =(3 x 3＋3·(3x )2·2y ＋3·3x·(2y )2 ＋(2y )3 =27 x 3＋54x 2y ＋36x y 2＋8 y 3(4a －5b )3 =[ 4a ＋(－5b )]3 = (4a )3＋3(4a )2(－5b )＋3·4a (－5b )2＋(－5b )3=64a 3－240a 2b ＋300ab 2－125b 3已知：x ＋y =1，求 x 3＋ y 3＋3xy 的值. ⇒ x =1－y方法一：特值 ⇒选填方法二：公式 原式 =(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)＋3xy =x 2－xy ＋y 2＋3xy =x 2＋2xy ＋y 2=(x ＋y )2 =1 方法三：降次 原式 =(1－y )3＋ y 3＋3y (1－y )=13－3y ＋ 3y 2－ y 3＋ y 3＋3y －3y 2=1方法四：大除法：若a ＋b =5，求 a 3＋b 3＋15ab 的值.原式=(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＋15ab =5a 2－5ab ＋5b 2＋15ab =5a 2＋10ab ＋5b 2 =5(a ＋b )2 = 125二、平方差公式系列立方和，立方差(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2) =a 3＋b 3(a －b )(a 2＋ab ＋b 2) =a 3－b 3⇓ ⇓ ⇓ ⇒系数均为1一次 二次 三次(x ＋2)(x 2－2x ＋4) = x 3＋8(2a ＋5b )( 4a 2－ 10ab ＋ 25b 2 )=8a 3＋125b 3① ②(2x －1)(4x 2＋2x ＋1) = 8x 3－1① ② (3a －2b )( 92a ＋ 6ab ＋ 42b ) = 271a 3－81b 3 (x －2)(x ＋2)(x 4＋4x ＋16) = (x 2－4)(x 4＋4x ＋16)= x 6－64三、大除法⇒代数式A =代数式B ×代数式C ＋ 常数(B =0或C =0 )已知 x 2－3x －1 =0，求代数式2x 3－3x 2－11x ＋8的值.方法一、降次 x 2=3x ＋12x 3=2x · x 2=2x ·(3x ＋1) =6x 2＋2x =20x ＋6－3x 2=－3·(3x ＋1)=－9x －3原式=20x ＋6－9x －3－11x ＋8=11 321139389326281132132223232++--+---+----x x x x x xx x x x x x x （草稿纸）过程：原式=(2x ＋3)(x 2－3x －1)＋11=11如果x 2＋x －1=0，求代数式x 3＋2x 2－7的值.16177212223232+----+-+-+-+x x x x x xx x x x x x解：由已知可得 原式=(x ＋1)(x 2＋x －1)－6=0×(x ＋1)－6=－6已知x 2＋x ＋5=0，求代数式x 5＋2x 4＋4x 3＋2x 2－11x ＋2的值. 127521022113252521124252322232323423434523452--+---+--------+++-+++-+++++x x x x x x x xx x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x原式=(x 2＋x ＋5)(x 3＋x 2－2x －1)＋7=7如图1，在五边形ABCDE 中，∠E=90°，BC=DE ，连接AC ，AD .且AB=AD ，AC ⊥BC ，(1) 求证：AC=AE△ABC ≌△ADE (HL)⇓AC=AE如图2，若∠ABC=∠CAD ，AF 为BE 边上的中线，求证：AF ⊥CD .等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACE ， F 为BE 中点⇒婆氏AE//BC ⇒延长AF 交BC 延长线于点E ，平行得全等△EAF ≌△BGF (AAS)AF=FG ， BG=AE=AC设∠CAD=α⇒∠ABC=90°－∠BAC=α，△ABG ≌△DAC (SAS)⇒∠ADC=∠BAG=β⇒∠AHD=∠BAD=90°如图3，在(2)的条件下，AE=6，DE=4，则五边形ABCDE 的面积为多少？由(2) △DAC ≌△ABGS △ACD =S △ABG =21×AC ×BC=21×6×6=18 其中 BG=AC=AE=6由(1)得△ABC ≌△ADES △ABC =S △ADE =21×AE ×DE=21×6×4=12 S 五ABCDE =S △ABC ＋S △ADE ＋S △CAD =12＋12＋18=42。
初一复杂的乘法公式以及配方十分钟训练(尖子班)培训讲学
第二讲复杂的乘法公式以及配方十分钟训练（尖子班）一•填空题(共7小题)1. (32+1) (34+1) ( 38+1) •••( 364+1)X 8+1= ________ .2. 已知m, n是正整数，代数式x2+mx+ (10+n)是一个完全平方式，则n的最小值是_______ ，此时m的值是 _______ .3 .已知x2+ (m+2) x+36是完全平方式，则m的值为 ________ .4.已知实数a, b, c满足a2- 2b=- 2, b2+6c=7, c2- 8a=- 31,则a+b+c 的值等于________ .5 .多项式x2+y2- 4x+2y+8的最小值为________ .6 .若a=1990, b=1991, c=1992,贝U a2+b2+& - ab- bc- ca= _____ .7. __________________________________________ 已知5x2+2y2+2xy- 14x- 10y+17=0,贝U x= _____________________________ ,y ______ .二.解答题(共2小题)8 .求代数式5x2- 4xy+y2+6x+25的最小值.9 .已知m=4x2- 12xy+10y2+4y+9，当x、y各取何值时，m的值最小?第二讲 复杂的乘法公式以及配方十分钟训练(尖子班)参考答案与试题解析•填空题(共7小题)1 • (32+1) (34+1) ( 38+1) •••( 364+1)X 8+1= 3128 •【分析】将分子和分母同时乘以(32- 1),然后根据平方差公式进行计算.(38+1) •••(364+1)X 8+1=(32- 1) (32+1) (34+1 ) (38+1) •••(364+1) +1 =3128 - 1+1 =3128,故答案为：3128.2.已知m , n 是正整数，代数式x 2+mx+ (10+n )是一个完全平方式，则n 的最 小值是 6 ，此时m 的值是 土 8 .【分析】由题意可以得知10+n 是完全平方数，且n 是正整数，可以得出大于10 的最小完全平方数是16,从而可以求出n 值，进而根据完全平方式的性质可以 求出m 的值.【解答】解：：代数式x 2+mx+ (10+n )是一个完全平方式，二10+n 是完全平方数，v m ，n 是正整数，且大于10的最小完全平方数是16，•••10+n=16，二 n=6.由完全平方式的性质可以得出：± mx=8x,• m=± 8.故答案为：土 8, 6【点评】本题考查了完全平方公式的应用； 两数的平方和，再加上或减去它们积 的2倍，就构成了一个完全平方式•注意积的 2倍的符号，避免漏解.【解答】 解：(32+1) (34+1) (38+1) •••(364+1 ) X 8+1=「x( 32+1) (34+1 ) 【点评】此题主要考查平方差公式的性质及其应用, 道好题，计算时要仔细.3 •已知x2+ (m+2) x+36是完全平方式，则m的值为 -14或10 .【分析】这里首末两项是x和6这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和6积的2倍.【解答】解：••• x2+ (m+2) x+36是完全平方式，••• x2+ (m+2) x+36= (x± 6) 2，••• m+2=± 12，•m i=10，m2= —14，故答案是10或-14.【点评】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.4.已知实数a，b，c满足a2—2b= —2, b2+6c=7, c2—8a=—31，则a+b+c 的值等于 2 .【分析】首先将三个式子左边与右边分别相加，即可得：a2—2b+b2+6c+c2—8a+26=0,再将其配方，得(a—4) 2+ ( b—1) 2+ (c+3) 2=0，由非负数的和为0，每个为0,即可求得结果.【解答】解：：a2—2b= —2, b2+6c=7, c2—8a=—31,•a2—2b+b2+6c+c2 —8a+26=0,•( a—4) 2+ (b —1) 2+ (c+3) 2=0,•a- 4=0, b —1=0, c+3=0,•a=4, b=1, c=- 3,•a+b+c=2.故答案为：2.【点评】此题考查了配方法与非负数的和为0,每个为0的性质.题目难度适中，解题时要注意分析.5 .多项式x2+y2- 4x+2y+8的最小值为 3 .【分析】由题意x2+y2- 4x+2y+8= (x- 2) 2+ (y+1) 2+3,然后根据完全平方式的性质进行求解.【解答】解it x2+y2- 4x+2y+8= (x2- 4x+4) +y2+2y+1+3= (x- 2) 2+ (y+1) 2+3 > 3,当且仅当x=2, y=- 1时等号成立，•••多项式x2+y2- 4x+2y+8的最小值为3.故答案为3.【点评】此题主要考查非负数偶次方的性质即所有非负数都大于等于0,本题是一道基础题.6.若a=1990, b=1991, c=1992,则a2+b2+c2- ab- be-ca= 3 .【分析】将a2+b2+C2- ab- be- ca转化为完全平方的形式，再将各数代入求值较简便.【解答】解：因为a=1990, b=1991, c=1992,所以a2+b2+C - ab - bc- ca=- (2a2+2b2+2c2- 2ab- 2bc- 2ca),—[(a2- 2ab+b2) + (b2- 2bc+c2) + (c2- 2ca+a2)],斗(a- b) 2+ (b - c) 2+ (c- a) 2],」[(1990 - 1991) 2+ (1991 - 1992) 2+ (1992 - 1990) 2],丄[(-1) 2+ (- 1) 2+ (+2) 2],=3.【点评】此题考查了完全平方公式和代数式求值，解题的关键是将a2+b2+c2- ab -bc - ca转化为完全平方公式，以简化计算.7.已知5x2+2y2+2xy- 14x- 10y+17=0,贝U x= 1 , y= 2 .【分析】把5x2+2y2+2xy- 14x- 10y+17=0,化为5x2+ (2y- 14) x+2y2-10y+17=0,根据0即可求解.【解答】解：T 5x2+2y2+2xy- 14x- 10y+17=0,化为5X2+ (2y- 14) x+2y2- 10y+17=0,•••△ = (2y- 14) 2-4X 5 X(酉-10y+17)> 0,化简即：-36 (y-2) 2>0,••• y=2,代入得：5 (X- 1) 2=0,二x=1.故答案为：1, 2．【点评】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，难度较大，关键是先从0 入手解出y 的值.二.解答题(共2小题)8. 求代数式5x2- 4xy+y2+6x+25 的最小值.【分析】首先把已知等式变为4X2 - 4xy+y2+x2+6x+9+16，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题.【解答】解：5x2- 4xy+y2+6x+25=4x2- 4xy+y2+x2+6x+9+16=( 2x- y) 2+( x+3)2+16而(2x-y) 2+ ( X+3) 2> 0,•代数式5x2- 4xy+y2+6x+25 的最小值是16.【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，首先利用公式分解因式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题.9 .已知m=4x2- 12xy+10y2+4y+9,当x、y各取何值时，m的值最小？【分析】把9y2分成8y2+y2, 9分成4+5,然后分别与剩余的项组成完全平方形式，从而出现两个非负数的和加上5的形式,忧由于两个非负数的最小值等于0,那么每一个非负数都等于0,从而求出x、y的值，进而得出m的最小值.【解答】解：m=4x2- 12xy+10y2+4y+9=( 2x- 3y) 2+( y+2)2+5,由于m 等于两个非负数的和加上5,所以最小值是0+5=5,即m=5,即2x- 3y=0, y+2=0,• x=- 3, y=- 2.故m=5, x=- 3, y=- 2.【点评】本题主要考查完全平方公式•完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2•注意会正确的拆项.。
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第三讲复杂乘法公式以及配方十分钟训练（提高班）
一．选择题（共4小题）
1．若36x2+kx+16是一个完全平方式，则k的值为（）
A．48 B．24 C．﹣48 D．±48
2．若M的值使得x2+4x+M=（x+2）2﹣1成立，则M的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2
3．如果实数a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，那么（）
A．a，b，c全相等B．a，b，c不全相等
C．a，b，c全不相等D．a，b，c可能相等，也可能不等
4．如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（）A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
二．填空题（共3小题）
5．已知a+b=4，则=．
6．已知a+10=b+12=c+15，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=．
7．已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，则x+y+z=．
第三讲复杂乘法公式以及配方十分钟训练（提高班）
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．若36x2+kx+16是一个完全平方式，则k的值为（）
A．48 B．24 C．﹣48 D．±48
【分析】这里首末两项是6x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去6x和4的积的2倍，故k±2×4×6=±48．
【解答】解：∵（6x±4）2=36x2±48x+16，
∴在36x2+kx+16中，k=±48．
故选D．
2．若M的值使得x2+4x+M=（x+2）2﹣1成立，则M的值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】利用完全平方公式求解即可．
【解答】解：∵x2+4x+M=（x+2）2﹣1成立，
∴（x+2）2+M﹣4=（x+2）2﹣1成立，
∴M﹣4=﹣1，解得M=3．
故选：C．
3．如果实数a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，那么（）
A．a，b，c全相等B．a，b，c不全相等
C．a，b，c全不相等D．a，b，c可能相等，也可能不等
【分析】由题意实数a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，把其凑成完全平方式然后求解．
【解答】解：∵a2+b2+c2=ab+ac+bc，
∴2a2+2b2+2c2=2（ab+ac+bc），
∴a2+b2﹣2ab+a2+c2﹣2ac+b2+c2﹣2bc=0，
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，
又∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a=b且a=c，即a=b=c，
故选A．
4．如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
【分析】把p重新拆分组合，凑成完全平方式的形式，然后判断其最小值．【解答】解：p=a2+2b2+2a+4b+2008，
=（a2+2a+1）+（2b2+4b+2）+2005，
=（a+1）2+2（b+1）2+2005，
当（a+1）2=0，（b+1）2=0时，p有最小值，
最小值最小为2005．
故选A．
二．填空题（共3小题）
5．已知a+b=4，则=8．
【分析】利用完全平方和公式将所求的代数式转化为含有（a+b）的代数式，然后将a+b=4代入求值．
【解答】解：
=（a2+2ab+b2）
=（a+b）2
=×42
=8．
故答案是：8．
6．已知a+10=b+12=c+15，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=19．
【分析】根据已知a+10=b+12=c+15，可得到a﹣b=2，a﹣c=5，b﹣c=3．运用完
全平方式可得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，再将前面的a﹣b、a﹣c、b﹣c的值代入求出结果．
【解答】解：∵a+10=b+12=c+15
∴a+10=b+12⇒a﹣b=2
同理得a﹣c=5，b﹣c=3
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]=[（a ﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]=（4+25+9）=19
故答案为19
7．已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，则x+y+z=2．
【分析】把14分成1+4+9，与剩余的项构成3个完全平方式，从而出现三个非负数的和等于0的情况，则每一个非负数等于0，解即可．
【解答】解：∵x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，
∴x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9=0，
∴（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2=0，
∴x﹣1=0，y+2=0，z﹣3=0，
∴x=1，y=﹣2，z=3，
故x+y+z=1﹣2+3=2．
故答案为：2．。