理论力学第三版(周衍柏)全部习题答案
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力学第三版习题答案
力学第三版习题答案第一章：力学的基本概念- 习题1：解释质量、重量、惯性的区别和联系。
答案：质量是物体的固有属性，与物体所含物质的多少有关。
重量是地球对物体的引力作用，与物体的质量和地球的引力加速度有关。
惯性是物体保持其运动状态不变的能力，与物体的质量成正比。
- 习题2：一个物体的质量为2kg，求其在地球表面受到的重力。
答案：重力G = mg，其中m是质量，g是地球的引力加速度（约为9.8m/s²）。
因此，G = 2kg * 9.8m/s² = 19.6N。
第二章：牛顿运动定律- 习题3：一个物体在水平面上受到一个恒定的力F=10N，求其加速度。
答案：根据牛顿第二定律F=ma，其中F是作用力，m是物体的质量，a是加速度。
如果物体的质量为m，则a = F/m = 10N/m。
第三章：功和能量- 习题4：一个物体从静止开始，经过一段距离后，速度达到v，求外力所做的功。
答案：功W = ΔK，其中ΔK是动能的变化。
动能K = 1/2mv²，因此W = 1/2mv² - 0 = 1/2mv²。
第四章：动量和动量守恒- 习题5：一个质量为m的物体以速度v1撞击一个静止的质量为2m的物体，求碰撞后两物体的速度。
答案：在没有外力作用的情况下，系统动量守恒。
设碰撞后两物体的速度分别为v2和v3，则mv1 = mv2 + 2mv3。
解得v2 = (3/3)v1，v3 = (-1/3)v1。
第五章：圆周运动- 习题6：一个物体在水平面上做匀速圆周运动，其速度为v，求其向心加速度。
答案：向心加速度a_c = v²/r，其中r是圆周运动的半径。
第六章：刚体的转动- 习题7：一个均匀的圆盘，其质量为M，半径为R，关于通过其中心的轴转动。
求其转动惯量。
答案：对于均匀圆盘，其转动惯量I = 1/2MR²。
第七章：流体力学- 习题8：解释伯努利定律，并给出其数学表达式。
理论力学教程周衍柏第三版课件
8
§0.3
力学简史
• 牛顿力学的建立：在哥白尼(日心说)推翻了托勒密的地心 说，和在第谷布拉赫积累的天文观察资料基础上,开普勒发 现了行星三定律——总结万有引力定律，牛顿总结了三定 律(《自然哲学的数学原理》,1687). • 分析力学:（1788）拉格朗日力学建立(至此认为力学天衣无 缝). 近代力学：19世纪末、20世纪初出现了经典力学无法解 • 释 的矛盾. 1）高速（与c比）：相对论（爱因斯坦）；2）微 观粒子：量子力学（薛定谔）；3）纳米技术：0.1~100nm 尺度起关键作用 (原子直径10-10m; 人头发10-4m；人100m).
理论力学教程
（第三版）
周衍柏 编
高等教育出版社
1
§0.1 力学的研究对象
• 力学（mechanics）的研究对象是机械 运动（mechanical motion） • 经典力学研究在弱引力场中宏观物体的 低速运动 • 力学: 运动学、（静力学）、动力学
Nature and nature’s law lay hid in night: God said: let Newton be! And all was light！
x3[0 ln M
1 ln L ( 1) ln T]
由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在上式中它们的系数应分别相等,
理论力学课后习题答案
理论力学课后习题答案理论力学课后习题答案引言：理论力学是物理学的基础课程之一，对于理解和应用物理学的原理和方法具有重要意义。
在学习理论力学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
本文将针对理论力学课后习题进行解答，帮助读者更好地理解和掌握这门课程。
第一章：牛顿力学1. 一个物体以初速度v0沿直线运动，加速度为a，求物体的位移与时间的关系。
答：根据牛顿第二定律F=ma，可得物体所受合力F=ma=mv/t，其中m为物体的质量，v为物体的速度，t为时间。
由此可得物体的位移s=vt+1/2at^2。
2. 一个质点在重力作用下自由下落，求它在t时刻的速度和位移。
答：在重力作用下，质点的加速度为g，即a=g。
根据牛顿第二定律F=ma，可得质点所受合力F=mg。
根据牛顿第一定律，质点的速度随时间的变化率为v=g*t，位移随时间的变化率为s=1/2gt^2。
第二章：拉格朗日力学1. 一个质点沿半径为R的圆周运动，求它的动能和势能。
答：质点的动能由动能定理可得，即K=1/2mv^2，其中m为质点的质量，v为质点的速度。
质点的势能由引力势能可得，即U=-GmM/R，其中G为引力常数，M为圆周的质量。
2. 一个质点在势能为U(r)的力场中运动，求它的运动方程。
答：根据拉格朗日方程可得，质点的运动方程为d/dt(dL/dv)-dL/dr=0，其中L=T-U，T为质点的动能，U为质点的势能。
第三章：哈密顿力学1. 一个质点在势能为U(x)的力场中运动，求它的哈密顿量和哈密顿运动方程。
答：质点的哈密顿量由哈密顿定理可得，即H=T+U，其中T为质点的动能，U为质点的势能。
质点的哈密顿运动方程为dp/dt=-dH/dx，其中p为质点的动量。
2. 一个质点在势能为U(x)的力场中运动，求它的哈密顿正则方程。
答：质点的哈密顿正则方程为dx/dt=dH/dp，dp/dt=-dH/dx，其中x为质点的位置，p为质点的动量。
结论：通过对理论力学课后习题的解答，我们可以更深入地理解和应用物理学的原理和方法。
理论力学教程周衍柏第三版课件_图文
9
§0.4 力学单位制
• 物理理论组成：概念、概念的数学表示假定、方程组（物理 量的关系） 单位制通过以
[P]
X X a1 a2 12
X
am m
上式取对数
ln[P] a1lnX1 a 2lnX2 amlnXm
把lnX1, lnX2, …,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则 （a1,a2,…,am）相当于“矢量”ln[P]在基矢上的投影.
22
定理
设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) P1, P2 ,, Pn, 而我们所选的单位制中有m个基本量(n>m),则由此可以组成n-m
• 在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和 来自间, 它们的量纲分别为L、M和T.
• 任何力学量Q的量纲为[Q]=LαMβTγ，式中, ,
为量纲指数.
21
量纲分析—— 定理
设我们在选定单位制中的基本量数目为m，它们的量纲 为X1，X2，…，Xm. 用[P]代表导出量P的量纲,则
由A=A1+A2得
c2Φ() a2Φ() b2Φ()
消去(),即得 c2 a2 b2
a
c
b
这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.
27
§0.6 微积分预备知识
1 常见函数的导数
y xn
y' dy dxn nx n1 dx dx
y sin x
经典教材——周衍柏理论力学教程及参考答案chp-4
第四章思考题4.1为什么在以角速度ω转动的参照系中，一个矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 在什么情况下0=*dtd G？在什么情况下0=⨯G ω？又在什么情况下0=dtd G？ 4.2式（4.1.2）和式（4.2.3）都是求单位矢量i 、j 、k 对时间t 的微商，它们有何区别？你能否由式（4.2.3）推出式（4.1.2）？4.3在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？ 4.4惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？4.5圆盘以匀角速度ω绕竖直轴转动。
离盘心为r 的地方安装着一根竖直管，管中有一物体沿管下落，问此物体受到哪些惯性力的作用？4.6对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？4.7自赤道沿水平方向朝北或朝南射出的炮弹，落地是否发生东西偏差？如以仰角 40朝北射出，或垂直向上射出，则又如何？4.8在南半球，傅科摆的振动面，沿什么方向旋转？如把它安装在赤道上某处，它旋转的周期是多大？4.9在上一章刚体运动学中，我们也常采用动坐标系，但为什么不出现科里奥利加速度？第四章思考题解答4.1.答：矢量G 的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。
从静止参考系观察变矢量G 随转动系以角速度ω相对与静止系转动的同时G 本身又相对于动系运动，所以矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 。
其中dtd G *是G 相对于转动参考系的变化率即相对变化率；G ω⨯是G 随动系转动引起G 的变化率即牵连变化率。
若G 相对于参考系不变化，则有0=*dt d G ，此时牵连运动就是绝对运动，G ωG ⨯=dt d ；若0=ω即动系作动平动或瞬时平动，则有0=⨯G ω此时相对运动即为绝对运动 dtd dt d G G *=；另外，当某瞬时G ω//，则0=⨯G ω，此时瞬时转轴与G 平行，此时动系的转动不引起G 的改变。
当动系作平动或瞬时平动且G 相对动系瞬时静止时，则有0=dtd G；若G 随动系转动引起的变化G ω⨯与相对动系运动的变化dtd G *等值反向时，也有0=dt d G 。
(完整版)理论力学(周衍柏)绪论及第一章
定理、结论
应用
五、理论力学的发展史
早在(公元前287~212)古希腊阿基米德著的《论比重》就奠定了静 力学基础。
意大利的达芬奇(1452~1519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。
波兰的哥白尼(1473~1543)创立宇宙“日心说”。
德国的开普勒(1571~1630)提出行星运动三定律。 意大利的伽利略(1564~1642)提出自由落体规律、惯性定律及加速度 的概念。 英国伟大科学家牛顿(1643~1727)在1687年版的《自然哲学的数学原 理》一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体 力学等。是力学奠基人。
核磁共振
X光机
4、20世纪初相对论和量子力学的建立，诞生了近代 物理，开创了微电子技术的时代。如：半导体芯片、电 子计算机等。
半导体芯片
5、20世纪60年代，激光器诞生。激光物理的进展使激 光在制造业、医疗技术和国防工业中的得到了广泛的应用。 如：大家熟悉的微机光盘就是用激光读的；光导纤维等。
6、20世纪80年代高温超导体的研究取得了重大突破，为 超导体的实际应用开辟了道路。如：磁悬浮列车等。80年代， 我国高温超导的研究走在世界的前列。
DNA结构发现者英国科学家莫里斯.威尔金斯
DNA的双螺旋结构
航空母舰
海洋石油钻井平台
我国祖先的功绩
赵州桥又名安济桥，全长50.82米，桥面宽9米，是一座单孔坦拱式 桥梁。 赵州桥由隋朝著名工匠李春主持设计建造。他创造的坦拱式、敞肩式 建桥法，在当时堪称独步，桥梁质量上乘。赵州桥结构合理，外型秀 丽，富有民族风格，素有“奇巧固护，甲于天下”的美誉。
大学出版社，2004 7 哈尔滨工业大学理论力学教研室 ，理论力学，高教出版社，2009 8 H.Goldstein, Classical Mechanics, 2-nd edition, Addison
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第三章8-9刚体力学
1 欧勒—潘索情况
力矩为零, 原则上可用欧勒动力学方程求出角速度， 再代入欧勒运动学方程求出欧勒角和时间的函数关系.
以地球自转作为例子来分析. 地球看作扁平球体, I1=I2.
地球的中心作为定点取为坐标原点, z轴于地球的对称 轴重合, 因 I1=I2, Mx=My=Mz=0 ,所以欧勒动力学方程为
I zk
3z
k
M M xi M y j M zk
所以
I1 x I2 I3 yz I2 y I3 I1 zx
M
x
My
I3 z
I1
I2 xy
Mz
——欧勒动力学方程
机械能守恒律（外力为保守力时）
1
2
I xx2
I
2
yy
I
2
zz
V
E
一般来说, 有动力学和运动学方程就可以完全确定刚体的
12l
sin
V 2l R2
sin
i
2V1l
R
cosj
12l
cosk
2 欧勒动力学方程
刚体绕定点O以角速度 转动时, 其运动方程是
dJ
M
dt
J是刚体绕定点O的动量矩, M为诸外力对O点的主矩.
我们选用固定在刚体上并一起转动的坐标系并选用O点 上的惯量主轴为动坐标轴,
Jx＝I1x, Jy＝I2y, Jz＝I3z.
O
I1 x I2 I3 yz M x
I2 y
I3
I1 zx
M
y
I3 z
I1
I2 xy
Mz
——欧勒动力学方程
动量矩的进动 章动
§3.9 重刚体绕固定点转动的解(略）
导读
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章1-3质点力学
r
r0
t dr v dt
t0
2 例1 已知质点的运动方程 r 2t i 19 2t j
求：1）轨道方程；（2）t=2秒时质点的位置、速度以 及加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
解： （1）
x 2t ,
y 19 2t 2
消去时间参数
1 2 y 19 x 2
8 tg 7558 2
1
dr v 2i 4tj dt
-2
dv a 4 j dt
（ 3）
方向沿y轴的负方向 a 4 m s 2 r v 2ti 19 2t j 2i 4tj
t
d 2 h0 2 v0
, hc h0 1 2 h v2 0 0
2 g h0 d 2 2 h0
2 g h0 d 2
0
显然只有
v
2 0
时才可能击中
2 极坐标系
极坐标系：空间p的位置（r，）
当p沿着曲线运动，速度沿轨道 的切线. 沿矢径方向
j p r c v i
2 （ 2） r 2 2 i 19 2 2 j 4 i 11 j t 2 dr v 2i 4tj m/s v t 2 2i 8 j dt
v2 2 8 8.25 m/s
2 2
• 自然坐标系，切向、法向加速度 • 相对运动, 绝对(加)速度、相对(加)速 度、牵连(加)速度.
§1.1
1 质点
运动的描述
具有一定质量的几何点
自由质点：可以在空间自由移动的质点. 确 定它在空间的位置需要三个独立变量.
【理论力学】习题集三答案解析
《理论力学》习题三答案 一、单项选择题（本大题共30小题，每小题2分，共60分） 1. 求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来（ C ）。 A、分析力的变化规律； B、建立质点运动微分方程； C、确定积分常数； D、分离积分变量。 2. 在图1所示圆锥摆中，球M的质量为m，绳长l，若角保持不变，则小球的法向加速度为（ C ）。 A、sing； B、cosg；C、tang； D、tangc。 3. 已知某点的运动方程为2btaS（S以米计,t以秒计，a、b为常数），则点的轨迹为（ C ）。 A、是直线； B、是曲线； C、不能确定； D、抛物线。 4. 如图2所示距地面H的质点M，具有水平初速度0v，则该质点落地时的水平距离l与（ B ）成正比。 A、H； B、H； C、2H；D、3H。
5. 一质量为m的小球和地面碰撞，开始瞬时的速度为1v，碰撞结束瞬时的速度为2v（如图3），若vvv21，则碰撞前后质点动量的变化值为（ A ）。 A、mv ； B、mv2 ； C、mv3； D、 0。 6. 一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量（ B ）。 A、平行； B、垂直； C、夹角随时间变化； D、不能确定。 7. 三棱柱重P，放在光滑的水平面上，重Q的匀质圆柱体静止释放后沿斜面作纯滚动，则系
图1 图2 图3 统在运动过程中（ A ）。 A、沿水平方向动量守恒，机械能守恒； B、动量守恒，机械能守恒； C、沿水平方向动量守恒，机械能不守恒； D、均不守恒。 8. 动点M沿其轨迹运动时，下列几种情况中，正确的应该是（ A ）。 A、若始终有av，则必有v的大小等于常量； B、若始终有av，则点M必作匀速圆周运动； C、若某瞬时有v∥a，则点M的轨迹必为直线； D、若某瞬时有a的大小为零，且点M作曲线运动，则此时速度必等于零。 9、作一维运动的简谐振子，其拉格朗日量可写为（ A ）。
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代入得
对等式两边同时积分
可得 ：
（ 为常数）
代入初始条件： 时， ，故
即
又因为
所以
对等式两边同时积分 ，可得：
1.6 解 由题可知质点的位矢速度
①
沿垂直于位矢速度
又因为 ， 即
即
（取位矢方向 ，垂直位矢方向 ）
所以
故
即 沿位矢方向加速度
垂直位矢方向加速度
对③求导
对④求导
把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得
时， 得 ,故
⑦
同理，把⑦代入⑤可以解出
把⑦代入⑤
代入初条件 时， ，得 .所以
）
1.23证 （a）在1.22题中， 时，则电子运动受力 电子的运动微分方程
①-②-③
对②积分
④
对④再积分
又
故
（ 为一常数）
此即为抛物线方程.
当 时
则电子受力
则电子的运动微分方程为
①-②-③
同1.22题的解法，联立①-②解之，得
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第一章 质点力学
第一章习题解答
1.1 由题可知示意图如题1.1.1图:
设开始计时的时刻速度为 ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为 .
即
所以 ，代入 的表达式中可得：
此即为子弹击中斜面的地方和发射点的距离 的最大值
1.21 解 阻力一直与速度方向相反，即阻力与速度方向时刻在变化，但都在轨道上没点切线所在的直线方向上，故用自然坐标比用直角坐标好.
轨道的切线方向上有：
①
轨道的法线方向上有：
②
由于角是在减小的，故
③
由于初末状态由速度与水平方向夹角 来确定，故我们要想法使①②变成关于 的等式
故有
⑤
由①⑤得
⑥
由②③④得
⑦
代入①，有
⑧
代入⑥，有
⑨
此即为简谐振动的运动方程.
角频率
所以周期
解⑨得
以初始时③为原点， 时， .所以
⑩
代入①得
联立-③④⑧⑩得
1.25解，选向下为正方向，滑轮刚停时物体所在平衡位置为坐标原点.建立如题.25.1图所示坐标系.
题2.15.1图
原点的重力势能设为0.设弹簧最大伸长 .整个过程中，只有重力做功，机械能守恒：
①-②
联立①②得
弹簧的最大张力即为弹簧伸长最长时的弹力， 为最大张力，即
1.26解 以绳顶端为坐标原点.建立如题1.26.1图所示坐标系.
题1.26.1图
设绳的弹性系数为 ,则有
①
当 脱离下坠前， 与 系统平衡.当 脱离下坠前， 在拉力 作用下上升，之后作简运.运动微分方程为
②
联立①② 得
③
齐次方程通解
(b)同（a），
由
所以此力 是保守力，则其势能为
1.37解（a）因为质子与中子之间引力势能表达式为
故质子与中子之间的引力
（b）质量为 的粒子作半径为 的圆运动。
动量矩
由（a）知
提供粒子作圆周运动的向心力， 方向是沿着径向，
故
当半径为 的圆周运动
两式两边同乘以
即
又因为
有
做圆周运动的粒子的能量等于粒子的动能和势能之和。
1.7 解 由题可知
① ②
对①求导
③
对③求导
④
对②求导
⑤
对⑤求导
⑥
对于加速度 ，我们有如下关系见题1.7.1图
即
⑦--⑧
对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦ ，⑧
即得
⑨--⑩
⑨+⑩得
⑾
把④⑥代入 ⑾得
同理可得
1.8解 以焦点 为坐标原点，运动如题1.8.1图所示]
则 点坐标
对 两式分别求导
故
如图所示的椭圆的极坐标表示法为
①
又因为
②
所以
③
④
联立①②③④
⑤
又
把 两边对时间求导得
又因为
所以
⑥
把⑥代入⑤
既可化为
对等式两边积分
所以
1.11解 由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示
两式相比得
即
对等式两边分别积分
即
此即质点的速度随时间而变化的规律.
1.12证 由题1.11可知质点运动有关系式
①②
所以 ，联立①②，有
又因为
所以单摆振动周期
结论得证。
1.32解：设楔子的倾角为 ，楔子向右作加速度 的匀加速运动，如图1.32.1图。
我们以楔子为参考系，在非惯性系中来分析此题，则质点受到一个大小为 的非惯性力，方向与 相反。
质点在楔子这个非惯性系中沿斜面下滑，沿斜面的受力分析：
①
垂直斜面受力平衡：
②
联立①②得
此即楔子相对斜面的加速度 。
由1.29题可知
②
由数学知识知
③
把①③④代入②
⑤
这是一个非齐次二阶微分方程.解为
当 时， 得
即
当 ， 时，即
故有
1.31证：单摆运动受力分析如图1.31.1图所示。
因为
①
即
所以
又单摆摆角 很小，有 =
上式即化为：
②
此即为一个标准的有阻尼振动方程。
设 为固有频率，又由于 ，即阻力很小的情况。方程②的解为
方向垂直轨道向下.
1.29 解质点作平面直线运动，运动轨迹方程为
①-②
由曲线运动质点的受力分析，我们可以得到：
③-④
因为曲线上每点的曲率
⑤
所以
⑥
⑦
把⑥⑦代入曲率公式⑤中
所以
⑧
由④
即 ，又有数学关系可知 ，即 所以
⑨
把⑧⑨代入①
1.30 证当题1.29所述运动轨迹的曲线不光滑时，质点的运动方程为：
①②③④⑤
⑤
由④知，当 时， 代入⑤得
有
，
所以船的轨迹
船在对岸的了；靠拢地点，即 时有
1.17 解 以 为极点，岸为极轴建立极坐标如题.17.1图.
船沿垂直于 的方向的速度为 ，船沿径向 方向的速度为 和 沿径向的分量的合成， 即
①--②
②/①得 ，对两积分：
设 为常数，即
代入初始条件 时， .设 有 得
1.18 解 如题1.18.1图
①
法线方向受力分析有：
②
对①
两边同乘以
即
两边同时积分
③
把③代入②可解得
同理可解出，当钢丝圆圈以加速度 竖直向下运动时小环的相对速度
综上所述，小环的相对速度
圈对小环的反作用力
1.34证：（1）当火车所受阻力 为常数时，因为功率 与牵引力有如下关系：
所以
即
对两边积分
（2）当阻力 和速度 成正比时，设 = ， 为常数。同理由（1）可知
即
对两边积分
1.35解锤的压力是均匀增加的，设 ， 为常数，由题意可知 ，得
，
所以
，
即
故
两边同时积分
得
， ①
又因为当 增至极大值 后，又均匀减小到0，故此时有 为常数，
所以
即
②
由①得
③
整个过程压力所做功
又因为
即
对上式两边分段积分
得
1．36
解（a）保守力 满足条件 对题中所给的力的表达式，代入上式
即
所以此力是保守力，其势为
于是
及电子轨道为半径的圆 .
1.24 解以竖直向下为正方向，建立如题1.24.2图所示坐标，
题1.24.1图 题1.24.2图
以①开始所在位置为原点.设①-②-③处物体所处坐标分别为 ，则3个物体运动微分方程为：
①-②-③
由②于③与、之间是，即不可伸长轻绳连接，所以有 ，即
④
之间用倔强系数 弹性绳联结 .
非齐次方程③的特解
所以③的通解
代入初始条件： 时， 得 ；故有
即为 在任一时刻离上端 的距离.
1.27解对于圆柱凸面上运动的质点受力分析如图1-24.
运动的轨迹的切线方向上有:
①
法线方向上有：
②
对于①有 （ 为运动路程，亦即半圆柱周围弧长）即
又因为
即
③
设质点刚离开圆柱面时速度 ，离开点与竖直方向夹角 ，对③式两边积分
1.15 解 船停止时，干湿分界线在蓬前3，由题画出速度示意图如题.15.1图
故
又因为 ，所以
由图可知
所以
=8
1.16解 以一岸边为 轴，垂直岸的方向为 轴.建立如题1.16.1图所示坐标系.
所以水流速度
又因为河流中心处水流速度为
所以 。当 时， 即
①--②
得 ，两边积分
③
联立②③，得
④
同理，当 时， 即
上升时 下降时
题1.19.1图
则两个过程的运动方程为：
上升
①
下降：
②
对上升阶段:
即
对两边积分
所以
③
即质点到达的高度.
对下降阶段：
即
④
由③=④可得
1.20解 作子弹运动示意图如题1.20.1图所示.
题1.20.1图
水平方向不受外力，作匀速直线运动有
①
竖直方向作上抛运动，有
②
由①得
③
代入化简可得
因为子弹的运动轨迹与发射时仰角 有关，即 是 的函数，所以要求 的最大值.把 对 求导，求出极值点.