高中数学选修4--4选高中数学修4-4导学案教案

二中高二数学选修4-4导学案

新课标人教A 版选修4-4 第一讲 坐标系 导学案

§4.1.1—第一课 平面直角坐标系

本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.

一、 温故而知新

1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？

2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹方程.

二、 重点、难点都在这里

【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.）（详解见课本）

【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.

三、 懂了，不等于会了

4．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹.

课前小测

典型问题

技能训练

5．求直线0532=+-y x 与曲线x

y 1

=的交点坐标.

6．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程 是 .

8．已知A （-3，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为9

4

，则 点M 的轨迹方程是 .

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平面直角坐标系中的伸缩变换

【基础知识导学】

1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。

2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化

这一思想方法。

3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。 知识要点归纳】

思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x?

坐标压缩变换：

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来 1/2，得到点

P’(x’,y’).坐标对应关系为： ??

???==y y x x ''2

1通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来 3倍，得到

点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ???==y y x x 3'

'通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。

思考3：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。

定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换???>=>=)

0(,)

0(,:''y y y x x μλλ?的作用下，点P(x,y)对

应P’(x’,y’).称?为平面直角坐标系中的伸缩变换。

【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。 将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，

分析：设变换为???>?='>?='),

0(,),

0(,μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得42=-y x μλ，与22=-y x 比较，

将其变成,442=-y x 比较系数得.4,1==μλ

【解】(1)??

?='='y

y x

x 4，直线22=-y x 图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得

到直线42='-'y x 。

达标检测

A1.求下列点经过伸缩变换??

?==y

y x

x 3'2'后的点的坐标：

（1） （1，2）； （2） （-2，-1）

A2．点),(y x 经过伸缩变换?????

==y

y x

x 3'21'后的点的坐标是（-2，6）

，则=x ，=y ； A3．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）

A.???????==y y x x 23'32'

B.???

????

==y

y x x 32'23' C.???==x y y x '' D.???-=+=1'1'y y x x

A4．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .

B6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换?

??==y y x x 3'2'后的图形：

（1）032=+y x ；

（2）12

2

=+y x .

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1.2.1极坐标系的的概念

学习目标

1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.

2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

学习过程

一、学前准备

情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定

它们的位置以便将它们引爆？

情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？该位置唯一确定吗？

（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 二、新课导学

◆探究新知（预习教材P 8～P 10，找出疑惑之处）

1、如右图，在平面内取一个 O ，叫做 ； 自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个 （通常取 ）及其 （通

常取

方向），这样就建立了一个 。 2、设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的 ，记为 ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 ，记为 。有序数对 叫做点M 的 ，记作 。

3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？ ___________________________________________. ◆应用示例

例题1：(1)写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标

)20,0(πθρ<≤>.

（2）：思考下列问题，给出解答。

①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种

表示方法？

③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ ⑤本题点G 的极坐标统一表达式。 答：

),(θρM

●

ρ

θ

O

x

◆反馈练习

小结：在平面直角坐标系中，一个点对应 个坐标表示，

一个直角坐标对应 个点。极坐标系里的点的极坐标有 种表示，但每个极坐标只能对应 个点。

1．本节学习了哪些内容？答：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 1．已知5,

3M π??

???

，下列所给出的能表示该点的坐标的是 A ．???

?

?-

3,5π B ．??? ??34,5π C ．??? ?

?-32,5π D ．55,3π?

?- ???

2、在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )

A 、),(θρ

B 、),(θρ-

C 、),(πθρ+

D 、),(θπρ-

3、设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A.(23，

π43)

B. (π45)

C. (3，π45)

D. (3，π4

3

) 4、（课本习题1.2第二题）

(3,0)(6,2)(3,245(5,

)(3,

)(4,)

36

5(6,)

3A B C D E F G π

πππππ

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1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化

学习目标

1．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式。2. 会实现极坐标和直角坐标之间的互化。

学习过程

一、学前准备

情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便。 问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？

问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？

二、新课导学

◆探究新知（预习教材P 11～P 11，找出疑惑之处）

直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定

义可以得到如下两组公式：

{

θ

ρθρsin cos ==y x {

x

y

y x =

+=θρtan 2

22

说明：1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤

θ<π2。

3、互化公式的三个前提条件

（1）. 极点与直角坐标系的原点重合;（2）. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; （3）. 两种坐标系的单位长度相同. ◆应用示例

例1．将点M 的极坐标)3

2,5(π

化成直角坐标。（教材P 11例3） 解：

例2．将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标（教材P 11例4） 解：

◆反馈练习

1．点()

3,1-P ，则它的极坐标是 A ．??? ?

?3,

2π B ．??? ??34,2π C ．??? ??-3,2π D ．??

? ??-34,2π 2．点M

的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,

)3π

B ．(2,)3π-

C ．2(2,)3π

D ．(2,2),()3

k k Z π

π+∈ 三、总结提升

1．本节学习了哪些内容？答：极坐标和直角坐标之间的互化。

课后作业

1.若A 33，π?

? ???，B ??? ?

?-64π，，则|AB|=___5____，ABO S ?=_6_________。（其中O 是极点）

2.已知点的极坐标分别为)4

,3(π

，)32,

2(π，)2

,4(π

，),23(π，求它们的直角坐标。

3.已知点的直角坐标分别)3,3(，)35,0(-，)0,2

7

(，)32,2(--，为求它们的极坐标。

4.在极坐标系中，已知两点)3

,3(π

-

A ，)3

2,

1(π

B ，求B A ,两点间的距离。

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圆的极坐标方程

本课提要：本节课的重点是掌握一些特殊位置下的圆（如过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程.

一、 温故而知新

1．圆12

2

=+y x 的极坐标方程是 .2．曲线θρcos =的直角坐标方是 . 二 重点、难点都在这里

课前小测

典型问题

【问题1】：求以点)0)(0,(>a a C 为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程.

3．求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程.

4．求以)2

,4(π

为圆心，4为半径的圆的极坐标方程.

【问题2】：已知圆心的极坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的极坐标方程.

【问题3】：已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径.

三练习 5．在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：

（1）圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆；（2）圆心在)2

3,

(π

a ，半径为a 的圆.

6．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）2=ρ；（2）θρcos 5=.

7．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4

cos(2θπ

ρ-=.

8．求圆05)sin 3(cos 22

=-+-θθρρ的圆心的极坐标与半径.

四、

试试你的身手呀

9．设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是),4(π，则这个圆的极坐标方程是 .

变式训练

10．两圆θρcos 2=和θρsin 4=的圆心距是 .

11．在圆心的极坐标为)0)(0,(>a a ，半径为a 的圆中，求过极点的弦的中点的轨迹.

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直线的极坐标方程

本课提要：本节课的重点是掌握一些特殊位置下的直线（如过极点或垂直于极轴的直线）的极坐标方程.

一、 温故而知新

1．直线1=+y x 的极坐标方程是 .

课前小测

2．曲线1cos =θρ的直角坐标方程是 . 二、典型例题

【问题1】：求经过极点，从极轴到直线l 的夹角是

4

π

的直线l 的极坐标方程. 练一练：

3．经过极点，且倾斜角是6

π

的直线的极坐标方程是 . 4．直线)(4

3R ∈=

ρπ

ρ的直角坐标方程是 . 【问题2】：设点P 的极坐标为),(11θρ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程.

三、技能训练

懂了，不等于会了

5．在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程： （1）过极点，倾斜角是3

π

的直线；（2）过点)3,2(π，并且和极轴垂直的直线.

6．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：

（1）2sin =θ

ρ；

（2）θρsin 2=. 7．求下列直线的倾斜角：（1）)(65R ∈=ρπθ；（2）1)4

sin(=-πθρ.

8．已知直线的极坐标方程为22

)4

sin(=

+π

θρ，求点)4

7,

2(πA 到这条直线的距离.

四、变式训练

试试你的身手呀

9．过点）

（4

2,π

，且平行于极轴的直线的极坐标方程为 . 10．直线2cos =θρ关于直线4

π

θ=

对称的直线的极坐标方程为________________

六、课后作业

11． 直线αθ=和直线1)sin(=-αθρ的位置关系是 ． 12．在极坐标系中，点)3

,

4(π

M 到直线4)sin cos 2(:=+θθρl 的距离=d .

13．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos =于A 、B 两点，则=AB ．

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柱坐标系与球坐标系简介

本课提要：本节课的重点是了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并掌握柱坐标、球坐标与直角

坐标的互化.

一、课前小测

温故而知新

1．如何确定一个圆柱侧面上的点的位置？ 2．如何确定一个球面上的点的位置？

二、典型例题

重点、难点都在这里

【问题1】：（1）点A 的柱坐标是)7,6

,

2(π

，则它的直角坐标是 ；

（2）点B 的直角坐标是)4,3,1(，则它的柱坐标是 . 3．点P 的柱坐标是)2,3

,

4(-π

，则它的直角坐标是 .

4．点Q 的直角坐标是)2,3,1(-，则它的柱坐标是 . 【问题2】：（1）点A 的球坐标是)4

,4,

2(π

π，则它的直角坐标是 ；

（2）点B 的直角坐标是)222,2(，

-，则它的球坐标是 . 【问题3】：建立适当的球坐标系，表示棱长为2的正方体的顶点.

三、 懂了，不等于会了 5．将下列各点的柱坐标化为直角坐标：)3,3

2,

4(),1,6

,2(-π

π

Q P .

6．将下列各点的球坐标化为直角坐标：)2

3,

,5(),35,

2,4(πππ

πB A .

7．将下列各点的直角坐标化为球坐标：)24,0,24(),6,1,1(--N M .

8．建立适当的柱坐标系与球坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点. 四、

试试你的身手呀

9．设M 的球坐标为)4

5,4,2(π

π，则它的柱坐标为 .

10．在球坐标系中， )4,6,3(π

πP 与)4

3,6,3(π

πQ 两点间的距离是 .

技能训练

变式训练

11．球坐标满足方程3=r 的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程.

12．点A 的柱坐标是)4,6

,2(-，则它的直角坐标是 .

13．点M 的球坐标是)6

5,3,

8(π

π，则它的直角坐标是 .

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1.1.1参数方程的概念

学习目标

1．通过分析抛射物体运动中时间与物体位置的关系，了解一般曲线的参数方程，体会参数的意义

学习过程

一、学前准备

复习：在直角坐标系中求曲线的方程的步骤是什么？ 二、新课导学

◆探究新知（预习教材P 21～P 22，找出疑惑之处）

问题1：由物理知识可知，物资投出机舱后，它的运动是下列两种运动的合成： 问题2：由方程组

210015002

x t y g t =???=-??，其中是g 重力加速度（29.8/g m s =） 可知，在 t 的取值范围内，给定 t 的一个值，由方程组可以 确定,x y 的值。 比如，当3t s =时，x = ，y = 。

归纳：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数

()()

x f t y g t =???=??（1），并且对于t 的每个允许值，由方程组（1）所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么方程（1）叫做这条曲线的参数方程，联系变数,x y 的变数t 叫做参变数，简称参数。相对参数方程

而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 ◆应用示例

例1．已知曲线C 的参数方程是???+==1

232

t y t

x (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。 （教材P 22例1） 解：

◆反馈练习

1．下列哪个点在曲线)(2cos sin 为参数θθθ

?

?

?==y x 上（ ） A ．(2,7) B ．)32,31( C ．)2

1,21( D ．(1,0)

三、总结提升

◆本节小结

1．本节学习了哪些内容？

答：了解一般曲线的参数方程，体会参数的意义

学习评价

课后作业

1、对于曲线上任一点(),M x y ，下列哪个方程是以t 为参数的参数方程（ ） A 、2

3y x t x =++ B 、2

21y t t =++

C 、2cos 2sin x y θθ=??=? D

、2

x t y =+???=??2、已知曲线C 的参数方程是2

3()21

x t t y t =??

=+?为参数，且点(),3M a 在曲线C 上，则实数a 的值为

（ ） A 、3 B 、3- C 、3± D 、无法确定 3、关于参数方程与普通方程，下列说法正确的是（ ） ①一般来说，参数方程中参数的变化范围是有限制的； ②参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同表达形式； ③一个曲线的参数方程是唯一的； ④在参数方程()

()()

x f t t y g t =??

=?为参数和普通方程(,)0F x y =中，自由变量都是只有一个。

A 、① ②

B 、②

C 、②③

D 、①②④

4、方程12

x t t y ?=+?

??=? 表示的曲线为（ ）

A 、一条直线

B 、两条射线

C 、一条线段

D 、抛物线的一部分

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2.1.2圆的参数方程

学习目标

1．通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程，掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤. 2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。

学习过程

一、学前准备

1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什么？ 二、新课导学

◆探究新知（预习教材P 12～P 16，找出疑惑之处） 如图：设圆O 的半径是r ，

点M 从初始位置0M （0t =时的位置）出发，按逆时针方向在圆

O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω，以圆心O 为原点，0OM 所在的直线为x 轴，

建立直角坐标系。显然，点M 的位置由时刻t 惟一确定，因此可以取t 为参数。如果在时刻t ，点M 转过的角度是θ，坐标是(),M x y ，那么t θω=。设OM r =，那么由三角函数定义，有

cos ,sin ,x y

t t r r

ωω==即

)(sin cos 为参数t t

r y t

r x ??

?==ωω

这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中参数t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）。考虑到t θω=，也可以取θ为参数，于是有

)(sin cos 为参数θθ

θ??

?==r y r x

◆应用示例

例1．圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，()6,0Q 是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程. （教材P 24例2） 解：

◆反馈练习

1．下列参数方程中，表示圆心在(1,0)，半径为1的圆的参数方程为（ ）

A 、cos sin x y θθ=??=?

B 、1cos sin x y θθ=+??=?

C 、cos 1sin x y θθ=??=+?

D 、1cos 1sin x y θθ=+??=+?

三、总结提升 ◆本节小结

1．本节学习了哪些内容？

答：熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义

学习评价

一、自我评价

课后作业

1．曲线)(sin cos 为参数θθ

θ??

?==y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）

A ．

21 B ．2

2 C ．1 D ．2 2、动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为3/m s 和4/m s ，直角坐标系的单位长度是1m ，点M 的起始位置在点0(2,1)M 处，求点M 的轨迹的参数方程。

4、 已知M 是正三角形ABC 的外接圆上的任意一点，求证2

2

2

MA MB MC ++ 为定值。

4.（选做题）已知(,)P x y 是圆心在(1,1)，半径为2的圆上任意一点，求x y +的最大值和最小值。

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3.1.3参数方程与普通方程的互化

学习目标

1．明确参数方程与普通方程互化的必要性.

2．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法，能选取适当的参数化普通方程为参数方程.

学习过程

一、学前准备

复习：1、在解方程组中通常用的消元方法有哪些？

2. 写出圆2

2

2

x y r +=的参数方程，圆()()22

2x a y b r -+-=呢？

二、新课导学

◆探究新知（预习教材P 24～P 26，找出疑惑之处） 问题１：方程()2

2

31x y -+=表示什么图形？

问题2：上节课例2中求出点M 的参数方程是cos 3

sin x y θθ

=+??=?， 那么点M 的轨迹是什么？

小结：1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化. ◆应用示例

例1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：

（１）11x y ?=??=-??t 为参数）

（２）sin cos 1sin 2x y θθ

θ

=+??

=+?（θ为参数）

例2 .将椭圆普通方程22

194

x y +=按以下要求化为参数方程：（1）设3cos ,x ??=为参数

（2）2,y t t =为参数

◆反馈练习

1．把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

（1）cos ()cos 21x y θθθ=??=+?

为参数）

（2）5cos ()3sin x y ?

??

=??=?为参数

2．根据下列要求，把曲线的普通方程化为参数方程： １）2

101,y x y y t t ---==-设为参数.

2）已知圆的方程y y x 222=+，选择适当的参数将它化为参数方程.

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课题:椭圆的参数方程

一、三维目标

1.知识与技能:

(1).椭圆的参数方程.

(2).椭圆的参数方程与普通方程的关系。