最新微分几何陈维桓习题答案2

合集下载

极小曲面

极小曲面设 2D R ⊂是有界开区域，边界为D ∂。

函数(,)x y ϕ在D ∂上有定义。

设2(,)()u u x y C D =∈，则曲面(,)zu x y =的面积为()DI u =⎰⎰。

设2{(,):(,)(),|}D W u x y u x y C D u ϕ∂=∈=，考虑泛函I 在W 上的极小值是否存在的问题。

几何意义，以空间封闭曲线Γ为边界的曲面中，寻找其面积最小者。

这里{(,,):(,),(,)}x y z x y D z x y ϕΓ=∈∂= 。

这样的问题称为极小曲面问题。

假若泛函I 在u W ∈处达到最小值，我们考查其必要条件。

记20{(,):(,)(),|0}D W v x y v x y C D v ∂=∈=，显然，若I 在u W ∈处达到最小值，则对任意0v W ∈，()I u tv +在0t =处达到最小值，所以0()|0t d I u tv dt =+=，而()DI u tv +=⎰⎰，()dI u tv dt +22Du v tv u v tv +++=⎰⎰，于是有x x y y Du v u v +=⎰⎰，设在xz平面上有一条显式曲线=≤≤≤。

z u x a x b(),(0)如果固定z轴不动，让xz平面绕着z 轴旋转360，那么这一条曲线就扫出一张旋转曲面，这个旋转曲面∑的方程为2222:)z u D a x y b=≤+≤。

r=。

我们寻找旋转的极小曲面。

历史资料极小曲面面积在法向变分下达到临界值的曲面，也即平均曲率（见曲面）为零的曲面。

目录简介研究同名图书简介研究同名图书展开小的曲面就是所谓极小曲面，从数学上求这膜曲面的问题称为普拉托问题。

这个问题可以用变分法来解。

从变分学观点看，可以考虑以已知闭曲线Γ为固定边界的曲面的法向变分。

由欧拉-拉格朗日方程(见变分法)，对于任何这样的变分,曲面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率h=0。

因此，通常就用这个几何条件来定义极小曲面。

微分几何

第一章向量函数4学时
第二章曲线的概念4学时
第三章空间曲线12学时
第四章曲面的概念4学时
第五章曲面的第一基本形式8学时
第六章曲面的第二基本形式12学时
第七章直纹面和可展曲面6学时
第八章曲面论的基本定理8学时
第九章曲面上的测地线10学时
第十章常高斯曲率的曲面4学时
如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
第一章向量函数4学时第二章曲线的概念4学时第三章空间曲线12学时第四章曲面的概念4学时第五章曲面的第一基本形式8学时第六章曲面的第二基本形式12学时第七章直纹面和可展曲面6学时第八章曲面论的基本定理8学时第九章曲面上的测地线10学时第十章常高斯曲率的曲面4学时如果总课时数少于70可以只讲授第一至第八章
教学目的
引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。
主要内容
第一节简单曲面及其参数表示
第二节光滑曲面曲面的切平面和法线
第三节曲面上的曲线族和曲线网
教学要求
掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。
第五章曲面的第一基本形式
第二节空间曲线的基本三棱形
第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
第四节空间曲线在一点邻近的结构

[整理]微分几何陈维桓第五章讲稿

目录第五章曲面论基本定理 (67)§ 5.1 自然标架的运动公式 (67)§ 5.2 曲面的唯一性定理 (69)§ 5.3 曲面论基本方程 (71)§ 5.4 曲面的存在性定理 (75)§ 5.5 Gauss定理 (76)第五章曲面论基本定理本章内容：曲面上的自然标架，运动公式，Gauss 公式和Weingarten 公式，曲面论唯一性定理，Riemann 曲率张量，Gauss-Codazzi 方程，曲面论存在性定理，Gauss 定理计划学时：9学时，含习题课2学时.难点：Riemann 曲率张量，曲面论存在性定理，Gauss 定理§ 5.1 自然标架的运动公式设:(,)S r r u v =为正则曲面，(,)n n u v =是单位法向量. 第一、第二基本形式I dr dr =⋅和2II d r n dr dn =⋅=-⋅是曲面S 的两个不变二次形式，与3E 中直角坐标的选取无关.曲面论唯一性问题：这两个基本形式是否足以确定曲面的形状？即若:(,)S r r u v =和:S *(,)r r u v **=有相同的第一、第二基本形式，是否这两个曲面仅相差一个3E 中的刚体运动σ？3S E ⊂Ω σ (见定理2.1)3S E *⊂答案是肯定的. 为了证明这件事情，需要先做一些准备工作.为了公式的书写方便，从现在起记1u u =，2u v =. 注意12,u u 的上标不是乘幂的指数. 如果要表示乘幂，则使用括号写成()()23,uu αα，……，(1,2α=).这样，S 的参数方程为12(,)r r u u =. 从现在起，用r α表示向量函数12(,)r u u 对变量u α的偏导数. 采用Einstein 求和约定，将和式212121dr r du r du r du ααα===+∑简记为 dr r du αα=. (1.4)就是说，如果一个单项式中在上标和下标中出现了相同的指标，则表示这是一个和式，对该指标要从1到2求和. 如果出现了多对这样的上下指标，那么这些指标都要从1到2求和. 例如，21112212211122122,1S TS T S T S T S T S T αβγαβγγγγγαβαβαβ===+++∑，212121P P P P ααααα===+∑.注意在和式中求和指标本身并没有实质性意义，它们是所谓的“哑”指标，可以换成别的字母： S TS T S T αβγαεγδβγαβαεδβ==. (γ不能换成别的字母)在本书中，求和指标用希腊字母,,,αβγ表示，它们的取值范围为,,1,2αβγ=.类似地，采用Einstein 求和约定，向量函数12(,)r u u 的二阶微分可写成22d r r d u r du du ααβααβ=+.采用Einstein 求和约定，S 的第一、第二基本形式分别可以写成I ()()dr dr r du r du g du du αβαβαβαβ=⋅=⋅=，2II d r n b du du αβαβ=⋅=， (1.6)其中g r r αβαβ=⋅，b r n αβαβ=⋅， (1.5)即1111g r r E =⋅=，1221g g F ==，22g G =，11b L =，1221b b M ==，22b N =. rr r σ*=记()()22112212112212det (),det ()g g g g g b b b b b αβαβ==-==-. (1.7-8)用()g αβ表示度量矩阵()g αβ的逆矩阵，则有1,,0,.g g αγαγββαβδαβ=⎧==⎨≠⎩(1.9)实际上，1112221222122121111g g g g G F g g F E g EG F g g ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (1.10) 采用现在的记号，曲面S 上每一点()12,p u u 有一个自然标架{}12;,,r r r n . 下面来导出自然标架的运动方程.由于12,,r r n 线性无关，可将它们的偏导数再用12,,r r n 表示出来. 设,r r b n n b r γβαβαβγαβααβ=Γ+=-， (1.18)其中γαβΓ称为Christoffel 记号(第二类克氏符号). 令:r r ξαβξαβΓ=⋅， (1.22)称为第一类克氏符号. 由r r αββα=可知两类克氏符号关于指标,αβ都是对称的：γαβγβαΓ=Γ，γγαββαΓ=Γ.用r ξ与(1.18)中的第1个式子作内积，得()r r r r b n g γγξαβξαβξαβγαβξγαβΓ=⋅=⋅Γ+=Γ. (1.20) 用g ξη乘(1.20)两边，再对指标ξ求和，由(1.9)可得g g g ξηξηγηγηξαβξγαβγαβαβδΓ=Γ=Γ=Γ，即g γγξαβξαβΓ=Γ. (1.21)(1.20)和(1.21)说明αβγΓ是用()g λμ将αβγΓ降标而得的；而αβγΓ则是用()gλμ将αβγΓ升标而得的.类似地，用r ξ-与(1.18)中的第2个式子作内积，得()b r n r b r g b γγξαξαξαγξγα=-⋅==， (1.14) 从而b b g βγβααγ=. (1.15)于是我们有自然标架{}12;,,r r r n 的运动公式r u r αα∂∂=， (1.11)r u r b n αβγαβγαβ∂∂=Γ+，n u b r αβαβ∂∂=-， (1.18)其中b αβ是第二类基本量，b b gβγβααγ=，被第一类基本量和第二类基本量所确定.我们断言Christoffel 记号γαβΓ被第一类基本量g αβ唯一确定. 事实上，由g r r αβαβ=⋅得g u r r r r αγβαβγβαγαβγαβγ∂∂=⋅+⋅=Γ+Γ. 返回 (1.23) 由γαβγβαΓ=Γ可得 2g g g u u u αγβγαββγαγβααβγβαγγαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂+-=Γ+Γ+Γ+Γ-Γ-Γ=Γ，即有()12g g g u u u γαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂Γ=+-. 返回 (1.24)于是由(1.21)，()12g g g u u u g gγγξγξαβξαβαξβξαβαβξ∂∂∂∂∂∂Γ=Γ=+-. (1.25)通常把(1.18)的第一式称为Gauss 公式，(1.18)的第二式称为Weingarten 公式.Gauss 公式的几何意义：r αβ的切向部分是r γαβγΓ，法向部分是b n αβ. 当曲面的参数方程给出时，利用Gauss 公式的几何意义可以更简单地求出Christoffel 记号γαβΓ，而不需要用公式(1.22)来求.Weingarten 公式的几何意义；矩阵()b βα正好是Weingarten 变换W 在切空间的自然基12{,}r r 下的矩阵：()W r n b r βαααβ=-=.在正交参数网中，Christoffel 记号γαβΓ的计算公式(1.28). 例求曲面(,)z f x y =的Christoffel 记号.解曲面的参数方程为(),,(,)r x y f x y =. 因此1u x =，2u y =，()111,0,r f =，()220,1,r f =，)12,,1n f f =--.其中1x f f =，2y f f =. 因为()()0,0,0,0,1r f f αβαβαβ==，所以 ()()()()()1222120,0,1,,11f r r r n n f f f f f αβγαβγαβαβαβΓ=-⋅=---++()()()()()2212122212,,1f f f f f f f αβ=+++.另一方面()1212121212,,r r r f f γαβγαβαβαβαβαβαβΓ=Γ+Γ=ΓΓΓ+Γ.所以()()1122121f f f f αβαβΓ=++，()()2222121f f f f αβαβΓ=++，即有()()111221x xxx y f f f f Γ=++，()()112221x xyx y f f f f Γ=++，()()122221x yyx y f f f f Γ=++，()()211221y xxx y f f f f Γ=++，()()212221y xyx y f f f f Γ=++，()()222221y yyx y f f f f Γ=++.课外作业：习题4，5§ 5.2 曲面的唯一性定理利用上一节得到的自然标架的运动方程，可以来解决上一节所提出的问题，即若:(,)S r r u v =和:(,)S r r u v ***=有相同的第一、第二基本形式，则这两个曲面仅相差一个3E 中的刚体运动σ.定理2.1若12:(,)S r r u u =，12:(,)S r r u u ***=(12(,)u u ∈Ω)有相同的第一、第二基本形式，且区域Ω是连通的，则有3E 中的刚体运动σ使得()S S σ*=.证明因为()S r =Ω，()S r **=Ω，只需证明存在3E 中的刚体运动σ使得3:r r E σ*=Ω→. (1)不妨设0(0,0)=∈Ω. 设在该点两个曲面的自然标架分别为{}12(0);(0),(0),(0)r r r n 和{}12(0);(0),(0),(0)r r r n ****. 选取3E中的刚体运动σ使得在1200(,)u u 点成立1122(0)((0)),(0)((0)),(0)((0)),(0)((0))r r r r r r n n σσσσ****====. (2)[事实上，令3(0)e n =，11(0)e =，231e e e =⨯. 则由(0)21(0)(0)F E r e ⋅=，()()2(0)(0)(0)12223121(0)(0)(0),,(0),(0),(0)E G F E r er e e r n r -⋅===可知11(0)(0)r E e =，2(0)(0)(0)(0)212(0)E G F F r e e -=+，3(0)n e =. (3)同样，令3(0)e n **=，11(0)e **=，231e e e ***=⨯. 则由,S S *有相同的第一基本形式，有 11(0)(0)r E e**=，2(0)(0)(0)212(0)(0)(0)E G F E E r e -***=+，3(0)n e **=. (4)根据第一章定理1.1，存在刚体运动33::()()()E E p Op p O p a Op σσσ→≡≡=+A将正交标架{}123(0);,,r e e e 变成{}123(0);,,r e e e ****，其中()(0)(0)a r r *=-A ，而 33123::()(,,)vv vA v v v A →==R R A A是保持3E 定向的正交变换，即(3)A SO ∈. 由定义，σ将向量PQ 变成向量()()()()()()()()()PQ P Q O Q O P OQ OP OQ OP PQ σσσσσ==-=-=-=A A A A . 所以刚体运动σ将向量1(0)r 变成向量()111111((0))(0)()(0)()(0)(0)(0)r E e E e E e r r σσ**=====A A .同理，22((0))(0)r r σ*=. 又33((0))()(0)n e e n σσ**===. ]设()S S σ=是将S 经过刚体运动σ后得到的曲面，则S 的参数方程为()()121212(,)(,)(,)r u u a r u u r u u σ==+A .于是()()()()()()()()()r du dr d r d rA dr A r du A r A du r du dr αααααααα========A A A ，从而11()r r =A ，22()r r =A .由于保持定向的正交变换保持外积不变，有121212()()()r r r r r r ⨯=⨯=⨯A A A ，()1212121211()||||||r r r r r r n n r r r r r r ⎛⎫⨯⨯⨯==== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭A A A .由于保持定向的正交变换保持内积不变，所以S 的第一、第二基本形式分别为()()I ()()I I dr dr dr dr dr dr *=⋅=⋅=⋅==A A ， ()()II ()()II II dr dn dr dn dr dn *=-⋅=-⋅=-⋅==A A .于是S 与S *有相同的第一、第二基本形式，它们的自然标架满足同样的齐次线性偏微分方程组(1.11)，(1.18)，即有,(),(1,2),dr r du dr r b n du dn b r du αγββααααβγαβαβα==Γ+==-；,(),(1,2),dr r du dr r b n du dn b r du αγββααααβγαβαβα*******==Γ+==-.由(2)可知它们的自然标架满足同样的初始条件：()(0)(0)(0)r r r σ*==，()111(0)(0)(0)r r r σ*==，()222(0)(0)(0)r r r σ*==，(0)(0)n n *=.设1200(,)u u ∈Ω是任意一点. 因为区域Ω是连通的，可取一条Ω中的连续可微曲线1122:(),()C u u t u u t ==，[0,1]t ∈，使得()()1212120(0),(0)(0,0),(1),(1)(,)u u u u u u ==.则限制在C 上{}12;,,r r r n 和{}12;,,r r r n ****满足同样的常微分方程组初值问题111222,(),(),.dr du r dt dtdr du r b n dtdt dr du r b n dt dtdn du b r dtdtααβγβγββγβγβαβαβ**********⎧=⎪⎪⎪=Γ+⎪⎪⎨⎪=Γ+⎪⎪⎪=-⎪⎩ 由常微分方程组解的唯一性得()121212000000(,)(,)(,)r u u r u u r u u σ*==.由1200(,)u u ∈Ω的任意性可知r r σ*=. □定理2.2 设12:(,)S r r u u =，12:(,)S r r u u ***=是2个曲面，它们的第一、第二基本形式分别为I,II 和I ,II **. 如果存在光滑映射:S S ϕ*→使得(I )I ϕ**=，(II )II ϕ**=，则存在3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=. (选取适用参数系) □课外作业：无§ 5.3 曲面论基本方程曲面论存在性问题：设g du du αβαβϕ=和b du du αβαβψ=是区域 2()Ω⊂上的2个给定的二次微分形式，是否存在3E 中的三次以上连续可微的曲面:(,)S r r u v =，使得ϕ，ψ正好是曲面S 的第一、第二基本形式？如果这样的曲面存在，则首先ϕ和ψ必须是对称的：g g αββα=，b b αββα=；并且二次型ϕ必须是正定的. 除此之外，在本节中我们还要导出,g b αβαβ所应该满足的必要条件.假设有曲面:(,)S r r u v =使得它的第一、第二基本形式为I g du du αβαβ=， II b du du αβαβ=. (3.2)在第一节中已经得到自然标架{}12;,,r r r n 的运动公式,,rr u r r b n u n b r uααγααβγαβββαβα∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=Γ+⎨∂⎪∂⎪=-⎪∂⎩ 返回 (3.3) 其中()12g g g u u u g g γγξγξαβξαβαξβξαβαβξ∂∂∂∂∂∂Γ=Γ=+-，b b g βγβααγ=. (3.4)因为S 是三次以上连续可微的，必须有22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂， 22n nu u u u αββα∂∂=∂∂∂∂，,,αβγ∀. (3.5)将(3.3)代入(3.5)第1式，得()()r b n r b n u uδδαγδαγαβδαββγ∂∂Γ+=Γ+∂∂. (3.6) 将上式展开，并利用(3.3)，左边()b r r b n n b b r u u δαγαγδηδδαγδβηδβαγβδββ∂Γ∂=+ΓΓ++-∂∂b b b r b n u u δαγαγηδδδαγηβαγβδαγδβββ⎛⎫∂Γ∂⎛⎫=+ΓΓ-++Γ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭. 右边b b b r b n u u δαβαβηδδδαβηγαβγδαβδγγγ⎛⎫∂Γ∂⎛⎫=+ΓΓ-++Γ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭. 比较两边,r n δ的系数，得b b b b u uδδαβαγηδηδδδαβηγαγηβαβγαγβγβ∂Γ∂Γ-+ΓΓ-ΓΓ=-∂∂，,,,αβγδ∀， (3.8)b b b b b b u uαβαγδδδδαγδβαβδγβδαγγδαβγβ∂∂-=Γ-Γ=Γ-Γ∂∂，,,αβγ∀. (3.9) 注意(3.8)左边的量是被第一类基本量唯一确定的，将它记为:Ru u δδαβαγδηδηδαβγαβηγαγηβγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂， (3.10)称为曲面S 的Riemann 记号. 再记R g R ηαδβγδηαβγ=， (3.11)则自然就有R g R δδηαβγαηβγ=. (3.11)’与R δαβγ一样，R δαβγ也是被第一类基本量唯一确定的. R δαβγ和R δαβγ都称为曲面S 的Riemann 曲率张量. 采用这些符号，由曲面三阶连续可微得到的相容性条件(3.8)可以改写成R b b b b δδδαβγγαββαγ=-， (3.12)或等价地，R b b b b δαβγδβαγδγαβ=-. (3.13)相容性条件即方程(3.8)，或(3.12)，或(3.13)，称为Gauss 方程. 方程(3.9)称为Codazzi 方程. 注1. Gauss 方程(3.13)看上去似乎有16个等式，实际上只有一个独立的方程：()()2221212112212R b b b LN M K EG F =-=-=-. 返回 (3.18)Codazzi 方程(3.9)中只有2个独立的方程111211212121212221222121,.b b b b u ub b b b u u δδδδδδδδ∂∂⎧-=-Γ+Γ⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=-Γ+Γ⎪∂∂⎩(3.20)这是因为有R R R R δαβγβγδααδβγδαγβ==-=-. (3.17)从而当1αδ==或2αδ==时得到8个恒等式00=；当αδ≠而βγ=时得到4个恒等式00=. 剩下的4个方程是相互等价的：1212212112212112R R R R ==-=-.[事实上，R g R g u u ηηηαβαγξηξηαδβγδηαβγδηαβξγαγξβγβ⎛⎫∂Γ∂Γ==-+ΓΓ-ΓΓ ⎪∂∂⎝⎭g g u u u u δαβδαγδηδηηηξξαβαγαβδξγαγδξβγβγβ∂Γ∂Γ∂∂=--Γ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂∂∂ ()()u u δαβδαγηηηηαβηδγδηγαγηδβδηβαβδηγαγδηβγβ∂Γ∂Γ=--ΓΓ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂ δαβδαγηηαγηδβαβηδγγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ. 利用(1.23)：将(1.24)：2项，并注意()12g g ηξηηηαγηδβξαγηδβξαγηδβξαγδβδβηαγαγηδβδβηαγΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ+ΓΓ，可得()()2222221122g g g g g g u u u u u u u u u u u u R ηηαδβγαγηδβαβηδγβδαβγδαγαδαδγαγγβδβγββαδ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+--+-+ΓΓ-ΓΓ()222212g g g g u u u u u u u u δβαβδγαγγαγδββαδ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-()12ηηηηαγηδβαβηδγδβηαγδγηαβ+ΓΓ-ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ]注2. 将(3.3)看作以12,,,r r r n 的12个分量为未知函数的一阶线性偏微分方程组，其中g αβ，b αβ是已知的函数，从而gαβ以及由(3.4)给出的,b γβαβαΓ也都是已知的. (3.3)的可积性条件是22r r u u u u αββα∂∂=∂∂∂∂， 22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂， 22n nu u u u αββα∂∂=∂∂∂∂. (C)由(3.3)可知可积性条件(C)的第一式自动成立. 第二式就是Gauss-Codazzi 方程(3.8)和(3.9)，也就是(3.18)和(3.20). 因为()()2b b n b r r b r b n b r b b n u u u u u γγγγδδγγαααγγαγβδγβαδβγαγββαβββ⎛⎫∂∂∂∂==+Γ+=+Γ+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭，所以可积性条件(C)的第三式为b b b b u u γγβδγδγααδββδαβα∂∂+Γ=+Γ∂∂，b b b b γγαγββγα=. (3.14) 上面第二式自动成立，因为b b g b b b g b b b b b γγδγδδηαγβαδγβαδγβαδββηα====.以g γδ乘(3.14)第一式的两边，再对γ求和，可知它等价于g b g b b b b b u u u uγδδβγδγγγγδαααδγβββδγαββαα∂∂∂∂-+Γ=-+Γ∂∂∂∂. 将(1.23)g u βαγαβγαβγ∂∂=Γ+Γ代入上式得b b b b u uδβγγδααγδββγδαβα∂∂-Γ=-Γ∂∂，即b b b b b b u uδβγγγγδααγδββγδααγδββγδαβα∂∂-=Γ-Γ=Γ-Γ∂∂. 这就是(3.8). 所以(3.14)第一式与(3.9)是等价的.在正交参数网中，111222,0,g E g g G ===. 因此11122211,0,E Gg g g ===. 因此 111111112122222111211212222222,,,,,.u v u v u v E E G E G G Γ=Γ=Γ=-Γ=-Γ=Γ=111111222222111222,,,222,,.222u v u v u vE E G E E EE G G G G GΓ=Γ=Γ=-Γ=-Γ=Γ=由此得22212221222111212122112112111211221211122122222222222224444224444v u u u v v v u v u vv v v uu u u u v v v u R g R GRG v u E G E G E G E G G G G EG G EG G GE E G GG G E G E G E G G G G EG G EG G αα⎡⎤∂Γ∂Γ===-+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ⎢⎥∂∂⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡--=--+-+-⎤⎢⎥⎣⎦22244244vv v v v uu u u u E E E G G E G G E G E G=-++-++ (见课本) 222424()()2424vv v v v uu u u u vv v v uu u u E E G E EG G E GG EG EG EGE E EG G G EG EG EG ++=-+-+⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭=+-2222v u v u v u v u E G E G ⎫⎛⎫⎛⎫=++⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭v u v u ⎫⎫⎪=+=+⎬⎬⎪⎭⎭.返回(3.22) 如果参数曲线网是正交的曲率线网，则0F M ==，Codazzi 方程(3.20)可简化为21112212112121222211,22.22v v v v u u u u LE NE L b b HE E G NG LG N b b HG G E ⎧=-Γ+Γ=+=⎪⎪⎨⎪=Γ-Γ=+=⎪⎩返回 (3.23)课外作业：习题4，5§ 5.4 曲面的存在性定理本节证明Gauss-Codazzi 方程也是曲面存在的充分条件. 设g du du αβαβϕ=和b du du αβαβψ=是区域 2()Ω⊂上的2个给定的二次微分式，其中ϕ和ψ是对称的：g g αββα=，b b αββα=；并且二次型ϕ是正定的. 令()g αβ为矩阵()g αβ的逆矩阵，()1,2g g g u u u g γγδγαβαβδαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂Γ=+-Γ=Γ， (4.2-3) Ru uδδαβαγδηδηδαβγαβηγαγηβγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂， R g R ηδαβγδηαβγ=. (4.4-5) 定理4.1 如果上面给定的二次微分式ϕ，ψ满足()21122121212111211212121212221222121,,,b b b R b b b b u u b b b b uu δδδδδδδδ⎧-=-⎪∂∂⎪⎪-=-Γ+Γ⎨∂∂⎪∂∂⎪-=-Γ+Γ⎪∂∂⎩ (4.6) 则对任意一点()1200,u u ∈Ω，必有()1200,u u 的(连通)邻域U ⊂Ω，以及定义在U 上的正则曲面:S 12(,)r r u u =，使得ϕ和ψ分别是S 的第一、第二基本形式. 在相差一个3E 中的刚体运动的情况下，这样的曲面是唯一的. 如果Ω是连通且单连通区域，则曲面S 可以定义在整个Ω上.证明唯一性由定理2.1可得. 只需证明存在性. 构造一阶线性偏微分方程组,,,rr u r r b n u n b r u ααγααβγαβββαβα∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=Γ+⎨∂⎪∂⎪=-⎪∂⎩(4.7) 其中12,,,r r r n 是未知向量，从而共有12个未知函数，自变量是12,u u . 根据一阶偏微分方程组理论，(4.6)有解的充分必要条件是由(4.7)可推得22r r u u u u αββα∂∂=∂∂∂∂，22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂， 22n nu u u u αββα∂∂=∂∂∂∂. (C)从§3的讨论我们知道当Gauss-Codazzi 方程(4.6)成立时，可积条件(C)也成立，从而(4.7)是可积的，即对任意一点()1200,u u ∈Ω，有()1200,u u 的邻域U ⊂Ω，以及定义在U 上的向量函数 1212121212(,),(,),(,),(,)r u u r u u r u u n u u ， (4.8)它们满足(4.7)及任给的初始条件120120120120001001200200(,),(,),(,),(,)r u u r r u u r r u u r n u u n ====. (4.9)现在选取初始标架{}000012;,,r r r n使得()0120000000012(,),0,1,,,0r r g u u r n n n r r n αβαβα⋅=⋅=⋅=>. (4.10)下面我们证明(4.8)中的函数31212::(,)(,)r U E u u r u u →定义了一个正则曲面S =()r U ，以ϕ和ψ分别为S 的第一、第二基本形式.为此，考虑函数组f r rg αβαβαβ=⋅-， f r n αα=⋅， 1f n n =⋅-. (4.11)其中12121212(,),(,),(,)r u u r u u n u u 是方程组(4.7)的解. 因此6个函数,,f f f αβα满足一阶齐次线性偏微分方程组Cauchy 问题111111000000,,2,(,)0,(,)0,(,)0.f f f b f b f u f b f f b f u f b f uf u u f u u f u u αβδδαγδββγδαγαβγβαγγγαβγααβγαβββαβααβα∂⎧=Γ+Γ++⎪∂⎪∂⎪=-+Γ+⎪∂⎨⎪∂=-⎪∂⎪⎪===⎩ (4.12-13)事实上，()()f r g r r r u u u u r b n r r b n r αββαβαβαγγγγδδαγδαγββγδβγααβγβαγ∂∂∂∂=⋅+⋅-∂∂∂∂=Γ+⋅+Γ+⋅-Γ-Γ ()()f g b f f g b f δδαγδβδβαγββγδαδαβγααβγβαγ=Γ+++Γ++-Γ-Γf f b f b f δδαγδββγδαγαβγβα=Γ+Γ++.()f r n n r r b n n b r r u u uγγααααβγαββγαβββ∂∂∂=⋅+⋅=Γ+⋅-⋅∂∂∂ ()()1f b f b f g b f f b f γγγγαβγαββγαγαβγααβγαβ=Γ++-+=-+Γ+.222f n n b r n b f u uββαβαβαα∂∂=⋅=-⋅=-∂∂. 根据Cauchy 问题解的唯一性，得到0f αβ=，0f α=，0f =，即有r r g αβαβ⋅=， 0r n α⋅=， 1n n ⋅=. (4.14)由上式得()212det 0r r g αβ⨯=>，这说明S 是正则曲面. 又()120n r r ⨯⨯=，即n 与12r r ⨯共线，从而 ()()()222121212,,det 0r r n r r n r r g αβ=⨯⋅=⨯=>⎡⎤⎣⎦.因为在()1200,u u 点()()0001212,,,,0r r n r r n =>，由连续性得到在U 上()12,,0r r n >. 因此1212/n r r r r =⨯⨯.因为12(,)r u u 满足方程组(4.7)第1式，故{}12,,,r r r n 是曲面S 的自然标架. 由(4.14)第1式和(4.7)第2式可知S 的第一、第二基本形式分别是ϕ和ψ.当Ω连通且单连通时，方程组(4.7)有定义在整个Ω上的解. □ 课外作业：习题2，4§ 5.5 Gauss 定理由(3.18)得到2121222LN M R K EG F EG F-==--. (5.3) 所以Gauss 曲率K 被曲面的第一基本形式唯一确定，而与曲面的第二基本形式无关，是曲面的内蕴几何量. 于是有下面的Gauss 绝妙定理(Egregium Theorem ).定理5.1 曲面的Gauss 曲率是曲面在保长变换下的不变量. 由(3.22)得到正交参数网(0F =)时，v u K ⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭. (5.4)特别，取等温参数网时，2:E G λ==，其中(,)0u v λλ=>. 此时21ln K λλ=-∆， (5.5)其中2222u v ∂∂∆=+∂∂是关于变量,u v 的Laplace 算子. 引理直纹面:(,)()()S r u v a u vl u =+是可展曲面的充要条件是0K =. 证明. 设S 是直纹面，参数方程为(,)()()r u v a u vl u =+. 则u r a vl ''=+，v r l =，()2()u vu vr r n a vl l r r EG F⨯''==+⨯⨯-，uu r a vl ''''=+，uv r l '=，0vv r =.从而0N =，())11(),,uv M r n a vl l l a l l '''''=⋅=+⨯⋅=.因此()()22222,,a l l LN MK EG F EG F ''-==---.根据第三章定理6.1即得引理. □定理5.2 一个曲面S 是可展曲面的充要条件是S 的Gauss 曲率0K ≡. 证明必要性由上面的引理可得.充分性. 根据引理，只须证明S 是直纹面. 设S 的主曲率为12,κκ. 由条件可知120κκ=. 1. 如果S 上的点都是脐点，则S 是平面，从而是直纹面.2. 假设S 上没有脐点，则可取正交的曲率线网为参数曲线网，使得0F M ==，且120,0L N E G κκ=≠==. 那么120H κ=≠. 由Codazzi 方程(3.23)得 0u u N HG ==，即有0,()u G G G v ==. (5.6)于是111122122221222211022u G g g g g E u u u E∂∂∂⎛⎫Γ=Γ=+-=-= ⎪∂∂∂⎝⎭， ()1222122222220vv v r r r r b n r N n r ⨯=Γ+Γ+⨯=⨯=. (5.8)根据第一章定理2.2，(5.7)说明v -曲线()0,r u v 的切向量()0,v r u v 具有固定方向. 因此v -曲线是直线，从而S 是直纹面.事实上，令1||v v r l r=，则()vv r r l G v l ==. 于是由(5.8)，()0vv v v v vr r G l G l G l G l l ⎡⎤⎡⎤=⨯=+⨯=⨯⎣⎦⎣⎦，即有0v l l ⨯=，从而0v l =. 这样()l l u =，()()v r G v l u =.令()()v v G v dv =⎰. 则()(,)()()0vr u v v v l u -=，故有(,)()()()r u v v v l u a u -=，也就是(,)()()()r u v a u v v l u =+.作参数变换,()u u v v v ==，则S 是直纹面：(,)()()r u v a u v l u =+. □定理5.3 曲面S 是可展曲面的充要条件是S (局部地)可以与平面建立保长对应.证明根据第三章定理6.3，可展曲面S 局部地可以与平面建立保长对应. 反之，若曲面S 局部可以与平面建立保长对应，则由Gauss 绝妙定理，S 的Gauss 曲率0K ≡，从而是可展曲面. □注根据后面第六章的定理4.1，具有相同常数Gauss 曲率K 的曲面之间局部可以建立保长对应. 下面的例子说明两个具有相同的非常数Gauss 曲率的曲面之间未必能建立保长对应. 例设常数,,,a b a b 满足0ab ab =≠. 证明曲面()2212:,,()S r a u bv a u bv =+与()2212:,,()S r a u b v a u b v =+ 之间在对应,u u v v ==下有相同的Gauss 曲率. 但是当2222(,)(,)a b a b ≠且22(,)a b ≠22(,)b a 时，曲面S 与S 之间不存在保长对应.证明对于曲面S ,(),0,u r a au =，()0,,v r b bv =，()0,0,uu r a =，0uv r =，()0,0,vv r b =.(),,1u v r r ab u v ⨯=--，)2..1n u v v=--.因此S 的第一、第二基本形式分别为222222I (1)2(1)a u du abuv dudv b v dv =++++，22II =.曲面S 的Gauss 曲率为2221(1)K ab u v =++. (5.9)同理，曲面S 的第一基本形式为222222I (1)2(1)a u du abu v dudv b v dv =++++， Gauss 曲率为2221(1)K ab u v =++. (5.10)因为ab ab =，所以在对应,u u v v ==下它们有相同的Gauss 曲率.设有保长对应():(,)(,)(,)(,),(,)u v u v u v u u v v uv ϕϕ==. (5.11) 则在对应点有相同的Gauss 曲率. 故由(5.9)和(5.10)得[][]2222(,)(,)u u v v u v u v +=+. (5.12)因此(0,0)0,(0,0)0u v ==. (5.13)将(5.12)两边对,u v 求偏导数，得,u u v v uu v v u uu v v v +=+=.再对,u v 求偏导数，得()()221uu u uu u uu u v v v +++=，0uv u v uv u v uu u u v v v v +++=，()()221vv v vv v uu u v v v +++=.在0u v ==处取值，可得()()221u u u v +=，0u v u v u u v v +=，()()221v v u v +=. (5.14)这说明()(0,0),(0,0)u u u v 和()(0,0),(0,0)v v u v 是相互正交的单位向量. 可设()()(0,0),(0,0)cos ,sin u u u v θθ=，()()(0,0),(0,0)sin ,cos v v u v θθ=±-.另一方面，将0u v ==代入S 和S 的第一基本形式得()[][]22222222I(0,0,,)I u v u v du dv a du b dv a u du u dv b v du v dv ϕ*=+==+++()()()()2222222222222u u u v u v v v a u b v du a u u b v v dudv a u b v dv ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 因此在0u v ==处成立22222cos sin a b a θθ+=，22()cos sin 0a b θθ-=，22222sin cos a b b θθ+=.如果22a b =，则有2222a b a b ===，与已知条件矛盾.如果22a b ≠，则有sin 0θ=或cos 0θ=. 当sin 0θ=时，有()()2222,,a b a b=；当cos 0θ=时，有()22,b a ()22,a b =，同样导致矛盾. □下面的定理说明在某些情况下曲面的法曲率的确包含了曲面形状的全部信息.定理5.4 设:S S ϕ*→是连续可微映射，其中S 上没有脐点，且Gauss 曲率K 处处不为0. 若在每一点p S ∈处，():p p T S T S ϕϕ**→保持所有方向的法曲率不变，则有3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=.证明由条件，可在S 上取正交的曲率线网为参数曲线网，使得0F M ==，且120,0L NE Gκκ=≠=≠. 不妨设12κκ<.设S *的参数方程为(,)r u v *，映射ϕ的参数表示为()(,)(,),(,)u v u u v v u v ϕ=. 对于S 的两个主方向,u v r r ，对应的方向是()u r ϕ*和()v r ϕ*. 则()0u r ϕ*≠，()0v r ϕ*≠，且()u r ϕ*与()v r ϕ*线性无关，因为沿()u r ϕ*和()v r ϕ*方向的法曲率不等(法曲率仅依赖于方向).因此在每一点p S ∈处():p p T S T S ϕϕ**→是线性同构. 由第三章定理5.1，可在S *上选取适用参数系,u v 使得S *的参数方程为(,)r u v *，映射ϕ的参数表示为()(,),u v u v ϕ=.下面证明在相同参数的对应下，S 和S *有相同的第一、第二基本形式. 由于沿着切方向u r *，:1:0du dv =，法曲率/n L E κ=达到最小值1κ，因此u r *是S *的主方向. 同理，v r *也是S *的主方向. 又由12κκ<可知u r *与v r *正交. 因此在S *上参数曲线网也是正交的曲率线网.于是在S *上也有0F M ==，并且12L L N N E E G Gκκ==<==. (5.22) 另外，沿着切方向:1:1du dv =，也有n L N L NE G E Gκ++==++.将(5.22)代入可得1212E G E GE G E Gκκκκ++=++，即()()()()1212E G E G E G E G κκκκ++=++，也就是12()()EG GE EG GE κκ-=-. (5.24)所以E GE Gλ==，11E L L E κλκ==，22G N N G κλκ==. (5.26-27)剩下的只要证明1λ=.由Codazzi 方程(3.23)得,v v u u L HE N HG ==. (5.28) ,v v u u L HE N HG ==. (5.29)其中1122()H κκ=+. 将(5.26-27)代入(5.29)，得(),()v v v v u u u u L L H E E N N H G G λλλλλλλλ+=++=+.再与(5.28)比较，得12,v v u u E H E G H G λκλλκλ==.于是0u v λλ==，λ是一常数.最后由(5.4)，(5.26)，有1v u K K λ⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭.但120K K κκ==≠，只有1λ=.于是在适用参数系下，S 和S *有相同的第一、第二基本形式. 根据定理2.2，有3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=. □课外作业：习题1(2,4,6)，2。

数学系本科生课程设置与简介

数学系本科生课程设置与简介01101011 数学分析(1) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：112 学分：7简介：“数学分析”是数学专业最重要的一门专业课。

第一学期主要内容是分析基础。

第一章函数、第二章极限、第三章连续函数、第四章实数的连续性、第五章导数与微分、第六章微分基本定理及其应用、第七章不定积分、第八章定积分。

先修课要求：无教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：秋01101021 数学分析(2) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：144 学分：8简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数微分学。

级数是数学分析的重要组成部分，它分为数值级数和函数级数。

数值级数是函数级数的特殊情况，也是函数级数的基础；函数级数是表示非初等函数的一个重要的数学工具，它在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的应用。

多元函数微分学是一元函数微分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。

并且对某些概念和定理作了进一步的发展。

先修课要求：数学分析(1)教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：春01101031 数学分析(3) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：40 学分：2简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数积分学。

多元函数积分学是一元函数积分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。

并且对某些概念和定理作了进一步的发展。

先修课要求：数学分析(1) 、数学分析(2)教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：秋01101041 数学分析选讲 Selected Topics of Analysis课程性质：专业选修课课内学时：48 学分：2简介：数学分析教材自身科学规律概述、数学分析的思想方法与表达方式浅析、数学分析解题方法概述、关于数学分析中何种类型习题宜于用反证法证明的问题、形式逻辑与辩证逻辑方面易出现的错误及其分析、函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数、中值定理与导数的应用、实数的基本定理、不定积分、定积分、数项级数、函数列与函数项级数、含参量正常积分、黎曼积分概念与性质，重积分的计算、曲线积分、曲面积分、各类积分间的联系、非正常积分、含参量非正常积分。

对曲面上参数曲线二等分角轨线微分方程的理解

对曲面上参数曲线二等分角轨线微分方程的理解摘要：对曲面上参数曲线二等分角轨线微分方程进行求解，解释u-曲线和v-曲线的切向量的表示方法，即以在某点张成二维向量切空间tps的两个切向量和为基底，以在自然基底下的分量（ u，v）为其切向量，并对参数曲线的二等分角 1和 2关系的两种情况1= 2和 1+ 2= 进行讨论，利用曲面的第一基本形式求解，使得曲面上参数曲线二等分角轨线微分方程更加易于理解，有助于初学者对微分几何课程更好地学习。

关键词：正则参数曲面二等分角轨线第一基本形式中图分类号：o185.2 文献标识码：a 文章编号：1007-3973（2013）007-100-021 预备知识（1）正则参数曲面：设s是e3的一个子集。

如果对于任意一点p∈s，必存在点p在e3中的一个邻域v e3，以及e2中的一个区域u，使得在u和v∩s之间能够建立一一的、双向都是连续的对应，并且该对应（u，v）=（x（u，v），y（u，v），z（u，v）），（u，v）∈u，则称s是e3中的一张正则曲面，简称为曲面。

（2）切向量：设有正则参数曲面s：=（u，v），曲面s在每一点p∈s处的切空间tps是由切向量（u，v），（u，v）张成的二维向量空间。

曲面s在任意一点（u，v）的任意一个切向量是d（u，v）=（u，v）du+（u，v）dv，其中（du，dv）是切向量d（u，v）在自然基底{（u，v），（u，v）}下的分量。

（3）曲面s的第一基本形式：令e（u，v）=（u，v）·（u，v），f（u，v）=（u，v）·（u，v），g（u，v）=（u，v）·（u，v），称它们为曲面s的第一类基本量，称i=e（du）2+2fdudv+g（dv）2为曲面s的第一基本形式。

（4）假设在点（u，v）有两个切向量d（u，v）=（u，v）du+（u，v）dv，（u，v）=（u，v） u+（u，v） v，则有：或（1）（5）u-曲线、v-曲线：在曲面s取定一点p0，=（u0，v0），如果让参数u固定，u=u0，而让参数v变化，则动点描出一条落在曲面s上的曲线（u0，v），称为曲面s上过点p0的v-曲线。

曲率与挠率的关系及其应用

_ α ( s) = ε γ( s) .
2 (- κ β) = - κ β, 于是 β( s) = - β( s) , 进而对该式两边关于 s 求导 , 得κ( s)β = ε
_
_
_
_
_
_
_ γ( s) = α( s) × β( s) = ε γ ×( - β( s) ) = ε α ( s) . _ _ _ τ ( ) κ _ κ β( s) d s = ε s d s β( s) = 1 κ β( s) . 于再对该式两边关于 s 求导 , 可得 - τ( s)β( s) = ε κ λ τ ( ) λ τ ( ) d s ds s s 1 1 κ ( s) = φ( s)κ, 是τ( s) = . 由于 s 是 s 的函数 , 故τ( s) = τ( s ( s) ) = τ( s) , 令 φ( s) = , 则τ λ τ( s) λ τ( s) 1 因此对于 Γ , 满足τ( t) = φ( t)κ( t) 的 φ( s) = , 其中τ是 Γ 的侣线 Γ 的挠率 , 而λ是常数 . λ τ( s) 3 公式τ( t) = φ( t)κ( t) 的应用命题 2 一条非直线的曲线Γ ∶_ r = _ r ( t) 成为平面曲线的充要条件是Γ 的曲率和挠率所满足的关系式τ( t) = φ( t)κ( t) 中的函数 φ( t) = 0 . 证明必要性 :因Γ是非直线的平面曲线 , 故τ( t) = 0 ,κ( t) ≠0 , 于是由关系式可知φ( t) = 0 . 充分性 :因关系式中的 φ( t) = 0 , 故τ( t) = 0 , 这说明曲线Γ 是平面曲线 . 命题 3 一条曲线Γ ∶_ r = _ r ( s) ( 其中 s 为自然参数) 成为圆的充要条件是Γ 的曲率和挠率所满足的关系式τ( t) = φ( t)κ( t) 中的函数 φ( s) = 0 且κ = C ( 其中 C 为非零常数) . 证明必要性 :设曲线Γ为圆 , 于是Γ 的方程可写为 _ r ( s) = { aco s s , asin s , 0} ( 其中 a > 0 为常 1 数且 s 为自然参数) . 经计算圆的曲率和挠率分别为κ( s) = = C 和τ( s) = 0 , 于是满足相应关系

一种快速低振运动装置设计

（２）当０＋０２＝ｒｔ时，即参数曲面上的二等分角轨线分别与ｕ．
．曲线的夹角互补时，我们有ｃｏｓ０产一ｃｏｓ０２，则由（２）和值，￣Ｓｕ＝ｌ，６ｖ＝０，其中６ｕ为ｕ对自身求导，６ｖ为ｖ。对ｖ求导。曲线和ｖ３）式可得：所以，ｕ．曲线的方向向量为（６ｕ，８ｖ）＝（１，０）。同理，当Ｖ为变量，（［１－４－１１，。为定值时，ｖ．曲线／（ｕｏ，ｖ）的方向向量为（６ｕ，８０＝（０，１）。假设参数曲线的二等分角轨线的方向向量是（ｄｕ，ｄｖ），二等分角轨线与ｕ．曲线的夹角为０．，与ｖ－曲线的夹角为，将６ｕ＝ｌ，ｖ＝０代入（Ｉ）式，得到二等分角轨线与Ｕ．曲线的央角余弦
—
—
斟协论坛・２０１３年第７期（下）——
一
种快速低振运动装置设计
口唐振华付志健刘超周忆
（重庆大学机械工程学院重庆摘
４０００４４）
要：针对某些特殊场合需要的快速低振的工作需求，设计出一种利用蜗轮蜗杆驱动的快速运动装置，进行装
置结构设计、参数计算。利用Ｓｏｌｉｄｗｏｒｋｓ软件建立三维模型，并进行实验样机制造和实验。实验结果表明：装置
由于０．与ｅ分别为参数曲线，与ｕ．曲线、ｖ．曲线的夹角，
单位切向量是老，而ｖ－曲线的单位切向量是，所以它们的夹角的平分线的方向向量是干嘉’ 即（）＝（去，千），

测地曲率计算公式的推导方法

测地曲率计算公式的推导方法邢家省;白璐;罗秀华【摘要】考虑曲面上曲线测地曲率计算公式的推导问题，运用向量的外积运算，给出了直接推导的计算公式；在曲面正交曲线坐标网下，给出测地曲率计算公式的2种来源过程，并由此得出 Liouville 公式的推导方法。

%The derivation of the calculation formula of geodesic curvature on curved surface is discussed in this paper.The directly derived calculation formula is obtained by means of vector outer product.Two derivation processes of the calculation formula of geodesic curvature and the derivation of the Liouville formula are demonstrated in the coordinate grid of the orthogonal curve.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】6页(P7-12)【关键词】测地曲率;正交曲线;坐标网;Liouville 公式【作者】邢家省;白璐;罗秀华【作者单位】北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191;北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191;平顶山教育学院，河南平顶山 467000【正文语种】中文【中图分类】O186.1关于曲面上曲线测地曲率的计算公式，文献[1]中采用的是利用曲面论基本方程给出的推导过程，需要准备的知识较多，证明过程相当繁杂；文献[2-6]中在曲面正交曲线坐标网下，给出测地曲率计算的Liouville公式[1-7]的直接证明.笔者运用向量的外积运算法则，就可以直接给出测地曲率的计算公式.在正交曲线坐标网下，给出了推导测地曲率的简化公式的2种过程，并指出Liouville 公式的2种来源，利用直接方法给出测地线方程的最终形式.设曲面Σ的参数方程为Σ:r=r(u,v),(u,v)∈Δ .若r(u,v)具有二阶连续偏导数，且ru×rv≠0，称则曲面Σ为C2类的正则曲面.现在任固定曲面Σ上一点P(u,v)，并设TP为曲面Σ在P点的切平面.曲线Γ：r=r(u(s),v(s))是Σ上过P点的一曲线，其中s是曲线的自然参数.设n为曲面Σ在P点的单位法向量，以α表示曲线Γ上P点处的单位切向量，以β表示曲线Γ上P点处的主法向量，γ是副法向量.定义1[1-9]Σ上，曲线Γ在P点的单位切向量的导向量α′(s)在切平面TP上的投影向量为τP=α′(s)-(α′(s)·n)n，称为曲线Γ在P点的测地曲率向量.称Dα=dα-(dα·n)n为切向量场α(s)沿曲线Γ的绝对微分.由α′(s)=r″(s)，故有τP=r″(s)-(r″(s)·n)n .显然α′(s)-(α′(s)·n)n与n,α都垂直.命ε=n×α，则α,ε,n是彼此正交的单位向量，并且构成一右手系，α′(s)·n)n平行于ε.α′(s)在切平面TP上的投影向量也就是α′(s)在ε上的投影向量.定义2[1-9]曲面Σ上，曲线Γ的切向量的导向量α′( s)在ε上的投影向量为τP=(α′(s)·ε)ε，称为曲线Γ在P点的测地曲率向量.显然有τP=α′(s)-(α′(s)·n)n，τP=(α′(P=(r″(s)·ε)ε .定义3[1-9]将r″(s)·ε称为曲线Γ在P点的测地曲率，记作 kg，kg=r″(s)·ε .显然kg=(r′(s),r″(s),n(s)) ，kgε=r″(s)-(r″(s)·n)n.为使记号方便，设曲面Σ：r=r(u1,u2),(u1,u2)∈Δ.记.设Γ是曲面Σ上的一条曲线，其参数方程为 u1=u1(s),u2=u2(s),或r=r(u1(s),u2(s))=r(s)，这里s是该曲线的自然参数.由于kg=(r′,r″,n)=(r′×r″)·n，利用，因此.因，利用Lagrange恒等式(a×b)·(c×d)=(a·c)(b·d)-(a·d)(b·c)，得代入测地曲率的计算公式，得.(1)式是测地曲率的一般计算公式，方便于直接使用.这里仅用向量外积运算法就给出了测地曲率的一般计算公式，与利用曲面论的基本方程式[1-4]推导出测地曲率的计算公式是一致的.当曲面r=r(u1,u2)上的坐标曲线构成正交网时，有 r1·r2=0，gij=ri·rj,g12=g21=0，g=g11g22.注意到代入测地曲率的一般计算公式(1)中，整理后得.对于曲面r=r(u,v)上的坐标曲线构成正交网时，有E=g11,G=g22,F=g12=0，u1,v=u2.从而有如下结论成立：定理1[1,7-8]设曲面Σ:r=r(u,v)上的坐标曲线构成正交网，Γ是曲面Σ上的一条曲线，其参数方程为 u=u(s),v=v(s),或r=r(u(s),s))=r(s)，这里s是该曲线的自然参数，则曲线Γ的测地曲率为.定理2[1,7-8]设曲面Σ:r=r(u,v)上的坐标曲线构成正交网，Γ是曲面Σ上的一条曲线，其方程为r=r( u(s),v(s))，这里s是该曲线的自然参数，则曲线Γ测地曲率为.证明记，单位法向量n=α1×α2，显然α1,α2，n构成右手正交系.对r=r(s)=r(u(s),v(s))直接求导，得，.将(4)，(5)式代入测地曲率的计算公式，得到.利用ru·ru=E，ru·rv=0，rv·rv=G，可得将(7)式各项代入(6)式中，得这正是(3)式的结果[8].设曲面r=r(u,v)上的坐标曲线构成正交网. 令曲面上曲线r=r( s)=r(u(s),v(s))的切方向与ru的夹角为θ，则有又比较(8)，(9)式，得所以有将(10)至(12)式代入(2)式，或者(3)式中，整理后得(13)式称为刘维尔(Liouville )公式[1,7]，可用于计算测地曲率和求解曲面上的测地线方程 [1-6]，推导高斯-波涅公式[2-6]也用到(13)式.在文献[2-6]中，给出了另一种推导方法.例1[1,10]如果在曲面上引进半测地坐标网ds2=du2+G(u,v)dv2，求证：证明由题设，E = 1，F = 0，G =G(u;v)，代入Liouville公式，得另一方面，由，得所以，即kgds=d+dv.对曲面Σ:r=r(u,v)，设Γ:r=r(s)=r(u(s),v(s))是曲面Σ上的测地线，s是曲线的自然参数.曲线Γ:r=r(s)=r(u(s),v(s))是测地线的充分必要条件为[8-9]r″(s)·ru=0,r″(s)·rv=0 .由于将(14)式分别与ru,rv作内积，得于是有通常将(15)式改写为如下的等价形式：(16)式就是一般参数曲面上的测地线的方程，这里给出了直接的推导过程.利用(16)式可证明测地线的存在唯一性定理，求解曲面上的测地线方程及理论推导.特别地，当曲面r=r(u,v)上的坐标曲线构成正交网时，有ru·rv=F=0，此时曲面上的曲线为测地线的充分必要条件为[8](17)式可用于求解正交网下曲面上测地线的方程[8].[1] 梅向明，黄敬之.微分几何[M].第4版.北京：高等教育出版社出版，2008：82-84；146-149.[2] 苏步青，胡和生，沈纯理,等.微分几何[M].北京：人民教育出版社，1980：197-203.[3] 陈维桓.微分几何[M].北京:北京大学出版社,2006：139-143；229-241.[4] 彭家贵，陈卿.微分几何[M].北京：高等教育出版社，2002：43-47；110-117.[5] 王幼宁，刘继志.微分几何讲义[M].北京：北京师范大学出版社,2003：149-153.[6] 陈维桓.微分几何例题详解和习题汇编[M].北京：高等教育出版社出版,2010：171-219.[7] 邢家省,张光照.曲面上曲线的测地曲率向量的注记[J].吉首大学学报：自然科学版，2013，34(4)：7-10.[8]JOHNOPREA.DifferentialGeometryandItsApplications[M].北京：机械工业出版社，2005：223-242.[9] 邢家省，高建全，罗秀华.曲面上测地线和短程线的性质[J].四川理工学院学报：自然科学版，2015,28(1)：63-66.[10] 梅向明，王汇淳.微分几何学习指导与习题选解[M].北京：高等教育出版社,2004：189-190.Key words:geodesic curvature;orthogonal curve;coordinate grid；Liouville formula。

微分几何课程教案

微分几何课程教案【篇一：微分几何教学大纲】陕西广播电视大学开放教育本科数学与应用数学专业《微分几何》课程教学大纲一、本课程目的与任务微分几何课程是陕西广播电视大学数学与应用数学专业的一门专业基础课，其内容应为三维欧氏空间中的曲线，曲面的局部理论，其方法应以向量分析作为主要工具，同时也应注意到外微分形式及活动标架法的介绍、讨论和使用。

该课程的重点是曲面论，讲授时应自始至终把曲线、曲面上的附属标架场放在中心的地位，这样做在实践和理论上都有重要的意义。

本课程的开设应使学生掌握古典微分几何的基本思想,方法和内容，并能将其运用于其它学科及工程实际中去，同时，通过本课程的学习亦应为对微分几何有兴趣的学生，进一步学习近代微分几何打下一个坚实的基础和一个良好的开端。

建议本课程在三年级开设，周学时宜为4，共72学时（含习题课时间）。

二、课程内容与学时分配建议（不含习题课时间）（一）三维欧氏空间的曲线论（12学时）1. 空间曲线的表示式；2.向量函数；3.空间曲线的弧长、曲率、挠率；4.frenet标架, frenet公式；5.曲线在一点邻近的结构；6.空间曲线论的基本定理；7.特殊曲线。

（二）三维欧氏空间中的曲面论（36学时）1. 曲面的概念；1.1曲面的定义1.2切向量切平面1.3法向量1.4曲面的参数变换1.5例2.曲面的第一基本形式：2.1曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长2.2曲面上两方向的交角2.3正交曲线族和正交轨线2.4曲面域的面积2.5等距对应、共形对应3.曲面的第二基本形式3.1第二基本形式3.2法曲率3.3杜班(dupin)标形3.4渐近方向共轭方向3.5主方向和主曲率的计算、曲率线3.6 gauss曲率和平均曲率3.7曲面在一点邻近的结构3.8某些特殊的曲面4.直纹面和可展曲面4.1直纹面4.2曲面族的包络4.3可展曲面4.4直纹面为可展曲面的充要条件,法线组成的可展曲面5.曲面论基本定理5.1曲面上的活动标架，曲面的基本公式5.2曲面的基本方程5.3曲面的基本定理6.曲面上的测地线6.1测地曲率向量,测地曲率6.2 liouville 公式6.3测地线6.4测地坐标系6.5 gauss-bounet公式6.6曲面上向量的平行移动6.7常高斯(gauss)曲率的曲面*（三）外微分法和活动标架简介（6学时）1.外微分形式2.活动标架法3.用活动标架法研究曲线、曲面．*（四）整体微分几何简介1.平面曲线的整体性质2.空间曲线的整体性质3.曲面的整体性质注：（三）、（四）建议只讲一个，若时间不允许可以不讲。

数学专业课程详情

wk_ad_begin({pid : 21});wk_ad_after(21, function(){$('.ad-hidden').hide();}, function(){$('.ad-hidden').show();});（1.3） SL2(Ｚ)一模形式，Eisenstein级数丁一函数（1.4）模形式空间的维数（1.5）模形式在"∞"的Fourier展式（1.6） Theta 函数（二）章：Hecke 理论（2.1）点格上的Hecke 对应（2.2）模形式空间上的Hecke算子（2.3） Peterson 内积与Hecke算子的自反性（2.4） Hecke算子的特征形式（2.5）模形式的L-级数（2.6） Hecke算子的迹公式教学方式：讲授教材或教学参考书：(1) N. Koblitz: Introduction to elliptic curves and modular forms (2) J.P.Serre,数论基础，冯克勤译 (3) ng. Elliptic Function. 学生成绩评定方法：考试课程编号：00132610 课程名称：密码学课程类型：研究生和本科生选修课学时学分：54学时，3学分先修要求：高等代数(I)、(II) 基本目的：1．使学生了解传统的密码体制：分组密码和序列密码。

2．使学生了解几种公钥密码体制。

3．使学生了解数字签名，识别和认证的基本方法。

内容提要：1．一些古典密码：移位密码，单表代替密码，多代表替密码，转轮密码。

2．信息论：完全保密，熵，唯一解距离，互信息。

3．序列密码：线性反馈移位寄存器，线性复杂度，非线性组合发生器，组合函数及其相关免疫性。

4．分组密码和数据加密标准：分组密码的工作方式，乘积密码和Feistel密码，DES的算法，DES的特性和强度，对DES的差分攻击。

5．公钥密码体制：计算复杂度，单向函数和陷门函数，RSA密码体制，素性的概率测试，对RSA的攻击，ELGamal密码体制和离散对数，Merkle-Hellman背包体制，椭圆曲线密码体制。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

微分几何陈维桓习题答案2习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面«Skip Record If...»上，命«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 对于赤道平面上的任意一点«Skip Record If...»，可以作为一的一条直线经过«Skip Record If...»两点，它与球面有唯一的交点，记为«Skip Record If...».(1) 证明：点«Skip Record If...»的坐标是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，并且它给出了球面上去掉北极«Skip Record If...»的剩余部分的正则参数表示；(2) 求球面上去掉南极«Skip Record If...»的剩余部分的类似的正则参数表示；(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；证明. (1) 设«Skip Record If...». 如图，«Skip Record If...»三点共线，故有«Skip Record If...»使得«Skip Record If...». (1) 由于«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，取上式两边的模长平方，得«Skip Record If...». 从而«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (2) 由(1)可知«Skip Record If...»，又«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...». (3) 因此«Skip Record If...»给出了«Skip Record If...»的正则参数表示.(2)令«Skip Record If...»是«Skip Record If...»两点连线与赤道平面的交点. 同理，有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (4)«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...». (5) 因此(4)给出了«Skip Record If...»的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得«Skip Record If...»，从而上面两种正则参数表示在公共部分«Skip Record If...»上的参数变换公式为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (6) 由(3)和(5)可知«Skip Record If...».所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令«Skip Record If...»，则上面的参数变换可写成«Skip Record If...». 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在«Skip Record If...»上采用(1)式给出的正则参数表示，在«Skip Record If...»上采用正则参数表示«Skip Record If...»则在公共部分的参数变换公式为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (4) 由于«Skip Record If...»构成«Skip Record If...»的开覆盖，并且«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»是可定向的. □5 写出单叶双曲面«Skip Record If...»和双曲抛物面«Skip Record If...»作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为准线. 设直母线的方向向量为«Skip Record If...». 则直纹面的参数方程为«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»的分量满足单叶双曲面的方程，可得«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由«Skip Record If...»得任意性得到«Skip Record If...»，«Skip Record If...».因此«Skip Record If...». 取«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，«Skip Record If...».(2) 对双曲抛物面，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...». 曲面的参数方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...».p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面«Skip Record If...»是球面«Skip Record If...»它的所有法线都经过一个固定点.证明. “«Skip Record If...»”设«Skip Record If...»是球面，参数方程为«Skip Record If...»，球心为«Skip Record If...»，半径为«Skip Record If...». 则有«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1) 微分可得«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (2) 所以«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»，即有函数«Skip Record If...»使得«Skip Record If...». (3) 这说明球心«Skip Record If...»在它的所有法线上.“«Skip Record If...»”设«Skip Record If...»的所有法线都经过一个固定点«Skip Record If...». 则有函数«Skip Record If...»使得(3)式成立，即有«Skip Record If...». 分别用«Skip Record If...»作内积，可得(2). 这说明«Skip Record If...»，从而(1)式成立，其中«Skip Record If...»(否则«Skip Record If...»只是一个点，不是正则曲面)是常数.因此«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为球心，以«Skip Record If...»为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面«Skip Record If...»是旋转面«Skip Record If...»它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “«Skip Record If...»”设«Skip Record If...»是旋转面，旋转轴«Skip Record If...»为«Skip Record If...»轴. 它的参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...».因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»上任意一点«Skip Record If...»处的法线«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»轴的参数方程为«Skip Record If...»，并且«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»与«Skip Record If...»共面. 如果«Skip Record If...»与«Ski p Record If...»处处平行，则«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...».此时«Skip Record If...»是垂直于«Skip Record If...»轴的平面«Skip Record If...». 所以当«Skip Record If...»不是垂直于«Skip Record If...»轴的平面时，旋转面«Skip Record If...»的所有法线都与«Skip Record If...»轴相交.“«Skip Record If...»”通过选取坐标系，不妨设固定直线为«Skip Record If...»轴. 设«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由条件，«Skip Record If...»的所有法线都与«Skip Record If...»轴相交，所以法线不能与«Skip Record If...»轴平行，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...».因此«Skip Record If...»，«Skip Record If...»不能全为零. 不妨设在«Skip Record If...»点邻近«Skip Record If...». 通过参数变换，曲面的参数方程可以写成«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1) 于是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».因为所有法线都与«Skip Record If...»轴相交，«Skip Record If...»，即有«Skip Record If...». 这说明«Skip Record If...»是一个仅仅依赖于«Skip Record If...»的函数. 设«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...». 作参数变换«Skip Record If...». 由上式得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的参数方程(1)可以改写为«Skip Record If...».这是一个旋转面，由«Skip Record If...»平面上的母线«Skip Record If...»绕«Skip Record If...»轴旋转而得. □5. 设«Skip Record If...»是圆锥面«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上的一条曲线.(1) 将曲线«Skip Record If...»的切向量用«Skip Record If...»的线性组合表示出来；(2)证明：«Skip Record If...»的切向量平分了«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的夹角.(1)解.«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...».«Skip Record If...»的切向量为«Skip Record If...»(2)证明.因为«Skip Record If...»，在曲线«Skip Record If...»上每一点«Skip Record If...»处，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由上可知«Skip Record If...». 所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；«Skip Record If...»，«Skip Record If...». □p. 104 习题3.32. 设球面的参数方程是«Skip Record If...».求它的第一基本形式.解. 记«Skip Record If...». 则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...».5. 设在曲面上一点«Skip Record If...»，由微分«Skip Record If...»的二次方程«Skip Record If...» (1) 确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交«Skip Record If...»函数«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是曲面的第一基本形式.证明.由条件，二次方程(1)有两个互异的实根«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，因此可以分解为两个一次因子的乘积：«Skip Record If...». (2) 其中«Skip Record If...»是关于变量«Skip Record If...»的函数. 因为上式是关于文字«Skip Record If...»的二次多项式，比较两边的系数，得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (3) 由(2)可知(1)所确定两个切方向为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (4) 这两个切方向彼此正交«Skip Record If...»«Skip Record If...» (课本(3.18))«Skip Record If...» (由(4)式)«Skip Record If...». (由(3)式) □8. 已知曲面的第一基本形式为«Skip Record If...».(1) 求曲线«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的交角；(2) 求曲线«Skip Record If...»，«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线«Skip Record If...»，«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所围成的曲边三角形的面积.解. (1) 已知«Skip Record If...». 因为交点为«Skip Record If...». 在交点处«Skip Record If...». 对于«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；对于«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 所以它们的切方向«Skip Record If...»满足«Skip Record If...».于是它们的交角为«Skip Record If...»，或«Skip Record If...».(2) 不妨设常数«Skip Record If...». 如图，在曲纹坐标下，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的交点为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的交点为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的交点为«Skip Record If...».If...»，所以内角«Skip Record If...».在«Skip Record If...»点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...».在«Skip Record If...»点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...».曲线«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的弧长分别为«Skip Record If...»，«Skip Record If...».注.在90版中，本题为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，«Skip Record If...».(3) 因为«Skip Record If...»，所以曲边三角形的面积«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»p. 110 习题3.41. 设空间曲线«Skip Record If...»以弧长«Skip Record If...»为参数，曲率是«Skip Record If...». 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线«Skip Record If...»的Frenet标架是«Skip Record If...». 则它的切线曲面参数方程可写为«Skip Record If...».由«Skip Record If...»，«Skip Record If...»可得它的第一基本形式«Skip Record If...». (1) 直母线(即«Skip Record If...»-曲线)«Skip Record If...»的正交轨线的微分方程为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...». 为此，作参数变换«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 则逆变换为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，切线曲面的参数方程为«Skip Record If...».在新参数下，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».第一基本形式化为«Skip Record If...».所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将«Skip Record If...»，«Skip Record If...»直接代入(1)式得到上式：«Skip Record If...».3. 求曲线«Skip Record If...»的参数曲线的正交轨线，其中«Skip Record If...»是常数.解. «Skip Record If...»，«Skip Record If...».第一基本形式为«Skip Record If...».«Skip Record If...»-曲线«Skip Record If...»的正交轨线的微分方程为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...». 解这个微分方程：«Skip Record If...»，得到«Skip Record If...»-曲线的过«Skip Record If...»的正交轨线为«Skip Record If...».«Skip Record If...»-曲线«Skip Record If...»的正交轨线的微分方程为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...». 过«Skip Record If...»的正交轨线为«Skip Record If...».p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面«Skip Record If...»，«Skip Record If...»与正螺面«Skip Record If...»，«Skip Record If...»之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为«Skip Record If...»«Skip Record If...».正螺面的第一基本形式为«Skip Record If...»«Skip Record If...».对正螺面作参数变换，令«Skip Record If...». 则«Skip Record If...»，参数变换是可允许的. 由于«Skip Record If...»，正螺面的第一基本形式化为«Skip Record If...».根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为«Skip Record If...». □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) «Skip Record If...»；(2) «Skip Record If...»；(3) «Skip Record If...»； (4) «Skip Record If...».解. (1) «Skip Record If...».所以它是可展曲面，因为它是正则曲线«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)的切线面.(2) «Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是圆柱螺线，«Skip Record If...». 所以它是可展曲面.(3) 令«Skip Record If...»，«Skip Record If...».则«Skip Record If...»，直接计算得«Skip Record If...».当«Skip Record If...»时，它是马鞍面，«Skip Record If...»，所以不是可展曲面.当«Skip Record If...»或«Skip Record If...»时，它是平面，所以是可展曲面.当«Skip Record If...»且«Skip Record If...»时，它不是正则曲面.(4) 令«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 则«Skip Record If...». 由于«Skip Record If...»，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是直线族的参数.(1) 求参数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数«Skip Record If...»，该双参数直线族中的一条直线«Skip Record If...»可以写成点向式：«Skip Record If...».设所求的函数关系为«Skip Record If...». 则得到一个单参数直线族«Skip RecordIf...»，它们构成的直纹面«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...».于是«Skip Record If...»是可展曲面«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是任意常数. 即所求的函数关系为«Skip Record If...».(2) 此时«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»，«Skip Record If...»不是柱面.如果«Skip Record If...»是锥面，则有函数«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为常向量.于是«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是常数. 由此得«Skip Record If...»，矛盾.因此«Skip Record If...»是切线曲面. 事实上，记«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...». 则«Skip Record If...».取新的准线«Skip Record If...».则«Skip Record If...».于是«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线«Skip Record If...»的弧长参数方程为«Skip Record If...»，曲率和挠率分别为«Skip Record If...»，Frenet标架为«Skip Record If...».它的主法线族生成的直纹面是«Skip Record If...». 因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»不是可展曲面.同理，由«Skip Record If...»可知它的次法线族生成的直纹面«Skip Record If...»不是可展曲面. □。