一次函数的图像(1) 优秀教案

课题：一次函数的图像（第一课时）

 教学目标：
知识与技能目标：
⑴理解正比例函数及正比例的意义；
⑵根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；
⑶识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。
过程与方法目标 ：
⑴通过现实生活中的具体事例引入正比例关系通过画图像的操作实践，体验“描点
法”；

⑵经历利用正比例函数图像直观分析正比例函数基本性质的过程，体会数形结合的思想
方法和研究函数的方法
情感与态度目标

积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．形成合作交流、独立思考的学习习
惯．
 重点：

理解正比例和正比例函数的意义
 难点：

判定两个变量之间是否存在正比例的关系
 教学流程：
一、 课前回顾
1. 在下列函数

2
4
(1)3(2)2(3)(4)25yxyxyyxx； ； ； ；

是一次函数的是 （2）（4） ，是正比例函数的是 （2） .
2、函数的表示法：
①图象法、
②列表法、
③解析式法（关系式法）
三种方法可以相互转化
二、 情境引入
探究1： 什么是函数的图象？
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐
标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph）．

试在平面直角坐标系中画出点M(4,3)
请作出正比例函数y=2x的图象．
分析:函数图象上的点一般来说有无数多个,要把每个点都作出来得到函数图象很困难,
甚至是不可能的.所以我们常作出函数图象上的一部分点,然后用光滑的线把这些点连接起
来得到函数的图象.
请同学们想一想,怎么才能得到图象上的一部分点呢?
为此,我们首先要取一些自变量x的值,求出对应的
函数值y,那么以(x,y)为坐标的点就是函数图象上的点.为了表达方便,我们可以列表
来表示x和y的对应关系.
解：列表: 取自变量的一些值,求出对应的函数值,填入表中.
x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x … -4 -2 0 2 4 …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．
连线：把这些点依次连结起来，得到y=2x的图象．

总结：作一个函数的图象需要三个步骤：
列表，描点，连线．
这种画函数图象的方法叫做描点法.
练习1：
画出一次函数y=2x的图象
⑴ 先列表：

⑵ 再描点连线

做一做
(1)作出一次函数y=-3x的图象.
(2) 在所作的图象上取几个点,找出它们的横坐标和纵坐标,并验证它们是否都满足关
系y=-3x.满足
（1）列表

（2）描点连线

( 1 ) 满足关系式y=-3x的x,y所对应的点(x,y)是否都在它的图象上? 是
( 2 ) 正比例函数y=-3x的图象上的点(x,y)都满足它的关系式吗? 满足
( 3 ) 正比例函数y=kx的图象有什么特点?一条直线

总结：正比例函数y=kx的图象是一条经过原点的直线。
因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这点与原点画直线就可以了（两
点法）。

练习2：下列各点哪些在函数y=x-1的图象上？（B）
A (-1.5, -2.5)
B ( 3, 3 )
C ( 1, 0)
D (0, 1)

三、 自主思考
探究2：在同一直角坐标系内作出y=x,y=3x,y=-12x,y=-4x的图象．
解：列表
x 0 1
y=x 0 1
y=3x 0 3
y=-12x 0 -12
y=4x 0 -4
过点（0，0）和（1，1）作直线，则这条直线就是y=x的图象．
过点（0，0）和（1，3）作直线，则这条直线就是y=3x的图象．
过点（0，0）和（1，-12）作直线，则这条直线就是y=-12x的图象．
过点（0，0）和（1，-4）作直线，则这条直线就是y=-4x的图象．
目的：做一做“作出这几个正比例函数的图
象”，意在让学生进一步熟悉如何作一个正比例
函数的图象，同时要求学生通过这几个函数的图
象，分析正比例函数图象的性质,以及k的绝对
值大小与直线倾斜程度的关系.
效果：学生通过作出正比例函数的图象，明
确了作函数图象的一般方法．在探究函数与图象
的对应关系中加深了理解，并能很快地作出正比
例函数的图象．
议一议
（1）上面的函数都是什么函数？
正比例函数
（2）正比例函数y=kx的图象有什么特点？
正比例函数y=kx的图象是经过原点（0，0）
的一条直线
(3)你作正比例函数y=kx的图象时描了几个点？
两个
（4）直线y=-0.5x ,y=x ,y=3x和y= -4x中，哪一个与 x轴正方向所成的锐角最大？
哪一个与x轴正方向所成的锐角最小？
y=-4x最大 y=0.5x最小
上述四个函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化?
总结：在正比例函数y=kx中,
当k＞0时,图象在第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大(即从左向右观察图象时,
直线是向上倾斜的);
当k＜0时, 图象在第二、四象限， y的值随着x值的增大而减小 (即从左向右观察图象
时,直线是向下倾斜的).
思考:
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？
你能说明其中的道理吗？

（2）正比例函数y=-12x和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小
得更快？你是如何判断的？
我们发现：k越大，直线越靠近y轴。
图像必经过（0，0）和（1，k）这两个点

练习3：1、关于函数y= -3x，图象经过二 、四 象限,y随x的增大而 减小 ，函数的
图像 不经过（经过，不经过）点（-1，-3）
2、关于函数y= 2x，图象经过 一、三 象限,y随x的增大而 增大 ，函数的图像 不
经过 （经过，不经过）点（-1，2）
3 、正比例函数的图像经过点（2，4），那么这个正比例函数的解析式为 y = 2x 。

五、达标测评

1. 函数y=kx的图象经过点P(3，-1)，则k的值为( D )

A．3 B．-3 C．31 D．- 31
2. 下列函数中，图象经过原点的为( C )
A．y=5x+1 B．y=-5x-1

C．y=- 5x D．y= 51x
3.如果函数y=(3m-1)x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ A ）
(A) 31m (B) 31m
(C) m > 1 (D)m < 1

4.若函数 xmy22 为正比例函数，则m=( -1 ),

5.在正比例函数y=4x中， y随x的增大而（增大 ）。在正比例函数 xy31
中， y随的增大而（ 减小 ）。
6、任意写一个图象经过二、四象限的正比例函数的解析式为 （ y=-6x ）。

7.已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高线从小到大变化时， △ABC的面积也随之变化。
（1）写出△ABC的面积y（cm2）与高线x的函数解析式，并指明它是什么函数；

xxxBCy
482121

正比例函数

（2）当x=7时，求出y的值。

当x=7时，y=4×7=28
六、应用提高
1、下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的千米数。辆满载礼贤乘客的中巴车于上午
8：00整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S（千米）与时间t（分）成正比例（途
中不停车），当t=4（分）时，S=2千米。问：
（1）正比例函数的解析式；
（2）从8：30到8：40，该中巴车行驶在哪一段公路上；
（3）从何时到何时，该车行使在淤头至礼贤这段公路上。

解:（1）设所求的正比例函数的解析式为S=kt，
把t =4，S =2代入，得 2=4t。
解得 k= 0.5。
所以，所求的正比例函数的解析式是S=0.5t。
（2）由已知，得30≤t≤40,
∴ 30≤2S≤40
即15 ≤S≤20。
由图可知中巴车行使在贺村至淤头公路上。
（3）由已知，得20≤S≤22,
即40≤t≤44。
∴ 20≤0.5t≤22
所以从8：40至8：44，该车行使在淤头至礼贤公路上。
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、画函数图像的步骤。
2、正比例函数的性质。

七、布置作业
教材85页习题第3、4题。