课时跟踪检测(七十六) 坐标系
2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(七十八)坐标系
课时跟踪练(七十八)A 组 基础巩固1．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2与C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于两点A ，B .(1)求两交点的极坐标；(2)求线段AB 的垂直平分线l 的极坐标方程． 解：(1)C 1：ρ＝2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2的方程即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 化为直角坐标方程得x ＋y －2＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2，所以两交点为(0，2)，(2，0)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2， (2，0)．(2)易知直线l 经过点(0，0)及线段AB 的中点(1，1)，所以其方程为y ＝x ，化为极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)．2．(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin(π6－θ)＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin(π6－θ)＝2，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.如图，连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.3．以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程．解：(1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)或θ＝5π6(ρ∈R)．4．(2019·安徽联合质检)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2－22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－2＝0，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4，C 1与C 2相交于A ，B 两点．(1)把C 1和C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A ，B 的直角坐标；(2)若P 为C 1上的动点，求|PA |2＋|PB |2的取值范围．解：(1)由题意知，曲线C 1与曲线C 2的直角坐标方程分别为C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，C 2：x －y ＝0.联立⎩⎨⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝4，x －y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即A (－1，－1)，B (1，1)或A (1，1)，B (－1，－1)．(2)设P (－1＋2cos α，1＋2sin α)，不妨设A (－1，－1)，B (1，1)， 则|PA |2＋|PB |2＝(2cos α)2＋(2sin α＋2)2＋(2cos α－2)2＋(2sin α)2＝16＋8sin α－8cos α＝16＋82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，所以|PA |2＋|PB |2的取值范围为[16－82，16＋8 2 ]． 5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； (2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.B 组 素养提升6．(2019·衡水中学检测)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程；(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′.若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值．解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0， 即圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )的对称直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点，故|4＋2m |5≤2，解得－2－5≤m ≤5－2，所以实数m 的最大值为5－2.7．(2019·长郡中学调研)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)，直线l 过点(－1，0)，且斜率为12，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与曲线C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)，所以曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入整理得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.因为直线l 过点(－1，0)，且斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋1)，所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0.(2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22，|OQ |＝12×22＋22＝23，故线段PQ 的长为22－23＝523.8．(2019·华南师大附中月考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)因为曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)，所以曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋43，π3. 所以S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB ＝12×(4＋33)×(3＋43)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝12＋2534.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-1坐标系 Word版含解析
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1B ．9x 2＋25y 2＝1C ．25x ＋9y ＝1D.x 225＋y 29＝1解析：∵经过伸缩交换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 后，曲线C 变为x ′2＋y ′2＝1，∴(5x )2＋(3y )2＝1，∴25x 2＋9y 2＝1.答案：A2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122＋y 2＝14B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋122＝14C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －122＝14D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋y 2＝14解析：由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 答案：D3．在极坐标系中，极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π6的点到极点和极轴的距离分别为( )A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,2解析：点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，π6到极点和极轴的距离分别为2,2sin π6＝1.答案：C4．(2017届皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，π6D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫4，π3解析：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程：3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，π6，故选A.答案：A5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析：解法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，C 、D 都不符合题意．解法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，直线l 和圆相切，l 交极轴于点B (2,0)，点P (ρ，θ)为l 上任意一点，则有cos θ＝|OB ||OP |＝2ρ，得ρcos θ＝2.答案：B6．在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于( )A.3 B ．2 3C ．215D ．4解析：化极坐标方程为直角坐标方程得x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3,1)，半径为2的圆，如图所示．可计算|AB |＝23.答案：B7．(2017届广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(0≤θ<2π)，曲线C 在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，π4处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为________________．解析：根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π4⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x 2＋y 2 ＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y ＝4⇒x ＋y －22＝0，故填x ＋y －22＝0.答案：x ＋y －22＝08．(2017届河北冀州月考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12.设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫l 22，解得l ＝ 3.答案：39．(2018届南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ，即ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋22k 2＝k 2，所以圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，－k ＝2k ＋3.解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，22. 10．(2017届唐山模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2；l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1 ＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．[能 力 提 升]1．(2018届陕西宝鸡金台区期中)在极坐标系中，设圆C 1：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点．(1)求以AB 为直径的圆C 2的极坐标方程；(2)在圆C 1上任取一点M ，在圆C 2上任取一点N ，求|MN |的最大值． 解：(1)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，圆C 1：ρ＝4cos θ化为ρ2＝4ρcos θ，所以圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴A (0,0)，B (2,2)，从而圆C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y .将其化为极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即ρ＝2cos θ＋2sin θ. (2)∵C 1(2,0)，r 1＝2，C 2(1,1)，r 2＝2， ∴|MN |max ＝|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝2＋2＋2＝2＋22.2．(2017届成都模拟)在直角坐标系xOy 中，半圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程； (2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2.(2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3，设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2sin θ2＋3cos θ2＝53，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝5，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4.3．(2016年全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝a 0，其中a 0满足tan a 0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.4．(2017届广州五校联考)在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长．解：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图：在Rt △OAM 中，∠OMA ＝π2，∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4.因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |，所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ，即ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π6，验证可知，极点O 与A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，－π6的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π6为所求．(2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R )交圆C 于点P ，在Rt △OAP 中，∠OPA ＝π2，易得∠AOP ＝π4，所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝2 2.。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-1坐标系 Word版含解析
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1B ．9x 2＋25y 2＝1C ．25x ＋9y ＝1D.x 225＋y 29＝1解析：∵经过伸缩交换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 后，曲线C 变为x ′2＋y ′2＝1，∴(5x )2＋(3y )2＝1，∴25x 2＋9y 2＝1.答案：A2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14 B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14 解析：由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 答案：D3．在极坐标系中，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的点到极点和极轴的距离分别为( )A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,2解析：点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到极点和极轴的距离分别为2,2sin π6＝1.答案：C4．(2017届皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3 解析：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程：3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，故选A.答案：A5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析：解法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，C 、D 都不符合题意．解法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，直线l 和圆相切，l 交极轴于点B (2,0)，点P (ρ，θ)为l 上任意一点，则有cos θ＝|OB ||OP |＝2ρ，得ρcos θ＝2.答案：B6．在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于( )A. 3 B ．2 3 C ．215D ．4解析：化极坐标方程为直角坐标方程得x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3,1)，半径为2的圆，如图所示．可计算|AB |＝2 3.答案：B7．(2017届广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(0≤θ<2π)，曲线C 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为________________．解析：根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x 2＋y 2 ＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y ＝4⇒x ＋y －22＝0，故填x ＋y －22＝0.答案：x ＋y －22＝08．(2017届河北冀州月考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12.设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3.答案： 39．(2018届南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2，所以圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎨⎧ k >0，k ＝2k ＋3或⎩⎨⎧k <0，－k ＝2k ＋3. 解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22.10．(2017届唐山模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2；l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1 ＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．[能 力 提 升]1．(2018届陕西宝鸡金台区期中)在极坐标系中，设圆C 1：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点．(1)求以AB 为直径的圆C 2的极坐标方程；(2)在圆C 1上任取一点M ，在圆C 2上任取一点N ，求|MN |的最大值． 解：(1)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，圆C 1：ρ＝4cos θ化为ρ2＝4ρcos θ，所以圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程为y ＝x .由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，∴A (0,0)，B (2,2)，从而圆C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y .将其化为极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即ρ＝2cos θ＋2sin θ. (2)∵C 1(2,0)，r 1＝2，C 2(1,1)，r 2＝2，∴|MN |max ＝|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝2＋2＋2＝2＋2 2.2．(2017届成都模拟)在直角坐标系xOy 中，半圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ1＝1，θ1＝π3，设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝53，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝5，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4.3．(2016年全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝a 0，其中a 0满足tan a 0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.4．(2017届广州五校联考)在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长． 解：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图：在Rt △OAM 中，∠OMA ＝π2， ∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4.因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |， 所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ， 即ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，验证可知，极点O 与A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π6的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6为所求．(2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R )交圆C 于点P ，在Rt △OAP 中，∠OP A ＝π2，易得∠AOP ＝π4，所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝2 2.。
高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测(五) 柱坐标系
课时跟踪检测(五) 柱坐标系一、选择题1．设点M 的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫2，π3，2B.⎝⎛⎭⎫2，2π3，2C.⎝⎛⎭⎫2，4π3，2D.⎝⎛⎭⎫2，5π3，2解析：选D ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－3，又x >0，y <0，M 在第四象限，∴θ＝5π3，∴柱坐标是⎝⎛⎭⎫2，5π3，2.2．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫8，π4，2，则点P 与原点的距离为( ) A.17 B ．217 C ．417 D ．817解析：选B 点P 的直角坐标为(42，42，2)．∴它与原点的距离为： (42－0)2＋(42－0)2＋(2－0)2＝217.3．空间点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )，关于点O (0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)() A ．(－ρ，－θ，－z ) B ．(－ρ，θ，－z )C ．(ρ，π＋θ，－z )D ．(ρ，π－θ，－z )答案：C4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z 轴对称点的柱坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，3π4，1 B.⎝⎛⎭⎫2，π4，1C.⎝⎛⎭⎫2，5π4，1 D.⎝⎛⎭⎫2，7π4，1解析：选C (1,1,1)关于z 轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4，1.二、填空题 5．设点Μ的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6，7，则点Μ的直角坐标为________． 解析：x ＝ρcos θ＝2cos π6＝ 3.y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1.∴直角坐标为(3，1,7)．答案：(3，1,7)6．已知点M 的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________．解析： ∵x ＞0，y ＝0，∴tan θ＝0，θ＝0.ρ＝12＋02＝1.∴柱坐标为(1,0,5)．答案：(1,0,5)7．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________．答案：中心轴为z 轴，底半径为2的圆柱面三、解答题8．求点M (1,1,3)关于xOz 平面对称点的柱坐标．解：点M (1,1,3)关于xOz 平面的对称点为(1，－1,3)．由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 得ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2.tan θ＝－11＝－1， 又x ＞0，y ＜0，∴θ＝7π4. ∴其关于xOz 平面的对称点的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π4，3. 9．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，求M 关于原点O 对称的点的柱坐标． 解：M ⎝⎛⎭⎫2，π4，1的直角坐标为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝1，∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．∵ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2.tan θ＝－1－1＝1， 又x ＜0，y ＜0，∴θ＝5π4. ∴其柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，5 π4，－1. ∴点M 关于原点O 对称的点的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4，－1.10．建立适当的柱坐标系表示棱长为3的正四面体各个顶点的坐标．解：以正四面体的一个顶点B 为极点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴，在平面BCD 上建立极坐标系．过O 点与平面BCD 垂直的线为z 轴．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′， 则|BA ′|＝323×23＝3，|AA ′|＝32－(3)2＝6， ∠A ′Bx ＝90°－30°＝60°＝π3， 则A ⎝⎛⎭⎫3，π3， 6，B (0,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫3，π6，0，D ⎝⎛⎭⎫3，π2，0. 小课堂：如何培养学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
课时跟踪检测(四) 空间直角坐标系
课时跟踪检测（四） 空间直角坐标系1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．第一象限内解析：选C 因为点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz 平面上．2．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是( )A ．a 2＋b 2B ．|a |C ．|b |D ．|c |解析：选D 点P 在xOy 平面的射影的坐标是P ′(a ，b,0)，所以|PP ′|＝|c |.3．若点P (－4，－2,3)关于xOy 平面及y 轴对称的点的坐标分别是(a ，b ，c )，(e ，f ，d )，则c 与e 的和为( )A ．7B ．－7C ．－1D ．1解析：选D 由题意知，点P 关于xOy 平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P 关于y 轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，所以c ＝－3，e ＝4，故c ＋e ＝－3＋4＝1.4．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则点Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)解析：选D 由于点Q 在xOy 平面内，故其竖坐标为0，又PQ ⊥xOy平面，故点Q 的横坐标、纵坐标分别与点P 相同，从而点Q 的坐标为(1，2，0)．5.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝1，AA 1＝3，已知向量a 在基底{AB ―→，AD ―→，AA 1―→}下的坐标为(2,1，－3)．若分别以DA ―→，DC ―→，DD 1―→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则a 的空间直角坐标为( )A ．(2,1，－3)B ．(－1,2，－3)C ．(1，－8,9)D ．(－1,8，－9)解析：选D a ＝2AB ―→＋AD ―→－3AA 1―→＝2DC ―→－DA ―→－3DD 1―→＝8j －i －9k ＝(－1,8，－9)．6.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1―→的坐标为______，AC 1―→的坐标为______．解析：因为A (0,0,0)，D 1(0,2,1)，C 1(2,2,1)，所以AD 1―→＝(0,2,1)，AC 1―→＝(2,2,1)．答案：(0,2,1) (2,2,1)7．点P (2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是________，________，________. 解析：P (2,3,4)在x 轴上的射影为(2,0,0)，在y 轴上的射影为(0,3,0)，在z 轴上的射影为(0,0,4)．答案：(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)8.如图所示，在长方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是________．解析：因为OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，所以A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，B (2,3,0)，故B 1(2,3,2)．所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫22，32，22，即M ⎝⎛⎭⎫1，32，1. 答案：⎝⎛⎭⎫1，32，1 9.如图所示，V -ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1.∵O 点是坐标原点，∴C (1,1,0)，同样的方法可以确定B (1，－1,0)，A (－1，－1,0)，D (－1,1,0)．∵V 在z 轴上，∴V (0,0,3)．10.如图所示，在三棱锥O -ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，建立以OA ―→，OB ―→，OC―→方向上的单位向量为正交基底的空间直线坐标系Oxyz ，求EF 的中点P的坐标．解：令Ox ，Oy ，Oz 轴方向上的单位向量分别为i ，j ，k .因为OP ―→＝OE ―→＋EP ―→＝12(OA ―→＋OC ―→)＋12EF ―→＝12(OA ―→＋OC ―→)＋14(OB ―→－OA ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋12OC ―→ ＝14i ＋14×2j ＋12×3k ＝14i ＋12j ＋32k ， 所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫14，12，32.1．(1)求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标．(2)已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，求点P 3的坐标．解：(1)如图所示，过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C ，使AM ＝CM ，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称且C 的坐标为(1,2,1)．过A 作AN ⊥x 轴于N 并延长到点B ，使AN ＝NB ，则A 与B 关于x 轴对称且B 的坐标为(1，－2,1)．∴A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点C 的坐标为(1,2,1)；A (1,2，－1)关于x 轴的对称点B 的坐标为(1，－2,1)．(2)点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点P 1的坐标为(2,3,1)，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点P 2的坐标为(－2,3,1)，点P 2关于z 轴的对称点P 3的坐标是(2，－3,1)．2.如图所示，AF ，DE 分别是⊙O ，⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解：(答案不唯一)因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2.以O为原点，OB，OF，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O及A，B，C，D，E，F各个点的坐标分别为O(0,0,0)，A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0，32，0)．。
高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测(二) 极 坐 标 系 Word版含解析
课时跟踪检测(二) 极 坐 标 系一、选择题1．在极坐标平面内，点M ⎝⎛⎭⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π)，G ⎝⎛⎭⎫－π3，－200π，H ⎝⎛⎭⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H解析：选A 由极坐标的定义知，M ，N 表示同一个点．2．将点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53)B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5)解析：选A x ＝ρcos θ＝10cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3. 3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．二、填空题5．点⎝⎛⎭⎫2，π6关于极点的对称点为________． 解析：如图，易知对称点为⎝⎛⎭⎫2，76π.答案：⎝⎛⎭⎫2，76π 6．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎫1，3π4，B ⎝⎛⎭⎫2，π4两点，则|AB |＝________. 解析：|AB |＝12＋22－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝ 5.答案： 57．直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，则直线l 与极轴的夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6， 所以∠OAB ＝π－π62＝5π12， 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4. 答案：π4三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，因为A ⎝⎛⎭⎫42，π4， 所以 (42)2＋r 2－82r cos π4＝5， 即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．解：(1)ρ＝(3)2＋32＝2 3.tan θ＝33＝ 3. 又因为点在第一象限， 所以θ＝π3. 所以点(3，3)的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π3. (2)ρ＝(－1)2＋(－1)2＝2，tan θ＝1.又因为点在第三象限， 所以θ＝5π4. 所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4. (3)ρ＝(－3)2＋02＝3，画图可知极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．10．已知定点P ⎝⎛⎭⎫4，π3. (1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．解：(1)设点P 新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6， ∴∠POO ′＝π6. 在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2， ∴sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32， ∴∠OPO ′＝π3. ∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3， ∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3. ∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3. (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2. ∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2.。
课时跟踪检测(四) 空间直角坐标系
课时跟踪检测(四) 空间直角坐标系层级(一) “四基”落实练1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )A ．y 轴上B ．Oxy 平面上C ．Ozx 平面上D ．第一象限内解析：选C 因为点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在Ozx 平面上．2．在空间直角坐标系中，已知点M (－1,2,3)，过该点作x 轴的垂线，垂足为H ，则H 点的坐标为( )A ．(－1,2,0)B ．(－1,0,3)C ．(－1,0,0)D ．(0,2,3)解析：选C 因为垂足H 在 x 轴上，故点H 与点M 的横坐标相同，其余两个坐标分量均为0，故选C.3．在空间直角坐标系中，点A (1，－2,3)与点B (－1，－2，－3)关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．z 轴对称D ．原点对称解析：选B 因为在空间直角坐标系中，与点(x ，y ，z )关于y 轴对称的点的坐标为(－x ，y ，－z )，所以点A (1，－2,3)与点B (－1，－2，－3)关于y 轴对称．4．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面Oxy 的垂线PQ ，则点Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)解析：选D 如图，由于点Q 在Oxy 平面内，故其竖坐标为0，又PQ⊥Oxy 平面，故点Q 的横坐标、纵坐标分别与点P 相同，从而点Q 的坐标为(1，2，0)．5.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝1，AA 1＝3，已知向量a 在基底{AB ―→，AD ―→，AA 1―→ }下的坐标为(2,1，－3)．若分别以DA ―→，DC ―→，DD 1―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则a 的空间直角坐标为( )A ．(2,1，－3)B ．(－1,2，－3)C ．(1，－8,9)D ．(－1,8，－9)解析：选D a ＝2AB ―→＋AD ―→－3AA 1―→＝2DC ―→－DA ―→－3DD 1―→＝8j －i －9k ＝(－1,8，－9)．6.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1―→的坐标为______，AC 1―→的坐标为______．解析：因为A (0,0,0)，D 1(0,2,1)，C 1(2,2,1)，所以AD 1―→＝(0,2,1)，AC 1―→＝(2,2,1)．答案：(0,2,1) (2,2,1)7．点P (2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是________，________，________. 解析：P (2,3,4)在x 轴上的射影为(2,0,0)，在y 轴上的射影为(0,3,0)，在z 轴上的射影为(0,0,4)．答案：(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)8.如图所示，在长方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是________．解析：因为OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，所以A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，B (2,3,0)，故B 1(2,3,2)．所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫22，32，22，即M ⎝⎛⎭⎫1，32，1. 答案：⎝⎛⎭⎫1，32，1 9.已知V -ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD的中点．若|AB |＝2，|VO |＝3，建立如图所示的空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1.∵O 点是坐标原点，∴C (1,1,0)，同样的方法可以确定B (1，－1,0)，A (－1，－1,0)，D (－1,1,0)．∵V 在z 轴上，∴V (0,0,3)．10.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA ＝30°.试建立适当的坐标系并求出图中各点的坐标． 解：以点A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝BC ＝a ，∴A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)．∵AD ＝2a ，∴D (0,2a,0)．∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AD .又∵∠PDA ＝30°，∴PA ＝AD tan 30°＝233a ，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，233a . 层级(二) 能力提升练1．设x 为任意实数，相应的点P (x,3,3)的集合是( )A ．一个平行于x 轴的平面B ．一条平行于x 轴的直线C ．一个垂直于x 轴的平面D ．一条垂直于x 轴的直线解析：选B 点P (x,3,3)的集合应是一条过点(0,3,3)，且平行于x 轴的直线．2.如图，棱长为2的正四面体ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在空间直角坐标系的x 轴、y 轴、z 轴上，则点D 的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(2，2，2)C ．(3，3，3)D ．(2,2,2)解析：选A 将正四面体ABCD 放入正方体中，如图所示．因为|AB |＝|BC |＝|AC |＝2，所以|OA |＝|OB |＝|OC |＝1，所以点D 的坐标为(1,1,1)．3.如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面Oyz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，则点D 的坐标为__________．解析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2, 得BD ＝1，CD ＝3，所以DE ＝CD sin 30°＝32， OE ＝OB －BE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12.所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32. 答案：⎝⎛⎭⎫0，－12，324.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图可看成八个棱长为12的小正方体堆积而成的正方体，其中“小点”代表钠原子，“大点”代表氯原子．建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部的氯原子所在位置的坐标．解：下层的氯原子全部在Oxy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个氯原子所在位置的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,0)，(1,1,0)，(0,1,0)，⎝⎛⎭⎫12，12，0；中层的氯原子所在的平面平行于Oxy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以这四个氯原子所在位置的坐标分别是⎝⎛⎭⎫12，0，12，⎝⎛⎭⎫1，12，12，⎝⎛⎭⎫12，1，12，⎝⎛⎭⎫0，12，12； 上层的氯原子所在的平面平行于Oxy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以这五个氯原子所在位置的坐标分别是(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1,1)，⎝⎛⎭⎫12，12，1.5.如图所示，AF ，DE 分别是⊙O ，⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解：(答案不唯一)因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2.以O 为原点，OB ，OF ，OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，E ，F 各个点的坐标分别为A (0，－32，0)，B (32，0,0)，C (－32，0,0)，D (0，－32，8)，E (0,0,8)，F (0，32，0)．层级(三) 素养强化练已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1.以D 为原点，正方体的三条棱所在的直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .有一动点P 在正方体各个面上运动．(1)当点P 分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时，探究动点P 的坐标特征；(2)当点P 分别在各个面对角线上运动时，探究动点P 的坐标特征．解：(1)当点P分别在平行于x轴的棱A1D1，B1C1，BC上运动时，动点P的纵、竖坐标不变，横坐标在[0,1]取值；当点P分别在平行于纵轴的棱AB，A1B1，D1C1上运动时，动点P的横、竖坐标不变，纵坐标在[0,1]取值；当点P分别在平行于竖轴的棱AA1，BB1，CC1上运动时，动点P的横、纵坐标不变，竖坐标在[0,1]取值．(2)当点P分别在面对角线BC1，B1C，AD1，A1D上运动时，动点P的纵坐标不变，横、竖坐标在[0,1]取值；当点P分别在面对角线A1B，AB1，D1C，DC1上运动时，动点P的横坐标不变，纵、竖坐标在[0,1]取值；当点P分别在面对角线A1C1，B1D1，AC，BD上运动时，动点P的竖坐标不变，横、纵坐标在[0,1]取值．。
高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测(二) 极 坐 标 系 Word版含解析
课时跟踪检测(二) 极 坐 标 系一、选择题1．在极坐标平面内，点M ⎝⎛⎭⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π)，G ⎝⎛⎭⎫－π3，－200π，H ⎝⎛⎭⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H解析：选A 由极坐标的定义知，M ，N 表示同一个点．2．将点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53)B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5)解析：选A x ＝ρcos θ＝10cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3. 3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．二、填空题5．点⎝⎛⎭⎫2，π6关于极点的对称点为________． 解析：如图，易知对称点为⎝⎛⎭⎫2，76π.答案：⎝⎛⎭⎫2，76π6．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎫1，3π4，B ⎝⎛⎭⎫2，π4两点，则|AB |＝________. 解析：|AB |＝12＋22－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝ 5.答案： 57．直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，则直线l 与极轴的夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6， 所以∠OAB ＝π－π62＝5π12， 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4. 答案：π4三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，因为A ⎝⎛⎭⎫42，π4， 所以 (42)2＋r 2－82r cos π4＝5， 即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．(1)(3，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．解：(1)ρ＝(3)2＋32＝2 3.tan θ＝33＝ 3. 又因为点在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π3. (2)ρ＝(－1)2＋(－1)2＝2，tan θ＝1.又因为点在第三象限，所以θ＝5π4. 所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4. (3)ρ＝(－3)2＋02＝3，画图可知极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．10．已知定点P ⎝⎛⎭⎫4，π3. (1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．解：(1)设点P 新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6， ∴∠POO ′＝π6. 在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2， ∴sin ∠OPO ′＝sin π62·23＝32， ∴∠OPO ′＝π3. ∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3， ∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3. ∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3. (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2. ∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2.。
七年级数学平面直角坐标系测试题及答案
七年级数学平面直角坐标系测试题及答案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--图3相帅炮七年级数学第六章《平面直角坐标系》测试卷班级 _______ 姓名 ________ 成绩 _______一、选择题（每小题3分，共 30 分）1、根据下列表述，能确定位置的是（ ）A 、红星电影院2排B 、北京市四环路C 、北偏东30° D、东经118°，北纬40°2、若点A （m ，n ）在第三象限，则点B （|m |，n ）所在的象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限3、若点P 在x 轴的下方，y 轴的左方，到每条坐标轴的距离都是3，则点P 的坐标为（ ）A 、（3，3）B 、（－3，3）C 、（－3，－3）D 、（3，－3） 4、点P （x ，y ），且xy ＜0，则点P 在（ ） A 、第一象限或第二象限 B 、第一象限或第三象限 C 、第一象限或第四象限 D 、第二象限或第四象限5、如图1，与图1中的三角形相比，图2的变化是（ ）A 、向左平移3个单位长度B 、向左平移1C 、向上平移3个单位长度D 、向下平移1个单位长度 6、如图3所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位 于点（3，－2）上，则○炮位于点（ ）A 、（1，－2）B 、（－2，1）C 、（－2，2）D 、（2，－2） 7、若点M （x ，y ）的坐标满足x ＋y ＝0，则点M 位于（ ） A 、第二象限 B 、第一、三象限的夹角平分线上 C 、第四象限 D 、第二、四象限的夹角平分线上8、将△ABC 的三个顶点的横坐标都加上－1，纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（ ）A 、将原图形向x 轴的正方向平移了1个单位B 、将原图形向x 轴的负方向平移了1个单位C 、将原图形向y 轴的正方向平移了1个单位D 、将原图形向y 轴的负方向平移了1个单位9、在坐标系中，已知A （2，0），B （－3，－4），C （0，0），则△ABC 的面积为（ ）A 、4B 、6C 、8D 、310、点P （x －1，x ＋1）不可能在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 二、填空题（每小题3分，共18分）11、已知点A 在x 轴上方，到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，那么点A 的坐标是______________。
课时跟踪检测(六十八) 坐标系
课时跟踪检测（六十八） 坐标系1．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2， 即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ， 得4x 2－83x ＋12＝0， 即(x －3)2＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径|PC |＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离．解：因为M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1. 4．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.5．(2018·洛阳模拟)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎫θ＋π6＝53，射 线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4， 得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，θ＝π6， 解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎨⎧2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝53，θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝ρ2－ρ1＝3.6．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．7．(2018·福建质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：θ＝π6(ρ>0)，A (2,0)．(1)把C 1的普通方程化为极坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△APQ 的面积． 解：(1)因为C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ. (2)依题意，设点P ，Q 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6，⎝⎛⎭⎫ρ2，π6. 将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23，将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝23－1.依题意，点A (2,0)到曲线θ＝π6(ρ>0)的距离d ＝|OA |sin π6＝1，所以S △APQ ＝12|PQ |·d ＝12×(23－1)×1＝3－12.8．(2018·贵州适应性考试)在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α⎝⎛⎭⎫π6＜α≤π4的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围．解：(1)由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ， 两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6＜α≤π4，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α， 把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos 2α，∴|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α.∵π6＜α≤π4， ∴|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4.。
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课时跟踪检测(七十六) 坐标系
1．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，
由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝13x ′，y ＝2y ′
代入x 2－y 264＝1 得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216
＝1， 即x 29－y 216
＝1为曲线C ′的方程， 可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．
2．(1)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程；
(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．
解：(1)将 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2，
得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝r 2，ρ＝r .
所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为
ρ＝r (0≤θ＜2π)．
(2)法一：把ρ＝x 2＋y 2，sin θ＝y ρ
代入ρ＝8sin θ， 得x 2＋y 2＝8·y x 2＋y 2， 即x 2＋y 2－8y ＝0，
即x 2＋(y －4)2＝16.
法二：方程两边同时乘以ρ，
得ρ2＝8ρsin θ，
即x 2＋y 2－8y ＝0.
3．(2015·广东高考改编)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝
⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． 解：由2ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ－π4＝2， 得2ρ⎝⎛⎭
⎫22sin θ－22cos θ＝2， 所以y －x ＝1，
故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，
而点A ⎝
⎛⎭⎫22，7π4对应的直角坐标为A (2，－2)， 所以点A (2，－2)到直线l ：x －y ＋1＝0的距离为 |2＋2＋1|2
＝522. 4．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．
解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，
曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，
－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2
＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝2， 解得a ＝－5或a ＝－1.
故实数a 的值为－5或－1.
5．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22
上的动点，求M ，N 的最小距离．
解：因为M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22
上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0
的距离减去半径r ＝1，故最小值为|0－1－1|2
－1＝2－1. 6．(2016·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．
解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ，
∴ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，
∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭
⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22
k ，－22k . ∵ρsin θ·22－ρcos θ·22
＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， ∴⎪⎪⎪
⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.
即|k ＋4|＝2＋|k |，
两边平方，得|k |＝2k ＋3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧
k ＜0，－k ＝2k ＋3， 解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭
⎫－22，22. 7．(2016·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝
31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．
解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
∴曲线C 的直角坐标方程为x 23
＋y 2＝1， 点R 的直角坐标为R (2,2)．
(2)设P (3cos θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，
∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)，
当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2，
∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.
8．(2016·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 过点A (1,0)，且其向上的方向与极轴的
正方向所成的最小正角为π3
，求： (1)直线的极坐标方程；
(2)极点到该直线的距离．
解：(1)如图，由正弦定理得
ρsin 2π3＝1sin ⎝⎛⎭
⎫π3－θ. 即ρsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝sin 2π3＝32
， ∴所求直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝32
.
(2)作OH ⊥l ，垂足为H ，
在△OHA 中，OA ＝1，∠OHA ＝π2，∠OAH ＝π3
， 则OH ＝OA sin π3＝32
， 即极点到该直线的距离等于32
.。