多项式插值,Lagrange插值,Lagrange反插值,牛顿插值
6.2 牛顿插值多项式
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x 3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
N n ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn−1 )
ak ( k = 0,1,L , n) 为待定系数 形如上式的插值 待定系数.
多项式称为牛顿 插值多项式. 多项式称为牛顿(Newton)插值多项式 牛顿 插值多项式 由插值条件 N n ( x j ) = f ( x j ) ( j = 0,1,L , n),
证毕. 证毕.
的离散数据如下表： 例 1 已知 f ( x ) = shx 的离散数据如下表：
xi
0.00
0.20 0.20134
0.30 0.30452
0.50 0.52110
f ( xi ) 0.00000
用 Newton插值多项式 计算 f (0.23) 的近似值并 插值多项式, 插值多项式 估计误差. 估计误差
解 均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033
插值方法比较范文
插值方法比较范文插值方法是数值计算中常用的一种数值逼近技术，用于通过已知数据点之间的关系来估计未知数据点的值。
在插值过程中，根据不同的插值方法，可以得到不同的近似函数，从而得到不同的结果。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值和样条插值等。
下面将对这些插值方法进行比较，包括优缺点。
首先是拉格朗日插值法，它是通过使用已知数据点的函数值来构建一个多项式，再利用这个多项式来估算未知数据点的函数值。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂、计算简便，而且在已知数据点分布较为均匀的情况下效果较好。
然而，拉格朗日插值法的缺点是对于较多数据点的情况，构建的多项式会非常复杂，容易导致插值结果的振荡。
此外，拉格朗日插值法对于增加或减少一个数据点都需要重新计算，不够灵活。
其次是牛顿插值法，它也是通过已知数据点的函数值来构建一个多项式，但是与拉格朗日插值法不同，牛顿插值法利用差商的概念来简化多项式的计算。
牛顿插值法的优点是可以递推计算差商，避免了重复计算，因此对于增加或减少一个数据点时比较方便。
此外，牛顿插值法的插值多项式在已知数据点分布较为稀疏的情况下效果较好。
缺点是对于较多数据点的情况，插值多项式同样会变得复杂，容易导致插值结果的振荡。
再者是埃尔米特插值法，它是拉格朗日插值法的一种改进方法。
埃尔米特插值法不仅利用已知数据点的函数值，还利用已知数据点的导数值来构建插值函数，从而提高了插值的精度。
埃尔米特插值法的优点是可以通过已知数据点的导数值来更好地拟合函数的特点，从而得到更准确的插值结果。
缺点是在计算过程中需要求解一系列线性方程组，计算量较大。
最后是样条插值法，它是常用的插值方法之一、样条插值法通过将插值区间划分为若干小区间，在每个小区间上构建一个低次多项式，通过满足一定的光滑性条件来保证插值函数的平滑性。
样条插值法的优点是插值函数的平滑性较好，能够解决拉格朗日插值法和牛顿插值法的振荡问题。
缺点是在计算过程中需要求解大规模的线性方程组，计算量较大。
数值分析常用的插值方法
数值分析报告班级：专业：流水号：学号：姓名：常用的插值方法序言在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。
17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。
在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……x n处的值是f（x0），……f（x n），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。
其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……C n的函数类Φ(C0，C1，……C n)中求出满足条件P（x i）＝f（x i）（i＝0，1，……n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。
此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……C n)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……C n）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝f（x）－P（x）称为插值余项。
求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。
一．拉格朗日插值1.问题提出：已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x 上的函数值01,,,n y y y ，求任意一点x '的函数值()f x '。
说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。
牛顿插值法
f [ x, x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1,, xk ] f [ x, x0 , x1 ,, xk ](x xk )
因此可得
f ( x) f0 f [ x, x0 ](x x0 )
f0 ( f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ](x x1 ))(x x0 ) f0 f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x, x0 , x1 ](x x0 )(x x1 )
为f ( x)关于xi , x j , xk的二阶差商
依此类推
5
f [ xi0 , xi1 ,, xik 1 , xik ]
f [ xi0 , xi1 ,, xik ] f [ xi0 , xi1 ,, xik 2 , xik 1 ] xik xik 1
为f ( x)关于节点 xi0 , xi1 ,, xik1 , xik 的k阶差商
2 f i 2 f i 1 3 2h3 3 f i 3!h 3
20
3 fi 3 2 fi 2 2 fxi 3 3 3!h 3 3 2h
k ( x) ( x x j )
j 0
k 1
f0 f [ x0 , x1 ,, xk ]( x x j )
k 1
n
n
k 1 j 0
为k次多项式
f 0 f [ x0 , x1 ,, xk ] k ( x)
k 1
为f ( x)关于节点 xi 的n次Newton插值多项式
f 0
f 1
f 1 f 2
f 3
2 f0
2 f2
2 f3
3 f0
多项式插值_Lagrange插值
l1( x)
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2) x1 x2 )
l2
(
x)
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
则有
l j ( xi
)
ij
1, 0,
i j i j
称 l0(x) , l1(x)，l２(x)为二次插值多项式的基函数。
An
(
xn
x0 )(
xn
yn x1)( xn
xn1 )
将
A0
(
x0
x1 )(
x0
y0 x2 )(x0
xn )
A1
(
x1
x0
)(
x1
y1 x2
)(
x1
xn
)
代入下式：
,
An
(xn
x0
)(
xn
yn x1 )(
xn
xn1 )
Ln(x) A0(x x1)( x x2 )(x xn ) A1(x x0 )( x x2 )(x xn )
xi yi
x0 y0
x1 y1
求解 L1(x)=a1 x+a0
使得 f(x) ≈ L1(x), x ∈[x0 , x1].
根据点斜式得到
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
数值分析4 多项式插值
根据插值余项定理可知：
(1 ) f ( x) Ln ( x) ( x x0 ) ( x xn ) (n 1)! f
( n 1)
f ~ f ( x) Ln ( x)
设
( 2 ) ( x x1 ) ( x xn 1 ) (n 1)!
( n 1)
温 度
31
32
31
29
27
25
24
22 20 18 17 16
找出这一天气温变化规律
插值问题的数学提法
已知函数 y f ( x) 在n+1个互异结点处的函数值
x
y f (x)
x0 y0
x1
y1
xn yn
求一个n次多项式 y P( x) 使其满足
P( xi ) yi
从而可以用P(x)近似f(x) 多项式P(x)称为插值多项式.
而不便于计算,希望用一个简单的函数来描述它。
最常用的简单函数是多项式函数,这是因为多项式函数便于 计算,同时理论上多项式函数有如下良好性质 Weierstrass逼近定理
if f C[a, b], then, 0, P( x), s.t. f ( x) P( x) (x [a, b])
x 225 x 169 15 56 56
所以 f (175 ) L1 (175 ) 13.214 285 71
三、Lagrange插值多项式的截断误差公式
设在插值区间[a,b]上，Pn(x)是满足插值条件的n次多项式
则，用Pn(x)近似f(x)，产生的截断误差（插值余项）为
Chap4 多项式插值
Polynomial interpolation
曲线插值方法
曲线插值方法
曲线插值是指通过给定的一组离散的数据点，找到一条光滑的曲线来逼近这些点的过程。
常见的曲线插值方法包括：
1. 线性插值（Linear Interpolation）：通过两个相邻的数据点之间的直线来逼近其他点。
这种方法简单，但是不能很好地逼近复杂的曲线。
2. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）：通过多项式来逼近数据点，具体地，通过构建一个经过所有数据点的多项式来逼近。
这种方法可以精确地逼近所有数据点，但是当数据点很多时，多项式的阶数会相应增加，计算复杂度较高。
3. 牛顿插值（Newton Interpolation）：与拉格朗日插值类似，牛顿插值也通过多项式来逼近数据点，但是通过不断增加多项式的阶数来逼近数据点，而不是重新构建一个多项式。
这样可以避免重复计算，提高计算效率。
4. 三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）：将插值区间划分为多个小段，每个小段内部使用三次多项式来逼近，保证相邻多项式之间的一阶、二阶导数连续，从而得到一条光滑的曲线。
除了上述方法，还有其他一些特定的插值方法，如Hermite插值、Bezier曲线等，它们适用于不同的插值问题和数据特征。
在实际应用中，常常根据具体问题选择合适的曲线插值方法。
五种插值法的对比研究毕业论文
五种插值法的对⽐研究毕业论⽂题⽬：五种插值法的对⽐研究xxx⼤学本科⽣毕业论⽂开题报告表论⽂（设计）类型：A—理论研究；B—应⽤研究；C—软件设计等；五种插值法的对⽐研究 (3)⼀插值法的历史背景 (5)⼆五种插值法的基本思想 (5)（⼀）拉格朗⽇插值 (5)（⼆）⽜顿插值 (6)（三）埃尔⽶特插值 (7)（四）分段线性插值 (7)（五）样条插值 (8)三五种插值法的对⽐研究 (9)四插值法在matlab中的应⽤ (15)五参考⽂献 (17)五种插值法的对⽐研究摘要：插值法是数值分析中最基本的⽅法之⼀。
在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚⾄给不出表达式，只提供了⼀些离散数据，例如，在查对数表时，要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值，按⼀定关系把相邻的数加以修正，从⽽找出要找的数，这种修正关系实际上就是⼀种插值。
在实际应⽤中选⽤不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。
本⽂详细介绍了拉格朗⽇插值、⽜顿插值、分段插值、埃尔⽶特插值、样条插值法，并从五种插值法的基本思想和具体实例⼊⼿，探讨了五种插值法的优缺点和适⽤范围。
.通过对五种插值法的对⽐研究及实际应⽤的总结，从⽽使我们在以后的应⽤中能够更好、更快的解决问题。
关键词：插值法对⽐实际应⽤Abstract: interpolation numerical analysis of one of the most basic method. Function is a wide variety of practical problems encountered, and some even not give expression provides only a number of discrete data, e.g., in the the checker number table, to check the data is not found in the table , first find out the number next to it, from the side to find the correction value, a certain relationship between the adjacent number to be amended, and to find to find the number, this correction relationship is actually an interpolation . Selection of different types of interpolation functions in practical applications, the approximation of the effect is different. This paper describes the Lagrange interpolation, Newton interpolation, piecewise interpolation, Hermite interpolation, spline interpolation, and start from the basic idea of the five interpolation and specific examples to explore the advantages of the five interpolation shortcomings and the scope of application. The comparative study and practical application of the summary by the the five interpolation method of application so that we can better and faster to solve the problem.引⾔在许多实际问题中，常常需要根据⼀张函数表推算该函数在某些点上的函数值，或要求解决与该函数有关的⼀些问题，例如分析函数的性态，求导数、积分、零点与极值点等。
拉格朗日(Lagrange)插值
li ( x) = Ci ( x x0 )...(x xi )...(x xn ) = Ci ( x x j ) ji j =0 1 li ( xi ) = 1 Ci = j i ( xi xj )
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
称为拉格朗日插值基函数 ， 满足条件 li(xj)=ij /* Kronecker Delta */
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
i=0 i
n
i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
§4.2 拉格朗日(Lagrange)插值
n 求 n 次多项式 Pn ( x) = a0 a1 x an x 使得
Pn ( x i ) = y i ,
i = 0 , ... , n
条件：无重合节点，即 i j
xi x j
一. 插值多项式的存在唯一性 定理4.2.1 : 在 n 1 个互异节点 xk 处满足插值条件 Pn ( xk ) = yk
n
f
( n 1)
( n 1 ) ( x0 ) = = ( xn ) = 0( n 1 ) ( x ) Ln ( x ) K ( x )( n 1) ! = Rn ( x ) K ( x ) ( n 1) ! ( n) 存在 (a, b) 使得 ( ) = 0 ( n 1 ) n ( n 1 ) f ( ) x f ( x) Rn ( x ) = ( x xi ) = K ( x) (n 1) ! i =0 ( n 1) !
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数学软件实验任务书
课程名称 数学软件实验 班级 数0901
实验课题
多项式插值，Lagrange插值，Lagrange反插值，牛顿
插值
实验目的
熟悉多项式插值，Lagrange插值，Lagrange反插值，
牛顿插值
实验要求
运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中
一种语言完成
实验内容
多项式插值，Lagrange插值，Lagrange反插值，牛顿
插值
成绩
教师
实验一 多项式插值
1实验原理
()yfx在区间[,]ab
上的1n个互异点
01n
axxxb
出得值为012,,,,nyyyy，存在次数不超过n的多项式：
2012()n
nn
Pxaaxaxax
使得满足条件：()()niipxfx
2 数据来源
X=[1 1.4 1.8 2.0]
Y=[-2 -0.8 0.4 1.2]
3 实验程序
clc
clear all
X=[1 1.4 1.8 2.0];
Y=[-2 -0.8 0.4 1.2]';
n=length(X);
A=zeros(n,n);
for i=1:n
for j=1:n-1
A(i,j+1)=X(i)^j;
end
end
B=zeros(n,1);
for i=1:n
B(i,1)=1;
end
A(:,1)=B;
A1=A;
%%%%%%%%范德蒙行列式
a=inv(A1)*Y
syms x;
f=a(1)+a(2)*x+a(3)*x^2+a(4)*x^3
%%%%%检验
subs(f,1)
4 实验结果
%%%%%%%%%%多项式系数
a =
-9.2000
12.5333
-7.0000
1.6667
23
()0.9212.5371.67fxxxx
%%%%%%%%%%%%%%%代入1x检验
subs(f,1)
ans =-2.000000003
实验二 Lagrange插值
1 实验原理
通过平面上不同两点可以确定一条直线经过这两点，这就是拉格朗日线
性插值问题，对于不在同一条直线的三个点得到的插值多项式为抛物线。这
里给出一般的插值公式，拉格朗日插值的基多项式为：
1
0(),0,1,2,,nijijjixxlxinxx
有了基函数以后就可以直接构造插值多项式，插值多项式为：
0()()nniiipfxlx
2 数据来源
X=[0 1 2 4]
Y=[1 9 23 3]
3 实验程序
function laglange(X,Y,x0)
syms x
n=length(X);
w=1;
for i=1:n
w=w*(x-X(i));
end
a=diff(w,x);
f=0;
for i=1:n
b=w/(x-X(i));
l=b/(subs(a,x,X(i)));
f=f+l*Y(i);
end
f=expand(f)
%subs(f,x,x0)
sprintf('f(%f)=%f',x0,subs(f,x,x0))
end
4 实验结果
运行程序在Matlab窗口显示
f =
3 2
- 11/4 x + 45/4 x - 1/2 x + 1
即：
32
11451
()1442fxxxx
实验三 牛顿插值
1 实验原理
函数()fx的差商定义为：
[]()kkfxfx
111[][][,]kkkkkkfxfxfxxxx
111[,,][,,][,,,]kjkkjkkkjkkkjfxxfxxfxxxxx
下面给出牛顿插值多项式为：
001001011()[][,]()[,,,]()()()n
nnNxfxfxxxxfxxxxxxxxx
如果记：011()()(),1,2,,kkwxxxxxxkn
则牛顿插值可以表达为：
001101()[][,][,,,]nnn
Nxfxfxxwfxxxw
2 数据来源
X=[1.0 1.3 1.6 1.9 2.2]
Y=[0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623]
3 实验程序
1 计算差商表程序
clc
clear
X=[1.0 1.3 1.6 1.9 2.2];
Y=[0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623];
f0=Y;
n=length(X);
f=zeros(n);
f(1,:)=Y;
for i=1:n-1
f(2,i)=(f0(i+1)-f0(i))/(X(i+1)-X(i))
end
for k=2:n-1
for i=1:n-k
f(k+1,i)=(f(k,i+1)-f(k,i))/(X(k+i)-X(i))
end
end
2 牛顿差值程序
function s=niudun(x,y,t)
syms p;
s=y(1);
xishu=0;
dxs=1;
n=length(x);
%%构造牛顿插值方法
for(i=1:n-1)
for(j=i+1:n)
xishu(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));
end
temp1(i)=xishu(i+1);
dxs=dxs*(p-x(i));
s=s+temp1(i)*dxs;
y=xishu;
end
simplify(s)
end
4 实验结果
差商表：
f =
0.7652 0.6201 0.4554 0.2818 0.1104
-0.4837 -0.5489 -0.5786 -0.5715 0
-0.1087 -0.0494 0.0118 0 0
0.0659 0.0681 0 0 0
0.0018 0 0 0 0
在命令窗口输入
x=[1.0 1.3 1.6 1.9 2.2];
y=[0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623];
yt=niudun(x,y,1.5)
得到结果
yt =
[0.5118199945]