高一数学平面与平面垂直的判定3
高一数学(人教A版)直线与平面垂直的概念及判定
请同学们观察：
A
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与
BD
C
桌面垂直呢？为什么呢？
通过实验操作，我们不难发现，
A
AD所在直线与桌面所在平面垂直的 B
充要条件是折痕AD是BC边上的高．
C
D
A
这个时候，由于翻折后垂直关
系不变，所以直线AD与平面内的
两条相交直线BD，DC都是垂直的．
l P
的射影所成的角，叫做这条直线和 这个平面所成的角．
A
O
例如，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
A1B在平面AC上的射影为AB，
D1
故A1B与平面AC所成的角为∠A1BA； A1
A1C在平面AC上的射影为AC，
故A1C与平面AC所成的角为∠A1CA． D
同学们可以仿照着再举出几个 A
线面角的例子，加深对线面角的认识．
的两条平行直线垂直，那么无法保证该
l
直线与此平面的所有直线都垂直，如图
所示，直线与平面可能垂直，也可能不
垂直．
如果改为“无数条直线”可不可以呢？
“无数条直线”不等同于“任意一条直线”．
若“无数条直线”彼此相互平行，
l
则也无法判定直线是否与该平面垂直．
如图所示：
选一选 若一条直线与三角形的两边同时垂直，则这条
直线与三角形第三边的位置关系是（ B ）
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 不确定
由直线与平面垂直的判定定理知，该直线与三角形 所在平面垂直，进而与三角形第三边垂直，所以答案为 B，同学们选对了吗？
想一想 某旗杆高24m，在它的顶端系两条长26m的绳
高一数学必修2线、面垂直的判定与性质
α β a A 线、面垂直的判定与性质一、线、面垂直的判定与性质1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直.2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直3.（1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线面垂直α⊥l 记为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = ]90,0[0[]]0[180,000π，或a β⊂a α⊥面⇒βα⊥//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a b αa bl a a l αβαββ⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭a α⇒⊥二、例题解析题型一、判断问题例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( )A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能变式：下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a 与直线b 的位置关系是( )A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直；④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是()①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1题型二：求角问题（线面角、面面角）例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．例2、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BC －A 1的平面角是( )A ．∠ABCB ．∠ABB 1C ．∠ABA 1D ．∠ABC 1变式：如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，求二面角P －CD －B 的大小．题型三：证明问题例1、如图，在三棱锥 A-BCD 中，AD ，BC ，CD 两两互相垂直，M ，N分别为 AB ，AC 的中点．(1)求证：BC ∥平面 MND ；(2)求证：平面 MND ⊥平面 ACD .变式： 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.BC A B C D P三、巩固练习1．在三棱锥V -ABC 中，VA ＝VC ，AB ＝BC ，则下列结论一定成立的是( )A ．VA ⊥BCB ．AB ⊥VCC ．VB ⊥ACD ．VA ⊥VB2．若A ∈α，B ∈α，A ∈l ，B ∈l ，P ∈l ，则( )A ．P ⊂αB ．P αC ．l αD ．P ∈α3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.2 65C.155D.1055．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x ，y 是平面；④x ，y ，z 均为平面．其中使“x ⊥z ，且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等于__________．7如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则二面角C 1-BD -C 的正切值为________．8.如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .。
高一数学 直线与平面垂直的判定及性质【经典整理含答案】
直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定与证明方法：①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面. ②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直.③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面.⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面.线面垂直的判定1. 如图，直角ABC △所在平面外一点S ，且SA SB SC ==，点D 为斜边AC 的中点．（１） 求证：SD ⊥平面ABC ；（２） 若AB BC =，求证：BD ⊥面SAC ．答案：证明：（１）SA SC =∵，D 为AC 的中点，SD AC ⊥∴．连结BD ．在ABC Rt △中，则AD DC BD ==．ADS BDS ∴△≌△，SD BD ⊥∴． 又AC BD D = ，SD ⊥∴面ABC ． （２）BA BC =∵，D 为AC 的中点，BD AC ⊥∴．又由（１）知SD ⊥面ABC ， SD BD ⊥∴．于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线．∴BD ⊥面SAC ． 2. 如图，已知P 是△ABC 所在平面外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心，求证：PH ⊥平面ABC. 【探究】 根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H 是△ABC 的垂心，可知BC ⊥AH ，又PA 、PB 、PC 两两垂直，得PA ⊥面PBC ，于是PA ⊥BC ，由此可知BC 垂直于平面PAH 内的相交直线PA 和AH ，结论得证. 证明：∵H 是△ABC 的垂心，∴AH ⊥BC. ① ∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，∴PA ⊥平面PBC. 又∵BC ⊂平面PBC ，PA ⊥BC ， ② 由①②知，BC ⊥PH ， 同理，AB ⊥PH ，∴PH ⊥平面ABC. 二面角的求解3. 已知四边形PABC 为空间四边形，∠PCA=90°，△ABC 是边长为32的正三角形，PC=2，D 、E 分别是PA 、AC 的中点，BD=10.试判断直线AC 与平面BDE的位置关系，并且求出二面角P-AC-B 的大小. 解：∵D 、E 分别是PA 、AC 的中点， ∴DE ∥PC 且DE=21PC=1. ∵∠PCA=90°,∴AC ⊥DE. ∵△ABC 是边长为32的正三角形，并且E 是AC 的中点， ∴AC ⊥BE ，并且BE=3. ∵DE∩BE=E ，∴直线AC 与平面DEB 垂直. ∴∠DEB 为二面角P-AC-B 的平面角. 在△BDE 中，由DE=1，BE=3，BD=10得DE 2+BE 2=BD 2，∴∠DEB=90°.综上所述，直线AC 与平面BDE 垂直，二面角P-AC-B 的大小为90°. 【规律总结】 与二面角的棱垂直的平面和二面角的两个面相交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.利用作与棱垂直的平面得到二面角的方法称为“垂面法”. 4. 已知△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=AB=a ，求二面角A-PC-B 的正切值.A【探究】 要求二面角的正切值，首先要在图形中构造出二面角的平面角，利用其平面角度量二面角的大小，过棱上一点，分别在两个面内作或证棱的垂线，即可产生二面角的平面角，充分利用三角函数定义求得正切值. 解：取AC 的中点M ，连结BM ，作MN ⊥PC 于N ，连结BN. ∵PA ⊥平面ABC ，∴平面PAC ⊥平面ABC.易证BM ⊥AC ，AC=平面PAC∩平面ABC. ∴BM ⊥平面PAC(面面垂直的性质). ∵MN ⊥PC ，∴NB ⊥PC.∴∠MNB 是二面角A-PC-B 的平面角.易知MN=a 42，BM=a 23.∴tan ∠MNB=64223==a aMN BM .∴二面角的正切值为6【规律总结】 度量二面角的大小是通过其平面角进行，所以在图形中构造出二面角的平面角，就能将空间问题转化为平面问题，利用直角三角形中锐角三角函数定义，有些问题也可用斜三角形中的直角三角形加以处理.5. 如图，已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且2AB AC BC ===，求以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小。
8.6.3平面与平面垂直 (第2课时)平面与平面垂直的性质(教学课件)高一数学(人教A版必修第二册)
（1）正确．因为另一条直线与这个平面垂直，则另一条直线垂直于这个平面内 的任意一条直线.所以另一条直线一定垂直于平面内与已知直线平行的直线．故 两条直线垂直．
（2）正确．
（3）错误．比如正方体两个相对的侧面，都垂直于底面，但两侧面平行．
21
平面与平面垂直的性质
补充例题(2016全国Ⅰ,
8.课后练习，凝练提
从本节的讨论可以看到，由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；由直 线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直；由直线与平面垂直可以判定 平面与平面垂直；而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直．这 进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化．
判定 直线与直线垂直
判定 直线与平面垂直
性质
平面与平面垂直
16
平面与平面垂直的性质
8.课后练习，凝练提 升
4.已知平面, , 直线a, 且 , AB, a // , a AB, 判断直线
a与平面的位置关系, 并说明理由.
直线a与平面的位置关系是a . 理由如下：
过直线a作平面 , 使得 a, a // , a , a,a // a,
这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题．例如，装修房子时 ，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙 面的交线的垂线即可．
b
A c
a
图8.6-30
6
平面与平面垂直的性质
3.抽象概括，形成概 念
探究
设平面 平面 , 点P在平面内, 过点P作平面的垂线a, 直线a与平 面具有什么位置关系?
③平面内的任一条直线必垂直于平面．
④过平面内任意一点作交线l的垂线, 则此垂线必垂直于平面．
A. 3
B. 2
高中数学直线与平面平行直线与平面垂直知识点总结
高中数学直线与平面平行直线与平面垂直知识点总结1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内2. 直线与平面平行判定定理：假如平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行，线面平行”)[注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥. (×)(平面外一条直线)②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. (×)(平面外一条直线)③若直线与平面平行，则内必存在很多条直线与平行. (√)(不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之)④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. (×)(可能在此平面内)⑤平行于同始终线的两个平面平行.(×)(两个平面可能相交)⑥平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或者异面)⑦直线与平面、所成角相等，则∥.(×)(、可能相交)3.直线和平面平行性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.(“线面平行，线线平行”)4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若⊥，⊥，得⊥(三垂线定理)，得不出⊥. 由于⊥，但不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.(“线线垂直，线面垂直”)直线与平面垂直的判定定理二：假如平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.(×)(可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行)②垂直于同始终线的两个平面平行.(√)(一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面)③垂直于同一平面的两条直线平行.(√)5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)]⑵射影定理推论：假如一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上高一下册数学直线与平面垂直、平面与平面垂直课型：新授课一、教学目标1、学问与技能〔1〕使同学把握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；〔2〕能运用性质定理解决一些简洁问题；〔3〕了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的互相联系。
高一数学空间中的垂直关系
D
B
b
C
练习
52.如图, 在三棱锥V ABC 中, VA VC , AB BC
求证VB AC
V
A
.
D
C
B
练习
6.如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,满
足MA=MC,求证:
AC 平面 BDM
M
D
C
O
A B
练习
7.如图，在空间四边形ABCD中, PA⊥面ABC, AC⊥BC, 若AE ⊥ PB,AF ⊥ PC 求证：EF⊥PB
P
A E H B D
C
线线垂直
线面垂直
线线垂直
练习
1、如图，空间中直线l和三角形的两边 AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的 第三边AB的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直 C C 相交 B A D 不确定 2 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的 距离相等，则这条直线和平面的位置是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交
a 符号语言： b
图形语言：
ab
a b
O
简述为：线面垂直 线线垂直
直线与平面垂直的性质2：
推论1
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于这个平面．
a / /b 符号语言： a
图形语言：
Hale Waihona Puke b a b
O
直线与平面垂直的性质3：
推论2
a 符号语言： b
图形语言：
如果两条直线同时垂直于一个平面， 那么这两条直线平行．
a // b
a b
O
简述为：线面垂直 线线平行
平面垂直的判定及其性质
立体几何综合复习一、直线与平面垂直1．定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α.2．直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直⇒线面垂直数学描述：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a b P=⇒l⊥α3．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直⇒线线平行数学描述：abαα⊥⎫⎬⊥⎭⇒a b∥4．直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．．，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角．．．．．．．．．α．的范围是．．．．π[0,]2.5．常用结论（熟记）（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、平面与平面垂直1．定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作αβ⊥.2．平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直⇒面面垂直图形语言符号语言l⊥α，lβ⊂⇒α⊥β作用判断两平面垂直3．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简记为：面面垂直⇒线线平行图形语言=laaa lαβαββα⎫⎪⎪⇒⎬⊂⎪⎪⊥⎭⊥⊥4．二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．．．．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.（3）二面角的范围：[0,π].三、垂直问题的转化关系考向一线面垂直的判定与性质典例1如图所示，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，下列说法中错误的是A．平面B．平面C．平面D．平面1．如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 、F 分别是棱BC 、1CC 的中点，P 是底面ABCD 上（含边界）一动点，且满足1A P EF ⊥，则线段1A P 长度的取值范围是A ．51,⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．53,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,3⎡⎤⎣⎦D ．2,3⎡⎤⎣⎦典例2 如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．（）求证：平面； （）求证：直线平面；2．如图1所示，在Rt ABC △中，∠C =90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2所示．（1）求证：1A F BE ⊥；（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由．考向二面面垂直的判定与性质判定面面垂直的常见策略：(1)利用定义(直二面角)．(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．典例4 如图,直三棱柱中,分别是的中点,.（1）证明:平面;（2）证明:平面平面.考向三 线面角与二面角求直线与平面所成的角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤： ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．典例5 正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都相等，D 是11A C 的中点，则直线AD 与平面1B DC 所成角的正弦值为 A ．35 B ．45 C ．34D ．55典例6 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点. （1）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45°，求三棱锥F AEC -的体积.4．如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，.（1）求证:; （2）求证:平面; （3）若二面角的大小为,求直线与平面所成的角.1．下列命题中不正确的是A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ2．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中不正确的是A．ccαβαβ⊥⎫⇒⊥⎬⎭∥B．a bb b cc aββ⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⎭是在内的射影C．b cb ccααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭∥∥D．abb aαα⎫⇒⊥⎬⊥⎭∥3．如图，在三棱锥中，⊥底面，，则直线与平面所成角的大小为A ．B ．C ．D ．4．如图，三条相交于点P的线段P A，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的A．外心B．内心C．垂心D．重心5．如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=A．B．2C．D．16．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°7．《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？问题中“刍甍”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体，如图1，该几何体可由图2中的八边形沿，向上折起，使得与重合而成，设网格纸上每个小正方形的边长为1，则此“刍甍”中与平面所成角的正弦值为A．B．C．D．8．如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻折,使得点A,D 重合于点F,此时二面角E-BC-F的余弦值为（1）（2）A．34B．7C．23D．59．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中命题正确的是__________．10．如图,三棱锥,平面平面,若,则△的形状为__________.11．在四面体中，平面，，，，，为棱上一点，且平面平面，则__________.12．如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则PEEC________.中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当13．如图所示，在四棱锥P ABCDDM⊥________时，平面MBD⊥平面PCD.14．四棱锥中，，且平面是棱的中点.（1）证明:平面;（2）求三棱锥的体积.。
高一数学研究性教学三垂线定理
小结
• 三垂线那么它也和这条
斜线垂直。
练习和作业
D1
1、已知：O为正方体AC1的底面ABCD 的中点。求证：D1O⊥EF 2、已知P为△ABC所在平面外一点， 若P在平面ABC 内的射影是△ABC的垂 心。 求证：PA⊥BC PB⊥AC PC⊥AB
C1
证明：证明：⑴在正方体 AC1中，AA1⊥面ABCD ∴AA1⊥BD 又BD⊥AC AC∩AA1=A ∴BD ⊥面AA1C ⑵ 由⑴知BD ⊥面AA1C A1C在面AA1C ∴BD⊥A1C
C
D1 A1 B1
C1
4、在正方体AC1中，AC1在平
面ABCD、BB1C1C内的射 影分别（ AC、B1C ） A D B C
三垂线定理及其逆定理
符号： a⊥l
a⊥l′
D1 例： 已知：如 图，正方体 AC1中，E、F分别为棱 AB、BC的中点 求证：C1E⊥DF 证明：正方形ABCD 中，E、F 分别为AB、BC中点， ∴△DCF≌△CBE. A D F A1 B1
C1
C
E
B
∠CDF＝ ∠BCE 又∠CDF＋ ∠DFC＝900 ∴ ∠BCE＋ ∠DFC＝900 ∴ DF⊥CE 又因为CC1 ⊥平ABCD ∴C1E在平面ABCD 内的射影为CE。 由三垂线定理知 C1E ⊥DF
1
C1 B1
A1
C B
A
D1 3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C ⑵ BD⊥A1C D A B A1 B1
C1
C
D1 3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C ⑵ BD⊥A1C D A B A1 B1
C1
C
D1 3、已知正方体AC1中， 求证：⑴ BD⊥面AA1C ⑵ BD⊥A1C D A B A1 B1
高一数学说课教案关于《两个平面垂直的判定定理》
高一数学说课教案关于《两个平面垂直的判定定理》事业的成功，往往在于再坚持一下的努力之中，盲目急躁是不足取的。
下面是XX小编为您推荐高一数学说课教案关于《两个平面垂直的判定定理》。
1 教材结构与内容简析：1.1 本节内容在全书及章节的地位；两平面垂直的判定定理出现在高中立几第一章最后一节，这之前学生已学习了空间两直线位置关系，空间直线和平面位置关系，特别是已学习了直线和平面垂直判定定理，二面角的平面角，这是学习本节内容的基础，而本节内容是第二章多面体、旋转体的学习基础，因此，本节的学习有着极其重要的地位。
1.2 数学思想方法分析：1.2.1 从定理的证明过程，面面垂直可转化为线面垂直，就可以看到数学的化归，降维思想。
1.2.2 在教材所提供的材料中，从建构手段角度分析，可以看到归纳思想，而这一思想中包含着重组的意识和能力。
2 教学目标：根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：2.1 基础知识目标：掌握平面与平面垂直的判定定理及其变式，能利用它们解决相关的问题。
2.2 能力训练目标：逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。
2.3 创新素质目标：引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力；判定定理及变式的教学培养学生的重组意识和能力；判定定理在现实生活中的应用培养学生的应用的意识和能力。
2.4 个性品质目标：培养学生勇于探索，善于发现，独立的意识，不断超越自我的创新品质。
3 教学重点、难点、关键：重点：判定定理的证明及变式探索难点：判定定理的变式。
关键：本节课通过判定定理的证明及变式探索，着重培养和发展学生的认知和元认知能力。
4 教材处理：建构主义学习理论认为，建构即认知结构的组建，其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线联构成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。
高一数学第一章知识点概括
高一数学第一章知识点概括提高数学能力，锻炼自己的思维，主要也是通过课堂来提高，要充分利用好课堂这块阵地，学习数学的过程是活的，在随着教学过程的发展而变化，尤其是当老师注重能力教学的时候，教材是反映不出来的。
以下是小编给大家整理的高一数学第一章知识点概括，希望大家能够喜欢!高一数学第一章知识点概括1两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)。
高一数学第一章知识点概括2集合的分类：(1)有限集：含有有限个元素的集合(2)无限集：含有无限个元素的集合(3)空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：(1)元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集N_或N+整数集Z有理数集Q实数集R高一数学第一章知识点概括3一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。