郑州大学2005级高数(下)理工课程(A)答案

郑州大学2005级 高等数学（下） 理工 课程试题
一．填空题（每小题3分，共15分）
1．级数1331nnnn是否收敛？答：。收敛

2．.函数,cosyxz求全微分._____________0,|dxdz
3．函数xxf在区间,上的Fourier级数为nxnnnsin2111 ，则

.22sin2111n
n
n

n
;

4．.0sinsin1111dxdyyxyx

5．曲线tztytx,sin,cos，在点2,1,0处的切线方程为
.120110


zyx

二 计算题（前4题各6分，后4题各8分，共56分）
1。计算,sindxdyxxD其中.0,10:xyxD

解： .1cos1sinsinsinsin1010010xdxxdxxxdyxxdxdxdyxxxD
2．设函数yxzz,由方程eyzxz确定，求微分.dz
解：方程两边微分，得：

zdyydzzdxxdzeyz
，故.xydyzzdxdzeeyzyz。

3．计算第一型曲线积分Lyds，其中L为抛物线xy22上从点0,0o到点

2,2A
的一段弧。

解： .1/1.20.,2:222dydyydsyyyxLyxy


L
yds


.315523111211|120232202220yyyyddyy

4．计算第二型曲线积分Lyxdyyxdxxy22，其中L是圆周ayx222，取正
向。
解：.011112222dxdydyyxdxxydyyxdxxyDLLaayx

5．计算曲面积分SzdS,S为圆锥面yxz22被平面1z截下的部分。
解：由圆锥面方程yxz22，得：
yxy
x

yyzxxz2222,
.2122dxdydxdydSyzxz











所以


SzdS
drddxdyyxryx1022012222

2
2



.322

6．计算第二型曲面积分,222dxdyzdzdxydydzxxzy其中为上半球面
y
xz221
的上侧。

解：补充辅助平面,1,0:221yxz取下侧。 则由高斯公式：

dVdvzzyxxzyxxyzy
2
2
2

2
22

1

球
.52sin21022020ddd
222
00.555xyIdxdyD





7．求幂级数1nnnx收敛区间及和函数（要讨论收敛区间端点处的敛、散性）
解：（一） 由于,11limlim1nnnnnnaa所以，.11R
又当1x时，11nn发散；当1x时，1111nnn收敛，收敛域.1,1
（二）令11,1,nnxnxsx，则

.1,1,1111/xxx
xs
n

n
，.3,1x故


11.1ln110000/xxdttdttsxs

xx

s
8．设f有连续的二阶

偏导数，02,22yyxfz，求.2xyz
： ;2.1/2/1yyzff 2////////11211121.22.224..zyyyxffff
三．（10分）设函数yxu,满足ydyxdxdu22且
,21,1u求
yxu,
在区域14|,22yxyxD的最大值。

解：（一）由于,2222yxdydyxdxdu所以，
.,22Cyxuyx又,21,1u故
.2,22yxyxu

令.02,02//yxuuyx，得.20,0,0uyx

（二）在边界1422yx上，






.2121532,22241yyxu
yyy
令,010ydydu 可得,0y又.4724121,0,321,0uu。
所以，yxu,在区域14|,22yxyxD的最大值3。
四．应用题（10分）
设xf在,连续可导，且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线

l
，都有,022lyxydxdyxf试证明：.xxf

证明：（一）由于,022lyxydxdyxf
所以.2222yxyxxfxyy即：yxyxfyxxyxxfx22222222/222 .0,0,yx
亦即.212/22/xfxyfxxfxx
因对任意点.0,0,yx若x=0，y不能为0，要恒等必须f ’(x)-1 =0
可得：.xxf
五．（9分）求曲面yxz221在点2,0,1处的切平面与曲面yxz22所围
成立体的体积。
解：（一）令,1,,22zzyxFyx则曲面yxz221在点2,0,1的切平面

之法向量为： .1,0,21,2,2,,||2,0,12,0,1///yxnFFFzyx
所以，切平面的方程为,0212zx即.2xz
（二） yxzxz22,2，消z，得：0222xyx，故切平面与曲面yxz22

所围成的立体在xoy面上的投影区域为.1.02:22221yxyxxD
(3) .21122010222221rdrdddxVryxyxDD