浙工大之江学院数分I期中考卷
浙江省2020年高二上学期数学期中考试试卷(I)卷
浙江省2020年高二上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·晋城模拟) 在中，若，，其面积为，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·宿州期中) 数列2，5，8，11，…，则23是这个数列的（）A . 第5项B . 第6项C . 第7项D . 第8项3. （2分） (2018高二上·临夏期中) 不等式表示的区域在直线的A . 右上方B . 右下方C . 左上方D . 左下方4. （2分）(2019·嘉兴期末) 在等差数列中，，则（）A . 32B . 45C . 64D . 965. （2分）在等比数列{}中，若，则的值为（）A . 9B . 1C . 2D . 36. （2分）已知a＞b＞0，则下列不等关系式中正确的是（）A . sina＞sinbB . log2a＜log2bC . a＜bD . （）a＜（） b7. （2分）(2018·延安模拟) 已知等差数列的公差为，前项和为，且、、成等比数列，则（）．A .B .C .D .8. （2分）已知点G是重心,, 则的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一下·吉林月考) 在中，角、、所对的边分别为、、，如果，则的形状是（）A . 等腰三角形B . 等腰直角三角形C . 等腰三角形或直角三角形D . 直角三角形10. （2分） (2015高二上·抚顺期末) 已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6 ，则数列的前5项和为（）A . 或5B . 或5C .D .11. （2分） (2019高二上·安徽月考) 设，，分别为内角，，的对边. 已知，则（）A .B . 1C .D . 212. （2分） (2017高二下·牡丹江期末) 若正实数满足，则的最小值是（）A . 12B . 6C . 16D . 8二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2019高二上·安徽月考) 已知等比数列满足，，则公比________.14. （1分） (2016高一上·金华期末) 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是________．15. （1分） (2017高三上·宁德期中) 一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东，港口A的东偏南处，那么B ， C两点的距离是________海里．三、解答题 (共7题；共51分)16. （1分） (2016高二上·大连期中) 设实数x，y满足约束条件目标函数z=ax+y仅在点（，）取最大值，则实数a的取值范围为________．17. （5分） (2018高一下·淮南期末) 在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求 .18. （10分） (2020高一下·无锡期中) 某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到方向所成的角）是50°，距离是；从B到C，方位角是110°，距离是；从C到D，方位角是140°，距离是．（1）求出从A到D的方位角；（2）计算从A到D的距离．19. （10分） (2016高二下·仙游期末) 已知数列，（1）计算S1 ， S2 ， S3 ， S4；（2）猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．20. （10分）(2018·禅城模拟) 已知数列的前n项和为，，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前n项和 .21. （10分） (2020高二下·江西期中) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．22. （5分） (2019高一下·牡丹江期中) 在中，角的对边分别为，已知，，．（1）求；（2）如图，为边上一点，且，求的面积．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共7题；共51分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
浙江省温州2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
温州2024学年第一学期期中考试高一数学试卷（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，M A M B = ，则集合M 可以是（）A.{}4 B.{}1 C.{}2,3 D.{}1,2,3,4【答案】D 【解析】【分析】根据题意分析可知1,4M M ∈∈，结合选项即可判断.【详解】因为M A M B = ，则,A M B B M A ⊆⊆U U ，且集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，所以1,4M M ∈∈，结合选项可知ABC 错误，D 正确.故选：D.2.已知a b <，2log a 和2log b 是方程2320x x -+=的两根，则log a b =（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得22log 1,log 2a b ==，进而可得,a b ，即可得结果.【详解】由题意可知：0a b <<，则22log log a b <，又因为方程2320x x -+=的两根为1，2，则22log 1log 2a b =⎧⎨=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，所以2log log 42a b ==.故选：C.3.“[]1,2x ∀∈，214x ≤≤”的否定是（）A.[]1,2x ∀∉，214x ≤≤ B.[]1,2x ∃∉，214x ≤≤C.[]1,2x ∃∈，24x >或21x <D.[]1,2x ∃∈，24x >且21x <【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可判断.【详解】“[]1,2x ∀∈，214x ≤≤”的否定是“[]1,2x ∃∈，24x >或21x <”.故选：C.4.以下可能是函数()2222x xx f x -=-的图像的为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再分析()1f 与1的大小关系判断即可.【详解】因为()()()22222222x x x xx x f x f x ----===---，故()f x 为奇函数，排除B,D ；又()24111322f ==>-，排除C.故选：A5.已知正数a ，b 满足1111a b +=+，则a b +的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】根据()11111a a b b a b =⎛+⎫+- ⎝+⎪+⎭+，展开根据基本不等式求解即可.【详解】由题意，()()1111111a b a b a a b b +=+⎛+⎫-+⎝+=+-⎪+⎭11131b a a b =+++≥=+，当且仅当11b a a b +=+，即2,1a b ==时取等号.故选：B6.一个质量为m 的物体在空气中以初始速率0v 落下，假设空气阻力大小f 与物体的速率v 满足f kv =（k为正常数）可求得在t 时刻物体的速率0e ktm mg mg v v k k -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中自然常数e 2.71828=⋅⋅⋅，g 为重力加速度的大小，按照此模型，可推得（）A.当0mgv k >时，随着t 变大，物体速率v 减小，但始终大于mg kB.当0mgv k >时，随䒴t 变大，物体速率v 增大，且始终大于mg kC.当0mgv k <时，随着t 变大，物体速率v 减小，且始终小于mg kD.当0mgv k <时，随着t 变大，物体速率v 增大，最终会等于mg k【答案】A 【解析】【分析】根据题目条件，结合指数型复合函数的单调性，判断v 关于t 的变化情况即可.【详解】0mg v k >时，由e 0k tm ->，可得0e kt m mg mg mg v v k k k-⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，故mg v k >恒成立，又0k m -<，00mgv k->，由指数型复合函数的单调性，v 关于t 是单调递减函数，于是随着t 变大，物体速率v 减小，A 正确B 错误；0mg v k <时，由e 0k tm ->，可得0e kt m mg mg mg v v k k k-⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，故0mg v k <恒成立，又0k m -<，00mgv k-<由指数型复合函数的单调性，v 关于t 是单调递增函数，于是随着t 变大，物体速率v 变大，CD 均错误；故选：A.7.已知函数()422,00,0422,0x x x x a a x f x x a a x --⎧-⋅+>⎪==⎨⎪-+⋅-<⎩，在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[]1,2- B.(],2-∞ C.[]22-,D.[)1,-+∞【答案】A 【解析】【分析】先分析每一段函数的单调性，并且在分段点处也要满足单调性要求，即可求出结果.【详解】当0x >，()422xxf x a a =-⋅+，令,12x t t =>，则()()22f x g t t at a ==-+，根据复合函数的单调性得到()g t 在1,+∞上单调递增，所以对称轴122a at -=-=≤，即2a ≤，此时最小值点()1120g a a =-+≥，解得1a ≥-，所以12a -≤≤；当0x <，()422xx f x a a --=-+⋅-，因为()f x 在(),0∞-上单调递增，令2,1x m m -=>，则()()22f x h m m am a ==-+-，根据复合函数的单调性得到()h m 在1,+∞上单调递减，所以对称轴122a am =-=≤-，即2a ≤，此时最大值点()1120h a a =-+-≤，解得1a ≥-，所以12a -≤≤；综上，a 的取值范围是12a -≤≤，故选：A.8.已知函数()f x 的定义域为，()10f -=，函数()1y xf x =+是奇函数，()()1y x f x =+的图象关于直线1x =-对称，则（）A.()f x 是偶函数B.−1是奇函数C.()20f =D.()()4f x f x +=【答案】B 【解析】【分析】应用题目所给条件，确定函数图像的对称性，代入可求出()f x 的对称轴，对称中心和周期.【详解】由(1)y xf x =+为奇函数，(1)()(1)(1)xf x x f x xf x +=---=-，可得(1)(1)f x f x +=-，即函数()f x 图象关于1x =对称，()(2)f x f x =-；由(1)()y x f x =+关于1x =-对称，得(1)()(1)(2)x f x x f x +=----，即()(2)f x f x =---，()f x 的图象关于点(1,0)-中心对称；结合条件()f x 关于直线1x =对称，(2)[2(2)](4)f x f x f x --=---=+，()(4)f x f x =-+可以得出(8)(44)(4)()f x f x f x f x +=++=-+=.对于选项A ，已知条件不足以确定()f x 的奇偶性，A 选项错误；对于选项B ，(1)f x -的图象可以由()f x 的图象向右平移一个单位得到，故对称中心为()0,0，()1f x -是奇函数，B 选项正确；对于选项C ，由已知只能得到(2)(0)f f =，不能确定(2)f 的取值，C 选项错误；对于D 选项，(4)()f x f x +=-，D 选项错误.故选：B二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）9.已知12x ≤≤，34y ≤≤，则（）A.2x y +的最小值是4B.y x -的最小值是1C.xy 的最大值是8D.x y 的最大值是23【答案】BCD 【解析】【分析】通过不等式的性质来分别分析每个选项中的表达式的取值范围即可得到结果.【详解】对于A ，12x ≤≤，则224x ≤≤，又34y ≤≤，所以528x y ≤+≤，所以2x y +的最小值是5，故该选项错误；对于B ，12x ≤≤，则21x -≤-≤-，又34y ≤≤，所以13y x ≤-≤，所以y x -的最小值是1，该选项正确；对于C ，因为12x ≤≤，34y ≤≤，所以1324xy ⨯≤≤⨯，即38x ≤≤，所以xy 的最大值是8，该选项正确；对于D ，34y ≤≤，则11143y ≤≤，又12x ≤≤，所以111243x y ⨯≤≤⨯，所以1243x y ≤≤，所以x y 的最大值是23，该选项正确；故选：BCD.10.下列为真命题的是（）A.函数()10y x x x =+≠的最小值为2 B.函数()111y x x x =+>-的最小值为3C.函数()431y x xx=-≤-的最大值为1D.函数)2y x =∈R 的最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】对于A ：举反例说明即可；对于B ：利用基本不等式运算求解即可；对于C ：根据函数单调性分析判断；对于D ：换元令t =，结合对勾函数单调性分析判断.【详解】对于选项A ：令1x =-，则2y =-，可知函数()10y x x x=+≠的最小值不为2，故A 错误；对于选项B ：因为1x >，则10x ->，可得()11111311y x x x x =+=-++≥+=--，当且仅当111x x -=-，即2x =时，等号成立，所以函数()111y x x x =+>-的最小值为3，故B 正确；对于选项C ：因为43,y x y x==-在(],1-∞-内单调递增，可知函数43y x x =-在(],1-∞-内单调递增，且当1x =-时，1y =，所以函数()431y x x x=-≤-的最大值为1，故C 正确；对于选项D ：令t =≥211t y t t t+==+，可知1y t t=+在)+∞内单调递增，且当t =时，2y =，所以函数)2y x =∈R 的最小值为2，故D 错误；11.设常数a ∈R ，函数()233xx f x x a -=--+，则（）A.函数()f x 在R 上单调递减B.当1a =时，=的图像关于直线1x =对称C.对任意a ∈R ，=的图像是中心对称图形D.若()()22f m f n a +>-，则2m n +<【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据指数函数的单调性判断即可；对B ，判断()()2f x f x -=是否成立即可；对C ，求解()()2f x f x -+为定值判断即可；对D ，根据()f x 的单调性与对称性判断即可.【详解】对A ，因为23x y -=为减函数，3x y =为增函数，y x =为增函数，故()233xx f x x a -=--+为减函数，故A 正确；对B ，当1a =时，()2331xx f x x -=--+，()()()2223321331x x x x f x x x f x ---=---+=-+-=-，故=的图像关于1,0对称，故B 错误；对C ，因为()()()2223323322xxx x f x f x x a x a a ---+=---++--+=-，故对于任意a ∈R ，=的图像关于()1,1a -对称，故C 正确；对D ，由C 可知()()222f m f m a +-=-，故()()22f m f n a +>-即()()()222f n a f m f m >--=-，又=为减函数，故2n m <-，即2m n +<，故D 正确.故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每空5分，共15分）12.已知幂函数()f x 的图像经过第二象限，且在区间()0,∞+上单调递减，则一个符合要求的()f x =______.【答案】2x -（答案不唯一，符合题意即可）【分析】举例，根据幂函数的性质分析判断即可.【详解】例如()221f x xx-==，可知()f x 的定义域为{}|0x x ≠，且()0f x >，所以幂函数()f x 的图像经过第二象限，且在区间()0,∞+上单调递减，符合题意.故答案为：2x -（答案不唯一，符合题意即可）.13.1lg24710lnlog 7log 8-+⋅=______.【答案】6【解析】【分析】根据指对数的运算求解即可.【详解】11lg247lg210lg 7lg810ln log 7log 8ln 10lg 4lg 7-++⋅=-⋅101lg893lg 293622lg 422lg 222=-+=+=+=.故答案为：614.设常数0a ≠，若存在0x ≠且x a ≠，使得()1x a x a a x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭，则a 的取值范围是______.【答案】()()11122,,00,1,⎛⎛⎫-⎪--∞-+∞ ⎪ ⎝⎭⎝⎭+ 【解析】【分析】先去绝对值讨论1a x-的值，再讨论x a >与x a <两种情况满足的不等式，再求解不等式即可.【详解】由题意，若()1x a x a a x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭成立，则：当x a >时11a x -=有解，或当x a <时11a x -=-有解.即当x a >时11a x =+有解，或当x a <时11a x =-有解.①当1a =时，11a x =-无解，此时112a x =+=，12x =，不满足x a >；②当1a =-时，11a x =+无解，此时112a x=-=-，12x =-，不满足x a <；故1a ≠±，则当x a >时11x a =+有解，或当x a <时11x a =-有解.故11a a >+或11a a <-，即21011a a a a +-<++或21011a a a a -->--，即()()2110a a a +-+<或()()2110a a a --->.求解()()2110a a a +-+<可得12a --<或112a --<<；求解()()2110a a a --->可得112a <<或12a +>；综上有a的取值范围是()()11,1,00,1,22∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：()()11,1,00,1,22∞∞⎛⎫⎛⎫-+-⋃-⋃⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】方法点睛：（1）观察到等式两边有相似的式子，考虑分情况讨论去绝对值；（2）先根据分式的值域考虑参数的特殊取值，再分析一般情况并根据题意列出不等式求解范围.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设集合A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，211B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合B A ⋂R ð；（2）若“x B ∈”是“21x m +<”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|10B A x x ⋂=-<≤R ð（2）{}|1m m ≤【解析】【分析】（1）先根据题意求出集合的取值范围，再根据集合的运算可求出结果；（2）根据条件得到{}|21x x m +<是{}|11x x -<<的真子集，即可求得取值范围.【小问1详解】对于集合A ，可得()10x x ->，解得01x <<，所以{}|01A x x =<<，对于集合B ，可得2101x ->+，即101x x ->+，()()110x x -+>，解得11x -<<，所以{}|11B x x =-<<，所以{|0A x x =≤R ð或}1≥x ，则{}|10B A x x ⋂=-<≤R ð；【小问2详解】因为“x B ∈”是“21x m +<”的必要不充分条件，所以{}|21x x m +<是{}|11x x -<<的真子集，当0m ≤时，此时21x m +<解集为空集，满足题意；当0m >时，21m x m -<+<，即1122m m x ---<<，因为{}|21x x m +<是{}|11x x -<<的真子集，所以112112m m --⎧≥-⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得1m ≤，所以01m <≤，综上实数m 的取值范围为{}|1m m ≤.16.定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1y x f y f x f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭，且当()1,0x ∈-时，()0f x <.（1）求证：()f x 是奇函数；（2）判断1123f f ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的正负，并说明理由.【答案】（1）证明见详解（2）11023f f ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，理由见详解【解析】【分析】（1）通过赋值，得()00f =，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明；（2）根据题意结合奇函数性质运算求解即可.【小问1详解】因为函数()f x 的定义域为−1,1，令0x y ==，得()()()000f f f -=，即()00f =，令0y =，可得()()()0f f x f x -=-，即()()f x f x -=-，所以()f x 在−1,1上为奇函数.【小问2详解】11023f f ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，理由如下：因为()f x 在−1,1上为奇函数，则111111112311232355123f f f f f f f ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪-⨯⎝⎭，当()1,0x ∈-时，()0f x <，即105f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1110235f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.17.常数,m n ∈R ，函数()2f x x mx n=++（1）若1n m =-，解关于x 的不等式()0f x <；（2）若0n <，存在m ∈R ，对任意[]1,2x ∈，()4x f x x ≤≤恒成立，求n 的最小值.【答案】（1）答案见详解（2）4-【解析】【分析】（1）由题意可得()()110x x m ++-<，分类讨论两根大小，结合二次不等式的解法可得所求解集；（2）分析可知存在m ∈R ，14n n x m x x x--+≤≤--+对[]1,2x ∈恒成立，可得max min14n n x x x x ⎛⎫⎛⎫--+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数单调性以及恒成立问题运算求解.【小问1详解】若1n m =-，则()()()221110f x x mx n x mx m x x m =++=++-=++-<，令()()110x x m ++-=，解得1x =-或1x m =-，当11m ->-，即2m <时，不等式解集为{}|11x x m -<<-；当11m -=-，即2m =时，不等式解集为∅；当11m -<-，即2m >时，不等式解集为{}|11x m x -<<-；综上所述：当2m <时，不等式解集为{}|11x x m -<<-；当2m =时，不等式解集为∅；当2m >时，不等式解集为{}|11x m x -<<-.【小问2详解】因为[]1,2x ∈时，24x x mx n x +≤+≤恒成立，等价于14n x m x ≤++≤对[]1,2x ∈恒成立，即存在实数m ，使得14n n x m x x x --+≤≤--+对[]1,2x ∈恒成立，可知max min14n n x x x x ⎛⎫⎛⎫--+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0n <时，由n y x x =--在[]1,2内单调递减，当1x =时，1y n =--，当2x =时，22n y =--，则22n n -≤-+，解得40n -≤<，所以n 的最小值为4-.18.设常数a ∈R ，已知()22a x xf x -=+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）当2a =时，求()()1f x f x <+的解集；（3）若存在x ∈R ，使44112x x a f x -⎛⎫-≥++ ⎪⎝⎭成立，求实数a 的最小值.【答案】（1）[)0,+∞（或()0,∞+）（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）222log 3+【解析】【分析】（1）分析可知()f x 为偶函数，根据单调性的定义以及偶函数的对称性求单调区间；（2）根据题意整理可得222x >，结合指数函数单调性解不等式即可；（3）换元令22x x t -=+，原题意等价于292at t≥+在[)2,+∞内有解，利用基本不等式结合存在性问题运算求解即可.【小问1详解】若0a =，则()22x x f x -=+的定义域为，且()()2222x x x x f x f x ---=+=+=，可知()f x 为偶函数，设[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()()121211221212222122222x x x x x x x x x x f x f x +--+---=+-+=，因为120x x ≤<，则12122x x ≤<，12210x x +>>，则1212220,210x x x x +-<->，可得()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数对称性可知：函数()f x 在(],0-∞内单调递减，所以函数()f x 的单调递增区间为[)0,∞+（或0,+∞）.【小问2详解】若2a =，则()222x x f x -=+，因为()()1f x f x <+，即2112222x x x x --+++<，整理可得222x >，则21x >，解得12x >，所以()()1f x f x <+的解集为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【小问3详解】因为44112x x a f x -⎛⎫-≥++ ⎪⎝⎭，即22224411a a x x x x +--+≥++，令22x x t -=+，由（1）可知：222x x t -=+≥，则222222aa a x x t +-+=⋅，2442x x t -+=-，可得2229a t t ⋅≥+，即292at t ≥+，原题意等价于292at t≥+在[)2,+∞内有解，又因为96t t +≥=，当且仅当9t t =，即3t =时，等号成立，则226a≥，可得22log 61log 32a ≥=+，解得222log 3a ≥+，所以实数a 的最小值222log 3+.19.设k ∈R ，对一般的函数()f x ，定义集合(){}x f x k =所含元素个数．．．．为()f x 的“k 等值点数”，记为()f E k .现已知函数()g x x =+，()2h x x ax =-，常数a ∈R .（1）求()g E k 的最大值；（2）对函数()h x ，当[]1,4x ∈时，()21h E -=，求a 的取值范围；（3）设函数()()()F x g h x =，[]1,4x ∈若()F E k 的最大值为3，求a 的取值范围.【答案】（1）3（2）{93,2⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦（3）5,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）通过0x ≥和0x <两类情况讨论，借助一元二次方程根的分布即可求解；（2）参变分离结合对勾函数图像即可求解；（3）通过0a ≤，8a ≥，48a ≤<，24a ≤<，02a <<五种情况讨论即可.【小问1详解】当0x ≥时，()g x 单调递增，此时()[)0,g x ∞∈+；当0x <时，()g x x =+，设t =，则()2y g x t t ==-+，在12t ≥时，2y t t =-+单调递减，在102t <<时，2y t t =-+单调递增，故当1,4x ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()g x 单调递增，()1,4g x ∞⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，()10,4g x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此()g t k =关于t 的根的分布如下：①当14k >时，恰有一个根10t >；②当14k =，恰有两根，10t >，214t =-；③当104k <<，恰有3个根，10t >，21,04t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，311,4t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭④当0k =时，恰有2个根120,1==-t t ；⑤当0k <时，恰有1个根01t <-.故当10,4k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()g E k 取到最大值3.【小问2详解】即当[]1,4x ∈时，22x ax -=-有1个解，参变分离得：2a x x =+，由函数2y x x=+的图像，可得：{93,2a ⎛⎤∈⋃ ⎥⎝⎦【小问3详解】设()t h x =，则()()()()g t k g h x k h x t ⎧=⎪=⇔⎨=⎪⎩，其中()g t k =的根的分布同（1），接下来解方程(),h x t =注意()()211,4164,24a a h a h a h ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，①当0a ≤时，()h x 在[]1,4上单调递增，且()(1)11h x h a ≥=-≥，故()1F E k ≤，不符合题意；②当8a ≥时，()h x 在[]1,4上单调递减，且()(1)17h x h a ≤=-≤-，故()1F E k ≤，不符合题意；③当48a ≤<时，142a a <<≤，()h x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，,42a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，()()113,41640h a h a =-<-=-≤，故()2F E k ≤，不符合题意；④当24a ≤<时，()h x 在12a x ≤≤时单调递减，在,42a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，且()(]113,1h a =-∈--，()(]41640,8h a =-∈，此时取10min 1644k a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，则()g t k =的三个根123,,t t t 恰一一对应()t h x =的三个根，且没有其他根，故此时()3F E k =，而对k 的其它取值，()3F E k <，故()F E k 的最大值为3；⑤当02a <<时，()h x 在[]1,4上单调递增，()()111,1h a =-∈-，()()41648,16h a =-∈，故只需保证当10,4k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()g t k =的三个根落在()h x 的值域中，即()114h <-，解得：524a <<，符合题意；综上所述，当且仅当5,44a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()F E k 的最大值为3.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题求解.。
浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试数学（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.已知集合{1,0,1,2,3},{2,3},{0,1}U A B =-==，则()U B A ⋂=ð（）A.{1,0,1}-B.{0,1}C.{0}D.{1}【答案】B 【解析】【分析】先计算补集{}1,0,1U A =-ð，再计算交集()U A B ⋂ð；【详解】{}(){}1,0,1,0,1U UA AB =-∴⋂= 痧,故选:B.2.命题“[)1,x ∃∈+∞，21x ≤”的否定形式为（）A.[)1,x ∀∈+∞，21x >B.(),1x ∀∈-∞，21x >C.[)1,x ∀∈+∞，21x ≤D.(),1x ∀∈-∞，21x ≤【答案】A 【解析】【分析】特称命题的否定：①∃⇒∀，②否定结论.【详解】命题“[)1,x ∃∈+∞，21x ≤”的否定形式为：“[)1,x ∀∈+∞，21x >”，故选：A.3.函数()f x =）A.[]1,3 B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由根式有意义可以列出不等式求解.【详解】依题意得10210x ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，解得112x ≤≤，所以()f x 的定义域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故选：D.4.已知()f x 在R 上的奇函数，当0x >时，2()21f x x x =--，则((1))f f -=（）A.2B.2- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】利用函数奇偶性，由内向外求值即可.【详解】由题意()()112f f -=-=，所以((1))(2)1f f f -==-.故选：D5.已知R a b c ∈,,，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当a b c ==时，222223,3a b c a ab bc ac a ++=++=，所以222a b c ab bc ac ++=++，当222a b c ab bc ac ++=++时，2220a b c ab bc ac ++---=，所以2222222220a b c ab bc ac ++---=，所以()()()2222222220a ab baac c b bc c -++-++-+=，所以()()()2220a b a c b c -+-+-=，因为()()()2220,0,0a b a c b c -≥-≥-≥，所以()()()2220a b a c b c -=-=-=，所以a b c ==，所以a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的充要条件，故选：C6.若函数()()2222422xx x x f x m --=+-++有且只有一个零点，则实数m 的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的性质结合题意得()00f =即可求解.【详解】由题函数定义域为R ，关于原点对称，又由于()()()2222422,x x x x f x m f x ---=+-++=故()f x 为R 上的偶函数，由于()f x 只有一个零点，因此()00f =，故2420m -⨯+=，解得6m =，故选：D.7.当01a <<时，关于x 的不等式()()()3130x a x a ⎡⎤--+->⎣⎦的解集为（）A.33, 1a x x x a -⎧⎫><⎨⎬-⎩⎭∣或 B.331a x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭C.33, 1a xx x a -⎧⎫<>⎨⎬-⎩⎭∣或 D.331a xx a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可.【详解】因为333323=111a a a aa a a ---+--=---，又因为01a <<，所以201a a ->-，所以3>31a a --，又因为10a -<，于是()()()3130x a x a ⎡⎤--+->⎣⎦等价于()3301a x x a -⎡⎤--<⎢⎥-⎣⎦，可得331a x a -<<-，所以()()()3130x a x a ⎡⎤--+->⎣⎦的解集为331a x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭.故选：B8.已知()()2,12,1xa x x f x x a xb x ⎧+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，存在实数(0a >且)1a ≠，对于R 上任意不相同的12,x x ，都有()()21211f x f x x x ->-，则实数b 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.[)4,+∞ C.(]0,4 D.[]0,4【答案】A 【解析】【分析】先将问题转化为分段函数()()g x f x x =-的单调性问题，然后根据各段函数的单调性以及分段点处函数值大小关系得到,a b 的不等关系，再由题意可分析出b 的取值范围.【详解】对于R 上任意不相同的12,x x ，都有()()21211f x f x x x ->-，即对于R 上任意不相同的12,x x ，都有()()2211210f x x f x x x x ---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦>-，所以()()g x f x x =-是R 上的增函数，且()()2,11,1xa x g x x a xb x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，所以()1111211a a a a b>⎧⎪-⎪≤⎨⎪≤--+⎪⎩，所以1322a b a <≤⎧⎨≥-⎩，故由题意可知，存在(]1,3a ∈使得22b a ≥-，所以()min 22b a ≥-，且22a -最小值无限逼近0，所以0b >，故选：A.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知0a b c >>>，则（）A.2a c b c +>+ B.ac bc >C.a ba cb c>++ D.cc a b <【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，利用特殊值可以排除；对于B 、C ，根据给定条件,利用不等式的性质可以判断；对于D ，结合幂函数性质判断即可.【详解】对于A ，因为0a b c >>>，不妨取3,2,1a b c ===，则42a c b c +=+=，5，此时2a c b c +<+，故A 错误；对于B ，因为0a b c >>>，由不等式的可乘性得ac bc >，故B 正确；对于C ，由B 知ac bc >，所以()()0a b ac bca cbc a c b c --=>++++，即a b a c b c>++，故C 正确；对于D ，函数c y x =在()0,∞+上单调递增，则c c a b >，故D 错误.故选:BC10.已知函数()f x 的定义域为R ，满足：①对于任意的x ，y ∈R ，都有()()()f xy f x f y =，②存在1x ，2x ∈R ，使得()()12f x f x ≠，则（）A.()00f = B.()22f =C.当()11f -=-时，()f x 为奇函数 D.当()11f -=时，()f x 为偶函数【答案】ACD 【解析】【分析】通过赋值，函数奇偶性的概念逐个判断即可.【详解】对于A ：令0x y ==，可得：()()200f f=，解得：()00f =或()01f =，当()01f =时，令0y =，可得：()()()00f f x f =，得()1f x =，不满足存在1x ，2x ∈R ，使得()()12f x f x ≠，舍去，故()00f =；正确；对于B ：令()2f x x =，满足()()()()222f xy xy f x f y x y ===，且存在1x ，2x ∈R ，使得()()12f x f x ≠，此时()24f =，故错误；对于C ：令1y =-，可得：()()f x f x -=-，奇函数，正确；对于D ：令1y =-，可得：()()f x f x -=，偶函数，正确；故选：ACD11.给定数集A =R ，(],0B ∞=-，方程2210s t ++=①，则（）A.任给s A ∈，对应关系f 使方程①的解s 与t 对应，则()t f s =为函数B.任给t B ∈，对应关系g 使方程①的解t 与s 对应，则()s g t =为函数C.任给方程①的两组不同解()11,s t ，()22,s t ，其中1s ，2s B ∈，则11221221t s t s t s t s +>+D.存在方程①的两组不同解()11,s t ，()22,s t ，其中1s ，2s B ∈，使得1212(,)22s s t t ++也是方程①的解【答案】AC 【解析】【分析】根据函数的定义判断A,B 易得；对于C ，由题意得到211210s t ++=，222210s t ++=，化简整理得121212()()2()0s s s s t t +-+-=，根据12,(,0]s s ∈-∞推得1212()()0t t s s -->，展开即可判断；对于D ，运用反证法，假设1212(,22s s t t ++也是方程①的解，通过22121211,22s s t t ++=-=-，替代化简推出12s s =，得出矛盾即可.【详解】对于A ，由①可得，21122t s =--，对于任意的s A ∈，都有唯一确定的t 值与之对应，故()t f s =为函数，故A 正确；对于B ，由①可得221s t =--，因t B ∈，若取0t =，则21s =-，此时不存在实数s 与之对应，若考虑虚数解，会出现i s =±两个虚数与之对应，不符合函数的定义，故B 错误；对于C ，依题意，211210s t ++=，222210s t ++=，两式相减，整理得121212()()2()0s s s s t t +-+-=，因12s s ≠且12,(,0]s s ∈-∞，则有1212122()0t t s s s s -+=-<-，即得1212()()0t t s s -->，展开整理，即得11221221t s t s t s t s +>+，故C 正确；对于D ，由题意，12s s ≠，12,(,0]s s ∈-∞，假设1212(,22s s t t ++也是方程①的解，则有21212(2()1022s s t t++++=（*），因22121211,22s s t t ++=-=-，则22121212s s t t ++=--，代入（*）式，整理得：22121220s s s s +-=，即得12s s =，这与题意不符，故D 错误.故选：AC.【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的定义、方程的解的应用，属于难题.对于判断两个变量是否构成函数，主要根据函数的定义，检测对于每一个自变量的取值，是否一定存在唯一的另一个值与之对应；对于方程的解，一般应从字母范围，解析式特点等方面考虑.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.函数()11f x x =+，()1,x ∈+∞的值域是__________.【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由函数在()1,+∞的单调性得到函数值域.【详解】由反比例函数的图像可知：函数()f x 区间()1,-+∞上单调递减，∵()()1,1,+∞⊆-+∞，∴()f x 区间()1,+∞上单调递减，∴()()112f x f <=，又∵10x +>，∴()0f x >，∴()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.13.已知实数x ，y 满足0x >，0y >，231xy x y =++，则xy 的最小值是__________.【答案】42+【解析】【分析】利用基本不等式将题设方程转化成不等式210-≥，求出即得xy 的最小值.【详解】由231xy x y =++，可得213xy x y -=+≥，当且仅当3x y =时取等号，即210-≥，设t =2210t t --≥，解得352t ≤或352t ≥，因0t =>，故得235(2xy ≥，即4152xy +≥，由3231x y xy x y =⎧⎨=++⎩解得3632x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即当36x =，32y +=时，xy取得最小值为42+.故答案为：42+.14.已知=，R x ∈，且()03f =，()()()0.520.51f n f n =+，*n ∈N ，请写出()f x 的一个解析式__________.【答案】134xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】根据()()()0.520.51f n f n =+可考虑指数型函数，再设()x f x a b =⋅分析求解即可.【详解】设()xf x a b =⋅，由()()()0.520.51f n f n =+可得()0.50.512n n a b a b+⋅=⋅，即0.512b=，故4b =，又()03f =，故043a ⋅=，则3a =，134xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.故答案为：134xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）求值：)1112141431620.75624--⎛⎫⎛⎫+-+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）设22xm=，且0m >，求33x xxxm m m m--++的值.【答案】（1）2-；（2）32【解析】【分析】（1）根据指数幂及其运算性质化简求值即可；（2）运用三次方公式化简，再根据分数指数幂的运算性质求解即可.【详解】（1）)11121414331620.75624--⎛⎫⎛⎫++⨯⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111124443272424-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)1144432722344⎛⎫⎛⎫=-+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14432743234432⨯⎛⎫=+⨯=⨯= ⎪⨯⎝⎭.（2）因为22x m =，且0m >，所以()()3333xxxxx x x xm m mm m m m m ----++=++()()22xxxx x xx xm m mm m m m m ----+-⋅+=+.2222113112122x x x xm m m m -=-+=-+=-+=.16.已知集合{}2560A xx x =--≥∣，403x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{3}C x x a =-<.（1）求A B ；（2）若x B ∈是x C ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{4xx <∣或6}x ≥（2）{}6a a ≥【解析】【分析】（1）解二次不等式和分式不等式分别得到集合,A B ，再求并集；（2）解绝对值不等式得到集合C ，由充分条件得到包含关系，建立不等式，求得a 的取值范围.【小问1详解】因为{}2560{6A xx x x x =--≥=≥∣∣或1}x ≤-，40{34}3x B x x x x ⎧⎫-=<=-<<⎨⎬+⎩⎭∣，所以{4A B xx =< ∣或6}x ≥.【小问2详解】{3}{33}C x x a x a x a =-<=-+<<+∣若x B ∈是x C ∈的充分条件，则B C ⊆，所以3334a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得6a ≥，故a 的取值范围为{}6a a ≥.17.已知幂函数=经过点2,4（）.（1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）记()()g x f x x =-，若()g x 在[]1,a -上是不单调的，求实数a 的取值范围；（3）记()()h x f x x b =++，若ℎ与()()h h x 值域相同，求实数b 的最大值.【答案】（1）14（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（3）14-【解析】【分析】（1）待定系数法求函数解析式后计算求值；（2）根据二次函数的对称轴与定义域的关系列出不等式即可得解；（3）根据二次函数的性质，值域相同转化为1142b -≤-求解即可.【小问1详解】设幂函数为a y x =，42a ∴=，2a ∴=，2y x ∴=，∴当12x =时，21124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.【小问2详解】()()221124g x f x x x x x ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭，因为()g x 在[]1,a -上是不单调的，所以12a >，所以a 的取值范围是1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【小问3详解】函数()22111,244h x x x b x b b ∞⎛⎫⎡⎫=++=++-∈-+ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，令()t h x =，则()()()221124h h x h t t t b t b ⎛⎫==++=++- ⎪⎝⎭，1,4t b ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭，因为函数ℎ的值域和函数()()h h x 相同，可得1142b -≤-，解得14b ≤-，所以实数b 的最大值为14-.18.设矩形ABCD 的周长为20，其中AB AD >.如图所示，E 为CD 边上一动点，把四边形ABCE 沿AE 折叠，使得AB 与DC 交于点P .设DP x =，PE y =.（1）若3AD =，将y 表示成x 的函数=，并求定义域；（2）在（1）条件下，判断并证明=的单调性；（3）求ADP △面积的最大值.【答案】（1）29y x =+，200,7⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）29y x =+200,7x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，证明见解析（3）752-.【解析】【分析】（1）通过几何关系确定AP EP =，利用R Rt ADP 的三边关系建立x ，y 的关系，再利用7x y +≤，进而确定x 的范围即可.（2）应用函数单调性的定义证明即可；（3）设AD m =，将面积表示为()5510m m S m ⨯⨯-=-，适当变形应用基本不等式求解最值即可.【小问1详解】解：根据题意，由3AD =，得7AB =，由已知PAE PEA ∠=∠，故AP EP y ==，又因为DP x=故在Rt ADP 中，则222AP AD DP =+，即229y x =+，整理得29y x =+又7x y +≤，则297x x ++≤297x x +≤-，2294914x x x+≤+-207x ≤，所以，定义域为200,7⎛⎤ ⎥⎝⎦.【小问2详解】解：因为y =200,7x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，任取1x ，2200,7x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦且12x x >，则12y y -+-=因为212007x x <<≤，所以120x x ->，120x x +>0>所以120y y ->，即y =200,7x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增.【小问3详解】解：易知，当E 点位于C 点时，ADP △面积最大.此时再设AD m =，DP n =，那么10AP n m =--，由222AP AD DP =+得501010m n m-=-，()0,5m ∈，所以，ADP △的面积()55115010221010m m m S nm m m m⨯⨯--==⋅=--，令10m t -=，则()10510m t t =-<<，10m t -=-，故()5510m m S m⨯⨯-=-()()510510t tt⨯-⨯+-=5051551575t t ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-≤-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当50t t=，即t =10m =-故当10AD =-ADP △的面积S 的最大值为75-.19.设A ，B 是非空实数集，如果对于集合A 中的任意两个实数x ，y ，按照某种确定的关系f ，在B 中都有唯一确定的数z 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个二元函数，记作(),z f x y =，x ，y A Î，其中A 称为二元函数f 的定义域.（1）已知(),f x y =若()11,1f x y =，()22,2f x y =，12122x x y y +=，求()1212,f x x y y ++；（2）设二元函数f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x ∀，y I ∈，都有(),f x y M ≥，②0x ∃，0y I ∈，使得()00,f x y M =.那么，我们称M 是二元函数(),f x y 的下确界.若x ，()0,y ∈+∞，且111x y+=，判断函数()22,8f x y x y xy =+-是否存在下确界，若存在，求出此函数的下确界，若不存在，说明理由.（3）(),f x y 的定义域为R ，若0h ∃>，对于x ∀，y D ∈⊆R ，都有()(),,f x y f x h y h ≤++，则称f 在D 上是关于h 单调递增.已知()2,4ay f x y kx y =-+在[]1,2上是关于a 单调递增，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()1212,3f x x y y ++=（2）答案见解析（3）1,5∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）由二元函数的定义求解即可；（2）根据基本不等式即二次函数的性质判断即可；（3）根据二元函数在定义域上单调递增的定义求解即可；【小问1详解】由()11,1f x y =可得，22111x y +=，由()22,2f x y =可得，22224x y +=，由()1212,f x x y y ++==又12122x x y y +=，所以()1212,3f x x y y ++=；【小问2详解】由111x y+=可得，x y xy +=，由xy xy +=可得，x y xy +=≥，所以4xy ≥，()()()()22222,8101052525f x y x y xy x y xy xy xy xy =+-=+-=-=--≥-，当且仅当5xy =，即52x +=，552y =或52x =，52y +=时取等号.【小问3详解】因为()2,4ay f x y kx y =-+在[]1,2上是关于a 单调递增，所以()(),,f x y f x a y a ≤++，即存在0a >，对于任意的x ，[]1,2y ∈，都有()()()2244a y a ay kx k x a y y a +-≤+-+++，化简可得()()22044y a y k y y a ++-≥+++，即()()2224044a y ay k y a y +-+≥⎡⎤⎡⎤+++⎣⎦⎣⎦，下面求函数()()()222444a y ay g y y a y +-=⎡⎤⎡⎤+++⎣⎦⎣⎦的最小值，设24y ay t +-=，[]3,2t a a ∈-，()()2222224464164644416a y ay at a a t t a y a y t t +-==++++⎡⎤⎡⎤+++++⎣⎦⎣⎦，所以函数()246416ah t a t t=+++在[]3,2a a -递增，()()()2min 233525a a h t h a a a -=-=++，即存在0a >，使得()2230525a a k a a -+≥++，设()22325a a a a a ϕ-=++，0a >，①当03a <≤时，()223025a a a a a ϕ-=≤++，②当3a >时，()()22251312525a a a a a a a a ϕ+-==-++++，设14u a =+>，221110,42545a u a a u u u+⎛⎫==∈ ⎪+++⎝⎭+，所以()()2230,125a a a a a ϕ-=∈++，综上，105k +≥，所以k 的取值范围是1,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．。
2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |lnx ≤0}，B ＝{x |x ≤0}，A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．∅2．已知复数z ＝1﹣2i ，则1z 的虚部是（ ）A ．−23iB ．−23C ．25iD ．253．白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设．”古代北方游牧民族以毡帐为居室．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毡帐的侧面积（单位m 2）是（ ）A ．39πB ．32πC ．33πD ．45π4．已知S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，设甲：数列{S n }是递增数列，乙：对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．已知抛物线C ：y 2＝4x （y ＞0）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，|AF |＝5，若2FB →=BA →，则点B 的纵坐标是（ ） A ．43B ．83C ．163D ．3236．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ） A ．18B ．24C ．32D ．647．函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g （x ）的图象，g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数f （x ）的定义域为R +，对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，当x ＞1时，都有f （x ）＞1，且f （2）＝2，当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．8D ．12二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分） 9．已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，下列叙述正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为45° B ．a →与b →的夹角为135° C ．|a →−b →|=√5D ．b →在a →上的投影向量为2a →10．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，满足f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则（ ） A ．实数t 的取值范围是﹣4＜t ＜0B ．f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称C ．f(0)+f(12)+f(1)+f(32)+f(2)=−8 D ．x 1+x 2+x 3的值与t 有关11．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（ ） A ．存在点Q 使得CQ ∥平面P AD B ．存在点Q 使得CQ ⊥BDC ．四棱锥P ﹣ABCD 外接球的表面积为32πD ．Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交P A 于点E ，则四棱锥B ﹣CDEQ 的体积为3√312．人教A 版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上动点P 到左焦点F （﹣c ，0）的距离和动点P 到直线x =−a 2c 的距离之比是常数c a ．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 为左焦点，直线l ：x ＝﹣4与x 相交于点M ，过F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），分别过点A ，B 向l 作垂线，垂足为A 1，B 1，则（ ） A ．|AA 1|＝2|AF |B ．|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |C ．直线MA 与椭圆相切时，|AB |＝4D ．sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上） 13．(3x −1x)4展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．已知圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，过点P （5，0）的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当△ABM 面积最大时，直线l的斜率为．（写出一个即可）15．已知e ax﹣e2x≥0在x＞0时恒成立，则实数a的最小值为．（注：e为自然对数的底数）16．已知数列{a n}的首项为1，且a n+a n+1=n2⋅cos nπ2（n∈N*），则a40的值是．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c•cos B＝2a+b．（1）求角C的大小；（2）若b＝1，c=√7，∠ACB的角平分线交AB于D，求CD的值．18．（12分）某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动．（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：求成交额y（万元）与时间变量x的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A、B两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p、q，两次抽奖结果互不影响．记小明中奖的次数为ξ．求ξ的分布列及E（ξ）；附：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n），其回归直线y=a+b x的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．19．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，EF＝AC ＝EC＝2．（1）求证：DE∥平面ABF；（2）若平面ABCD⊥平面ACEF，∠ACE＝60°，且四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，求直线ED与平面BCE所成角的正弦值．20．（12分）已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S n是{a n}的前n项和，n∈N*．（1）若a3＝14，且S6＞S3＞S9，求公差d的取值范围；（2）若a 1＝2d ，数列{a b n }的首项为a 1，满足a b n+1=2a b n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 21．（12分）已知双曲线E ：y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）过点Q （3，2），且离心率为2，F 2，F 1为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆F 2：x 2+(y −c)2=10（c =√a 2+b 2）交于A ，B 两点．（1）求△F 1AB 的面积；（2）点P 为圆F 2上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线MF 1和NF 1的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值． 22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x ，a ∈R ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若存在x ∈[e ，e 2]，使f(x)≤(ax +12)lnx 成立，求实数a 的取值范围．注：e 为自然对数的底数．2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |lnx ≤0}，B ＝{x |x ≤0}，A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．∅解：A ＝{x |lnx ≤0}，lnx ≤ln 1，∴0＜x ≤1，A ＝（0，1]，B ＝{x |x ≤0}＝（﹣∞，0]，∴A ∩B ＝∅． 故选：D ．2．已知复数z ＝1﹣2i ，则1z的虚部是（ ）A ．−23iB ．−23C ．25iD ．25解：z ＝1﹣2i ，则1z =11−2i =1+2i (1−2i)(1+2i)=15+25i ，其虚部为25．故选：D ．3．白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设．”古代北方游牧民族以毡帐为居室．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毡帐的侧面积（单位m 2）是（ ）A ．39πB ．32πC ．33πD ．45π解：由于圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则圆锥的母线长为√32+42=5， 故圆锥的侧面积为π•3•5＝15π； 圆柱的侧面积为2π•3•3＝18π； 故毡帐的侧面积为15π+18π＝33π． 故选：C ．4．已知S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，设甲：数列{S n }是递增数列，乙：对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：若数列{S n }是递增数列，则d ＞0，但是对任意n ∈N *，S n ＞0不成立，所以由甲推不出乙， 若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列，所以由乙可以推出甲， 所以甲是乙的必要不充分条件． 故选：B ．5．已知抛物线C ：y 2＝4x （y ＞0）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，|AF |＝5，若2FB →=BA →，则点B 的纵坐标是（ ） A ．43B ．83C ．163D ．323解：由抛物线C ：y 2＝4x ，可得F （1，0），准线方程为x ＝﹣1，因为|AF |＝5，所以|AF |＝x A +1＝5，所以x A ＝4，所以y A ＝4或y A ＝﹣4（舍去）， 设B （x 1，y 2），由2FB →=BA →，所以2（x 1﹣1，y 2）＝（4﹣x 1，4﹣y 2）， 所以2y 2＝4﹣y 2，解得y 2=43．故选：A ．6．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ） A ．18B ．24C ．32D ．64解：在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有n =C 31A 32=18种．故选：A ．7．函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g （x ）的图象，g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：∵函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ），将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g （x ）＝A sin （ωx +ωπ3−π3）+b 的图象，∵g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，∴f （x ）＝g （﹣x ）， ∴A sin （ωx −π3）+b ＝A sin （﹣ωx +ωπ3−π3）+b ，∴（ωx −π3）+（﹣ωx +ωπ3−π3）＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k +2，k ∈Z ，则令k ＝1，可得ω的值为5． 故选：C ．8．已知函数f （x ）的定义域为R +，对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，当x ＞1时，都有f （x ）＞1，且f （2）＝2，当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．8D ．12解：∵对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，又f （2）＝2， ∴f （2）+f （2）＝f （2×2）+1，∴f （4）＝2f （2）﹣1＝3， 又f （4）+f （4）＝f （4×4）+1，∴f （16）＝2f （4）﹣1＝5， ∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）+f （x 2x 1）＝f （x 2）+1，∴f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2x 1）﹣1，又当x ＞1时，都有f （x ）＞1∵x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，∴x 2x 1＞1，∴f （x 2x 1）＞1，∴f （x 2x 1）﹣1＞0，即f （x 2）﹣f （x 1）＞0，∴f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在（0，+∞）单调递增，∴f （x ）在[1，16]也单调递增， ∴当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是f （16）＝5． 故选：A ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分） 9．已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，下列叙述正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为45° B ．a →与b →的夹角为135° C ．|a →−b →|=√5D ．b →在a →上的投影向量为2a →解：已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，则|a →|=1，|b →|=2√2，a →⋅b →=1×2+0×2=2，则cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=21×2√2=√22， 又＜a →，b →＞∈[0°，180°]，则＜a →，b →＞=45°，即选项A 正确，选项B 错误；又|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√1−4+8=√5，即选项C 正确； b →在a →方向上的投影向量为a →⋅b →|a →|a→|a →|=2a →，即选项D 正确．故选：ACD ．10．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，满足f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则（ ） A ．实数t 的取值范围是﹣4＜t ＜0B ．f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称C ．f(0)+f(12)+f(1)+f(32)+f(2)=−8 D ．x 1+x 2+x 3的值与t 有关解：因为f （x ）＝x 3﹣3x 2，x ∈R ，f ′（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）， 所以当x ＜0或x ＞2时，f ′（x ）＞0；当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，所以函数f （x ）的单调递减区间为（0，2），单调增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）， 作出函数y ＝f （x ）的图象，如图所示：所以f （x ）极大值＝f （0）＝0，f （x ）极小值＝f （2）＝﹣4，又因为f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，所以﹣4＜t ＜0，故A 正确； 因为f （x ）+f （2﹣x ）＝x 3﹣3x 2+（2﹣x ）3﹣3（2﹣x ）2 ＝x 3+（2﹣x ）3﹣3[x 2+（2﹣x ）2]＝2[x 2﹣x （2﹣x ）+（2﹣x ）2]﹣3（2x 2﹣4x +4） ＝2（3x 2﹣6x +4）﹣3（2x 2﹣4x +4） ＝﹣4，所以f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称，故B 正确； 由B 可知f （0）+f （2）＝﹣4，f （12）+f （32）＝﹣4，又f （1）＝1﹣3＝﹣2，所以f （0）+f （12）+f （1）+f （32）+f （2）＝﹣4﹣4﹣2＝﹣10，故C 错误；对于D ，设x 1＜x 2＜x 3，因为f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，即x 3﹣3x 2＝t ，x 3﹣3x 2﹣t ＝0有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3， 等价于（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）＝0，即x 3﹣（x 1+x 2+x 3）x 2+（x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3）x ﹣x 1x 2x 3＝0，所以x 1+x 2+x 3＝3，x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝0，x 1x 2x 3＝t ，所以x 1+x 2+x 3＝3，与t 无关，故D 错误． 故选：AB ．11．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（ ） A ．存在点Q 使得CQ ∥平面P AD B ．存在点Q 使得CQ ⊥BDC ．四棱锥P ﹣ABCD 外接球的表面积为32πD ．Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交P A 于点E ，则四棱锥B ﹣CDEQ 的体积为3√3 解：取AD 中点O ，连接OP ，因为P A ＝PD ，所以OP ⊥AD ，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， OP ⊂面P AD ，所以OP ⊥平面ABCD ， 过O 作Oy ∥AB ，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、Oy 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，则A(√3，0，0)，B(√3，4，0)，C(−√3，4，0)，D(−√3，0，0)，P （0，0，3）， 所以BD →=(−2√3，−4，0)，PB →=(√3，4，−3)，设PQ →=λPB →（0＜λ＜1），则Q(√3λ，4λ，3−3λ)（0＜λ＜1）， 所以CQ →=(√3λ+√3，4λ﹣4，3﹣3λ），对于A 项，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ， AB ⊂面ABCD ，所以AB ⊥平面P AD ，所以平面P AD 的一个法向量为n →=（0，1，0），假设CQ ∥平面P AD ， 则CQ →⋅n →=4λ−4=0．解得λ＝1，又因为0＜λ＜1， 所以不存在点Q 使得CQ ∥平面P AD ，故A 项错误；对于B 项，假设存在点Q 使得CQ ⊥BD ，则CQ →⋅BD →=−2√3(√3λ+√3)+(−4)×(4λ−4)=0，解得λ=511，所以存在点Q使得CQ⊥BD，故B项正确；对于C项，连接AC、BD相交于点O1，取等边三角形P AD的外心O2，过O1作O1M∥PO，过O2作O2M∥OO1，连接OO1，如图所示，则O1M⊥平面ABCD，O2M⊥平面P AD，所以M为四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心，又O1M=OO2=13PO=1，O1A=12AC=12√AB2+AD2=12√42+(2√3)2=√7，所以r=MA=√O1M2+O1A2=2√2，所以四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为4πr2=4×(2√2)2π=32π，故C项正确；对于D项，连接EQ、ED、EB，如图所示，因为平面CDQ∩P A＝E，P A⊂平面P AB，所以点E在平面CDQ与平面P AB的交线处，又Q∈平面CDQ且Q∈平面P AB，所以点Q在平面CDQ与平面P AB的交线处，所以平面CDQ∩平面P AB＝EQ，因为CD∥AB，CD⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CD∥平面P AB，又因为CD⊂平面CDQ，平面CDQ∩平面P AB＝EQ，所以CD∥EQ，又CD∥AB，所以AB∥EQ，又因为Q为PB中点，所以E为P A的中点，EQ=12CD．又因为AB∥EQ，AB⊄平面CDEQ，EQ⊂平面CDEQ，所以AB∥平面CDEQ，所以点B到平面CDEQ距离等于点A到平面CDEQ距离，所以V B﹣CDEQ＝3V B﹣DEQ＝3V A﹣DEQ＝3V Q﹣ADE=32V B﹣ADE=34V B﹣P AD=34×13S△P AD×AB=34×13×12P A×AD×sinπ3=34×13×12×2√3×2√3×√32×4＝3√3，故D项正确．故选：BCD．12．人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆x2 a2+y2b2=1（a＞b＞0）上动点P到左焦点F（﹣c，0）的距离和动点P到直线x=−a2c的距离之比是常数ca．已知椭圆C：x24+y23=1，F为左焦点，直线l：x＝﹣4与x相交于点M，过F的直线与椭圆C相交于A，B两点（点A在x轴上方），分别过点A，B向l作垂线，垂足为A1，B1，则（）A ．|AA 1|＝2|AF |B ．|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |C ．直线MA 与椭圆相切时，|AB |＝4D ．sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF解：对于选项A ：易知|AF||AA 1|=ca =12， 所以|AA 1|＝2|AF |，故选项A 正确；对于选项B ：过点A 作AA 2⊥x 轴，过点B 作BB 2⊥x 轴，此时△AA 2F ∽△BB 2F ，所以|AA 1||BB 1|=|AF||BF|=|AA 2||BB 2|=|A 1M||B 1M|，因为AA 1⊥A 1M ，BB 1⊥A 1M ，所以△AA 1M ～△BB 1M ，则|AM||BM|=|AA 1||BB 1|=2|AF|2|BF|=|AF||BF|，即|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |，故选项B 正确；对于选项C 项：若直线MA 与椭圆相切时，不妨设MA 的方程为y ＝k （x +4）， 联立{y =k(x +4)x 24+y 23=1，消去y 并整理（3+4k 2）x 2+32k 2x +64k 2﹣12＝0，此时Δ＝（32k 2）2﹣4（3+4k 2）（64k 2﹣12）＝4k 2﹣1＝0，解得k 2=14，所以4x 2+8x +4＝0，解得x ＝﹣1，所以|AB |为通径，则|AB|=2b2a=3，故选项C 错误；对于选项D ：因为sin ∠AFM =sin ∠AFA 2=AA 2AF ，tan ∠AMF =AA 2MA 2， 不妨设sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF ，此时AA 2AF=2AA 2MA 2，即MA 2＝2AF ，又|AA 1|＝2|AF |，|AA 1|＝|MA 2|，所以MA 2＝2AF ，故选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上） 13．(3x −1x)4展开式中常数项为 54 ．（用数字作答）解：根据二项式的展开式T r+1=C 4r ⋅(3x)4−r ⋅(−x)−r =C 4r⋅34−r ⋅(−1)r ⋅x 4−2r （r ＝0，1，.....，4）r ∈N ； 当4﹣2r ＝0时，解得r ＝2；故常数项为C 42⋅32=54．故答案为：54．14．已知圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，过点P （5，0）的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当△ABM 面积最大时，直线l 的斜率为 （﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0（不唯一） ．（写出一个即可） 解：设其方程是kx ﹣y ﹣5k ＝0，由圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，可得圆心M （3，2），半径r ＝2， 由S △ABM =12|BM |•|AM |•sin ∠AMB ，知sin ∠AMB ＝1时，△ABM 面积最大，此时∠AMB ＝90°，圆心M 到直线的距离为√2， 所以√k 2+1=√2，解得k ＝﹣2±√3，故直线l 的方程是：（﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0或（﹣2−√3）x ﹣y +10+5√3=0． 故答案为：（﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0（不唯一）．15．已知e ax ﹣e 2x ≥0在x ＞0时恒成立，则实数a 的最小值为 e ．（注：e 为自然对数的底数） 解：∵e ax ﹣e 2x ≥0在x ＞0时恒成立⇔e ax ≥e 2x 在x ＞0时恒成立 ⇔ax ≥2+lnx 在x ＞0时恒成立⇔a ≥2+lnxx在x ＞0时恒成立， 令f(x)=2+lnx x ，则f ′(x)=−1−lnx x 2＞0⇒0＜x ＜1e ，f （x ）在(0，1e )上是增函数，在(1e ，+∞)上是减函数，∴a ≥f(1e)=e ，∴实数a 的最小值为e ． 故答案为：e ．16．已知数列{a n }的首项为1，且a n +a n+1=n 2⋅cos nπ2（n ∈N *），则a 40的值是 759 ． 解：依题意，由a n +a n+1=n 2⋅cosnπ2， 可得a n +1+a n +2＝（n +1）2•cos (n+1)π2，两式相减，可得a n +2﹣a n ＝（n +1）2•cos (n+1)π2−n 2•cos nπ2，当n ＝1时，a 1+a 2＝12•cos π2=0，∵a 1＝1，∴a 2＝﹣1，当n 为偶数时，n +1为奇数，cos (n+1)π2=0，此时a n +2﹣a n ＝（n +1）2•cos (n+1)π2−n 2•cos nπ2=−n 2•cos nπ2，此时a 2＝﹣1，a 4﹣a 2＝﹣22•cos 2π2=22，a 6﹣a 4＝﹣42•cos 4π2=−42，a 8﹣a 6＝﹣62•cos 6π2=62，a 10﹣a 8＝﹣82•cos 8π2=−82，…a 38﹣a 36＝﹣362•cos 36π2=−362，a 40﹣a 38＝﹣382•cos 38π2=382，各项相加，可得a 40＝﹣1+22﹣42+62﹣82+…+342﹣362+382，＝﹣1﹣2×（2+4）﹣2×（6+8）﹣…﹣2×（34+36）+382， ＝﹣1﹣2×（2+4+…+36）+382， ＝﹣1﹣2×(2+36)×182+382， ＝759． 故答案为：759．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2c •cos B ＝2a +b ．（1）求角C 的大小；（2）若b ＝1，c =√7，∠ACB 的角平分线交AB 于D ，求CD 的值． 解：（1）根据题意，若2c •cos B ＝2a +b ， 则有：2c ×a 2+c 2−b 22ac=2a +b ，整理得：a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，可得：cos C =a 2+b 2−c 22ab =−ab 2ab =−12，又在△ABC 中，0°＜C ＜180°， 所以C ＝120°；（2）因为C＝120°，b＝1，c=√7，∠ACB的角平分线交AB于D，所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得7＝a2+1﹣2×a×1×（−12），可得a2+a﹣6＝0，解得a＝2或﹣3（舍去），因为S△ABC＝S△ACD+S△BCD，所以12ab sin120°=12b•CD•sin60°+12a•CD•sin60°，所以2×1＝1×CD+2×CD，解得CD=2 3．18．（12分）某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动．（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：求成交额y（万元）与时间变量x的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A、B两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p、q，两次抽奖结果互不影响．记小明中奖的次数为ξ．求ξ的分布列及E（ξ）；附：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n），其回归直线y=a+b x的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．（1）易知x=1+2+3+4+55=3，y=9+12+17+21+275=17.2，而∑5i=1x i y i=1×9+2×12+3×17+4×21+5×27=303，∑5i=1x i2=12+22+32+42+52=55，可得b=∑5i=1x i y i−5xy∑5i=1x i2−5x2=303−5×3×17.255−5×32=4.5，则a=y−b x=17.2−4.5×3=3.7，所以y关于x的线性回归方程为y=4.5x+3.7，当x＝6时，y=4.5×6+3.7＝30.7（万元），所以预测活动第6天的成交额为30.7万元；（2）易知ξ的所有可能取值为0，1，2，此时P（ξ＝0）＝（1﹣p）（1﹣q），P（ξ＝1）＝（1﹣p）q+（1﹣q）p，P（ξ＝2）＝pq，则ξ的分布列为：故E（ξ）＝0×（1﹣p）（1﹣q）+1×（1﹣p）q+（1﹣q）p+2×pq＝p+q．19．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，EF＝AC ＝EC＝2．（1）求证：DE∥平面ABF；（2）若平面ABCD⊥平面ACEF，∠ACE＝60°，且四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，求直线ED与平面BCE所成角的正弦值．（1）证明：因为EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，所以EF∥AC，又EF＝AC，所以四边形ACEF是平行四边形，所以CE∥AF，AF⊂平面ABF，CE⊄平面ABF，所以CE∥平面ABF；因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB，AB⊂平面ABF，CD⊄平面ABF，所以CD∥平面ABF；CD∩CE＝C，CD，CE⊂平面CDE，所以平面CDE∥平面ABF，而DE⊂平面CDE，所以DE∥平面ABF．（2）解：连接BD交AC于O，连接CO，因为AC＝EC＝2，∠ACE＝60°，所以四边形ACEF是菱形，且EO⊥AC，EO=√3，因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，所以EO⊥平面ABCD，因为四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，所以13S ABCD OE＝2√3，所以S ABCD＝6=12AC⋅BD，所以BD＝6，所以BE＝DE=√3+9=2√3，设AB＝a，则由余弦定理得：{a 2+a2−2a2cos∠ABD=4a2+a2+2a2cos∠ABD=36，得a=√10，在△BCE中，由余弦定理得：cos∠EBC=BE2+BC2−CE22BE⋅BC=12+10−4430=3√3020，sin∠EBC=√1−2740=√13020，所以S△BCE=12BE⋅BC sin∠EBC=12×2√3×√10×√13020=√392，因为V E﹣BCD＝V D﹣BCE，所以点D到平面BCE的距离为3V E−BCDS△BCE=√3√392=6√1313，所以直线ED与平面BCE所成角的正弦值为6√13132√3=√3913．20．（12分）已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S n是{a n}的前n项和，n∈N*．（1）若a3＝14，且S6＞S3＞S9，求公差d的取值范围；（2）若a1＝2d，数列{a bn }的首项为a1，满足a bn+1=2a bn，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意，可得首项a1＝a3﹣2d＝14﹣2d，则S6＝6•（14﹣2d）+6×52•d＝3d+84，S 3＝3•（14﹣2d ）+3×22•d ＝42﹣3d ， S 9＝9•（14﹣2d ）+9×82•d ＝18d +126， ∵S 6＞S 3＞S 9，∴3d +84＞42﹣3d ＞18d +126， 即{3d +84＞42−3d 42−3d ＞18d +126，解得﹣7＜d ＜﹣4，∴公差d 的取值范围为（﹣7，﹣4）．（2）由题意，可得a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2d +（n ﹣1）d ＝（n +1）d ， 则a b n =（b n +1）d ，a b n+1=（b n +1+1）d ， ∵a b n+1=2a b n ，∴（b n +1+1）d ＝2（b n +1）d ， ∵d ≠0，∴b n +1+1＝2（b n +1）， ∵数列{a b n }的首项为a 1，即a b 1=a 1， ∴b 1＝1， ∴b 1+1＝1+1＝2，∴数列{b n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n +1＝2•2n ﹣1＝2n ，∴b n ＝2n ﹣1，n ∈N *， ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n＝（21﹣1）+（22﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+…+2n ）﹣n =21−2n+11−2−n＝2n +1﹣n ﹣2．21．（12分）已知双曲线E ：y 2a 2−x 2b2=1（a ＞0，b ＞0）过点Q （3，2），且离心率为2，F 2，F 1为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆F 2：x 2+(y −c)2=10（c =√a 2+b 2）交于A ，B 两点．（1）求△F 1AB 的面积；（2）点P 为圆F 2上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线MF 1和NF 1的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值． 解：（1）因为双曲线E 经过点Q （3，2）， 所以4a 2−9b 2=1，①因为双曲线E 的离心率为2， 所以ca=2，②又c 2＝a 2+b 2，③联立①②③，解得a ＝1，b =√3， 则双曲线E 的方程为y 2−x 23=1， 不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 此时过点Q 的切线l 的方程为2y ﹣x ＝1， 因为直线l 交y 轴于点H(0，12)，联立{2y −x =1x 2+(y −2)2=10，消去y 并整理得5x 2﹣6x ﹣31＝0， 此时Δ＝656＞0，由韦达定理得x 1+x 2=65，x 1x 2=−315，所以S △F 1AB =12|F 1H|⋅|x 1−x 2|=12(12+2)•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12(12+2)•4√415=√41；（2）证明：不妨设P （x 0，y 0），M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）， 因为点P 在圆F 2上，所以x 02+(y 0−2)2=10，过点M ，N 的双曲线E 的切线方程分别为{y 3y −x 3x3=1y 4y −x 4x3=1因为两切线均过点P （x 0，y 0）， 所以{y 3y 0−x 3x 03=1y 4y 0−x 4x03=1， 则直线MN 的方程为y 0y −x 0x3=1，联立{y0y−x0x3=1y2−x23=1，消去y并整理得(x02−3y02)x3+6x0x+(9−9y02)=0，由韦达定理得x3+x4=−6x0x02−3y02，x3⋅x4=9−9y02x02−3y02，所以(y3+2)(y4+2)=(x03y0x3+1y0+2)(x03y0x4+1y0+2)=x029y02x3x4+x03y0⋅1+2y0y0(x3+x4)+(1+2y0y0)2=3(x02−4y02−4y0−1)x02−3y02，因为x02+(y0−2)2=10，所以x02=10−(y0−2)2，此时x02−4y02−4y0−1=5−5y02，则k1k2=y3+2x3⋅y4+2x4=3(5−5y2)x02−3y02⋅x02−3y029(1−y02)=53．22．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x∈[e，e2]，使f(x)≤(ax+12)lnx成立，求实数a的取值范围．注：e为自然对数的底数．解：（1）f（x）＝alnx+x（x＞0），f′（x）=ax+1=a+xx，当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，由f′（x）＜0，解得x＜﹣a，所以x∈（0，﹣a），此时f（x）单调递减；由f′（x）＞0，解得x＞﹣a，此时f（x）单调递增；综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；（2）∵f(x)≤(ax+12)lnx，∴alnx+x≤(ax+12)lnx，x∈[e，e2]，∴xlnx−ax+a≤12，设g(x)=xlnx−ax+a，∴g′(x)=lnx−1ln2x−a=−(1lnx−12)2+14−a，当a≤0，g'（x）≥0，g（x）在[e，e2]上单调递增，∴g(x)min=g(e)=e −ae +a ≤12，即a ≥e−12e−1，不符合题意； 当0＜a ＜14时，则存在唯一的x 0∈[e ，e 2]，使得g '（x 0）＝0，当x ∈[e ，x 0]，使得g '（x 0）＜0，此时g （x ）单调递减， 当x ∈[x 0，e 2]，使得g '（x 0）＞0，此时g （x ）单调递增， ∴g(x)min =g(x 0)=x 0lnx 0−ax 0+a ≤12， ∴a ≥1x 0−1(x 0lnx 0−12)＞1x 0−1(x 0lne 2−12)=1x 0−1(x 02−12)=12，这与0＜a ＜14相矛盾； 当a ≥14时，g '（x ）≤0，此时g （x ）在[e ，e 2]上单调递减，∴g(x)min =g(e 2)=e 22−ae 2+a ≤12，解得a ≥12，符合题意， 综上，实数a 的取值范围是[12，+∞）．。
浙江A9协作体2024年高一11月期中联考数学试题+答案
浙江省A9协作体2024学年第一学期期中联考高一数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}323,{3,1,0,2}A x x B =−≤≤=−−∣，则A B = （ ） A.{3}−B.{1,0}−C.{1,0,2}−D.{3,1,0}−−2.命题“0x ∃>，230x x −>”的否定是（ ） A.0x ∃≤，230x x −> B.0x ∃>，230x x −≤ C.0x ∀>，230x x −≤ D.0x ∀≤，230x x −>3.函数()f x =的定义域是（ ）A.1,2 +∞B.()1,11,2 +∞C.12 +∞D.()1,11,2+∞4.函数()21x f x x−=的图象大致是（ ）A.B. C. D.5.已知偶函数()f x 在区间[]1,3上单调递增且存在最大值为M ，则函数()f x 在区间[]3,1−−上（ ） A.单调递增且最大值为M B.单调递增且最小值为M − C.单调递减且最大值为MD.单调递减且最小值为M −6.已知实数0a >，且“220x x −−<”的一个必要不充分条件是“x a <”，则实数a 的取值范围是（ ） A.[2,)+∞B.()2,+∞C.(0,1]D.（0，1）7.已知函数()f x 的定义域为R ，且对x ∀∈R ，()()2f x xf x x +−=，则()3f =（ ） A.52−B.95−C.23−D.28.已知函数()22121,03321,0x x x f x x x x −+≤ = −++> ，若()f x 在区间(),a b 上既有最大值，又有最小值，则b a −的最大值为（ ） A.1B.2C.3D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,,a b c d ∈R ，且,0a b c d >>>，则下列结论中正确的是（ ） A.ac bc >B.ac bd >C.33a b >D.22a c b d +>+10.下列说法中正确的是（ ） A.()f x =()g x x =表示同一个函数B.()223f x x x =+−为偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增 C.()f x =D.若函数()f x 的定义域为[]1,2，则函数()1f x +的定义域为[]2,311.已知非空集合A R ，若对,x y A ∀∈，都有x y A +∈，xy A ∈成立，则称集合A 是封闭集.下列说法中正确的是（ ）A.集合{2,}x x k k Z =∈∣是封闭集B.若集合A 是封闭集，则A R 也是封闭集C.若集合P ，Q 为封闭集，且P Q ≠R ，则P Q 也是封闭集D.若集合P ，Q 为封闭集，且P Q ≠∅ ，则P Q 也是封闭集第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()()33,13,1x x f x f x x −< =−≥ ，则()4f =_______.13.一般认为，民用住宅的窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好。
浙江省之江教育评价2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题
浙江省之江教育评价2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数34z i =+，则z 的共轭．．复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．化简OM MA OB +-等于（ ） A ．BAB ．ABC ．BMD ．MB3．已知向量()1,1a =-，()2,1b m =--+，若()a ab ⊥+，则m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．34．已知ABC 中，56AB BC AC ===，，则以边AC 所在直线为轴旋转ABC 一周形成的几何体的体积为（ ） A ．16πB ．32πC ．64πD ．96π5．已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且2243a a b =-=，，则b =（ ）A ．8B ．6C ．4D ．26．已知复数z 满足1z =，则12z i -+的最小值为（ ）A ．2B 1C 1D ．37．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，E 为BC 的中点，点P 是以AB 为直径的圆弧上任一点．则AE AP ⋅的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．D ．28．在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ）A B ．2C 1D ．二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．四棱柱的所有面均为平行四边形 B ．长方体不一定是正四棱柱 C ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥D ．棱台的侧棱延长后必交于一点10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =B ．()()1,1,2,a b x ==，若a b +与b a -平行，则2x =C ．非零向量a 和b 满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30D ．点()()1,3,4,1A B ==-，与向量AB 同方向的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭11．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立C ．在ABC 中，若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．在ABC 中，若360b A ==︒，，三角形面积S =12．如图，AC 为圆锥SO 的底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的动点，2SO OC ==，则下列结论正确的是（ ）A ．圆锥SO 的侧面积为B ．三棱锥S ABC -体积的最大值为8C ．SAB ∠的取值范围是,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．若AB BC =，E 为线段AB 上的动点，则SE CE +的最小值为)21三、填空题13．复数()32i i -的虚部为_________．14．在平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，43AD AB ==，，则BE CE ⋅=_________．15．如图，一栋建筑物AB 高（m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ．在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m ．16．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB BC ==，1CD =，M 是线段BC 上的动点，若3BD AM =-，则BA BC ⋅的取值范围是________四、解答题17．设复数z a i =-，其中i 为虚数单位，a R ∈． （1）若()1z i +是纯虚数，求实数a 的值； （2）若2a =，求复数1zi i++的模． 18．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，4AB AC ==，且侧棱16AA =．（1）在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图（不要求写出画法，但要标上字母，并注意，先用铅笔作出草图，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，以保证扫描效果）（2）求该三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积．19．已知在ABC 中，角A 、B 、C 的所对边分别为a 、b 、c ，4B π=，3c =，且ABC 的面积为3． （1）求a 和b 的值； （2）求sin 2A 的值．20．已知两个不共线的向量,a b 的夹角为θ，且2,1a b ==，x 为正实数． （I ）若2a b +与4a b -垂直，求cos θ； （Ⅱ）若6πθ=，求xa b -的最小值及对应的x 的值．21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件；4a =，222sin sin sin sin sin A B C B C +=+．（I ）求角A 的值； （Ⅱ）求2b c -的范围．22．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-． （1）求角A 的值；（2）若5b =，5AC CB ⋅=-，求ABC 的周长；（3）若2sin 2sin b B c C bc +=，求ABC 面积的最大值．参考答案1．D 【分析】由共轭复数的概念及复数的几何意义即可求解. 【详解】解：因为复数34z i =+，所以z 的共轭复数为34z i =-， 所以z 的共轭复数在复平面内对应的点为()3,4-， 因此z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D. 2．A 【分析】根据向量三角形法则进行加法和减法运算即可． 【详解】解：根据题意可知，=OM MA OB OA OB BA +--=. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的运算律，属于基础题. 3．C 【分析】由向量垂直的坐标表示计算． 【详解】解：因为向量()1,1a =-，()2,1b m =--+，所以(1,)a b m +=--， 因为()a ab ⊥+，所以10m -+=，解得1m =. 故选：C. 4．B 【分析】确定旋转体是由哪些基本几何体组成的，再由体积公式计算． 【详解】取AC 中点D ，连接BD ，则BD AC ⊥，则题中旋转体是以ABD △和CBD 绕直角边所在直线AC 旋转所成两个圆锥的组合体，由已知3AD CD ==，4BD =， 体积为221143433233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：求旋转体的体积，解题关键是确定旋转体是由哪些基本几何体组合而成，掌握圆柱、圆锥、圆台的定义是解题关键． 5．C 【分析】根据平面向量数量积的运算律，借助于2248a b -=可构造方程求得结果. 【详解】22222224444cos12016428a b a a b b a a b b b b -=-⋅+=-⋅+=++=，整理可得：24320b b +-=，解得：4b =或8b =-（舍）. 故选：C. 6．B 【分析】设(,)z x yi x y R =+∈，由1z =可得221x y +=，12z i -+=几何意义可得12z i -+的最小值. 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，由1z =可得221x y +=，12(1)(2)z i x y i -+=-++=221x y +=上的动点(,)B x y 到定点(1,2)A -的距离，显然最小值为11OA -=.故选：B.7．D 【分析】建立如图所示的xoy 平面直角坐标系，将向量的数量积转化为向量的坐标运算，即5sin()2AP AE θϕ⋅=++，即可得到答案；【详解】则(1,1)E ，(1,0)A -， 设(cos ,sin )(0)P θθθπ≤≤，∴(cos 1,sin ),(2,1)AP AE θθ=+=，∴2cos 2sin )2AP AE θθθϕ⋅=++=++，其中tan 2ϕ=，∴max ()2AE AP ⋅=，故选：D.8．C 【分析】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，利用正弦定理得出b B =，c C =，利用平面向量数量积的运算性质得出222924AD b bc c =++，利用三角恒等变换思想化简得出2224AD B =+，利用正弦型函数的有界性可得出线段AD 长的最大值. 【详解】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b、c ，由正弦定理可得3sin sin sin 3b c B C π===b B =，c C =， ()()1112333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，即32AD AB AC =+，所以，()()22222229324444cos3AD ADAB AC AC AB AB AC b c cb π==+=++⋅=++22224212sin 48sin 24sin sin b c bc B C B C =++=++1cos 21cos 2124824sin sin 22B CB C --=⋅+⋅+ 224sin sin 6cos 224cos 23033B B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124sin sin 6cos 224cos 223022B B B B B B ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 212cos 6cos 212cos 22302BB B B B B -=⋅+-+++236B =+，所以，2224AD B =+，203B π<<，则4023B π<<，当22B π=时，即当4B π=时，AD 取最大值，即max1AD==.故选：C. 【点睛】思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 9．BD 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，四棱柱的底面不一定是平行四边形，A 选项错误； 对于B 选项，长、宽、高均不相等的长方体不是正四棱柱，B 选项正确； 对于C 选项，底面是正多边形，但侧棱长不相等的棱锥不是正棱锥，C 选项错误； 对于D 选项，由棱台的性质可知，棱台的侧棱延长后必交于一点，D 选项正确. 故选：BD. 10．BCD 【分析】根据向量的数量积、平行、几何意义、单位向量这些知识对每一个选项进行判断即可. 【详解】对于A ，若,a b c b ⊥⊥且|||a c ≠，可满足条件，但a c ≠，故A 不正确；对于B ，由条件(3,1),(1,1)a b x b a x +=+-=-，若这两向量平行，有3(1)1x x -=+，解得2x =，故B 正确；对于C ，由条件可知，以向量a 和b 为边对应的四边形为一个角是60︒的菱形，则a 与a b +的夹角为30︒，故C 正确；对于D ，可得(3,4)AB =-，因此与AB 同方向的单位向量为34(,)55||(3)AB AB ==-，故D 正确.故选：BCD. 11．ABC 【分析】利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A ；利用余弦定理222cos 02b c a A bc+-=>，即可判断B ；首先利用正弦定理得到()()sin sin A B A B +=-，即可求出2A π=判断C ；对选项D ，首先利用面积公式得到4c =，利用余弦定理得到a =，再利用正弦定理2sin aR A=即可判断D. 【详解】对于A ，在ABC 中，由>⇒>A B a b ，利用正弦定理得2sin 2sin sin sin R A R B A B >⇒>，故A 正确.对于B ，由锐角三角形知02A π<<，则222cos 02b c a A bc+-=>，2220b c a ∴+->，故B 正确.对于C ，由cos cos a B b A c -=，利用正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()()sin sin A B A B +=-，故A B A B π++-=，即2A π=，则ABC 是直角三角形，故C 正确.对于D ，11sin 322S bc A c ==⨯⨯=4c =，利用余弦定理知22212cos 916234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a =，又因为1313260R ===，3R =D 错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题. 12．AD 【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A ；当OB AC ⊥时，ABC 的面积最大，此时三棱锥S ABC -体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断B ；先用取极限的思想求出ASB ∠的范围，再利用2SAB ASB π∠+∠=，求范围即可判断C ；利用图形展开及两点之间线段最短即可判断选项D. 【详解】在Rt SOC △中，SC =则圆锥的母线长l =，半径2r OC ==，对于A ，圆锥SO 的侧面积为：rl π=，故A 正确； 对于B ，当OB AC ⊥时，ABC 的面积最大，此时14242ABCS=⨯⨯=，则三棱锥S ABC -体积的最大值为：11842333ABCSSO ⨯⨯=⨯⨯=，故B 错误； 对于C ，当点B 与点A 重合时，0ASB ∠=为最小角，当点B 与点C 重合时2ASB π∠=，达到最大值，又因为B 与,A C 不重合，则0,2ASB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又2SAB ASB π∠+∠=，可得,42SAB ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，故C 错误；对于D ，由,90,4AB BC ABC AC =∠=︒=，得AB BC ==SA SB ==SAB 为等边三角形，则60SBA ∠=︒， 将SAB 以AB 为轴旋转到与ABC 共面，得到1S AB ，则1S AB 为等边三角形，160S BA ∠=︒，如图可知()1min SE CE S C +=，因为111150S B BC S BC S BA ABC ==∠=∠+∠=︒，()22221112cos150882S C S B BC S B BC =+-⨯⨯⨯︒=++=，则())1min 21SE CE S C +==，故D 正确；故选：AD. 【点睛】关键点睛：取极限是解决本题角的范围问题的关键；利用将SAB 以AB 为轴旋转到与ABC 共面是解决求SE CE +的最小值的关键，考查学生的想象能力与运算求解能力，属于较难题. 13．3 【分析】先化简，再根据实部的的概念就可以得到答案. 【详解】复数(32)23i i i -=+，复数的虚部为：3． 故答案为：3． 14．5 【分析】利用向量的和与差的关系，把所求向量表示为AD 与AB ，然后利用向量的数量积求解即可． 【详解】在平行四边形ABCD 中，E 是AD 中点，所以12BE BA AE AB AD =+=-+， 12CE CD DE AB AD =+=--， ∴2222221111134245244BE CE AB AD AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅--=-=-=-⨯ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：5． 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的基本运算，向量的数量积的求法，解题的关键是AD 与AB 表示BE 与CE ，考查计算能力，属于基础题． 15．60 【分析】由已知可以求出CAM ∠、AMC ∠、ACM ∠的大小，在Rt ABM ∆中，利用锐角三角函数，可以求出AM .在ACM ∆中，运用正弦定理，可以求出CM .在Rt DCM ∆中，利用锐角三角函数，求出DC . 【详解】由题意可知：45CAM ∠=，105AMC ∠=，由三角形内角和定理可知30ACM ∠=.在Rt ABM ∆中，sin sin15AB ABAMB AM AM ∠=⇒=.在ACM ∆中，由正弦定理可知：sin 45sin 45sin sin sin 30sin15sin 30AM CM AM AB CM ACM CAM ⋅⋅=⇒==∠∠⋅， 在Rt DCM ∆中，sin 45sin sin 60sin 6060sin15sin 30CD AB CMD CD CM CM ⋅∠=⇒=⋅=⋅=⋅. 【点睛】本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力. 16．[)1,4 【分析】由平面向量数量积的性质及其运算得到2818822BA BC λλλ+==---，再结合||||cos BA BC BA BC θ=，(0,)θπ∈，求出BA BC 的取值范围． 【详解】解：由已知有：||||AB BC =，12CD BA =，BM BC λ=，(01)λ， 则1()()()()32BD AM BC CD AB BM BC BA BC BA λ⋅=+⋅+=+⋅-=-，所以2818822BA BC λλλ+==---，因为01λ，∴[1BA BC ∈，10]，因为||||cos BA BC BA BC θ=，其中θ为BA 与BC 的夹角，(0,)θπ∈， 因为cos (1,1)θ∈-，所以22cos 4cos (4,4)BA BC θθ=⨯=∈-， 又110BA BC ，所以[1,4)BA BC ∈． 故答案为：[)1,4． 【点睛】本题考查向量数量积以及向量表示，考查基本分析求解能力，属于中档题.17．（1）1-；（2）2． 【分析】（1）计算出(1)z i +，再由复数的分类求解； （2）计算出1zi i++，然后由模的定义得结论． 【详解】（1）由题意2(1)()(1)1(1)z i a i i a ai i i a a i +=-+=+--=++-，它为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-；（2）若2a =，则()()()()221222111111222i i z i i i i i i i i i i i i i -----++=+=+=+=-+++-，所以12z i i +==+． 18．（1）见解析；（2）68π 【分析】（1）根据斜二测画法的原则，即可画出直观图；（2）确定球心O 的位置，再根据勾股定理求得半径，即可得到答案； 【详解】 （1）如图所示，（2）取直三棱柱上下底面的外心分别为12,O O ，则12O O 的中点O 为外接球的球心，∴12222221317R OB O B O O ==+=+=， ∴2468S R ππ==，19．（1）a =b =（2）4sin 25A =. 【分析】（1）利用三角形的面积公式可求得a 的值，再利用余弦定理可求得b 的值；（2）分析可知A 为锐角，利用正弦定理求出sin A ，利用同角三角函数的平方关系可求得cos A 的值，再利用二倍角的正弦公式可求得结果.【详解】（1）由三角形的面积公式可得11sin 33222ABC S ac B a ==⨯=△，解得a =由余弦定理可得2222cos 892352b ac ac B =+-=+-⨯⨯=，因此，b = （2）b ac <<，则A 为锐角，由正弦定理得sin sin a b A B=，所以，sin sin a B A b ===则cos A ==4sin 22sin cos 5A A A ==.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.20．（1）27；（2）x =时，xa b -取得最小值12．【分析】（1）由数量积为0求得a b ⋅后可得cos θ；（2）把xa b -平方转化为数量积的运算得x 的函数，由函数可得最小值． 【详解】（1）因为2a b +与4a b -垂直，所以2222(2)(4)27422721cos 410a b a b a a b b θ+⋅-=-⋅-=⨯-⨯⨯⨯-⨯=，所以2cos 7θ=； （2）222222224221cos1416xa bx a xa b b x x x π-=-⋅+=-⨯⨯⨯+=-+，所以4x =时，xa b -取得最小值12=．【点睛】关键点点睛：本题考查向量垂直的数量积表示，考查求向量的模．求向量的模，可以把模平方转化为向量的平方，即向量的数量积运算，由数量积运算求得结论． 21．（I ）3π；（Ⅱ）()4,8-.【分析】（I ）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理可得解；（Ⅱ）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数恒等变换公式化简28sin 6b c B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求值域即可得解.【详解】（I ）由222sin sin sin sin sin A B C B C +=+，利用正弦定理可得222a bc b c +=+，即222bc b c a =+-故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又(0,)A π∈，3A π∴=（Ⅱ）4a =，3A π=，利用正弦定理sin sin sin 3a b c A B C ====故b B =，sin()3c C B π==+122sin()+sin 32b c B B B B B π⎫∴-=-+=⎪⎪⎝⎭4cos 4cos 8sin 6B B B B B B π⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭ 在ABC 中，3A π=，故203B π<< 662B πππ∴-<-<，1sin 126B π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，48sin 86B π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭ 所以2b c -的范围是()4,8- 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，求最值可以将“边化角”利用三角函数思想求值域，考查学生的转化能力与运算 能力，属于较难题. 22．（1）3A π=;（2）20;（3. 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得1cos 2A =，可求得角A 的值； （2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出,a c ，即可求得周长；（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值； 【详解】 （1）2cos 22sin cos 2sin sin a B c b A B C B =-⇒⋅=-,∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin A B A B B A B A B B ⋅=⋅+-=⋅+⋅-, ∴1cos 2A =, 0A π<<,3A π∴=;（2）2()AC CB AC AB AC AC AB AC ⋅=⋅-=⋅-255cos5255832c c c π=⋅⋅-=-=-⇒=， 在ABC 中利用余弦定理得：2222212cos 58258492a b c b c A =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， 7a ∴=，∴ABC ∆的周长为：58720++=；（3）sin sin b c s A a inB C ====∴sin B =sin C =，∴2222b c b c bc a a ⋅+⋅=+，)2221cos 222a ab c a abc A +-=⇒=⇒=⇒a =)222233b c b c bc +-=⇒+=+，323bc bc bc ∴+⇒，等号成立当且仅当b c =，ABC面积的最大值为1sin 2maxbc A ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.。
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浙江工业大学之江学院08/09（上）数分I期中试卷
班级 姓名 学号
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、填空题17%
1、4%函数11fxx的定义域是 。
2、4%20lim1xxx＝ 。
3、4%函数sin,02,0xxfxxx的间断点是 （要说明类别）。
4、5%设32()3fxxxx，则()(0)nf存在的最高阶数n为 阶。
二、计算题37%
1、6%设231,0()cos,0axbxfxxx在0x可导，求,ab的值
1、5%*210%求极限：
1）10lim(sin2cos)xxxx 2）20141lim1cos21arctanxxxxx
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2、5%*210%求导数y：
1）axaxaayxaax，
2）arccoslntanyxx
3、5%设3lnxtyt，求22dytedx
4、6%设2sinyxx，求2008dy
三、概念题7%*428%
1、 写出0limxxfxA的定义，并用它证明21lim2xx；
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2、 叙述0limxxfx存在的归结原则(即Heine定理)，并证明01limcosxx存限不存在。
3、 在0x的某领域0;Ux内，0fx恒成立，若0limxxfx存在，则0lim0xxfx。
请问，以上论断是否正确？若正确，请证明，若不正确，请举出反例。
4、 写出函数f在区间I上一致连续的定义，证明函数11fxx在区间1,0上
不一致连续。
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四、综合题18%
1、8%设函数f在开区间0,1上连续，且00,10ff存在且为有限值，证明
f
在开区间0,1上有界。
2、10%设11310,1,3,1,24nnnppaaanaL，证明na存在，并求此极限。