算法分析大作业

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动态规划方法解 乘法表问题和汽车加油行驶问题 目录 1.动态规划解乘法表问题 1.1问题描述------ 1.2算法设计思想------ 1.3设计方法------ 1.4源代码------ 1.5最终结果------ 2.动态规划解汽车加油行驶问题 2.1问题描述------ 2.2算法设计思想------ 2.3设计方法------ 2.4源代码------ 2.5最终结果------ 3.总结 1.动态规划解决乘法表问题 1.1问题描述 定义于字母表∑{a,b,c)上的乘法表如表所示： 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 依此乘法表,对任一定义于∑上的字符串,适当加括号表达式后得到一个表达式。 例如,对于字符串x=bbbba,它的一个加括号表达式为(b(bb))(ba)。依乘法表,该表达式的值为a。 试设计一个动态规划算法,对任一定义于∑上的字符串x=x1x2…xn，计算有多少种不同的加括号方式,使由x导出的加括号表达式的值为a。 1.2算法设计思想

设常量a,b,c 分别为 1, 2 ,3 。n 为字符串的长度。 设字符串的第 i 到 第 j 位乘积为 a 的加括号法有result[i][j][a] 种， 字符串的第 i 到 第 j 位乘积为 b 的加括号法有result[i][j][b] 种, 字符串的第 i 到 第 j 位乘积为 c 的加括号法有 result[i][j][c] 种。 则原问题的解是： result[i][n][a] 。 设 k 为 i 到 j 中的某一个字符，则对于 k 从 i 到 j ： result[i][j][a] += result[i][k][a] * result[k + 1][j][c] + result[i][k][b] * result[k + 1][j][c] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][a]; result[i][j][b] += result[i][k][a] * result[k + 1][j][a] + result[i][k][a] * result[k + 1][j][b] + result[i][k][b] * result[k + 1][j][b]; result[i][j][c] += result[i][k][b] * result[k + 1][j][a] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][b] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][c]; 输入：输入一个以a,b,c组成的任意一个字符串。 输出：计算出的加括号方式数。 1.3设计方法

乘法表问题直观理解就是通过加括号使得最终运算结果为a，该问题与矩阵连乘问题类似，矩阵连乘是每一次加括号选择运算量最小的，写成数学表达式有： 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 而乘法表问题则是计算所有加括号运算结果为a的情况数，并不要求输出加括号方式。那么可以从乘法的最小单元两个符号相乘的所有可能开始，接着在两个符号相乘的基础上计算三个符号相乘的所有可能。直到计算N长度的符号1-N的所有可能。可以定义一个三维数组a[n][n][3],n为输入字符串的长度，a[i][j][0]为从字符串中第i个元素到第j个元素的子串表达式值为a的加括号方式数，a[i][j][1]为从字符串中第i个元素到第j个元素的子串表达式值为b的加括号方式数，a[i][j][2]为从字符串中第i个元素到第j个元素的子串表达式值为c的加括号方式数。 由乘法表的定义则可知啊a[i][j][0]=（对k求和，k从i到j-1）a[i][k][0]*a[i][k+1][2]+a[i][k][1]*a[i][k+1][2]+a[i][k][2]*a[i][k+1][1]; 同理可得到a[i][j][1]和a[i][j][2]。 同时由上面的表达式可知，要计算a[i][j][],需先计算a[i][k][]和a[i][k

+1][]，这里k从i到j-1，故a[i][j][]可采取如下的计算次序 1.4源代码 #include "iostream" #include "algorithm" #include "fstream" using namespace std; /* 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. f[i][j][0] 表示在ch[i]~ch[j]之间以某种方式加括号后，结果为a f[i][j][1] 表示在ch[i]~ch[j]之间以某种方式加括号后，结果为b f[i][j][2] 表示在ch[i]~ch[j]之间以某种方式加括号后，结果为c a = a*c || b*c || c*a b = a*a || a*b || b*b c = b*a || c*b || c*c */ int f[50][50][3]; char chars[3] = {'a', 'b', 'c'}; int mul(int n, char ch[]) { for(int i=0; i for(int k=0; k<3; k++) f[i][i][k] = (ch[i] == chars[k] ? 1: 0); /* a = a*c || b*c || c*a b = a*a || a*b || b*b c = b*a || c*b || c*c */ for(int r=1; r for(i=0; i { int j = i + r; //区间右端点 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. for(int k=i; k { f[i][j][0] += f[i][k][0]*f[k+1][j][2] + f[i][k][1]*f[k+1][j][2] + f[i][k][2]*f[k+1][j][0];

f[i][j][1] += f[i][k][0]*f[k+1][j][0] + f[i][k][0]*f[k+1][j][1] + f[i][k][1]*f[k+1][j][1];

f[i][j][2] += f[i][k][1]*f[k+1][j][0] + f[i][k][2]*f[k+1][j][1] + f[i][k][2]*f[k+1][j][2];

} } return f[0][n-1][0]; } int main() { ifstream fin("mul.txt"); cout << "输入字符串："; char ch[100]; fin >> ch; cout << ch; int n = strlen(ch); cout << "\n结果为a的加括号方式为：" << mul(n, ch) << endl; fin.close(); return 0; } 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 6文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 1.5最终结果 2.动态规划解决汽车加油行驶问题 2.1问题描述 给定一个N*N的方形网络，设其左上角为起点○，坐标为(1，1)，X轴向右为正，Y轴向下为正，每个方格边长为1。一辆汽车从起点○出发驶向右下角终点， 其坐标为（M，N）。在若干网格交叉点处，设置了油库，可供汽车在行驶途中，可供汽车在行驶途中加油。汽车在行驶过程中应遵守如下规则： （1）汽车只能沿网格边行驶，装满油后能行驶K条网格边。出发时汽车已装满油，在起点与终点处不设油库。 （2）当汽车行驶经过一条网格边时，若其X坐标或Y坐标减小，则应付费用B，否则免付费用。 （3）汽车在行驶过程中遇油库则应加满油并付加油费用A。 （4）在需要时可在网格点处增设油库，并付增设油库费用C（不含加油费A）。 （5）（1）~（4）中的各数N，K，A，B，C均为正整数。 2.2算法设计思想

这个题目,应该说是刚开始的时候被他给吓到了，只是想着如何去把所有的条件构造起来，然后使用网络流的方式来解决问题！但是，如果真的是很冷静下来好好地思考这道题目，就会发现如果没有那些限制条件，就是一个求解最长路的题目，这样就可以直接使用ＳＰＦＡ来解决这个问题！关键就是在于这个每次最多只能走Ｋ个网格边，这样就是限制了活动的范围，使得有的边无法扩展！因此可以考虑使用这个分层思想的最短路问题！就是通过将每一个点进行拆分，这样，就是相当于一种分类讨论的方式！而分类讨论了之后，就知道哪些边是可以扩展的，哪些边是不能扩展的！关键点就是在于该如何选取变量来分层，这就是因情况而异了！像这道题目之中，就是通过油量的多少来扩展边的！分层思想，说穿了其实就是相当于这个动态规划之中的增加变量的方式来确定状态一样，他们的实质其实都是一样的！ 2.3设计方法

采用的是动态规划的思想来解题,用备忘录的方法进行递归,递归的式子后面写出.