初中几何辅助线做法大全
初中几何辅助线大全(很详细哦)
初中几何辅助线一克胜秘籍等腰三角形1•作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2•作一腰上的高；3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形1. 垂直于平行边2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3. 平行于两条斜边4. 作两条垂直于下底的垂线5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角2.做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线一一把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高一一形内形外都要注意矩形1. 对角线2.作垂线很简单。
无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB, 就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线？①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
初中几何辅助线大全很详细哦
初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2. 作一腰上的高；3 . 过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形梯形1. 垂直于平行边2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3. 平行于两条斜边4. 作两条垂直于下底的垂线5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角2. 做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高——形内形外都要注意矩形1. 对角线2. 作垂线很简单。
无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD .................... 这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD另= 一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看平行移动对角线，补成三角形常见。
初中几何辅助线大全(潜心整理)
初中几何辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线作辅助线的方法一、中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二、垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三、边边若相等，旋转做实验。
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初中几何辅助线大全(很详细哦)初中几何辅助线―克胜秘籍等腰三角形1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2.作一腰上的高；3.将底边的一端作为底边的垂直线交叉，并与另一条腰部的延长线相交，形成直角三角形。
梯形1.垂直于平行边2.垂直于下底，将上底延伸为一条平行于两条斜边的腰部3的平行线4使两条垂直于底部的垂直线5延伸两条斜边，形成一个三角形菱形1.连接两对角2.做高平行四边形1.垂直于平行边2.按对角线将平行四边形分成两个三角形，高度为3-注意形状内外的矩形1.对角线2.作垂线很简单。
无论是哪一个主题，第一个都应该考虑主题的要求，例如Ab= AC+BD，这样的方法是找到另一个与AB长度相同的线段的方法，然后证明A+BD＝另一个AB。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形的中点连接成一条中线。
三角形中有中线、延长中线和其他中线。
解几何题时如何画辅助线?① 在中点处看到中线，并将中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
② 在证明比例线段时，通常使用平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③ 对于梯形问题，添加辅助线的常用方法有：1。
穿过上底的两个端点用作下底的垂直线；2.穿过上底的一个端点用作一条腰部的平行线；3.穿过上底部的一个端点用作对角线的平行线；4.穿过一根腰部的中点用作另一根腰部的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形的平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
初中几何常见辅助线
0
目录
1
中点 中点的常见辅助线
P1
2
分线 角平分线的常见辅助线
P2
垂直平分线的常见辅助线
3
等腰 一般等腰三角形的常见辅助线
P3
等腰直角三角形的常见辅助线
等边三角形的常见辅助线
4
模型 一线三等角
P4
角分对补图
旋转手拉手
一轴一等腰
5
特度 15°的常见辅助线
P8
30°和 150°的常见辅助线
45°和 135°的常见辅助线
肆·『模型』
之一·【一线三等角】
编 名 题目关键词
背景图
常用方法
锐 如图位置 角 版 三个等角 11 钝 如图位置 角 版 三个等角
A ×
×
B
C
A
×
B
×
C
*条件中有“∠B=∠ACE=∠D=•”
E
①结论：∠BAC=∠DCE=×（外角倒角）
初中数学几何图形的辅助线添加方法大全
初中数学添加辅助线的方法汇总作辅助线的基本方法一：中点、中位线，延长线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。
即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。
即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
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初中几何辅助线—克胜秘笈之袁州冬雪创作等腰三角形1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2.作一腰上的高；3.过底边的一个端点作底边的垂线，与另外一腰的延长线相交，构成直角三角形.梯形1. 垂直于平行边2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3. 平行于两条斜边4. 作两条垂直于下底的垂线5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 毗连两对角2. 做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高——形内形外都要注意矩形1. 对角线2. 作垂线很简单.无论什么题目，第一位应该思索到题目要求，比方AB=AC+BD....这类的就是想法子作出另外一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另外一条AB,就行了.还有一些关于平方的思索勾股，A 字形等.三角形图中有角平分线，可向双方作垂线（垂线段相等）.也可将图对折看，对称以后关系现.角平分线平行线，等腰三角形来添.角平分线加垂线，三线合一试试看.线段垂直平分线，常向两头把线连.要证线段倍与半，延长缩短可试验. 三角形中两中点，毗连则成中位线. 三角形中有中线，延长中线等中线.解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以思索过中点作中位线或把中线延长一倍来处理相关问题.②在比例线段证明中，常作平行线.作平行线时往往是保存结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另外一个比接洽起来.③对于梯形问题，常常使用的添加辅助线的方法有1、过上底的两头点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另外一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点.梯形外面作高线，平移一腰试试看. 平行移动对角线，补成三角形罕见. 证相似，比线段，添线平行成习惯. 等积式子比例换，寻找线段很关键. 直接证明有坚苦，等量代换少费事. 斜边上面作高线初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才干创造条件处理问题的，当问题的条件不敷时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能处理的问题，这是处理问题常常使用的战略.一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可近似添辅助线.2按基本图形添辅助线：每一个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循.举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形.出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形.（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形.（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线.出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形.（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形停止证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形.（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称便可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转.当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角双方且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两保持或过二端点添平行线（8）特殊角直角三角形当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，操纵45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3停止证明二．基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍.含有中点的题目，常常操纵三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地处理了问题.方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，操纵角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而操纵全等三角形的知识处理问题.方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或操纵关于平分线段的一些定理.方法4：结论是一条线段与另外一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采取截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另外一部分等于第二条线段.平行四边形（包含矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目标都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成罕见的三角形、正方形等问题处理，其常常使用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）毗连对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）毗连顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形.（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.梯形是一种特殊的四边形.它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来处理.辅助线的添加成为问题处理的桥梁，梯形中常常使用到的辅助线有：（1）在梯形外部平移一腰.（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两头点向下底作高（6）平移对角线（7）毗连梯形一顶点及一腰的中点.（8）过一腰的中点作另外一腰的平行线.（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线其实纷歧定是固定不变的、单一的.通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来处理，这是处理问题的关键.作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线.如遇条件中有中点，中线、中位线等，那末过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另外一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目标.二：垂线、分角线，翻转全等连.如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生.其对称轴往往是垂线或角的平分线.三：边边若相等，旋转做实验.如遇条件中有多边形的双方相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，便可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生.其对称中心，因题而异，有时没有中心.故可分“有心”和“无心”旋转两种.四:造角、平、相似，和、差、积、商见.如遇条件中有多边形的双方相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关.在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段停止平移.故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见.”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）九：面积找底高，多边变三边.如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键.如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立.别的，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”.三角形中作辅助线的常常使用方法举例一、在操纵三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可毗连两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：证明：（法一）将DE双方延长分别交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞ MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC（法二：）如图1-2，延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形双方之和大于第三边）（1）GF＋FC＞GE＋CE（同上） (2)DG＋GE＞DE（同上） (3)由（1）＋（2）＋（3）得：AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC.二、在操纵三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可毗连两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再操纵外角定理：形中，没有直接的接洽，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC的外角，∴∠BDC ＞∠DEC ，同理∠DEC ＞∠BAC ，∴∠BDC ＞∠BAC 证法二：毗连AD ，并延长交BC 于F∵∠BDF 是△ABD 的外角∴∠BDF ＞∠BAD ，同理，∠CDF ＞∠CAD ∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC.注意：操纵三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再操纵不等式性质证明.三、有角平分线时，通常在角的双方截取相等的线段，构造全等三角形，如：分析：要证BE ＋CF ＞EF ，可操纵三角形三边关系定理证明，须把BE ，CF ，EF 移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的双方截取相等的线段，操纵三角形全等对应边相等，把EN ，FN ，EF 移到同一个三角形中.证明：在DA 上截取DN ＝DB ，毗连NE ，NF ，则DN ＝DC ，ABCD EF G12-图AB CDEFN13-图1234在△DBE 和△DNE 中：∴△DBE ≌△DNE （SAS ）∴BE ＝NE （全等三角形对应边相等） 同理可得：CF ＝NF在△EFN 中EN ＋FN ＞EF （三角形双方之和大于第三边） ∴BE ＋CF ＞EF.注意：当证题有角平分线时，常可思索在角的双方截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等.四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形.证明：延长ED 至M ，使DM=DE ，毗连CM ，MF.在△BDE 和△CDM 中，∴△BDE ≌△CDM （SAS ）又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义） ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF ＝90° ∴∠FDM ＝∠EDF ＝90° 在△EDF 和△MDF 中∴△EDF ≌△MDF （SAS ）∴EF ＝MF （全等三角形对应边相等）14-图ABCDEFM1234∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF （三角形双方之和大于第三边） ∴BE ＋CF ＞EF注：上题也可加倍FD ，证法同上.注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中.五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形.分析：要证AB ＋AC ＞2AD ，由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋CD ＞AD ，所以有AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋AD ＝2AD ，左边比要证结论多BD ＋CD ，故不克不及直接证出此题，而由2AD 想到要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去.证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，毗连BE ，则AE ＝2AD∵AD 为△ABC 的中线 （已知） ∴BD ＝CD （中线定义） 在△ACD 和△EBD 中∴△ACD ≌△EBD （SAS ）∴BE ＝CA （全等三角形对应边相等）∵在△ABE 中有：AB ＋BE ＞AE （三角形双方之和大于第三边）∴AB ＋AC ＞2AD.操练：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF ＝2AD. 六、截长补短法作辅助线.构造第三边AB －AC ，故可在AB 上截取AN 等于A BCDEAC ，得AB －AC ＝BN ， 再毗连PN ，则PC ＝PN ，又在△PNB 中，PB －PN ＜BN ，即：AB －AC ＞PB －PC. 证明：（截长法）在AB 上截取AN ＝AC 毗连PN , 在△APN 和△APC 中∴△APN ≌△APC （SAS ）∴PC ＝PN （全等三角形对应边相等）∵在△BPN 中，有PB －PN ＜BN （三角形双方之差小于第三边） ∴BP －PC ＜AB －AC证明：（补短法） 延长AC 至M ，使AM ＝AB ，毗连PM ， 在△ABP 和△AMP 中∴△ABP ≌△AMP （SAS ）∴PB ＝PM （全等三角形对应边相等）又∵在△PCM 中有：CM ＞PM －PC(三角形双方之差小于第三边) ∴AB －AC ＞PB －PC.七、延长已知边构造三角形：分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角. 证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E点，∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义）ABCD E 17-图O在△DBE 与△CAE 中∴△DBE ≌△CAE （AAS ）∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC.（当条件缺乏时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件.）八 、毗连四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来处理. 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来处理.证明：毗连AC （或BD ） ∵AB ∥CD AD ∥BC （已知）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） 在△ABC 与△CDA 中∴△ABC ≌△CDA （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长.分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长.证明：分别延长BA ，CE 交于点F. ∵BE ⊥CF （已知）19-图D CBAEF12A BCD18-图1234∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义）在△BEF 与△BEC 中，∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴（全等三角形对应边相等）∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知）∴∠BAC ＝∠CAF ＝90°∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90°∴∠BDA ＝∠BFC在△ABD 与△ACF 中∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE十、毗连已知点，构造全等三角形.分析：要证∠A ＝∠D ，可证它们所在的三角形△ABO 和△DCO 全等，而只有AB ＝DC 和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB ＝DC ，AC ＝BD ，若毗连BC ，则△ABC 和△DCB 全等，所以，证得∠A ＝∠D.证明：毗连BC ，在△ABC和△DCB 中∴△ABC ≌△DCB (SSS)∴∠A ＝∠D (全等三角形对应边相等) 十一、取线段中点构造全等三有形.分析：由AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，想到如取AD 的中点N ，毗连NB ，NC ，再由SAS 公理有△ABN ≌△DCN ，故BN ＝CN ，∠ABN ＝∠DCN.下面只需证∠NBC ＝∠NCB ，再取BC 的中点M ，毗连MN ，则由SSS 公理有△NBM ≌△DCB A 110-图ONCM ，所以∠NBC ＝∠NCB.问题得证.证明：取AD ，BC 的中点N 、M ，毗连NB ，NM ，NC.则AN=DN ，BM=CM ，在△ABN 和△DCN 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN∴△ABN ≌△DCN （SAS ）∴∠ABN ＝∠DCN NB ＝NC （全等三角形对应边、角相等）在△NBM 与△NCM 中∵⎪⎩⎪⎨⎧)()()(公共边＝辅助线的作法＝已证＝NM NM CM BM NC NB∴△NMB ≌△NCM ，(SSS)∴∠NBC ＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC ＋∠ABN ＝∠NCB ＋∠DCN 即∠ABC ＝∠DCB.巧求三角形中线段的比值例1. 如图1，在△ABC 中，BD ：DC ＝1：3，AE ：ED ＝2：3，求AF ：FC. 解：过点D 作DG//AC ，交BF 于点G 所以DG ：FC ＝BD ：BC因为BD ：DC ＝1：3 所以BD ：BC ＝1：4 即DG ：FC ＝1：4，FC ＝4DG因为DG ：AF ＝DE ：AE 又因为AE ：ED ＝2：3 所以DG ：AF ＝3：2 即所以AF ：FC ＝：4DG ＝1：6例2. 如图2，BC ＝CD ，AF ＝FC ，求EF ：FD解：过点C 作CG//DE 交AB 于点G ，则有EF ：GC ＝AF ：AC 因为AF ＝FC 所以AF ：AC ＝1：2 即EF ：GC ＝1：2，因为CG ：DE ＝BC ：BD 又因为BC ＝CD111-图DCBA M N所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC因为FD＝ED－EF＝所以EF：FD＝小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行.请再看两例，让我们感受其中的奇妙！例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD.解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G.所以DF：BG＝CD：CB因为BD：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4即DF：BG＝3：4，因为AF：BG＝AE：EB 又因为AE：EB＝2：3所以AF：BG＝2：3 即所以AF：DF＝例4. 如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC.解：过点D作DG//CE，交AB于点G所以EF：DG＝AF：AD因为AF＝FD 所以AF：AD＝1：2 图4即EF：DG＝1：2因为DG：CE＝BD：BC，又因为BD：CD＝1：3，所以BD：BC＝1：4即DG：CE＝1：4，CE＝4DG因为FC＝CE－EF＝所以EF：FC＝＝1：7操练：1. 如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB.2. 如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：答案：1、1：10； 2. 9：1初中几何辅助线一初中几何罕见辅助线口诀人说几何很坚苦，难点就在辅助线.辅助线，如何添？掌控定理和概念.还要吃苦加钻研，找出规律凭经历.三角形图中有角平分线，可向双方作垂线.也可将图对折看，对称以后关系现.角平分线平行线，等腰三角形来添.角平分线加垂线，三线合一试试看.线段垂直平分线，常向两头把线连.线段和差及倍半，延长缩短可试验.线段和差不等式，移到同一三角去.三角形中两中点，毗连则成中位线.三角形中有中线，延长中线等中线.四边形平行四边形出现，对称中心等分点.梯形问题巧转换，变成△和□.平移腰，移对角，两腰延长作出高.如果出现腰中点，细心连上中位线.上述方法不奏效，过腰中点全等造.证相似，比线段，添线平行成习惯.等积式子比例换，寻找线段很关键.直接证明有坚苦，等量代换少费事.斜边上面作高线，比例中项一大片.切勿自觉乱添线，方法矫捷应多变.分析综合方法选，坚苦再多也会减.虚心勤学加苦练，成绩上升成直线. 二 由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向双方作垂线.也可将图对折看，对称以后关系现.角平分线平行线，等腰三角形来添.角平分线加垂线，三线合一试试看.角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角双方的间隔相等.对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种.①从角平分线上一点向双方作垂线；②操纵角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）.通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般思索作垂线；其它情况下思索构造对称图形.至于选取哪类方法，要连系题目图形和已知条件.与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜测与测验测验，但这种测验测验与猜测是在一定的规律基本图1-1B之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在处理几何问题中大胆地去猜测，按一定的规律去测验测验.下面就几何中罕见的定理所涉及到的辅助线作以先容.如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并毗连DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件.例1．如图1-2，AB//CD ，BE平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD.分析：此题中就涉及到角平分线，可以操纵角平分线来构造全等三角形，即操纵解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常常使用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段.但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目标.简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目标.这外面用到了角平分线来构造全等三角形.别的一个全等自已证明.此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明.自已试一试.例2．已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC分析：此题还是操纵角平分线来构造全等三角形.构造的方法还是截取线段相等.其它问题自已证明.图1-2DBCABC例3．已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题.用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明.试试看能否把短的延长来证明呢？操练1．已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC2．已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：AE=2CE3．已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点.求证：BM-CM>AB-AC4．已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点，毗连DB 、DC.求证：BD+CD>AB+AC.（二）、角分线上点向角双方作垂线构全等过角平分线上一点向角双方作垂线，操纵角平分线上的点到双方间隔相等的性质来证明问题.例1．如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC.求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C 向∠BAD 的双方作垂线.近而证∠ADC 与∠B 之和为平角.例2．如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC ，∠ABD=∠CBD.图1-4ABC图2-1BC求证：BC=AB+AD分析：过D 作DE ⊥BC 于E ，则AD=DE=CE ，则构造出全等三角形，从而得证.此题是证明线段的和差倍分问题，从中操纵了相当于截取的方法.例3． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN相交于点P.求证：∠BAC 的平分线也颠末点P.分析：毗连AP ，证AP 平分∠BAC 即可，也就是证P 到AB 、AC 的间隔相等.操练：1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA ，PD ⊥OA ，如果PC=4，则PD=（ ）A 4B 3C 2D 1 2．已知在△ABC 中，∠C=90 ，AD 平分∠CAB ，CD=1.5,DB=2.5.求AC.3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD ，CE ⊥AB ，AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180 .4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC 上的点，∠FAE=∠DAE.求证：AF=AD+CF.5．已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH//AB 交BC 于H.求证CF=BH.图2-2BC图2-3ABC图2-4OADABD（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的双方相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以操纵中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质.（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另外一边相交）.例1．已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点.求证：（AB-AC）分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形.问题可证.例2．已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE.分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与别的一边相交，近而构造出等腰三角形.例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，保持FC并延长交AE于M.求证：AM=ME.分析：由AD、AE是∠BAC表里角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到操纵比例线段证相等.例4．已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M.求证：AB+AC）B图3-3E分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以AD 为轴作对称变换，作△ABD 关于AD 的对称△AED ，然后只需证，别的由求证的成果（AB+AC ），即2AM=AB+AC ，也可测验测验作△ACM 关于CM 的对称△FCM ，然后只需证DF=CF 即可.操练：1．已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中点，AE 是∠BAC的平分线，且CE ⊥AE 于E ，毗连DE ，求DE.2．已知BE 、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的内角与外角的平分线，AF ⊥BF 于F ，AE ⊥BE 于E ，毗连EF 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证（四）、以角分线上一点做角的另外一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形.或通过一边上的点作角平分线的平行线与别的一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形.如图4-1和图4-2所示.例4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD.例 5 如图，BC>BA ，BD 平分∠ABC ，且AD=CD ，求证：∠A+∠C=180.例 6 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD.操练：1. 已知，如图，∠C=2∠A ，AC=2BC.求证：△ABC 是直角三角形.1 2ACDBBDC AAEC DC。
初中几何辅助线做法要点(35页)
线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有n (n ≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出12n (n －1)条. 规律2.平面上的n 条直线最多可把平面分成〔12n (n +1)+1〕个部分. 规律3.如果一条直线上有n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为12n (n －1)条. 规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 例：如图，B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点.求证：MN =12AC 证明：∵M 是AB 的中点，N 是BC 的中点∴AM = BM =12AB ,BN = CN = 12BC ∴MN = MB +BN =12AB + 12BC = 12(AB + BC ) ∴MN =12AC 练习：1.如图，点C 是线段AB 上的一点，M 是线段BC 的中点.求证：AM =12(AB + BC )2.如图，点B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点.求证：MN =12BC3.如图，点B 在线段AC 上，N 是AC 的中点，M 是BC 的中点. 求证：MN = 12AB规律5.有公共端点的n 条射线所构成的交点的个数一共有12n (n －1)个. 规律6.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n －1）个. 规律7. 如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成n （n －1）对对顶角.N M CB AM C BAN M CB AN MCB A规律8.平面上若有n （n ≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出16n (n －1)(n －2）个.规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o . 规律10.平面上有n 条直线相交，最多交点的个数为12n (n －1)个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律13.已知AB ∥DE ,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半. 例：已知，BE 、DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，若∠A = 45o ,∠C = 55o ,求∠E 的度数.解：∠A ＋∠ABE =∠E ＋∠ADE ①∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠CBE ②①＋②得 ∠A ＋∠ABE ＋∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠ADE ＋∠E ＋∠CBE1()∠ABC+∠BCD+∠CDE=360︒E D C BA +=∠CDE ∠ABC ∠BCD 2()E D C BA -=∠CDE ∠ABC ∠BCD 3()ED C BA -=∠CDE ∠ABC ∠BCD 4()ED CBA+=∠CDE ∠ABC ∠BCD 5()E DB A+=∠CDE ∠ABC ∠BCD 6()E CBAN ME DBCAH G FE D B C A H GFE D B C A H GFE D BC A∵BE 平分∠ABC 、DE 平分∠ADC ， ∴∠ABE =∠CBE ，∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A ＋∠C ∴∠E =12(∠A ＋∠C ) ∵∠A =45o ,∠C =55o , ∴∠E =50o三角形部分规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知D 、E 为△ABC 内两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE .证法（一）：将DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于M 、N在△AMN 中， AM ＋ AN ＞MD ＋DE ＋NE ① 在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ②在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ③ ①＋②＋③得AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE证法（二）延长BD 交AC 于F ，延长CE 交BF 于G ,在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有，①AB ＋AF ＞BD ＋DG ＋GF ②GF ＋FC ＞GE ＋CE ③DG ＋GE ＞DE ∴①＋②＋③有AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P 为△ABC 内任一点， 求证：12(AB ＋BC ＋AC )＜P A ＋PB ＋PC ＜AB ＋BC ＋AC 规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半. 例：如图，已知BD 为△ABC 的角平分线，CD 为△ABC 的外角∠ACE 的平分线，它与BD 的延长线交于D .求证：∠A = 2∠D证明：∵BD 、CD 分别是∠ABC 、∠ACE 的平分线 ∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2 ∵∠A = ∠ACE －∠ABC ∴∠A = 2∠1－2∠2又∵∠D =∠1－∠2∴∠A =2∠D规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o 加上第三个内角的一半.F G N M E DBA21C E DB A例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，求证：∠BDC = 90o＋12∠A证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A①∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC②把②式代入①式得2(180o－∠BDC)= 180o－∠A即：360o－2∠BDC =180o－∠A∴2∠BDC = 180o＋∠A∴∠BDC = 90o＋12∠A规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB，求证：∠BDC = 90o－12∠A证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2∴2∠1 =∠A＋∠ACB①2∠2 =∠A＋∠ABC②①＋②得2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A∴（∠1＋∠2）= 90o＋12∠A∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴∠BDC = 180o－(90o＋12∠A)∴∠BDC = 90o－12∠A规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.求证：∠EAD = 12(∠C－∠B)证明：∵AE平分∠BAC∴∠BAE =∠CAE =12∠BAC∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C)∴∠EAC = 12〔180o－(∠B＋∠C)〕∵AD⊥BCDCBA2121FEDCBAE D CBA∴∠DAC = 90o －∠C∵∠EAD = ∠EAC －∠DAC ∴∠EAD =12〔180o －(∠B ＋∠C )〕－(90o －∠C )= 90o －12(∠B ＋∠C )－90o ＋∠C= 12(∠C －∠B )如果把AD 平移可以得到如下两图，FD ⊥BC 其它条件不变，结论为∠EFD =12(∠C －∠B ). 注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2ED = ED∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE 同理可证：CF = NF ABCDE FFCBAABC DE D C B A4321NFE D BA在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF规律22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o △EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDFDF = DF ∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD 在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，MABC D E F12345 12DB A求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC∠1 = ∠2AP = AP ∴△APN ≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN 中有PB －PC ＜BN ∴PB －PC ＜AB －AC ⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD规律25.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
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线、角、相交线、平行线 规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出12n(n－1)条.
规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔12n(n+1)+1〕个部分. 规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为12n(n－1)条. 规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 例：如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点.
求证：MN=12AC 证明：∵M是AB的中点，N是BC的中点 ∴AM=BM=12AB,BN=CN=12BC
∴MN=MB+BN=12AB+12BC=12(AB+BC) ∴MN=12AC 练习：1.如图，点C是线段AB上的一点，M是线段BC的中点. 求证：AM=12(AB+BC) 2.如图，点B在线段AC上，M是AB的中点，N是AC的中点. 求证：MN=12BC 3.如图，点B在线段AC上，N是AC的中点，M是BC的中点. 求证：MN=12AB
规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有12n(n－1)个. 规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个. 规律7.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角. 规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出16n(n－1)(n－2）个. 规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o. 规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为12n(n－1)个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直. 例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. 规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下： 规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半. 例：已知，BE、DE分别平分∠ABC
和∠ADC，若∠A=45o,∠C=55o,求∠E的度数. 解：∠A＋∠ABE=∠E＋∠ADE① ∠C＋∠CDE=∠E＋∠CBE② ①＋②得 ∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE=∠E＋∠ADE＋∠E＋∠CBE ∵BE平分∠ABC、DE平分∠ADC， ∴∠ABE=∠CBE，∠CDE=∠ADE ∴2∠E=∠A＋∠C
∴∠E=12(∠A＋∠C) ∵∠A=45o,∠C=55o, ∴∠E=50o
三角形部分 规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE. 证法（一）：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N 在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE① 在△BDM中，MB＋MD＞BD② 在△CEN中，CN＋NE＞CE③ ①＋②＋③得 AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE 证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G, 在△ABF和△GFC和△GDE中有， ①AB＋AF＞BD＋DG＋GF ②GF＋FC＞GE＋CE ③DG＋GE＞DE ∴①＋②＋③有 AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE
注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与
求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 练习：已知：如图P为△ABC内任一点，
求证：12(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC 规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半. 例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它与BD的延长线交于D. 求证：∠A=2∠D 证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线 ∴∠ACE=2∠1,∠ABC=2∠2 ∵∠A=∠ACE－∠ABC ∴∠A=2∠1－2∠2 又∵∠D=∠1－∠2 ∴∠A=2∠D 规律17.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.
例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，求证：∠BDC=90o＋12∠A 证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠A＋2∠1＋2∠2=180o ∴2(∠1＋∠2)=180o－∠A① ∵∠BDC=180o－(∠1＋∠2) ∴(∠1＋∠2)=180o－∠BDC② 把②式代入①式得 2(180o－∠BDC)=180o－∠A 即：360o－2∠BDC=180o－∠A ∴2∠BDC=180o＋∠A
∴∠BDC=90o＋12∠A 规律18.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB，求证：∠BDC=90o－12∠A 证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB ∴∠EBC=2∠1、∠FCB=2∠2 ∴2∠1=∠A＋∠ACB① 2∠2=∠A＋∠ABC② ①＋②得 2（∠1＋∠2）=∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A 2（∠1＋∠2）=180o＋∠A ∴（∠1＋∠2）=90o＋12∠A ∵∠BDC=180o－(∠1＋∠2)
∴∠BDC=180o－(90o＋12∠A)
∴∠BDC=90o－12∠A 规律19.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半. 例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.
求证：∠EAD=12(∠C－∠B) 证明：∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC ∵∠BAC=180o－(∠B＋∠C) ∴∠EAC=12〔180o－(∠B＋∠C)〕 ∵AD⊥BC ∴∠DAC=90o－∠C ∵∠EAD=∠EAC－∠DAC
∴∠EAD=12〔180o－(∠B＋∠C)〕－(90o－∠C) =90o－12(∠B＋∠C)－90o＋∠C
=12(∠C－∠B) 如果把AD平移可以得到如下两图，FD⊥BC其它条件不变，结论为∠EFD=12(∠C－∠B).
注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过
解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力. 规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC 证法（一）：延长BD交AC于E， ∵∠BDC是△EDC的外角， ∴∠BDC＞∠DEC 同理：∠DEC＞∠BAC ∴∠BDC＞∠BAC 证法（二）：连结AD，并延长交BC于F ∵∠BDF是△ABD的外角， ∴∠BDF＞∠BAD 同理∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC 规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：BE＋CF＞EF 证明：在DA上截取DN=DB，连结NE、NF，则DN=DC 在△BDE和△NDE中， DN=DB ∠1=∠2 ED=ED ∴△BDE≌△NDE ∴BE=NE 同理可证：CF=NF 在△EFN中，EN＋FN＞EF ∴BE＋CF＞EF 规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE＋CF＞EF 证明：延长ED到M，使DM=DE，连结CM、FM △BDE和△CDM中， BD=CD ∠1=∠5 ED=MD ∴△BDE≌△CDM ∴CM=BE 又∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180o ∴∠3＋∠2=90o 即∠EDF=90o ∴∠FDM=∠EDF=90o △EDF和△MDF中 ED=MD ∠FDM=∠EDF DF=DF ∴△EDF≌△MDF ∴EF=MF ∵在△CMF中，CF＋CM＞MF BE＋CF＞EF （此题也可加倍FD，证法同上） 规律23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD 证明：延长AD至E，使DE=AD，连结BE ∵AD为△ABC的中线 ∴BD=CD 在△ACD和△EBD中 BD=CD ∠1=∠2 AD=ED ∴△ACD≌△EBD ∵△ABE中有AB＋BE＞AE ∴AB＋AC＞2AD 规律24.截长补短作辅助线的方法 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法. 当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法： ①a＞b ②a±b=c ③a±b=c±d 例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任一点， 求证：AB－AC＞PB－PC 证明：⑴截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN 在△APN和△APC中， AN=AC ∠1=∠2 AP=AP ∴△APN≌△APC ∴PC=PN ∵△BPN中有PB－PC＜BN ∴PB－PC＜AB－AC ⑵补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM 在△ABP和△AMP中 AB=AM ∠1=∠2 AP=AP ∴△ABP≌△AMP ∴PB=PM 又∵在△PCM中有CM＞PM－PC