排列组合解题技巧的研究_徐应仙

排列组合解题技巧的研究_徐应仙
科技信息高校理科研究引言
每年高考排列组合问题的实质是考察以两个基本原理——分类计
数原理和分步计数原理为出发点，主要考察解题思想和解题技巧，
但排
列组合题型多样，解法不一，是导致考生丢分的主要原因，因而
掌握好
解题技巧是解决排列组合问题的关键。最常见的特殊优先法、捆
绑法、
插空法就不一一介绍了，可参见文献[1、2]。
一、用“总体淘汰法”巧解排列组合问题
对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，
此时应注意既不能多减也不能少减。
例1用0，1，2，3，4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，
其中
偶数共有多少个？
解：5个数字组成三位数的全排列有A35个，排好后发现0不能
在首
位，1，3不能在末尾，这两种不符合题意的排法要除去，故有30
个偶数。
二、用“除法”巧解排列组合问题
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他
元素进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
例25人排队,甲在乙前面的排法有几种？
解：若不考虑限制条件，则有A55种排法，而甲、乙之间的排法
有A22
种，故甲在乙前面的排法有A55
A22
=60种。
三、用“二分法”巧解排列组合问题
“取与不取”、“舍与不舍”、“在与不在”等等，在解排列组
合的应用题中，常可化难为易，将一个事件划分为两个相互对立的事
件，这便是“二分法”。
例3从1,3,5,7四个数字中任取3个，从0,2,4三个数字中任取2
个，可以组成多少个无重复数字的五位数？
解：将问题分为“取0”与“不取0”两类。第一类，“取0”，
有C34?C12种取法，每一种（如13502）可组成A14?A44个五位数，
共有C34?C12?A14?A44个；第二类，“不取0”，有C34?C22种取
法，每一种（如
13524）可组成A55个五位数，共有C34?C22?A55个。于是组
成五位数的个数是C34?C12?A14?A44+C34?C22?A55=1248种。
四、用“试验法”巧解排列组合问题
当题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律有
时也是行之有效的方法。
例4将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格中，每个方格
填一个且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有多少种？
解：第一个方格内可填2或3或4，如填2，则第二个方格可填1
或3或4。若第二个方格内填1，则第三个方格只能填4，第四个方格
填3;若第二个方格填3，则第三个方格应填4，第四个方格应填1;若第
二个方格填4，则第三、四个方格应分别填1,3，因而第一个方格填2
共有3种。同理，第一个方格填3或4都有3种，所以共有9种。
五、用“探索法”巧解排列组合问题
对情况复杂，不易发现其规律的问题需要仔细分析，探索出其中
规律，再予以解决。
例51到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大
于100，则不同的取法种数共有多少种？
解：此题数字较多，情况也不一样，需要分析摸索规律。设两个
数相加中较小的数为被加数，则1为被加数时有1种，（1+100＞
100），２为被加数时有2种，…，49为被加数时有49种，50为被
加数时有50种，但51为被加数时只有49种，52为被加数时有48
种，…，99为被加数时有１种，故不同的取法有1+2+3…+50+
（49+48+…+1）＝2500种。
六、用“转换法”巧解排列组合问题
有些排列组合问题比较抽象，不易理解，难以找到解题的突破口，
大多数学生只能“望题兴叹”，对于此类问题若能合理转换，常可化
难为易，化隐晦为明朗。
例6一个楼梯共有10级台阶，每步走1级或2级，8步走完,一共
有多少种走法?
解：10级台阶,要求8步走完,并且每步只能走1级或2级,显然，
必须有两步中每步走2级，6步中每步走1级。记每次走1级台阶为
Ａ，每次走2级台阶为Ｂ，则原问题就相当于对8个格子中选两个填
Ｂ，其余的填Ａ，共有C28?C66=28种走法。
七、用“住店法”巧解排列组合问题
解决“允许重复”排列问题要分两类元素：一类元素可以重复，
另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作
“店”，再利用乘法原理直接求解的方法称为“住店法”。
例77名学生争夺五项冠军，求获得冠军的可能性？
解因一名学生可以获得几项冠军，故学生可重复排列，将7名学
生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住
宿法，由乘法原理有75种。
对此类问题，常有疑惑：为什么不以五项冠军作为5家“店”呢？
原因在于几个学生不能同时夺得一项冠军。
八、用“对应法”巧解排列组合问题
在排列组合问题求解中，有些问题直接求解较为困难，有的虽然
能够解决但需要分多种情况讨论，在分类讨论中又极容易出错。对于
此类问题,解题中若能自觉运用对应思想，对问题进行合理转化，转化
为常见的解题模型，则有利于问题解决。
例8在100名选手之间，进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败者
则要退出比赛），最后产生1名冠军，问要举行几场比赛？
分析：要产生1名冠军，要淘汰掉冠军以外的其他选手，即要淘
汰99名选手。要淘汰1名选手，必须进行一场比赛，反之，每比赛一
场，恰淘汰1名选手，两者之间一一对应，故可得比赛场次99场。
九、用“特征分析法”巧解排列组合问题
研究有约束条件的排列组合问题，需要紧扣题目所提供的数字特
征和结构特征进行推理、分析求解。
例91,2,3,4,5,6六个数字能组成多少个无重复数字且是6的倍数的
五位数？
分析：分析数字特征：6的倍数的数既是2的倍数又是3的倍数，
其中3的倍数又满足“各个数位上的数字和是3的倍数”的特征，把
六个数分成4组（3）、（6）、（1，5）、（2，4），每组的数字之
和都是3的倍数，因此，可分两类讨论：第一类，有1,2,4,5,6做数码，
首先从2,4,6中任选一个作为个位有A13个，然后其余4个数字在其
他数位上全排列有A44个,所以共有A13?A44个。第二类，有
1,2,3,4,5做数码，依上法有A12?A44个。故可以组成无重复且是6的
倍数的五位数的个数是A13?A44+A12?A44=120个。
十、用“逆向思维”巧解排列组合问题
有些排列组合问题，根据题目的结构特征，需要变换观察的视角，
改变思考的路径，采用“倒过来想”，“正难则反”的逆向思维策略，
以此来达到顺畅解题的目的。
例10马路上有编号为1，2，……，10的十盏路灯，为节省用电
又不影响照明，要把其中的三盏灯关闭，但不能关闭相邻的两盏或三
盏，也不能关闭两端的，问满足条件的关法有多少种？
分析：本题若直接求解，不易突破。若调整解题角度，变为7个
亮灯中间6个空隙中插入三个关掉的灯，就将此问题转化为了插空问
题。将三个相同的元素插在七个给定的元素之间，彼此不相邻，共有
C36=20种方法。
以上介绍了排列组合问题的几种解题技巧，这些技巧不是彼此孤
立的，而是相互依存，相互为用的，有时解决某一问题时可以用多种
方法，有时要综合运用几种求解策略。
排列组合是高中数学的一个教学难点[3、4]，其与实际生活联系
紧密，题型多样，思路灵活，比较抽象，但只要认真研究就会发现排
列组合问题也同样存在许多规律和技巧。只要掌握这些规律和技巧，
就能解决一些排列组合中难度较大的问题。深入挖掘和提炼排列组合
中蕴含的数学思想和方法，不但能丰富排列组合的内容，还能更好地
为中学教学服务。
参考文献
［1］董新波.排列组合八大题型的巧妙解法［J］.高中数理
化,2003,(4): 12-13.
［2］韩小麦.解剖排列组合问题的常见策略［J］.数学教学通
讯,2003, (9):81-28.
［3］韩志国.走出排列组合的“雷区”［J］.数理天地（高中
版）,2005, (11):6-7.
［4］付令泽，刘清华.例说排列组合的思维障碍［J］.数理天地
（高中版）,2005,(2-3):15-20.
排列组合解题技巧的研究
曲靖师范学院数学与信息科学学院徐应仙
［摘要］排列组合问题联系实际,应用广泛,题型多变，思维抽象,不
易理解。近年来,排列组合问题已逐渐成为高考的热点,于是排列组合问
题的解题技巧就成了研究者们主要讨论的问题。本文就排列组合问题
的解题技巧做进一步探讨。
［关键词］排列组合问题解题技巧
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