金融工程练习题二 (答案)

金融工程练习题二一、计算题1.设一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为$930，6个月期的无风险年利率（连续复利）为6%，该债券的现价为$910，求远期合约多头的价值。

解: 由题意有910S =, 930K = , 0.06r = , 0.5T t -=,所以远期合约多头价值为 ()(0.060.5)9109307.49r T t f S Ke e ---⨯=-=-⨯≈2.假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为5%和6%，而一种十年期债券现货价格为800元，该证券一年期远期合约的交割价格为900元，该债券在6个月和12个月后都将收到$50的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。

解: 收益的现金贴现 (0.050.5)(0.065050I e e -⨯-⨯=+远期合约的价值 0.061(800)900f I e -⨯=-- PS:构建两个组合,组合A:(一单位的远期合约多头,加上现金贴现值为()r T t Xe --),组合B:(一单位的标的资产,和刚好与利息现金流相反的负债I),在到期时间T 的时候,组合A 的价值刚好为购买一单位的标的资产,组合B 的价值为一单位的标的资产,产生的利息刚好用于负债的偿还,那么在时间t 的时候,两个组合的价值也应该相等,即合约的价值加上现金应该等于资产的价值加上负债.3.股票价格为50美元，无风险年利率为10%，一个基于这个股票、执行价格都为40美元的欧式看涨和欧式看跌期权价格相差7美元，都将于6个月后到期。

这其中是否存在套利机会？如果有，应该如何进行套利？解:根据无收益资产欧式看涨期权和看跌期权之间的平价公式()r T t c Xe p S --+=+, 代入数据进行计算可以得到()0.10.05504010.1997r T t c p S Xe e ---⨯-=-=-=>, 所以题目不满足平价公式,其中存在了套利机会.套利的方法:卖出股票,同时买入看涨期权和卖出看跌期权(使得参与者到期只能按执行价格买入),利用所得的现金收益进行无风险投资买入看涨期权,卖空看跌期权,将净现金收入43元(50元-7元)进行6个月的无风险投资,到期获得45.2元.如果到期时股票价格高于40元,执行看涨期权,如果低于40元,看跌期权被执行,因此无论如何到期时股票价格都以40元购买股票用于平仓卖空的股票,净收益5.2元.PS:当看涨期权和看跌期权之间不满足期权 的平价公式的时候,市场就存在无风险的套利机会4.假设一份5年期附息票债券，价格为900元。

假定这种债券的一年期远期合约的交割价格为910元。

预期在6个月后和12个月后将分别支付债券利息各40元，其中第二期利息支付恰好在远期合约交割日之前。

6个月期和1年期无风险年利率各为9％和10％。

求远期合约的价值。

解:(与前面第二小题的算法是差不多的)根据已知条件,该证券已知现金收益的现值为 0.090.50.11404074.43I e e -⨯-⨯=⨯+⨯=, 根据已知现金收益现值的远期价值计算公式,可以求得该远期合约多头价值为()(0.11)90074.43910 2.17r T t f S I Ke e ---⨯=--=--⨯≈相应的远期空头的价值为-2.17元.5.假设黄金的现价为每盎司500美元，其存储成本为每年每盎司2美元，在年底支付，无风险年利率为6%。

求一年期黄金远期价格。

解:根据已知条件,可算出一年后支付储存成本的现值为 (0.061)2 1.09I e-⨯=-⨯=- 由支付已知现金收益的远期价格公式有 ()(0.061)()(450 1.09)247.56r T t F S I e e --⨯=-=+⨯=(美元/ )6. A 股票现在的市场价格是20美元，年平均红利率为3％，无风险利率为8％，若该股票6个月的远期合约的交割价格为22美元，求该远期合约的价值及远期价格。

解:由题意有, 20S = , 0.03q = , 0.08r =, 22X = , 0.5T t -=根据支付已知红利资产的远期合约多头价值计算公式,远期多头的价值为()()0.030.50.080.52022q T t r T t f Se Ke e e -----⨯-⨯=-=⨯-⨯=相应的远期多头价格为 ()()(0.080.03)0.52020.51r q T t F S ee ---⨯===7.假设2年期即期利率为10.5%，3年期即期利率为11%，本金为100万美元的2年×3年远期利率协议的协议利率为11%，请问该远期利率协议的价值和理论上的协议利率等于多少？解(课本 P85):由题意有0.105r = *0.11r = 0.11k r = 100A = 2T t -= *1T T -=, 所以理论上的协议利率为 *(*)0.11(0.110.105)20.12*f T t r r r r T T -=+-=+-⨯=- 远期利率协议的价值为(*)(*)*(*[]rf T T rk T T r T T f Ae Ae e ----=-0.1210.1110.112(100100)0.9e e e ⨯⨯-⨯=-= PS:(课本P87) 远期利率协议的标的资产是货币,在利率协议存续期间可以产生无风险收益,因此远期利率协议的定价属于支付已知收益率的远期合约.远期利率是由一系列即期利率决定的.例如两年前的即期利率2r 和3年期的即期利率3r 以及第2年开始到第3年的远期利率2,3f r ,他们之间存在着这样的关系: 2,3(*)2()3(*)r T T r T t r T t e e e ----⨯=将上述式子进行变形有(*)*(*)()f r T T r T t r T t -=---,所以有*(*)()*f r T t r T t r T T---=-,也就是远期利率的常用计算公式.如果再进行变形就可以得到*(*)*f T t r r r r T T -=+--8.假设在一笔互换合约中，某一金融机构支付6个月期的LIBOR ，同时收取8％的年利率（半年计一次复利），名义本金为1亿美元。

互换还有1.25年的期限。

3个月、9个月和15个月的LIBOR （连续复利率）分别为10％、10.5％和11％。

上一次利息支付日的6个月LIBOR 为10.2％（半年计一次复利），求互换对银行的价值。

解:A 为利率互换中的名义本金额,k 为现金流交换日交换的固定利息额, 运用债券组合给利率互换定价,这里(8%/2)1400k =⨯=亿万, 0.102/2510⨯=k*=1亿万 fix B 为互换合约中分解出的固定利率债券的价值;fl B 为互换合约中分解出的浮动利率债券的价值对于互换多头(固定利率的支付者)来说,利率互换的价值就是 f l f ix 互换V =B -B 因此 0.10.250.1050.750.111.25400400104009424.537e e e -⨯-⨯-⨯=++=fix B 因为互换刚好还有1.25年的期限,处于重新确定利率的时刻,因此110.10.25(*)(10000510)10250.507r t A k e e --⨯=+=+=fl B所以对于银行而言,利率互换的价值为10250.507-9424.537=825.979、6个月后到期的欧式看涨期权的价格为2美元，执行价格为20美元，标的股票价格为19美元，预期2个月和5个月后的股利均为0.5美元，无风险利率为10%，利率期限结构为平坦。

6个月后到期的执行价格为20美元的欧式看跌期权的价格为多少？解:由题意可知 2,20,19,0c X Sr ====,0.1(1/6)0.1(5/12)0.50.50.971I e e -⨯-⨯=+= 根据平价公式 ()r T t c Xe p S I --+=+-有 ()0.10.5220190.971 1.054r T t p c X e S I e ---⨯=+-+=+--=10.某无红利支付股票的欧式期权执行价格为25美元，股票现价为26美元，无风险年利率为5%，股票年波动率为20%，期权到期日为4个月。

如果该期权为欧式看涨期权，计算其价格。

解:跟第11题第一问一样.11.某无红利支付股票的欧式期权执行价格为29美元，股票现价为30美元，无风险年利率为5%，股票年波动率为25%，期权到期日为4个月。

（1）如果该期权为欧式看涨期权，计算其价格；（2）如果该期权为欧式看跌期权，计算其价格；（3）验证看涨看跌期权平价关系是否成立。

12.无风险年利率为10%，股票价格的年波动率为25%，计算标的为不支付红利的股票6个月期的平价欧式看涨期权的Delta值。

二、证明题1.证明：对于支付已知现金收益的证券而言，其远期价格F 与现价S 之间的关系满足()()r T t F S I e -=-。

（其中I 是远期合约期限所得现金收益的现值） 证明:构建两个组合组合A:一份远期多头 + 现金()r T t Ke --组合B:一单位标的资产 + 负债I由于在到期时间T,组合A 的价值刚好为一单位的标的证券,组合B 中证券的利息刚好与负债I 完全抵消,此时的价值也为一单位标的证券.因此在t 时刻,两个组合的价值也应该相等,即()r T t f Ke S I --+=-,又当f=0时,K=F,以上式子可变为()()r T t F S I e -=-2.证明：BSM 欧式看涨期权和欧式看跌期权定价公式符合欧式看涨期权和欧式看跌期权平价公式。

证:欧式看涨期权和欧式看跌期权定价公式分别为()12()12()()()()r T t r T t c SN d Xe N d p SN d Xe N d ----=-=--+-由以上前两个公式有 ()1122[()()][()()]r T t c p S N d N d Xe N d N d ---=+---- 根据标准正太分布函数的特征,有 11()()1N d N d +-=所以上式可以变成 ()r T t c p S Xe ---=-即 ()r T t c Xep S --+=+3、假设x 是在T 时刻支付1美元的贴现债券按连续复利计息的到期收益率。

假设x 遵循如下过程：0()dx x x dt sxdz α=-+，其中α、0x 和s 是正常数，dz 是维纳过程。

试证明： 22201()()()()2dB x x T t x s x T t Bdt sx T t Bdz α⎡⎤=---++---⎢⎥⎣⎦解答：假设债券价格为B ，由Ito 引理可得，债券价格遵循的过程为：2021()2B B B B dB x x dt sxdz x t x x α⎡⎤∂∂∂∂=-+++⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦因为：()()1x T t x T t B ee ----=⨯= 所以：()x T t B xe xB t--∂==∂()()()x T t B T t e T t B x--∂=--=--∂ 22()22()()x T t B T t e T t Bx --∂=-=-∂ 因此，代入得，债券价格遵循的过程为：22201()()()()2dB x x T t x s x T t Bdt sx T t Bdz α⎡⎤=---++---⎢⎥⎣⎦4.证明：支付已知红利率q （连续复利）的欧式看涨期权的Delta 值为)(1)(d N e t T q --=∆。