数学物理方法简明教程 林福民编 北京大学出版社 第1-6章总结

第一章 复数与复变函数

1. 复数的定义

2. 区域与复变函数 区域 具备：1. 开集性；2. 连通性

符合上述两个性质的复平面上的点集称为区域

复变函数

当复变数z 在复平面上变动时，如果复数ω的值随着复数z 的值而定，就称ω为z 的函数，记作()f z ω=

复数的表

示形式

直角坐标

表示形式 z x iy =+

Re Im x z y z i ==实部：；虚部：；虚数单位

三角函数

表示形式

()cos sin z i ρθθ=+ 22arctan y x y x

θρ==+辐角；模：

指数形式 i z e θρ= 相等 121212x x y y z z ===当，时，则称 共轭

12121212x x y y z z z z ==-==当，时，则称或

运算规则

加法 ()()121212z z z x x i y y =+=+++ 减法 ()()121212z z z x x i y y =-=-+-

乘法

()()()()()1

2

1211221212122112121212exp i i z z z x iy x iy x x y y i x y x y z z z e e

i θθρρρρθθ==++=-++==⋅=+⎡⎤⎣⎦

或

除法

()1

211112122112

22222222222

111

12222

exp i i z x iy x x y y x y x y z i z x iy x y x y z e z i z e θθρρθθρρ++-=

==++++=

==-⎡⎤⎣⎦或

乘方

()()cos sin cos sin n

n i n in n

z e e i n i n θθ

ρρθθθθ

==+=+里莫夫公式

开方

()

cos sin 22(cos

sin

)0,1, (1)

n

n

z i k k z i k n n

n

ρθθθπ

θπ

ωρ=+++==+=-

3. 单值函数和多值函数

单值函数

幂函数 n z n ω= 为整数

指数函数

()exp z e z ω==

三角函数 sin ,cos ,,z z tgz ctgz 双曲函数 ,,,shz chz thz cthz

多值函数

根函数

1n n z z n ω== 为整数

对数函数

ln ln z z iArgz ω==+

第二章 复变函数微积分

1. 极限与连续 极限

000

()(,)(,)

lim (,);lim (,)lim ()x x x x z z y y y y f z u x y iv x y u x y a v x y b f z a ib →→→→→=+==⇒=+

连续 0

0lim ()()z z f z f z →=

2. 复变函数的导数

定义

00000()()

lim

()z f z z f z z z

f z z ∆→+∆-∆对于点，如果存在，

则此极限称为在的导数。 函数在点z 导数存在的充要条件 ()(,)(,)()(,),(,)(,)- ,

f z u x y iv x y D f z D u x y v x y x y u v

u v x y

y x

=+∂∂∂∂==-∂∂∂∂设定义在区域内，则在内一点可导

的充要条件是：在点处可微，并且在该点满足柯西黎曼条件：

3. 复变函数的解析 定义

函数不仅在一点可导，而且在该点的ε邻域内点点是可导的，则称函数在该

点是解析的。

函数在点z 解析的充要条件 ()()1 (,),(,)2-z u v u v

u x y v x y x y y x

ε∂∂∂∂∂∂∂∂在点的邻域内的各点：

连续且，，，存在；

柯西黎曼条件成立。

4. 调和函数与解析函数 调和函数 ()22220,u u

u x y x y

∂∂+=∂∂满足拉普拉斯方程解的称为调和函数

共轭调和函数 满足柯西-黎曼条件的两个调和函数(),u x y 和(),v x y 称为一对共轭调和函数

解析函数与调和函数的关系 解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+的实部(),u x y 与虚部(),v x y 是一对共轭调和函数

5. 复变函数的积分

定义 ()11

()lim ()n

k k k c

n k f z dz f z z ξ-→∞

==-∑⎰

分解成两个实变函数的积分 ()()()()(),,,,c

c c f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy =-++⎡⎤⎡⎤⎣

⎦⎣⎦⎰

⎰⎰ 积分曲线用参数方程表示 积分曲线可用参数方程()z t 表示，线积分可写成

()()2

1

()t t c

t t f z dz f z t z t dt =='=⎡⎤⎣⎦⎰

⎰

6. 柯西定理

柯西定理

若函数()f z 在单连通区域D 内解析，则

(1) 只要起点和终点固定不变，积分路径连续变形时，函数的积分值不

变 (2) ()0c

f z dz =⎰

多连通区域的

柯西定理

1()()0i n

i c

c f z dz f z dz =+=∑⎰⎰

1()()i

n

i c

c f z dz f z dz ==∑⎰⎰