数学模型(差分方程)

得 c1 1, c2 1, 故所求问题的解为
an 2n 1
方法二 对应的齐次差分方程的通解为
an* A 2n
观察有特解 an 1, 故通解为 an 所求问题的解为
A 2n 1, 由初始条件 a1 1 得
an 2n 1
例7 求差分方程 an 2an1 3 的通解。
对应的齐次差分方程的通解为
an* A 2n
观察有特解 an 3, 故通解为 an A 2n 1,
三、差分方程的平衡点及稳定性
1.一阶线性差分方程的平衡点及稳定性 一阶线性常系数差分方程 xk 1 axk b, k 0,1,, (4) b * * x , 当 k 时，若 x x , 解得，为 的平衡点由 x ax b k 1 a 则平衡点是稳定的，否则 x * 是不稳定的。 易知，可以用变量代换将（4）的平衡点的稳定性问题转换为
定理4 方程（3）的通解等于它对应的齐次差分方程（1）的通
解加上它本身的一个特解，即
h(n) h* (n) h(n)
* h ( n ) 是（3）的一个特解。 其中 h (n) 是（1）的通解，
注意：求常系数线性非齐次差分方程的特解可参照求常系数 线性非齐次微分方程的特解的方法。
n 例5 求非齐次差分方程 an 4an1 4an2 2 的通解。
an 3an 1 2an 3 0
其特征方程为 x 2 3x 2 0, 特征根为 x1 1, x2 2, 故通解为
an c 1 c2 2n
n a c c 2 由 a1 1及an 2an 1 1 知 a2 3, 将 a1 1, a2 3 代入 n 1 2
的特征根出现一对共轭复根 x1,2 i 和k-2个不同实根 x3 , , xk 则差分方程的通解为：
n n h(n) c1 n cos n c2 n sin c3 x3 ck xk
其中 , arctan .
2 2
故所求初值问题的特解为：
7 1 2 n n h(n) ( n)(1) 2 9 3 9
二 .常系数线性差分方程的Z变换解法
x(k ),(k 0,1, 2,) ，则 x ( k ) 的Z变换 设有离散函数（数列）
定义为
X ( z ) Z [ x(k )] x(k ) z k

l N 1
x(l ) z
l

l N
zN
l N N
x(l ) z
N k 1

l
z [ x (l ) z
l 0
l N
x (l ) z
] z [ X ( z ) x( k ) z k ]
例4.求齐次差分方程
n 都有效，则称这个方程为差分方程。
例1 汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在
桩A上，大的在下，小的在上。现要将此n个盘移到空桩B或C上，
但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小 盘在上。移动过程中桩A也可利用。设移动n个盘的次数为an , 试建 立关于 an 的差分方程。 解：先将桩A上的n-1个盘按题意盘移到空桩B或C上，这需要 移动 an 1 次，再将桩A上最大的盘移动到空桩C或B 上，这需要移动 1次，最后将桩B或C上的n-1个盘按要求移动到桩C或B 上，这又要
x(k 2) 3x(k 1) 2 x(k ) 0 x(0) 0, x(1) 1
的解。
解：令 Z[ x(k )] X ( z) ，对差分方程求变换得：
Z [ x (k 2) 3 x( k 1) 2 x( k )] 0 Z [ x (k 2)] 3Z [ x( k 1)] 2 Z [ x( k )] 0 z 2 [ X ( z ) x (0) x (1) z 1 ] 3 z[ X ( z ) x (0)] 2 X ( z ) 0 z 2 X ( z ) z 3 zX ( z ) 2 X ( z ) 0 X ( z) z z z z 2 3z 2 z 1 z 2
差分方程的通解为：
t
mi
重根，则该
h(n) h1 (n) h2 (n) ht (n) hi (n)
mi 1
其中 h1 (n) (c1 c2 n cmi n
)q
n i
i 1
定理3 设差分方程
h(n) a1h(n 1) a2 h(n 2) ak h(n k ) 0 ak 0 (n k , k 1,)
其中 a, b 为常数，收敛域为 X1 ( z), X 2 ( z) 的公共收敛域。
(2)平移性
设 a.
Z[ x(k )] X ( z)
，则
N N 1 k 0
Z [ x(k N )] z [ X ( z ) x(k ) z k ]
令l k N
特别地 Z[ x(k 1)] z[ X ( z) X (0)] 证 ： Z [ x(k N )] x(k N ) z
其中 c1 , c2 , , ck 为任意常数。 定理2 设 q1 , q2 ,, qt 是差分方程
h(n) a1h(n 1) a2 h(n 2) ak h(n k ) 0 ak 0 (n k , k 1,)
的特征方程相异的根，且 qi (i 1,2,, t ) 是特征方程的
Z [a ] a k z k
k k 0

z (|z| a ) za
2. Z变换的性质
(1)线性性 设 Z[ x1 (k )] X1 ( z), Z[ x2 (k )] X 2 ( z),则
Z[ax1 (k ) bx2 (k )] aX1 ( z ) bX 2 ( z ),
移动 an1 次，于是得差分方程：
an 2 an 1 1 a1 1
例2 设第一月有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔， 同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增的小
兔也按此规律繁殖。设第n月末共有 h( n) 对兔子，试建立关于h( n)
的差分方程。 解：第n月末兔子包括两部分，一部分为上月留下来的，另外
k 0
(2)单位阶跃函数

0, k 0 U (k ) 1, k 0
k
的变换为
k
z Z [U (k )] U (k ) z z (| z | 1) z 1 k 0 k 0
k (3)单边指数函数 f (k ) a (a 0且a 1) 的变换为
Z [ x(k N )] z [ X ( z ) x( k ) z k ]
N k 1
N
特别地 Z [ x(k 1)] z 1[ X ( z ) x(1) z] 证：
Z [ x(k N )] x(k N ) z k
k 0 N l 令l k N
的差分方程称为k阶常系数线性齐次差分方程，其中 a1 , a2 , , ak 是常数，且 ak 0. 方程
x k a1 x k 1 a2 x k 2 ak 0
(2)
称为差分方程（1）的特征方程。 方程（2）的k个根 q1 , q2 ,, qk 称为差分方程（1）的特征根。
k 0 N
l l 0
k

x(l ) z
lN
l N
z
N
=z [ x(l ) z x(l ) z l ] z N [ X ( z ) x(k ) z k ]
l 0 k 0
N 1
lN N 1
l x ( l ) z
b.
例3.设初始值为 h(0) 1, h(1) 0, h(2) 1, h(3) 2 ，求差分方程
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 ( n 4,5, )
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x 4 x3 3 x 2 5 x 2 0
代入初始条件有
c1 c4 1 c c c 2c 0 1 2 3 4 c1 2c 2 4c3 4c4 1 c1 3c 2 9c3 8c4 2
解之得:
7 1 2 c1 , c 2 , c3 0, c4 9 3 9
差分方程模型
1.1差分方程 1.2 市场经济中的蛛网模型 1.3 减肥计划——节食与运动 1.4 差分形式的阻滞增长模型 1.5 按年龄分组的种群增长
1.1差分方程
给定一个数列 h(0), h(1), h(2),, h(n),，如果 h(n) 和数列中在 它面的若干项联系起来的一个方程对所有大于某一个整数 n0 的整数
解：对应的齐次差分方程的特征方程为
x2 4 x 4 0
特征根为 x1 x2 2,所以对应的齐次差分方程的通解为
an* (c1 c2 n) 2n 由所给非齐次差分方程的右端，可设其特解为
an A n 2 2 n
代入原方程得
A 1 , 2
故所求方程的通解为
n
1 2 n an (c1 c2 n) 2 n 2 2
有些非齐次差分方程还可以化为齐次方程求解或用观察法求特解
例6 求解汉诺塔问题：
an 2 an 1 1 a1 1
解：方法一 由 an 2an1 1 得 an1 2an2 1 两试相减得
对上式求Z的反变换得：
x(k ) (1)k (2) k
这就是所求方程的解。
二、常系数线性非齐次差分方程的求解
形如
h(n) a1h(n 1) a2 h(n 2) ak h(n k ) f (n) (n k , k 1,) (3)
的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程，其中 a1 , a2 , , ak 是常数，且 ak 0,பைடு நூலகம்f (n) 0.
定理1 设差分方程
h(n) a1h(n 1) a2 h(n 2) ak h(n k ) 0 ak 0 (n k , k 1,)
的特征根 q1 , q2 ,, qk 互不相同，则该差分方程的通解为：
n n h(n) c1 q1n c2 q2 ck qk
一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如
h(n) a1h(n 1) a2 h(n 2) ak h(n k ) 0 (n k , k 1,) (1)
x1 x2 x3 1, x4 2 ，所以 其根为：
h1 (n) (c1 c2 n c3n 2 )(1) n , h2 (n) c4 2 n
故通解为
h(n) h1 (n) h2 (n) (c1 c2 n c3n 2 )(1)n c4 2n
k 0 k

其中z是复变量，因此级数 x(k ) z 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X ( z)
的Z反变换记作 x(k ) Z 1[ X ( z )]
(k )

1.几个常用离散函数的变换
(1)单位脉冲函数
1, k 0 0, k 0
的Z变换为
Z [ (k )] (k ) z k [1 z k ]k 0 1