(完整版)高数中需要掌握证明过程的定理(一).doc

高数中的重要定理与公式及其证明

（一）

考研数学中最让考生头疼的当属证明题， 而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。 如果本着严谨的对待数学的态度， 一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试， 很多时候要求没有那么高。 而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费 力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。

应深受大家敬佩的静水深流力邀， 也为了方便各位师弟师妹复习， 不才凭借自己对考研数学的一点了解， 总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。 这些证明过程，或是直接的考点， 或是蕴含了重要的解题思想方法， 从长远来看都是应当熟练掌握的。

由于水平有限， 总结不是很全面， 但大家在复习之初， 先掌握这些公式定理证明过程是必要的。 1）常用的极限

lim

ln(1 x) e x

1

a x

1

ln a ，lim

(1 x)a

1

1 cosx

1 x

1，lim

x

1，lim

x

x

a ，lim

x 2

2

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想

1

过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限

lim(1 x) x e 与

x 0

lim

sin x

1 的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技

x 0

x

巧。 证明：

ln(1 x) 1

ln(1

x)

lim

1：由极限 lim(1 x)

x

e 两边同时取对数即得 lim

。 x

x 1

x 0

x 0

x 0

lim e x

1 1：在等式 lim

ln(1

x) 1 中，令 ln(1

x) t ，则 x e t 1。由于极限

x 0

x

x 0

x

过程是 x

0 ，此时也有 t

t

1 。极限的值与取极限的符号

0 ，因此有 lim

t 0

e t

1

是无关的，因此我们可以吧式中的 t 换成 x ，再取倒数即得 lim

e x

1 1。

x 0

x

lim a

x

1 ln a ：利用对数恒等式得 lim a

x

1

lim e

x ln a

1

，再利用第二个极限可

x 0

x

x 0

x

x 0

x

得 lim e

xln a

1

ln a lim e

xln a

1 ln a 。因此有 lim a

x

1 ln a 。

x 0

x x 0

x ln a

x 0

x

lim (1 x) a 1 a ：利用对数恒等式得 x 0

x

lim (1 x) a 1 lim e aln(1

x)

1

a lim e a ln(1 x )

1 ln(1 x)

a lim e a ln(1 x )

1 lim ln(1 x)

a

x 0

x x 0

x

x 0

a ln(1 x) x

x 0

a ln(1 x) x 0

x

上式中同时用到了第一个和第二个极限。

x

sin

x

2

1 cosx 1

1 cos x

2sin 2 1

1

：利用倍角公式得 lim 2 2 2

。 lim

x 2

2 lim

2

lim

x

2 x 0

x 0

x x 0

x 2 x 0

2

2）导数与微分的四则运算法则

(u v)' u '

v ' ,

d( u v) du dv (uv) '

u 'v uv ' , d( uv) vdu udv ( u )'

vu

'

uv '

,

d( u ) vdu

udv

(v 0)

v

v 2

v

v 2 【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。

而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概

念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。 具体的证明过程教材上有， 这里就不赘述了。 3）链式法则

设 y f (u), u (x) ，如果 ( x) 在 x 处可导，且 f (u) 在对应的 u ( x) 处可导，

则复合函数 y

f ( ( x)) 在 x 处可导可导，且有：

f ( (x))

f ' (u) '

(x)或

dy

dy du

'

【点评】：同上。

dx

du dx

4）反函数求导法则

设函数 y f ( x) 在点 x 的某领域内连续，在点 x 0 处可导且 f ' ( x) 0 ，并令其反函 数为 x

g( y) ，且 x 0 所对应的 y 的值为 y 0 ，则有：

'

1 1

dx 1 g ( y 0 ) f ' ( x 0 ) f ' ( g( y 0 ))

或

dy

dy

dx

【点评】：同上。