挖掘教材使课堂教学更有效——对八年级上册几个几何例题的思考

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人教版八年级上册数学教学反思

人教版八年级上册数学教学反思《三角形内角和》教学反思三角形内角和，是在学生认识了三角形的特点和分类的基础上进一步对三角形内角之间的关系的学习和探究。

学生已经掌握了三角形的概念、分类，熟悉了钝角、锐角、平角这些角的知识。

对于三角形的内角和是多少度，学生是不陌生的，因为学生有以前认识角、三角形分类的基础，学生也有提前预习的习惯，几乎孩子们都能回答出三角形的内角和是180度，在这个过程中孩子们知道了内角的概念，但是他们却不知道怎样才能得出三角形的内角和是180度。

因此本节课我提出的研究的重点是：验证三角形的内角和是180度。

本节课主要是学生在小组中合作探索，可以量一量、剪一剪、折一折。

选择一种或者几种方法来验证三角形的内角和是180度，并运用所得的结论解决实际生活中的一些问题！让学生进行实验、动手操作、自主探索，使学生主动积极的参加到数学活动中来！创设情境，营造研究氛围。

怎样提供一个良好的学习平台，使学生有兴趣去研究三角形内角的和呢？为此我以生活中与三角形相关的例子引入课题，之后学生由课题引出疑问“三角形的内角指的是什么？”“三角形的内角和是多少？”然后让学生根据图形自己解答疑问。

然后通过计算三角板上三角形的内角和，引发学生的猜想：其他三角形的内角和也是180°吗？带着这个疑问，让学生小组合作探索，验证。

小组合作的时候，学生找到了三种方法，分别是量一量，剪一剪，折一折的方法。

通过这三种方法验证了“三角形的内角和是180°”的结论。

然后将利用这一规律解决了刚开始的疑问。

然后我给出三角形。

再一次明确：不论三角形的大小如何变化，它的内角和是不变的。

这节课上完之后，我在课后进行了小结，授课过程中有讲得好的环节也有处理得不好的环节，下面从几个方面小结：1、小组合作，自主探究。

整节课都很注重学生自主探究，动手实验的过程，我只是一个主导者，组织好课堂教学，放手让学生去实验、讨论、归纳，没有像之前上课那样由本人讲完整节课而学生只是听。

深挖教材例、习题价值

深挖教材例、习题价值作者：杨春霞来源：《初中生世界·九年级》2021年第05期在平时的学习中，由于受课堂时间的限制，对于教材上的经典例题、习题，我们可能只是掌握了题目呈现形态下的解题思路，而在课后遇到类似的问题，却会感觉很陌生。

下面介绍命题人常用的三种“法宝”，同学们可以借助这些“法宝”自己尝试变式。

一、强化条件再探究“强化”能体现从一般到特殊的数学思想。

通过强化条件，我们可以发现原有问题的结论会不断地发生变化，借助强化条件与原有条件的关系可以形成更多、更具体的结论。

例1 （苏科版数学教材八年级下册第82页例5）已知：如图1，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′=BB′=CC′=DD′。

求证：四边形A′B′C′D′是正方形。

【分析】因为四边形ABCD是正方形，所以四条边相等、四个角是直角。

又有AA′=BB′=CC′=DD′，所以用四条相等的边去分别减这些相等的线段，就得到BA′=CB′=DC′=AD′。

结合四个角是直角，就能证明所分得的四个直角三角形全等，从而得到四边形A′B′C′D′是菱形的结论。

再选择一对全等的直角三角形Rt△A′AD′≌Rt△B′BA′，得到∠AA′D′=∠A′B′B。

因为∠A′B′B+∠B′A′B=90°，所以∠AA′D′+∠B′A′B=90°，则∠D′A′B′=90°，这样就证得了四边形A′B′C′D′是正方形。

从原题的证明思路中我们可以发现，原题是从线段的数量关系出发，借助三角形全等得到需证图形的四边数量关系。

这里的AA′=BB′=CC′=DD′，只说明数量相等，没有指明具体的AA′长度，也就是说点A′、B′、C′、D′在原正方形ABCD四边上具有一般性。

如果确定AA′与AB的数量关系，是否可以得到不一样的结论呢？我们可以通过“强化”条件得到下面的变式题。

已知：如图1，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′=BB′=CC′=DD′=[13]AB。

最新北师大版八年级数学上册第一章勾股定理教案教学设计(含教学反思)

第一章勾股定理1.1探索勾股定理 (1)第1课时勾股定理（1） (1)第2课时勾股定理（2） (4)1.2 一定是直角三角形吗 (6)1.3勾股定理的应用 (10)第一章归纳总结 (13)1.1探索勾股定理第1课时勾股定理（1）【知识与技能】1.经历测量和用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边长.【过程与方法】1.在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.2.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识.【情感态度】1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学变化，激发学习热情.2.在探究活动中，体现解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.【教学重点】探索勾股定理.【教学难点】用测量和数格子的方法探索勾股定理.一、创设情境，导入新课我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边.对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系.那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理.出示投影1（章前的图文P1），介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号.【教学说明】通过复习旧知识，引入新课.出示投影，介绍与勾股定理有关的背景，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知勾股定理做一做：1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流.【教学说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质.2.观察教材图1—2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位.正方形B中有个小方格.即B的面积为个面积单位.正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位.你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问.教材图1—2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？【教学说明】通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾股定理.归纳得出结论：SA +SB=SC.3.教材图1—3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？【教学说明】通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对勾股定理的理解.4.如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.【教学说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高.议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？【教学说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力和语言表达能力.【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定理”.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来.三、运用新知，深化理解1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5,b=12，则c= .2.在直角三角形的ABC中，它的两边长的比是3∶4，斜边长是20，则两直角边长分别是 .【教学说明】学生的完成，加深对勾股定理的理解和检测对勾股定理的简单运用，对学生的疑惑或出现的错误及时指导，并进行强化.【答案】1.13；2.12，16四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有什么困惑？【教学说明】教师引导学生回顾新知识，加强对勾股定理的理解，进一步完善了学生对知识的梳理.完成练习册中本课时相应练习.本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流.适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广.第2课时勾股定理（2）【知识与技能】1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.掌握勾股定理和它的简单应用.【过程与方法】1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.【情感态度】在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.一、创设情境，导入新课我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证及简单运用做一做：1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.2.为了计算教材图1—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P51—5、1—6图.（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；（2）教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.（3）你能分别利用教材图1—5、1—6验证勾股定理吗？【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解.【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.三、运用新知，深化理解1.一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从一个长2m，宽1m的门框内通过，为什么？2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去.【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中△ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9（km2）即BC=3千米飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20×3=540（千米/时）答：飞机每小时飞行540千米.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.完成练习册中本课时相应练习.了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.1.2 一定是直角三角形吗【知识与技能】掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用.【过程与方法】通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用.【情感态度】敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】探索并掌握直角三角形的判别条件.【教学难点】运用直角三角形判别条件解题.一、创设情境，导入新课展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作.甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结.乙：握住第四个结.丙：握住第八个结.拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角.发现这个角是多少度？古埃及人曾经用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？怎样的三角形才能成为直角三角形呢？这就是我们今天要研究的内容.【教学说明】利用古埃及人得到直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究问题.既进行了数学史的教育，又锻炼了学生的动手实践、观察探究的能力.二、思考探究，获取新知直角三角形的判别做一做：下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c.5、12、137、24、258、15、171.这三组数都满足a2+b2=c2吗？2.分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？3.如果三角形的三边长为a、b、c，并满足a2+b2=c2.那么这个三角形是直角三角形吗？【教学说明】鼓励学生大胆发言，让他们体验通过实际的计算和探究得到结论的乐趣，增强了他们勇于探索的精神.【归纳结论】如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.大家可以想这样的勾股数是很多的.今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2时，三角形为直角三角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法.三、运用新知，深化理解1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.（1）9,12,15;（2）15,36,39;（3）12,35,36;（4）12,18,22.2.已知△ABC中BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为三角形，是最大角.3.四边形ABCD中已知AB=3，BC=12，CD=13，DA=4，且∠DAB=90°，求这个四边形的面积.【教学说明】学生独立完成，能够加深判断一个三角形是直角三角形的条件的理解，帮助学生答疑解惑，及时指导，矫正强化.在完成上述题目后，引导学生完成《创优作业》中本课时的“课堂自主演练”部分.【答案】1.（1）（2）两组能作为直角三角形的三边长.∵92+122=152，152+362=392.∴这两个三角形都是直角三角形.2.直角，∠A3.解：连结BD ，在△ABD 中，∠DBA=90°，BD 2=AB 2+AD 2=32+42，BD=5.在△DBC 中，∵52+122=132，即DB 2+BC 2=DC 2，∴△DBC 为直角三角形，∠DBC=90°，∴S 四边形ABCD =S △DAB +S △DBC =12×3×4+12×5×12=36. 四、师生互动，课堂小结 1.判断一个三角形是直角三角形的条件.2.今天的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？与同学交流.【教学说明】及时反馈教与学双边活动的结果，查漏补缺，让学生养成系统整理知识的好习惯.1.教材P10-11习题1.3第2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.这是勾股定理的逆向应用.大部分同学只要能正确掌握勾股定理的话，都不难理解.当然勾股定理的理解是关键.1.3勾股定理的应用【知识与技能】1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.2.学生观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.3.在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.【过程与方法】在不同条件，不同环境中反复运用勾股定理及直角三角形的判定条件，使学生达到熟练、灵活运用的程度.在解决问题的过程中，培养学生的空间观念，提高学生建立数学模型的能力.【情感态度】通过解决实际问题，提高了学生应用数学的意识和锻炼了学生与他人交流合作的意识，再次感悟勾股定理和直角三角形判定的应用价值.【教学重点】探索发现给定事物中隐含的勾股定理及直角三角表判定条件，并用它们解决生活中的实际问题.【教学难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的判定，解决实际问题.一、创设情境，导入新课勾股定理的应用前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？日常生活当中，我们还会遇到下面的问题.【教学说明】回忆勾股定理，巩固旧知识，解决实际问题，完成知识的过渡，为学生学习新知识又一次打下了坚实的基础.二、思考探究，获取新知蚂蚁怎么走最近？出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的取值3）.（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？【教学说明】让学生经历把曲面上两点之间的距离转化为平面上两点之间线段最短更为直观，再次利用勾股定理解决生活中较为复杂的实际问题，使所学的知识得到充分运用.【归纳结论】我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开（如下图）.我们不难发现，刚才几位同学的走法：哪条路线是最短呢？你画对了吗？第（4）条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.三、运用新知，深化理解1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北进行，上午10∶00，甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？【教学说明】学生独立解决，把生活中的实际问题转化为解直角三角形，对学生所学的知识进行强化，以利于教师及时纠正.【答案】1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12（千米）；乙到达C点，则AC=1×5=5（千米）.在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.（1）x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5所以最长是2.5+0.5=3（米）.（2）x=1.5，最短是1.5+0.5=2（米）.答：这根铁棒的长应在2～3米之间（包含2米、3米）.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？【教学说明】学生梳理知识，加强教与学的互通，进一步提高课堂教学的效果.1.教材P14~15第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.这节课的内容综合性比较强，可能有些同学掌握得不是太好，今后要继续加强这方面的训练.第一章归纳总结【知识与技能】掌握勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形，能灵活运用它们解决实际问题.【过程与方法】通过梳理本章知识点，回顾解决实际问题中所涉及的数形合的思想和逆向思维思考问题，以便能熟练灵活运用.【情感态度】让学生养成把已有的知识建立联系的思维习性，积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流和合作，激发他们的求知欲望.【教学重点】用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形解决简单问题.【教学难点】能理解运用勾股定理解题的基本过程；掌握在复杂图形中确定相应的直角三角形，根据勾股定理建立方程.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，构建知识结构框架，让学生比较系统地了解本章知识及它们之间的相互联系.二、释疑解惑，加深理解1.勾股定理的证明勾股定理的证明方法有多种，一般是采用剪拼的方法，它把“数与形”巧妙地联系起来，是几何与代数沟通的桥梁，同时也为后面的四边形、圆、圆形变换、三角函数等知识的学习提供了方法和依据.说明：利用面积相等是证明勾股定理的关键所在.2.勾股定理中的分类讨论在勾股定理的实际运用中，如果不明给出直角三角形中有两条边的长，要求第三条边的长就需要分两种情况讨论，即第一种情况是告诉两条直角边长求斜边，第二种情况是告诉一条直角边和斜边长求另一条直角边.3.曲面两点间的距离问题在解决曲面中两点间的距离时，往往是要将曲面问题转化为同一平面内两点之间的距离，这是解决问题的关键.三、典例精析，复习新知例1 一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE（如图所示），求CD的长.【分析】设CD为x，∵AD=BD，∴AD=8-x. ∴在△ACD中，根据勾股定理列出关于x的方程即可求解.解：由折叠知，DA=DB.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，若设CD=xcm，则AD=DB=（8-x）cm，代入上式得62+x2=（8-x）2，解得x=7/4=1.75(cm)，即CD 的长为1.75cm.例2有一个立方体礼盒如图所示，在底部A处有一只壁虎，C′处有一只蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.（1）试确定壁虎所走的最短路线；（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，则壁虎如果想在半分钟内捕捉到蚊子，每分钟至少要爬行多少厘米？（保留整数）【分析】求几何表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形.解：（1）若把礼盒上的底面A′B′C′D′竖起来，如图所示，使它与立方体的正面（ABB′A′）在同一平面内，然后连接AC′，根据“两点间线段最短”知线段AC′就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.（2）由（1）得，△ABC′是直角三角形，且AB=20，BC′=40.根据勾股定理，得AC′2=AB2+BC′2=202+402,AC′≈44.7（cm）,44.7÷0.5≈90（cm/min）.所以壁虎要想在半分钟内捕捉到蚊子，它每分钟至少爬行90厘米（只入不舍）.【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，对于例题中需要注意的事项教师可以适当点评，便于学生熟练加以运用.四、复习训练，巩固提高1.已知在△ABC中，∠B=90°，一直角边为a，斜边为b，则另一条直角边c 满足c2= .2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，c-b=8，则b= ，c= .3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1，BC=2.8.求：（1）△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）斜边AB上的高CD的长；（4）斜边被分成的两部分AD和BD的长.【答案】1.b2-a2；2.5，13；3.解：（1）S△ABC =12AC×BC=12×2.1×2.8=2.94.（2）AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.5,∴AB=3.5.（3）由三角形的面积公式得12AC×BC=12AB×CD，所以12×2.1×2.8=12×3.5×CD，解得CD=1.68.（4）在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2，∴AD2=AC2-CD2=2.12-1.682=（2.1+1.68）(2.1-1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.214×0.21.∴AD=2×3×0.21=1.26.∴BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.五、师生互动，课堂小结本节复习课你能灵活运用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形的解决问题吗？还有哪些不足？【教学说明】教师引导学生归纳本章主要的知识点，对于遗漏或需要强调的地方，教师应及时补充和点拨.1.复习题4.5第11、12题.2.完成练习册中本课时相应练习.勾股定理是解决线段计算问题的主要依据，它单独命题比较少见，更多时候是与其他知识综合应用，在综合题中如何找到适当的直角三角形是解题的关键.。

人教版八年级上册：从教材习题中汲取数学解题智慧

从教材习题中汲取数学解题智慧习题溯源：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD.求证：DB=DE.（人教版数学八年级上册P93页第13题）习题背景：这是在学习了等腰三角形，等边三角形后出现在复习题中的拓广探索栏目中的一道习题，其知识背景比较充实：全等三角形，等腰三角形，等边三角形，角的平分线，线段的垂直平分线，直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半等，这些都为问题的解答及其变式思考提供了广阔的思考空间，是一道值得拓广探索的好题.解法赏析：解法1：等角对等边法因为△ABC是等边三角形，BD是中线，所以∠DBC=30°, ∠DCB=60°.因为CE=CD，所以∠CDE=∠CED.因为∠DCB=60°=∠CDE+∠CED，所以∠CED=∠DBC=30°,所以DB=DE.解法2：三角形全等法因为△ABC是等边三角形，BD是中线，所以∠DBC=30°, ∠DCB=60°BC=AC=2DC.因为CE=CD，所以∠CDE=∠CED.因为∠DCB=60°=∠CDE+∠CED，所以∠CDE=30°,所以∠DBC=∠CDE.延长DC到F，使DC=CF，所以△CEF是等边三角形，所以BC=DF, ∠DCB=∠EFD=60°，所以△BDC≌△DEF，所以BD=DE.变式思考实现拓广探索目标变式1：如图1，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，DF⊥BE，垂足为点F.（1）求证：BF=EF；（2）求证：DC是∠FDE的角平分线.分析：（1）立足原题结论，活用等腰三角形三线合一即可实现目标；（2）利用等边三角形度数的特点，求出相应的度数即可.变式2：如图1，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，DF⊥BE，垂足为点F.（1）求证：CE=2CF；（2）试猜想：CF与AB之间的关系？证明你的猜想.（3）若CF=2，求△ABC的周长.分析：（1）巧用30°角所对直角边是斜边的一半，得CF=12CD求解；（2）由AB=AC=2DC，得AB=4CF；（3）由AB=4CF,CF=2,周长等于3AB，代入计算即可.变式3：如图2，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，点F为BC的中点.（1）求证：△DCF是等边三角形；（2）写出与线段CE相等的所有线段；（3）图中有几对全等三角形？写出来，并选择你最喜欢的一对给出证明.分析：（1）利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明；（2）CE=CD=AD=CF=DF=BF；（3）全等三角形有：△ABD≌△CBD，△ABD≌△FED，△BDC≌△EDF，△BDF≌△EDC.同学们自己挑选一对证明即可.变式4：如图3，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，点F为DE的中点.试猜想：CF与AB之间的关系？证明你的猜想.分析：猜想型问题的解答，要遵循严格的格式，具体如下：CF与AB之间的关系是：AB=4CF.理由如下：同学们自己完善起来吧！变式5：如图4，△ABC是等边三角形，点D是AC上一点，延长BC至E，使CE=AD.结论BD=DE 还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.解：结论BD=DE还成立.理由如下：如图4，延长DC到点F，使CF=CE，因为CE=AD，所以AC=AD+DC=CF+DC=DF，因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC, ∠A=∠DCB=∠ECF=60°，所以△ECF是等边三角形，所以AD=FE，BA=DF，所以△ABD≌△FDE，所以BD=DE.点评：利用等量延长法把折线段顺接到需要的线段上，为解题奠定了基础，其次，熟练运用等边三角形的判定定理也是解题的核心要素.。

初中数学几何教学效果提升策略

教学篇•高效课堂初中数学几何教学效果提升策略高万勇（吉林省通榆县第二中学校，吉林通榆）初中几何教学内容以平面几何为主，是学生将来学习立体几何与解析几何的基础，也是整个初中数学教学中的重难点。

很多教师在初中数学几何教学中难以取得进展，一方面是因为几何知识本身难度较大，且学生的理解水平有限，另一方面则是因为教师的教学思路和教学方法不合理，导致学生学习困难。

一、初中数学几何教学存在的问题（一）教师缺乏明确的教学目标初中数学几何教学应重视对学生数学技能与情感态度的培养，但很多教师在制定教学目标时仍习惯于沿用传统的基础知识教学方式，为了让教学过程简单化和程序化而对学生机械地进行知识灌输，致使学生的几何学习只流于表面，难以深入理解，感到越学越难。

（二）教师不能有效把控课堂教学数学本身注重逻辑性和思维严谨性，容易使课堂教学陷入枯燥无趣的状态，严重影响了教学效果。

而教师在处理这一问题时，要么不做变化继续保持传统教学方式，使学生越学越困、越学越无趣；要么过于重视教学情境的构建，导致教学内容不切实际，阻碍了学生思维能力和空间想象力的发展。

（三）教师忽视了教学方法细节初中数学几何教学，尤其是在几何证明教学过程中，教师的教学方法和对细节上的把握直接影响学生的学习效果。

很多教师由于时间原因没能对几何问题进行深入挖掘，也没有运用特色的教学方法，在讲解和示范过程中也没有做到规范严谨，学生自然会感到学无所获。

二、提升初中数学几何教学效果的策略（一）改变教学理念，合理进行教学设计作为初中数学几何教学中的主导者，教师首先要提升自己的业务素质，充分挖掘教材内容，结合学生的实际需求设置合理的教学目标，考虑到学生学习水平上的差异，应在课堂教学中控制好节奏和内容安排，兼顾旧知识的复习和新知识的讲解，确保学生既能够跟上几何学习的进度，又能够获得一定的成就感。

从内容上而言，在开展教学活动时不要照搬教材，比如在讲到“点和圆的位置关系”时，可以借助多媒体工具进行演示，用直观形象的几何模型取代枯燥的理论概念讲解。

分解几何图形，提高数学思维——八年级第一学期§19.2证明举例

分解几何图形，提高数学思维——八年级第一学期§19.2证明举例摘要：以提供初中生数学思维为前提，针对八年级《证明举例》这一课展开分析，总结提高学生数学思维的可行对策。

首先阐述培养学生数学思维重要性，总结几何图形这一部分知识的学习现状，为总结提高学生数学思维措施指明方向。

最后分别提出指导学生动手操作、重视题意分析、深入挖掘图形隐含条件、指导学生化繁为简四点建议，通过几何图形分解，培养学生数学思维，以期能够为学生今后数学知识的学习奠定基础。

关键词：几何图形；数学思维；《证明举例》；因地制宜近年来，在新课改背景下，初中数学课程的教学手段和教学方法也发生了极大的改变，教学手段越来越多，教育技术也越来越先进。

传统化的数学教学模式已经无法满足当前数学课堂教学的需求，利用先进的教育技术手段、创新教学模式可以更好地激发学生学习兴趣，提升学生的数学学习效果，从而能够有效提升中学生的数学学科素养。

在新的教育教学模式的引领下，教师才能更好地培养好学生数学思维能力，引导学生进行自主探究学习活动。

当然，数学思维能力的培养不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，而且可以提高学生在生活中解决问题的能力。

那么，本文围绕沪教版八年级第一学期《证明举例》这一课，介绍分解几何图形，提高学生数学思维的有效方法。

一、培养初中生数学思维的重要性第一，培养初中生数学思维，能够加强其自身的实践创新能力。

培养学生的数学思维，通过相应的教学方式提高学生对数学知识的探究意识与自主创新意识，进而让学生在动手操作的过程中锻炼其自身的实践应用能力与创新能力，让学生能够将所学的几何知识灵活应用到生活实践之中，从而提高学生自身的实践创新能力；第二，培养初中生的数学思维，是对素质教育理念的有效地贯彻落实。

近年来，社会时代的进步与发展有效推进了素质教育的全面实施进程，素质教育理念提出，教师在对学生进行数学课堂教学的过程中，需要丰富学生的数学知识储备，增强学生对数学的认知能力，提高学生自身的数学素养，进而促进初中生的全面发展。

人教版数学八年级初二上册勾股定理求物体表面路径最短路线问题名师教学教案教学设计反思

1、有一个圆柱形油罐,要以 A 点环绕油罐建梯子,正好建在 A 点的正上方点 B 处,问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是 2 m,高 AB 是 5 m,π取 3）?
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
B'
A
A
A'
课堂练习
解:油罐的展开图如图,则 AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,
（难点巩固） ∴AB'=13. 即梯子最短需 13 米.
3
好好学习天天向上
教师姓名学科
课题名称
王晓辉数学
单位名称年级/册
巴州第二中学八年级下册
填写时间教材版本
利用勾股定理求物体表面路径最短距离问题
2020 年 8 月 29 日人教版
难点名称
在立体图形表面寻找两点间最短路径,并构建合适的直角三角形求最短路径
难点分析
从知识角度分析为什么难
知识点难度有点大。1,物体表面最短路径是曲线或折线,2 勾股定理能解决的是直角三角形中三边的问题的问题,两个知识点联合起来难度较大。3 转化的思想应用比较难。
底面圆周长的一半 B
C
B
C
C
'
侧面展开图
高
A
A' A
（2）运用学过的知识精确求出线段 AB 的长度
在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AB AC 2 BC 2
归纳小结:解题关键点（1）圆柱沿高线展开得侧面展开图为矩形.第三点, （2）在矩形中找到 B 的位置,求线段 BC 的长度。（3）连接 AB, 在 Rt△ABC 中由勾股定理求 AB 的长。
（难点突破） C

人教版初中数学八年级上册典型题思路分析-三角形章节

初中数学典型题思路分析之三角形一、重点及易错题型思路方法归纳二、三角形的线段和角典型题三、全等三角形典型题四、全章复习巩固练习一、重点及易错题型思路方法归纳注：例题均为★★至★★★难度.（一）解题知识要点1.三角形三边的关系：要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形的重要线段：（1）三角形的高：线段要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线：线段要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.3.三角形的稳定性要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形． 4.多边形的定义要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有 n 条边就叫做 n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.5.正多边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.6.多边形的对角线要点诠释：(1)从n 边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n 边形共有条对角线．7.全等三角形的判定与性质\ 一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）注意判定三角形全等必须有一组对应边相等8.全等三角形的证明思路9.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.10.全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.A.证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.B.证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角（等角）的余角（补角）相等.(5)对顶角相等.C.证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.D.辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.E.证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.（二）典型例题类型类型一、三角形的三边关系例题1:一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a的值可能是 ( )．A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5【解题思路】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.【答案解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为 3，2a-1，6,∴解得：2＜a＜5，整数a的值可能是 3,4，故选B.【规律总结】判断有三条已知线段abc能否组成三角形： A.|a-b|<c<a+b 或者B. 当三条线段中，较短的两条线段之和大于长线段时，能组成三角形，或当三条线段中最短的线段大于其他两边只差时，能够组成三角形。

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添法学生都容易理解，这时将图形做一变换，即将４点移动
至图中的位置，做以变换，问题是否能够解决，学生通过分
析不难发现刚才方法仍然使用，通过这样的变式，使学生感
受到，我们是在学习一类问题而不是在做一道题，正如教材
以熟悉在上课的过程中还可以把题目改编成这样：
如图８所示，给出五个等量关系：ＡＢ
＝ＣＤ；ＡＣ＝ＢＤ；ＯＡ＝ＯＤ；ＬＡ＝／Ｄ；
ＡＢＣ＝ＤＣＢ．
请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论，并加以证明．
，连接ＡＭ，ＤＭ，通过证三角形全等和等腰三角形的性质就可证得所要的结论，这样可以大大调动学生特别是基础好
的学生的积极性．
Ｃ
图２
图３
二、对例题的变式
（一）条件和结论的互换７１页例题６：已知如图４所示，ＡＤ／／
ＢＣ，Ｅ是线段ＢＣ的中点，ＡＥ＝ＤＥ，求证：ＢＥ
Ｃ
ＡＢ＝ＤＣ．
图４
证好后可进行变式：将条件中的
ＡＤ／／ＢＣ，与结论ＡＢ＝ＤＣ互换，是否还能够证明，这样就将
一个证明两条线段相等的问题变成了证明两条直线互相平
分析的一样：低起点、小步子、多分析、勤引导，调动一切有效手段，尽可能让所有学生积极参与教学活动，特别要培养
学生对论证几何的学习兴趣．（三）变式例题与练习题的衔接
９７页例题１１：已知如图７所示，Ｄ２，
生的学习兴趣．三、辅助线的选择及优劣的体验
在 “图形的变式 ”中，尽管两种添线方法都好想到也容
易证明，不妨也让学生分析体会一下哪种添线的方法更好一些，教师也可给出自己的体会，添线时一般以不破坏要证
行的问题，让学生从中感受条件和结论之间的关系，对于本
课后练习２也可做这样的互换．
（二）图形的变式
６９页例题４：已知：如图５所示，ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＤＣ，求
证：Ｂ＝Ｄ．
Ｄ
图５
图６
对于例题的两种证法中，连接ＡＣ或连接ＢＤ，辅助线的
明的量为原则．
四、适当使用半开放试题
６８页例题３：已知：ＡＣ与ＢＤ相交于点０，ＯＡ＝ＯＤ，
ＯＢＣ＝ＯＣＢ，求证：ＡＢ＝ＤＣ．
让学生思考：如果把条件中的ＯＢＣ＝ＯＣＢ去掉，要
证ＡＢ＝ＤＣ，还可以加什么条件？
来拓展学生的解题思路以及训练学生对图形的特点加
Ｃ
图８
通过以上的几种做法，能够使每堂课都上得充实而饱
满，让基础差的学生由写的不完整、不严密到有信心完整写
好，体验到了基本的证明方法及规范的表达，同时让基础好
的学生也有新鲜感，能够充分调动全体学生的思维，激发他
们学习几何的热情和积极性．笔者觉得这也正是课程专家
的目的．
课堂教学不仅是教师对知识的传授这一简单过程，更
证：Ａ＝Ｄ．
先让学生分析：不难想到两种做法：
一是从条件人手：延长ＢＡ，ＣＤ相交于点 “
Ｃ
Ｇ，构造完整的等腰三角形求解；另一个
图１
是从结论人手，要证明两个角相等，更容易想到构造全等三角形，这是通法，学生经过研究发现还可以从对称性考虑，进而得到了另一个书中没有的证明方法：即：取ＢＣ的中点
辅助线容易想到，这是通性通法．
如果课堂上教师不加以渗透的话，学生可能仅仅想到
三角形面积公式，问题很难得到解决，可以说大多数学生会
无从下手，这样很好地把教材例题与练习题结合起来，学生
做好后还很有成就感，正所谓跳一跳能够得着，也能激发学
求证：ＡＢ＝ＡＣ．
Ｂ
在分析了辅助线的做法后，可帮
助学生进一步分析：把图形旋转后除
了能得到相等的线段或角，从图形的
ｌ
，，
Ｉ，
Ｅ－
Ｃ
图７
角度还能得到三角形面积之间的关系，即Ｓ△ ＝ＳＡｃＤ：
Ｊｓ△ ｝ｃ，Ｓ△ＡＢｃＳＡＡ∞ ，… …
龉 ●
●
解题技巧与方法
·
·
●
撬撰攘樾使曝套壤拳囊蠢羧
对八年级上册几个几何例题的思考
◎ 代吉刚（上海市吴泾中学，上海２００２４１）
一道例题，如果静止、孤立地去讲解它，那么充其量只不过解决了一个问题．教材中的例题、习题一般都具有典型性、探索性，大都有着广泛的应用．
因此，笔者在使用教材的时候，不失时机地对图形、题设和结论进行恰当的变化，充分发挥例题、习题中图形的教学功能，这有助于拓宽学生的解题思路，发展学生的画图、观察、探索、思维等方面的能力．
一、注重一题多解如，７５页例题１０：已知如图１所示，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ：ＣＤ，／＿Ｂ＝／Ｃ，求