弯曲应力

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弯曲应力

FS S z
*
Iz

FS 8 I z
[ b ( h 0 h ) ( h 4 y )]
2 2 2 2
m ax
FS S z m ax
*
Iz
FS 8 I z

FS 8 I z
2
[ b h0 ( b ) h ]
2 2
m in
[ b h0 b h ]
中性层：在弯曲变形时梁中既不伸长也不缩短的一层纤维
中性轴：中性层与横截面的交线。
由于载荷作用于对称纵截面内，故中性轴z与横截面对称轴y垂直。
变形规律设中性层的曲率半径为距中性层y处纤维ab变形前长度
a b d x O 1O 2 d
距中性层y处纤维ab变形后长度
' ' a b ( y )d
4
4
m
梁内的最大弯曲正应力
m ax
M Wz 20 10
3 4
1 .8 5 1 0
1 0 8 .1M P a
梁轴的曲率半径

EIz M 2 0 0 1 0 1 .6 6 0 1 0
9 5
20 10
3
166m
题库
• 下列四梁的q，l，W，[]均相同，判断下面关于其强度高低的结论中（ B ）正确？ • （A）强度(a)>(b)>(c)>(d) • （B）强度(b)>(d)>(a)>(c) • （C）强度(d)>(b)>(a)>(c) • （D）强度(b)>(a)>(d) >(c)
E
1 M EIz

弯曲应力计算 (1)

第7章弯曲应力引言前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。

但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。

在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。

由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩，F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。

由此可见，梁横截面上有剪力Q有弯矩M时，就必然有正应力。

为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。

弯曲正应力纯弯曲梁的正应力由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。

因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。

在梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲，称为纯弯曲。

如果在梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩两种内力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。

例如在图7-1所示的简支梁中，BC段为纯弯曲，AB段和CD段为横力弯曲。

分析纯弯曲梁横截面上正应力的方法、步骤与分析圆轴扭转时横截面上切应力一样，需要综合考虑问题的变形方面、物理方面和静力学方面。

图7-1变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。

为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、b -b 。

然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。

此时可以观察到如下的变形现象。

纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。

横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。

梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设：(1) 平面假设梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。

材料力学5弯曲应力_图文

（1）合理安排载荷（2）分散载荷(从使用方案考虑) （3）调整支座位置（从设计角度）
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排载荷
P
(降低最大弯矩）
P
a
b
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（2）分散载荷(从使用方面考虑)
P P
P
若：
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（3）调整支座位置（从设计角度）
aP
q
A
C
E
l
P
B D
弯曲切应力强度校核
一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上，且
是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩。
型钢可查表
切应力强度条件：
梁上的最大切应力max≤[]
例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2a=4 m、 q=25 KN/m；材
料许用应力[]=160 MPa，[]=100 MPa。试选择工字钢型号。
3950
（3）合理截面要符合材料的力学性能
塑性材料
z
z
采用关于中性轴对称的截面
y
y
脆性材料
z
采用关于中性轴不对称的截面
y
理想情况：可调整各部分尺寸，使
z
y
y1 z
y2 y
3、采用变截面梁
以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其
他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。
从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁叫变截面梁。若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，这种梁叫等强度梁。
正应力大小与其到中性轴距离成正比；

弯曲正应力计算公式

弯曲正应力计算公式：轻松掌握计算方法
弯曲正应力是弯曲时产生的沿截面垂直于中性轴的应力。

它是构
件在受弯曲载荷时所承受的最大应力之一，对于构件的设计和选型非
常重要。

那么，如何计算弯曲正应力呢？以下是详细的计算公式和步骤。

1. 确定计算截面
在弯曲计算中，首先需要确定计算截面。

计算截面是指在弯曲处
所选取的截面，其位置和大小对于弯曲正应力的计算结果直接影响。

2. 计算截面惯性矩
在确定计算截面后，需要计算截面惯性矩。

惯性矩是表征固体物
理特性的物理量，对于计算弯曲正应力有着关键的作用。

3. 计算截面的模量
截面的模量是指材料在受力下的弹性变形和反应的能力。

根据材
料的弹性模量，可以计算出截面的模量。

4. 计算弯曲正应力
弯曲正应力的计算公式为：σ=b*y/I，其中b为截面宽度，y为截面距离中性轴的距离，I为截面的惯性矩。

通过计算得到的弯曲正应力，就是构件在受到弯曲作用下所承受的应力。

总之，掌握了弯曲正应力的计算公式和步骤，可以快速、准确地
计算出构件的弯曲正应力，从而为构件的设计和选型提供重要的依据。

弯曲应力

* FS S z bI z
20:01:46
（儒拉夫斯基公式）
式中符号意义：
：截面上距中性轴y处的剪应力
S ：y以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
对于矩形：
* z
yc
h
c
y z b
92
h * * Sz A yc b 2 y y 27
92
36
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
例6-1 一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa，空心圆截面的内外径之比一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？
q=0.5KN/m
d 0.8 ，试选择截面直径D；若外径D增加 D
A L=4m
1 2 qL 8
并且
h y , 0; 2
y 0, max
3 FS 2 bh
3 FS 2 A
92
28
弯曲应力/弯曲时的剪应力实心截面梁的弯曲切应力误差分析
20:01:46
精确解 =
= bI z
1/1
1.12
FS Sz* b 1/2 1.57 1/4 2.30
h
翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪力形成“剪应力流” 。翼缘部分的剪应力强度计算时一般不予考虑。
( y)
腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使这里的剪应力实际值接近以腹板剪应力公式所得到的
结果。
My1 1 , Iz
( M dM ) y1 2 Iz

弯曲应力

弯曲应力是梁在弯曲时产生的正应力。为了得到弯曲应力的的横截面上只有弯矩作用，导致梁发生弯曲变形。通过观察变形，可以发现梁的纵向纤维在弯曲过程中有的伸长，有的缩短，而存在一层既不伸长也不缩短的中性层。基于平面假设和单向受力假设，可以推导出梁横截面上任一点处的纵向线应变与该点到中性轴的距离成正比。进一步应用胡克定律，可以得到横截面上任意一点处的正应力与该点到中性轴的距离也成正比，即弯曲正应力沿梁高度线性分布。为了求出具体的正应力值，需要利用静力平衡关系，通过截面对中性轴的静矩等于零的条件，可以确定中性轴必然通过横截面的形心。最终，结合几何关系、物理关系和静力平衡关系，可以推导出纯弯曲梁的正应力计算公式，为工程实践中的弯曲应力计算提供了理论依据。

弯曲应力

第六章弯曲应力6.1 钢丝直径d=0.4mm, 弹性模量E=200GPa, 若将钢丝弯成直径D=400mm 的圆弧时，试求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。

（200MPa ）解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为：EIM =ρ1则： ρEIM =，由弯曲正应力公式得ρσmaxmax My ==ρmaxEy ，钢丝弯成圆弧后，产生的弯曲变形，其中性层的曲率半径22Dd D ≈+=ρ 2)2(maxD dE =σ==D Ed MPa 2004004.0102003=⨯⨯6.2 矩形截面梁如图所示。

b = 8cm, h =12cm, 试求危险截面上a 、c 、d 三点的弯曲正应力。

（20.8MPa, 10.4MPa, 0）解：由平衡方程0)(=∑F M A得到： KN F F B A 44221=⨯⨯== 危险截面在梁的中点处：KNm ql M 442818122max =⨯⨯==I z =1212h b ⨯⨯=44310115212080121mm ⨯=⨯⨯MPaI My MPa I My IMy z d d z c c zaa 83.201011526010442.101011523010404646=⨯⨯⨯===⨯⨯⨯====σσσA F BF s F MM机械土木6.3 从直径为d 的圆木中截取一矩形截面梁，试根据强度观点求出所截取的矩形截面的最合理的高h 和宽b 。

(h=d 36, b=d 33) 解：最大弯曲正应力： zz W My I M max max max max ==σ h/b 的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。

抗弯截面系数： )(61)(616132222b b d b d b bh W -=-==为b 为自变量的函数。

由 06322=-=b d dt dW 36 333222db d h d d b =-===6.4 图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。

一个是整体截面梁，另一个是由两根方木叠置而成（二方木之间不加任何联系），试画出沿截面高度的弯曲正应力分布图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。

弯曲应力和扭转应力

《弯曲应力和扭转应力》嘿，咱今天来唠唠弯曲应力和扭转应力这俩听起来有点高深的玩意儿。

先说说弯曲应力哈。

你想啊，咱平时生活里也能见到不少有弯曲应力的情况呢。

就好比那树枝，风一吹，树枝就弯了，这时候树枝里面就有弯曲应力啦。

要是树枝太细，或者风太大，那树枝说不定就咔嚓一下断了。

这就是弯曲应力太大，树枝承受不住了。

再比如说，咱家里的扁担，挑东西的时候也是弯弯的吧。

这扁担要是质量不好，挑重了东西也会断掉，这也是弯曲应力在作怪呢。

弯曲应力到底是啥呢？简单来说，就是一个东西被弯的时候产生的力。

这个力要是太大了，东西就容易坏。

那咱怎么对付弯曲应力呢？要是造东西的时候，就得考虑用结实点的材料，让这个东西能承受更大的弯曲应力。

比如说造大桥的时候，那钢材可都得是好钢材，不然大桥被车压得弯弯的，说不定啥时候就出问题了。

再讲讲扭转应力。

这个扭转应力也挺常见的。

就像咱拧螺丝的时候，螺丝就会受到扭转应力。

要是螺丝质量不好，拧得太紧了，螺丝就可能会断掉。

还有那自行车的链条，骑的时候链条一直在转动，这也有扭转应力呢。

扭转应力就是一个东西被扭的时候产生的力。

这个力要是大了，东西也容易坏。

那咱要是想让东西不容易被扭转应力弄坏，就得想办法让它更结实。

比如说造机器的时候，那些轴啊什么的，都得用好材料，还得设计得合理，这样才能承受更大的扭转应力。

这弯曲应力和扭转应力虽然听起来有点复杂，但是咱生活里到处都能碰到。

咱了解了它们，就能更好地理解为啥有些东西会坏，也能在造东西的时候做得更好。

咱可不能小瞧了这两个应力，要是不注意，说不定啥时候就会给咱带来麻烦呢。

嘿嘿，所以啊，咱可得好好研究研究这弯曲应力和扭转应力，让咱的生活更安全，更美好。

工程力学-弯曲应力

6 弯曲应力1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。

正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被推广到横力弯曲的场合。

横截面上正应力公式为j zM y I σ=横截面上最大正应力公式为 max zM W σ=2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为*2z QS I bτ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。

3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。

4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为[]max σσ≤[]max ττ≤根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。

5、梁的极限弯矩6.1图6-6所示简支梁用其56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。

图 6.1[解] 作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为max 7575000Q kN N ==利用型钢表查得，56a 号工字钢*247.7310z z S I m -=⨯,最大切应力在中性轴上。

由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处C 的切应力。

此时*z S 是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得*3435602116621()9395009.401022z S mm m -=⨯⨯-==⨯ 由型钢表查得465866z I cm =,腹板与翼板交界处的切应力为*max max max max23*max7500012600000126.47.731012.510z a z z z Q S Q MP I I dd S τ--=====⨯⨯⨯⨯a MP 6.12解题范例483750009.40108.6658661012.510fc a MP τ---⨯⨯==⨯⨯⨯6.2长为L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、L ＝2m ，F ＝1.6kN ，试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。

电缆弯曲应力-概述说明以及解释

电缆弯曲应力-概述说明以及解释1.引言1.1 概述电缆是现代通信、电力等领域不可或缺的设备之一，而在电缆的使用过程中，由于各种外力的作用，如弯曲、拉伸等，电缆会受到应力的影响。

其中，电缆弯曲应力是其中一个重要的应力形式，对电缆的性能和寿命有着重要的影响。

本文将深入探讨电缆弯曲应力的定义、影响因素以及测量方法，旨在帮助读者更好地理解电缆在弯曲过程中所受到的应力情况，从而采取相应的措施保护电缆，并提升其使用效率和寿命。

1.2 文章结构本文主要分为三个部分，即引言、正文和结论。

在引言部分，将对电缆弯曲应力的概念进行概述，介绍文章的结构和目的，为读者提供了解电缆弯曲应力的背景信息。

在正文部分，将详细探讨电缆弯曲应力的定义，包括其产生的原因和机理。

同时，分析电缆弯曲应力的影响因素，如电缆材料、外力施加方式等。

此外，还会介绍电缆弯曲应力的测量方法，包括实验方法和数值模拟方法。

在结论部分，将对前文进行总结，阐明电缆弯曲应力的实际应用和意义。

同时，展望电缆弯曲应力研究的发展方向，为读者提供对未来的思考和展望。

1.3 目的本文的主要目的是探讨电缆在使用过程中受到的弯曲应力，并分析其对电缆性能和寿命的影响。

通过深入了解电缆弯曲应力的定义、影响因素和测量方法，可以有效地指导电缆的设计、安装和运行，提高电缆的可靠性和安全性。

同时，本文旨在向读者介绍电缆弯曲应力的相关知识，增强对电缆工程的理解，为相关领域的研究和实践提供参考。

2.正文2.1 电缆弯曲应力的定义电缆弯曲应力是指在电缆运行过程中由于外界作用力导致电缆的弯曲变形产生的内部应力。

当电缆被弯曲时，电缆内部会受到压缩和拉伸作用，从而产生应力。

电缆弯曲应力的大小取决于电缆的材料特性、外界作用力的大小和方向、弯曲半径等因素。

电缆弯曲应力对电缆的安全性和性能有着重要的影响。

过大的弯曲应力可能导致电缆内部的屏蔽层破损，增加电缆的传输损耗，甚至影响电缆的稳定性和寿命。

因此，在电缆设计和安装过程中，必须对电缆弯曲应力进行充分考虑，采取相应的措施来减小电缆的弯曲应力，确保电缆的正常运行和使用。

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例 5-2-1：受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。解：(1)画M图，求截面弯矩

kNm60)22(121xqxqLxM kNm5.678/3608/22maxqLM (2)求应力

451233m10832.5101218012012bhI

342m1048.66bhW

MPa7.6110832.560605121zI

yM

MPa6.921048.66071max1zW

M

MPa2.1041048.65.677maxmaxzW

M

(3) 求曲率半径 m4.1941060832.520011M

EIz

例 5-2-2：钢板尺厚0.8mm，长252mm，弹性模量E=200GPa。求当钢板尺弯成圆弧时，钢板尺内的最大正应力。解：3s

s3

3311maxmax102523104.0102

Ey MPa4.332 例 5-2-3:车间的行车大梁长8m，为32a号工字钢，单位长度重量为517N/m，行车起吊重量G=30KN。求梁内的最大正应力。解：梁看成均布荷载q=517N/m及集中力G作用的简支梁，最大弯距近似在梁跨中。 kN068.17BARR kNm136.64244maxqRMA

MPa7.92102.69210136.6463maxmaxZW

M

3cm2.692zW

例 5-2-4:求悬臂梁m-m截面上，A，B，C，D，E五点的正应力。解：kNm6M 334001230012WbI

4448m1016mm1016

433101610200106ZAAIMY

MPa75.0

MPa375.0101610100106433



ZBBI

MY

0C

MPa375.0BD

MPa75.0AE 例5-2-5：已知水管的重量为G，截面面积为A，抗弯截面模量为ZW，长为L。求为了吊起水管，绳子的合理位子a为多少。解：看成是外伸梁受均布载荷q， qlGlGq，合理位置：maxmaxMM 即，2max2aqM 2max8)2(2lqalGM 得，lla207.0)12(2

例5-3-1、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[l]=30 M Pa，[y]=60 M Pa.其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz =763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？解： (1) 画弯矩图并求危面内力

kN5.10;kN5.2BARR )(kNm5.2下拉、上压CM （上拉、下压）kNm4BM (2)画危面应力分布图，找危险点

MPa2.2810763885.2822z

CLAI

yM

MPa2.2710763524813z

BLAI

yM

MPa2.4610763884824z

ByAI

yM (3) 校核强度 ll2.28max

yy2.46max

(4) T字头在上面合理

例5-3-2：制动杠杆，截面为矩形，如图示。在B处用销钉与支座连接，销钉直径mm30d，杠杆的许用正应力MPa137][，销钉的计用剪应力MPa98][。

求许用荷载21,PP。解：(1) 杠杆设计：121125,4PPPPP

2/)(12;1331maxhdhbWPMZ 9333310606)3060(206)(hdhbW

36m105.10



zaxW

Mmax

kN44.11375.101zWP

(2) 销钉设计：APP21

kN85.13598304521AP

kN76.5kN44.121PP、例5-3-3：有一承受管道的悬臂梁，用两根槽钢组成，管道上作用重物各重G=5.39kN。许用应力MPa130。试选择槽钢型号。解：弯矩图如图： kNm98.5maxM



ZWM2max

2

MWZ

cm231013021098.5ZW

查表，应选用8号槽钢两根。

解：x截面下边缘的正应力 22

)(3622bhxlxqhbxqxqlWxM

Ex

dx的微伸长量为：dxldx)(

总伸长：llxlEbhdxxlxqdxldl022)(3

Ebhql232

伸长。图示。求梁下边缘的总简支梁的荷载、尺寸如例:435例5-3-5：一矩形截面简支梁，跨中作用集中力P，求梁的下边缘的总伸长量。截面b、h、梁长l，弹性模量I为已知。解：xpxM2)(

dx微段，下边缘：

23)(bhPxEWxMZ

EbhPxdxdxldEbhPx223)(3、

202224332lEbhPlEbhPxdxl 例5-3-6：一根T型外伸梁，梁的尺寸如图示，已知,mkN24m5.1ql， cm67.4,cm8644cZyI。许用拉应力MPa40拉。校核梁的强度。解：(1) 求支反力： kN32,kN16BARR (2)画剪力、弯矩图 (3)计算应力

mkN3.5M 拉拉MPa45

10864

1033.73.5

MPa6.28108641067.43.58压

mkN3M MPa5.25108641033.738压

梁不安全，但如果倒放，则安全。练习：一圆形外伸梁如图，许用应力MPa10，试设计直径d。解： (1)求支反力：kN5.3kN5.8BARR、 (2)画Q、M图 mkN3maxM (3)设计 

Mmax

332dWZ

36

3310101033232

Md

。mm145105.142m 例5-4-1、矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7 MPa，[]=0. 9 MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。解：(1) 画内力图求危面内力 N54002336002maxqLQ

Nm4050833600822maxqLM (2)求最大应力并校核强度

22maxmax18.012.0405066bhmMWMmZ

][725.6MPaMPa

18.012.054005.15.1maxmaxAQ

][9.0375.0MPaMPa (3) 应力之比7.1632maxmaxmaxhLQAWMz 例 5-4-2：简支梁由三块木板胶合而成，尺寸如图。胶合缝的容许剪应力 MPa5.0，试按胶合颖的剪应力强度确定梁所能承受的最大荷载P。

解：分析胶合处的剪应力：(b),(c)图

123323bh

bhhbPbIQSZZ





bhP3

25.012090323bh

kN1.8

解：求反支力正应力选择：



Mmaxmax

363maxcm3.335101701057

MWZ

%10cm325I22b3。不超过，选zW 剪应力校核，

233maxmax107.18105.91028



zzS

Q

MPa8.15

。，试选择工字钢的型号许用剪应力，寸如图，许用正应力：一简支梁的荷载及尺例MPaMPa100170345

