Dissipative dynamics of a kink state in a Bose-condensed gas
玻色-爱因斯坦分布
玻色-爱因斯坦分布
玻色-爱因斯坦分布（Bose-Einstein distribution）是一种描述玻色子的概率分布，它是由印度物理学家萨提亚·恩德拉·博色和阿尔伯特·爱因斯坦于1924年共同提出的。
该分布可以用来描述在热力学平衡状态下多个玻色子所处的能级分布情况。
根据玻色-爱因斯坦分布的公式，玻色子在不同能级上的分布情况是与温度、化学势和能级之间的关系有关的。
在低温下，玻色子会聚集在能量最低的态上，形成玻色-爱因斯坦凝聚体（Bose-Einstein condensate），这是一种量子现象，在凝聚态物理中具有重要的应用价值。
玻色-爱因斯坦分布对于解释热力学系统中的许多现象有着重要的作用。
例如，对于黑体辐射，玻色-爱因斯坦分布可以用来计算各个频率上的光子数目，从而得到黑体辐射的能谱分布。
此外，它还可以用来描述超流体、超导体等系统的性质，这些都是凝聚态物理中的重要课题。
总之，玻色-爱因斯坦分布是一种用于描述玻色子在热力学平衡状态下能级分布的概率分布。
它对于解释和研究凝聚态物理中的各种现象具有重要的作用。
物理学名词
1/4波片quarter-wave plateCG矢量耦合系数Clebsch-Gordan vector coupling coefficient; 简称“CG[矢耦]系数”。
X射线摄谱仪X-ray spectrographX射线衍射X-ray diffractionX射线衍射仪X-ray diffractometer[玻耳兹曼]H定理[Boltzmann] H-theorem[玻耳兹曼]H函数[Boltzmann] H-function[彻]体力body force[冲]击波shock wave[冲]击波前shock front[狄拉克]δ函数[Dirac] δ-function[第二类]拉格朗日方程Lagrange equation[电]极化强度[electric] polarization[反射]镜mirror[光]谱线spectral line[光]谱仪spectrometer[光]照度illuminance[光学]测角计[optical] goniometer[核]同质异能素[nuclear] isomer[化学]平衡常量[chemical] equilibrium constant[基]元电荷elementary charge[激光]散斑speckle[吉布斯]相律[Gibbs] phase rule[可]变形体deformable body[克劳修斯-]克拉珀龙方程[Clausius-] Clapeyron equation[量子]态[quantum] state[麦克斯韦-]玻耳兹曼分布[Maxwell-]Boltzmann distribution[麦克斯韦-]玻耳兹曼统计法[Maxwell-]Boltzmann statistics[普适]气体常量[universal] gas constant[气]泡室bubble chamber[热]对流[heat] convection[热力学]过程[thermodynamic] process[热力学]力[thermodynamic] force[热力学]流[thermodynamic] flux[热力学]循环[thermodynamic] cycle[事件]间隔interval of events[微观粒子]全同性原理identity principle [of microparticles][物]态参量state parameter, state property[相]互作用interaction[相]互作用绘景interaction picture[相]互作用能interaction energy[旋光]糖量计saccharimeter[指]北极north pole, N pole[指]南极south pole, S pole[主]光轴[principal] optical axis[转动]瞬心instantaneous centre [of rotation][转动]瞬轴instantaneous axis [of rotation]t 分布student's t distributiont 检验student's t testＫ俘获K-captureＳ矩阵S-matrixＷＫＢ近似WKB approximationＸ射线X-rayΓ空间Γ-spaceα粒子α-particleα射线α-rayα衰变α-decayβ射线β-rayβ衰变β-decayγ矩阵γ-matrixγ射线γ-rayγ衰变γ-decayλ相变λ-transitionμ空间μ-spaceχ 分布chi square distributionχ 检验chi square test阿贝不变量Abbe invariant阿贝成象原理Abbe principle of image formation阿贝折射计Abbe refractometer阿贝正弦条件Abbe sine condition阿伏伽德罗常量Avogadro constant阿伏伽德罗定律Avogadro law阿基米德原理Archimedes principle阿特伍德机Atwood machine艾里斑Airy disk爱因斯坦-斯莫卢霍夫斯基理论Einstein-Smoluchowski theory 爱因斯坦场方程Einstein field equation爱因斯坦等效原理Einstein equivalence principle爱因斯坦关系Einstein relation爱因斯坦求和约定Einstein summation convention爱因斯坦同步Einstein synchronization爱因斯坦系数Einstein coefficient安[培]匝数ampere-turns安培[分子电流]假说Ampere hypothesis安培定律Ampere law安培环路定理Ampere circuital theorem安培计ammeter安培力Ampere force安培天平Ampere balance昂萨格倒易关系Onsager reciprocal relation凹面光栅concave grating凹面镜concave mirror凹透镜concave lens奥温电桥Owen bridge巴比涅补偿器Babinet compensator巴耳末系Balmer series白光white light摆pendulum板极plate伴线satellite line半波片halfwave plate半波损失half-wave loss半波天线half-wave antenna半导体semiconductor半导体激光器semiconductor laser半衰期half life period半透[明]膜semi-transparent film半影penumbra半周期带half-period zone傍轴近似paraxial approximation傍轴区paraxial region傍轴条件paraxial condition薄膜干涉film interference薄膜光学film optics薄透镜thin lens保守力conservative force保守系conservative system饱和saturation饱和磁化强度saturation magnetization本底background本体瞬心迹polhode本影umbra本征函数eigenfunction本征频率eigenfrequency本征矢[量] eigenvector本征振荡eigen oscillation本征振动eigenvibration本征值eigenvalue本征值方程eigenvalue equation比长仪comparator比荷specific charge; 又称“荷质比(charge-mass ratio)”。
基础知识气体动力学
2 可逆过程与不可逆过程
热力学基本概念与基础知识
热力学系统从一个平衡状态出发，经过一系列中间状态而变化到另一个平衡状态，它所经历的全部状态的综合称为热力过程，简称过程。 如果在过程中系统所经历的一系列状态都无限接近于平衡状态，则这种过程称为“准平衡过程”或“准静态过程”－它是一种无限缓慢的过程。 当系统完成某一过程后，如果令过程逆向进行而能使过程中所涉及的一切（系统及外界）都回复到初始状态，不留下任何变化，则此过程称为可逆过程，反之即为不可逆过程。 可逆过程是消除一切不可逆因素、具有可逆性的过程，必须满足 它是准平衡过程； 过程中不存在耗散效应。 →可逆过程是没有耗散损失的准平衡过程。
热力学中规定，系统吸热时热量为正，系统放热时热量为负。
热量既然是在传递中出现的能量，其数值就必然与传递过程有关。所以，热量也是一个过程量，而不是状态参数，其数值由系统状态和过程性质决定。
热量和功虽然同为过程量，都是系统和外界间通过边界传递的能量，但两者有着本质的差别：热量是通过紊乱的分子热运动发生相互作用而传递的能量，功则是物体间通过有规则的微观运动或宏观运动发生相互作用而传递的能量。
序 言
根据分子运动论，分子总是在不断进行无规则的热运动，不同流动区域的分子所携带的能量、动量和质量是不同的。
分子可以在不同流动区域之间运动。当某分子从一个区域运动到另一个区域时，同时也就将其能量、动量和质量携带到了该区域，这种迁移特性称为流体的输运性质。
流体的输运性质主要包括：黏性、导热性、质量扩散等，本课程只介绍前两个。
热力学基本概念与基础知识
1平衡状态、状态参数与简单热力学系统
系统的热力学状态：热力学系统在某一瞬时所呈现的宏观物理状况。热力学状态用能够测量的一些物理量来描述，这样的物理量称为状态参数。 对气体组成的系统，最基本的状态参数有3个：温度、压强、密度。 根据定义，状态参数的数值仅取决于系统所处的热力学状态本身，而与系统达到该状态所经历的途径或过程无关。 在没有外界影响的条件下，如果系统的宏观状态不随时间而改变，则系统所处的这种状态称为热力学平衡状态，简称状态。平衡状态是一个理想概念，此时，系统内必然是热平衡、力平衡、化学平衡。 实验和理论均证明，对于由气体组成的系统，其平衡状态只需要两个独立的状态参数来描述，只要确定两个独立状态参数的数值，其余的状态参数就随之确定，系统的状态即可确定。这种只需要两个独立状态参数描述的热力学系统称为简单热力学系统。 对气体组成的简单热力学系统，3个基本状态参数的关系可表示成 称为状态方程。
格点量子色动力学进展.pptx
The fDs puzzle?
Experimental results
Comparison
Independent determination of Vcs
More comparisons…
Is is a puzzle?
只有HPQCD的结果偏离最严重 Vcs需要单独确定 目前还不是很严重的问题…
理论方面的探讨
相关的唯象理论工作
Shallow bound state of two D mesons (S.L. Zhu et al, ) PRD77,034003 Tetra-quark resonance above threshold (X.-H Liu et al, PRD77, 094005) Threshold enhancement (J.L. Rosner, ) PRD76,114002
The Berlin wall & lattice QCD c o s t
m m
z
a
z 4, 7
Berlin wall crushing…
More physical…
Pion mass 700MeV below 300MeV where cPT starts to work…
Matrix elements
B_K 的计算 B ˆB KKBK K((8 0|/Q 3 ))L fSK s (L 232M )|(K K 2)0,2/Q 9L 1S L 2(s(43s)d()L)(sJd3)L
Renormalization dilemma
Continuum perturbation done in the MS-bar Naive Dimensional Regularization scheme (MS-bar NDR-scheme)
原子分子光子系统的耗散相互作用和退相干
原子与分子物理学报JOURNAL OF ATOMIC AND MOLECULAR PHYSICS第37卷第6期2020年12月Vol. 37 No. 6Dec. 2020doi : 10.19855/j.l000-0364.2020.065001原子分子光子系统的耗散相互作用和退相干景俊(浙江大学物理学系光学研究所#杭州310027$摘要：原子分子系统与量子化的电磁场或光子模式耦合的系统是非相对论量子力学理论研究和实验研 究的主要对象和模型•现实系统必然与外界环境耦合,且即便原子隔绝较好、光学腔壁品因子足够高,原子系统也不等价于少数几个能级构成的简单模型：它仍然有不为零的几率跃迁到不可控的能级空间、与原 子相互作用的自由空间真空场的量子效应也必须考虑.本文将结合开放量子系统理论的基本要素与与子光学学基本模型，对原子分子系统在电磁场中发生的耗散以及量子子相干过程做简单综述，并重点介绍描 述量子系统退相干过程简主流理论工具—— 主方程.关键词：原子子学；量子子相干；量子子方程中图分类号：O65 文献标识码：A 文章编号：1000-0364(2020)06-0935-05Relaxation and decoherence process of the atom - photon systemJING Jun(Institute of Optics , Department of Physics , Zhejiang University , Hangzhou 310027 # China )Abstract : Atomic and molecular systems coupled te the quantized electro 一 magnetic field os photons constitute the most part of the interested systems os models in the field of non - relativistio quantum mechanics. Even fot the welS 一 isolated dtomio system as well as the high Q - factoo covity , the quantum mechanico. system connot be considered as a simpSe modd consisted of sevvraS leve's. In practico , C is affected by the surrounding environ ment. Fot instances , the quantum system has nonzero probability te jump out of the subspaco undet contco and it is subjeC te tie quantum effecO raised by the interaction with tie vvcuum state of the free spaco. In the frame work of open 一 quantum 一 system dynamico combining with the fundamentae modes of atomio optico, we wiH briefly review the relevvnt basio concepts of the dissipation and decoherenco processes of O v atomio systems cou pled t the exOrna felds. The focus of the paper is to introduco the quantum master equation as the mainstream tod tr theof quantum decoherenco.Key wores : Atomio optico ; Quantum decoherenco ; Quantum mastee equation1引言原子分子系统与量子化的电磁场或光子模式耦合的系统⑴无论在理论还是实验方面都是非相 对论量子力学研究的主要对象和模型[2-4].如果将系统拓展到人工原子、超导回路、离子阱、光子晶格、量子点等新量子平台.i],那么它不仅涵盖了传统的原子分子物理和量子光学的主要内 容，而且构成量子信息和量子调控的物理基础[12,13].正如在单个二能级原子和单模激光场的耦合模型 Jaynes - Cummings 模型中所观察到的，如果不考虑能量耗散和量子退相干效应，那收稿日期：2020-5-19基金项目：国家自然科学基金( 11974311, U1801661 )；浙江省自然科学基金(LD18A040001 )；中央高校基础研究基金(2018QNA3004)作者简介：景俊(1979—),男，江苏省泰州市人，博士，主要致力于开放量子系统动力学、非微扰量子调控、几何量子计算、量子退相干、量子光学系统、固态量子调控、以及量子力学基本理论方面的研究.E-maf : **************.cn936原子与分子物理学报第37卷么它的动力学是相干且可逆的•这正是薛定定方程所描述的结果•对人工原子，包括量子点、超导量子比特、里德堡原子，以及新颖电磁辐射源，包括激光、微波激射、同步辐射、微波源的广泛研究涵盖了从无线电波到远红外的频段与原子分子系统的耦合，从而在相当程度上再次引起人们对原子与光相互作用的兴趣.新的研究方法能够获得有关原子和分子结构以及动力学的更确切的信息、从而有助于控制原子和分子的内部和外部自由度、并且产生新的辐射形式.这些进展已经引来越来越多的物理学家、化学家、其他研究人员和工程师对物质和低能辐射之间发生的作用［14'17］产生兴趣（本文的目标是为已经具有一定量子力学和原子分子物理基础的研究人员介绍在开放量子力学框架下研究原子与光相互作用的基础理论，特别是关于量子系统退相干动力学的描述理论一主方程.主方程及其等价方法构成了整合涉及物质—辐射相互作用的几乎所有物理方面的基本工具［18-23］2开放量子系统与量子退相干在量子力学基本问题方面，含时薛定量方程以及冯诺伊曼方程已经在原则上提供了闭合量子系统的动力学方程.如果不计较开放系统的环境或者噪声对它的影响和作用，或者拥有对全部希尔伯特空间的计算能力，就没有必要在开放量子系统的框架下处理问题•但实际上对于大多数实际问题这两者都是无法做到的•首先定义何为环境.在全量子框架下，环境是与量子系统相互作用的另一个量子系统，拥有足够多、足够复杂的自由度，以至于相对人们感兴趣的量子系统而言，是不受控制的.具有可操作性的处理方案的前提是通过测量或物理建模给出环境自由度的统计性质.这些性质包括且不限于玻色统计或费米统计、谱密度函数、关联函数、温度一如果它处在热力学平衡态下的话.然后通过理论推演，使得这些统计性质反映在受研究的量子系统的动力学方程中•其次何为噪声.布朗运动中的涨落可逆当作是一种经典噪声，按照涨落—耗散定理的要求，它具有一定的关联函数和谱密度函数，它们两者互为傅里叶变换关系.量子系统面对的噪声，可以是经典噪声，也可可是量子噪声.在物理上，两者都要符合涨落—耗散定理；在特定情况下,符合一定关联函数的经典噪声和量子噪声对系统的影响在系综统计后不可区分.因此有时可可用噪声取代环境自由度的全量子化处理.在纯量子框架下，噪声可区直接用环境算符以及新合系数直接表达出来.就其效应而言，有时需要特别指出，哪些噪声造成了系统的退极化和能量耗散,哪些噪声不涉及能量损耗而直接反映出同一系综内不同量子系统在相位上的脱散.前者反映了原子分子系统的布居数在高低能态上的转移；后者代表了相位关联的消失.对量子系统而言，前者当然也同时弓来系统间失去相位上的固有联系，但后者在许多文献中才被称为“纯量子的退相干”.因此量子退相干本质上是一种量子力学效应，与经典耗散或随机涨落有所区别，虽然后者也会引起量子效应.在哥本哈根学派定义的量子测量假设以及后来由冯诺伊曼严格化后的量子测量理论中，不难发现退相干是量子测量的效应.测量仪器扮演了量子化的环境自由度的角色，系统根据与待测物理量配套的测量仪器指针态展开的本征基矢做随机投影.无论是读出结果的测量，还是不读结果的测量，指针态对应的本征基矢之间的相干项在测量后全部消失整在广泛关注量子信息处理的前沿研究中，退相干显然是任何量子处理，特别是量子计算，或任何必须利用量子线性叠加原理优势的技术不可回避的问题.它在绝大多数时候显然是难以逾越的障碍.根据DiVincenzo为可行的量子计算机定出的必须满足的若干条件，量子系统的相干时间除以量子门的运行时间必须足够大，否则量子线路模型就没有实际价值.所以无论是量子物理的基本问题，还是量子前沿技术的发展，都需要人们重视退相干过程的基础研究，从而设计出提高量子相干时间的方案,或者要么回避、要么正面利用退相干效应.这里不对有到已放3主方程的推导方法现在在入技术性环节一如何建立开放的原子分子系统的退相干动力学主方程•“主”这个词意思就是关注某一少自由度或少体系统，而把其环境或不关心的希尔伯特子空间对该系统的作用考虑到方程的结构和参量中去，最后得到方程仅含有少自由度或少体系统的算符.假设初始时刻系统与环境是没有有合的，即*（o）=*（0）第6期景俊：原子分子光子系统的耗散相互作用和退相干9379*(+),且整体哈密顿量可写为：*S*9D+D9*+(*(1)其中*是系统的自由哈密顿量，*是环境的自由哈密顿量，h,S&>+9G是系统与环境相互作用哈密顿量，这里的+和G分别表示系统和环境的算符，s>代表第第种量子退相干通道.(用来衡量相互作用哈密顿量相对系统自由哈密顿量的相对幅度，一般符合微扰论的要求.为简单起见，以下在相互作用表象下进行推导，即对所有算符o，都有0(:=9h+h”0(2)首先从整体系统的冯诺伊曼方程出发(它总是成立的):%P t(：dt二一*(：,pT((3)并将其形式解*(:二P t(+)-加+s[H(s)，p T(7/代入方程的右边对易子.可以得到：%pT(：dt二-ia[*(：,p(0)/-+s.h(：,[h(s)，P t(s)]](4)然后对该方程做第一步马尔可夫近似以及玻恩近似，即将⑷式要p(s)替换为p(t)，物理上抛弃了从初始时刻到当下时刻之前的系统演化历史对系统当前变化量的贡献，而是只关心当下时刻的贡献，数学上带来的误差为0((3).并让方程等号两边都对环境部分自由度进行部分求迹，从而得到关于系统密度算符的二阶微扰的动力学方程(注意在下面这个方程后，不再使用约等号)：df p t2—Jc.h(：，p j(0)/-(2JdsJc.h(：，[h(s)，p T(：//(5) 0其中第一项正比于Tc.G(t)p E(0)/，也就是环境算符G的期望值，可可将其设为零.这本质上不是一个假设，因为总可下令H"&，+9 (G-2G〉)、H"H+(&〈G3s>.在环境弛豫时间远小于系统动力学时间的假设下，可可认为环境状态基本不变(一般可认为环境处在热力学平衡态)，这就得到了微扰论下的玻恩-马尔可夫主方程(Bom-Markov master equation):—^%(—二-J%T C.h(：，[H(s)，p s(t)9pg(0)//(6)它在二阶微扰成立的前提下可可包含量子环境的结构参量，也就是各模式与系统的相对该合强度、各模式自身的本征频率的统计信息，因而在许多文献中也被称为“非马尔可夫”主方程.注意它不是“精确主方程”.23/，因为没有包含结构化的环境对系统动力学的所有阶次的贡献.从微扰论物理的角度需要进一步明确两点：1，主方程的建立基于系统-环境相互作用哈密顿量与系统自由哈密顿量之间存在能量/时间的尺度分离,否则对全部希尔伯特空间的计算就不可避免从2,环境的状态一般默认为热力学平衡态，那么系统在环境噪声下的随机量子跃迁过程和耗散应该受到涨落-耗散定理的限制.4真空环境下的Lindblad主方程下下用相对具体的一个例子进一步推演，为简单起见，将(吸收进方程.假设相互作用哈密顿量H,=SB e+S e B.系统跳跃算符满足S(t): e iHst Se~iHst=Se-，0t,其中,是原子分子系统本征频率.环境自由哈密顿量为h#=&宀；e；,环境集体湮灭算符为B=&冲；.这里；[是玻色环境的湮灭算符，g[是是合系统与第第个模式的贡合系数.所以在相互作用表象下，H(t)=SB e(t)+S e B(t),B(t):&t g[e-(心0)t(7)于是玻恩-马尔可夫主方程可具体表达为P s(t)=-F(t)[S s p S(t)-S p S(t)S]-'[p(t)SS e-S e p s(t)S/+h.C.(8)其中两个含时系数的定义是tF(j)二+乃#.b(：#(s)P b],t'=\dsTi B.B#(s)B(t)*#/(9)这里暗含环境状态p为热力学平衡态的假设.另外对于许多本征频率为微波波段的人工原子而言，光频波段的电磁环境因为能量与之远不匹配而总可以认为处在真空或零温.所下可合理假定电磁环境处在真空态或零温，则有938原子与分子物理学报第37卷F(-=\&」g k*9,[_,0)Q-s)\d,](,)(%-9s(,_，o)0几(10)其中=(,)=&」*+(,-,[)是环境态密度或模式密度函数.而'(-=0.略加计算，即将F(-的积分上限推至无穷，消除其含时特征，也就是执行第二步马尔可夫近似，就可以得到相互作用表象下的Lindblad型主方程：5[S t S,P s(-/(11)其中退相干因子％=,)8(,-，o)与真空自发辐射理论中的费米黄金法则吻合；而5=-!>+，=，是著名的兰姆位移，反应了原0，-，0子分子系统因为受到电磁场环境的作用而产生的能级偏移.注意教科书里的兰姆位移一般发生在基态，但实际上它也可夫发生在激发态.5讨论需要再次强调的是，主方程是量子力学框架下的动力学方程一不难发现它在幺正变换下保持形式不变.一个合理的主方程必然得到合法的系统密度矩阵，也就是每一时刻的系统密度矩阵必然是半正定的.动力学方程所对应的系统状态的映射必须是全正定且迹守恒(Complete Positive Trace-preserving).要得到特定物理体系的主方程，原则上应从特定全量子模型出发，仿照前文步步推演，不可夫做过分的非物理的近似•比如将玻恩-马尔可夫主方程的积分上限推至无穷有时候在短时动力学中会带来非正定的问题，其物理原因就是这种近似违背了物理定律的因果律.发Lindblad方程为代表的现象学方程，比如量子光学领域熟悉的光学布洛赫方程，只要保证系数为正常数，就不会带来非物理的结果•但是它不能反映强耦合情况下的物理，比如非马尔可夫效应.另外跳跃算符应用系统哈密顿算符的本征态基矢展开，从而在物理上对应真实的量子跳跃(quantum jump)过程.只有本征态基矢之间的瞬时量子跳跃才能正确地描述微观量子过程•值得指出的是，只有极其少数特定主方程可以得到解析解.比如纯退相位(pure dephasing)模型和零温环境下的少数量子跳跃模型.有时不得不采用量子跳跃方法(quantum jump method)、量子轨迹方法"quantum trajectoa approach)或量子郎之万方程替代量子Lindblad方程进行数值求解.比如可以证明：发下的量子态扩散方程(一种量子轨迹方程或随机薛定谔方程).*4，*5]与Lindblad 方程完全等价：*-1(z”)〉=(—*+Sz：-1S e S)I1(z”)〉(12)其中：是满足系综平均条件A[::]=%(t-s)的高斯型白噪声，这里町]是指对系综求平均值.求解随机薛定定方程后还要对噪声轨迹求系综平均，从而得到密度矩阵*(-=A[I1(:*)3〈1(:*)I]-6总结和展望量子退相干理论在当前研究中的兴起和应用伴随着单量子系统的实验实现.通常布洛赫方程或者爱因斯坦几率方程被用来描述受到电磁场驱动的原子分子系综的动力学•但离子阱、单模腔、量子点、超导回路等新兴量子平台的发明提供了观察和操控单个粒子的可能性.对辐射场信息的获取，比如通过对系统发射到环境内光子的探测,会导致系统波函数的突变•无论是探测到光子还是没有探测到，也就是零结果，都会导致信息的增加.这样新的洞察便会注入到原子光子动力学及耗散过程中，这就发展出新的退相干动力学方法.除了对物理的新洞察，这些方法也会使得对复杂问题的模拟成为可能，比如用主方程方法也可处理激光冷却问题•参考文献：[1]Cohen-Tannoudji C，Dupont一Roc 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液体晃动动力学中的若干问题讨论
李遇春，欧亿鹏
确解相比有较大的误差，因而 Housner 模型并非是一个令人满意的等效力学模型；此外文献[9]得到的等 效质量位置函数与经典理论[5]给出的结果并不相同，这一现象与前面二维矩形容器的情形类似，在一些 特殊的情况下，经典理论[5]给出的等效质量位置明显不合理，等效力学模型的经典理论[2] [5]存在系统 性的错误，这一问题还可能导致其它更多容器(如球形、抛物面容器等)的等效力学模型的错误，经典理论 的主要问题是其等效力学建模概念(方法)存在问题， 从而导致部分理论结果明显不合理， 关于这一问题的 详细讨论将另文讨论。
A Discussion on Several Problems in Dynamics of Liquid Sloshing
Yuchun Li, Yipeng Ou
Department of Hydraulic Engineering, College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai Received: Apr. 5 , 2018; accepted: Apr. 23 , 2018; published: Apr. 30 , 2018
液体内部的粘性阻尼比可以采用下列耗散函数来计算62222222222222222222444ddvvxyxzyzxyzv??????????????????????????????????????????????????????????????????????4一般认为以上液体内部的体阻尼相比于边界层阻尼要小得多体阻尼可忽略不计
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1. 引言
贮液箱内带有自由液面的液体在受外部激励(扰动)下产生的运动称之为晃动，外部激励通常来源于容 器的加速水平运动与转动。从数学上讲，带有自由液面的晃动问题可归结为求解液体运动的 Navier-Stokes 方程(或 Euler 方程)，方程一般情况下是非线性的，且自由液面的边界条件一般情况下表现为非线性方程， 液面位置随时间改变。液体晃动是一种复杂的动力学现象，与容器的几何特性、液深、激励、壁面特性等 参数有关，求解液体的一般晃动方程是一件相当困难的事情。从工程应用的角度看，液体晃动问题涉及液 体在外激励作用下的晃动自然频率、振型、自由表面波高、液动压力分布以及作用在容器上的液动力、力 矩等，这些液体的动力学效应会对容器及其相关结构安全性、稳定性以及动力学行为产生重要影响。 液体晃动问题涉及数学、 物理学、力学以及诸多的工程学领域， 其中工程领域包括航空航天、 船舶、 土木、水利、化工以及核工程等，各个不同的学科关于液体晃动的研究论文已多达数千篇，Abramson [1] 与 Dodge [2]在其专著中总结了航天领域的关于液体火箭内的液体晃动动力学问题；Moiseev 与 Petrov [3] 从力学的角度系统研究了液体晃动的自由振动(晃动)问题；Moiseev 与 Rumjantsev [4]系统研究了充液刚 体的动力稳定性问题， 其中包含了液体的晃动问题； Ibrahim [5]在 2005 年出版的液体晃动动力学专著中， 引用的论文多达 3000 余篇，该书堪称液体晃动动力学的百科全书，其内容几乎涵盖了液体晃动动力学的 各个方面；Faltinsen 与 Timokha [6]从船舶工程的角度，系统研究了(船舱内)液体的晃动问题；王照林与 刘延柱[7]系统研究了航天工程中充液系统动力学问题，其中包含了液体的晃动问题；居荣初与曾心传于 1983 年出版的著作(文献[8])可能是国内最早系统介绍土木与水利工程中的液体晃动及其与结构相互作用 问题的专著，这一著作在地震工程领域得到了广泛的引用；李遇春[9]最近比较系统研究并介绍了水利与 土木工程中的液体晃动基本问题。 液体晃动动力学作为流体动力学的一个重要分支，拥有完整的理论体系，在不同的学科领域得到了 极为广泛的研究，但液体晃动动力学仍存在一些共性的问题还没有得到很好解决，本文将讨论液体晃动 等效力学模型、液体晃动阻尼以及液体参数晃动三个问题，提出其中有待解决的问题，为液体晃动动力 学的研究与应用人员提供参考。
Rb85能级图
1 Introduction
3
1 Introductiቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
In this reference we present many of the physical and optical properties of 85 Rb that are relevant to various quantum optics experiments. In particular, we give parameters that are useful in treating the mechanical effects of light on 85 Rb atoms. The measured numbers are given with their original references, and the calculated numbers are presented with an overview of their calculation along with references to more comprehensive discussions of their underlying theory. At present, this document is not a critical review of experimental data, nor is it even guaranteed to be correct; for any numbers critical to your research, you should consult the original references. We also present a detailed discussion of the calculation of fluorescence scattering rates, because this topic is often not treated clearly in the literature. More details and derivations regarding the theoretical formalism here may be found in Ref. [1]. The current version of this document is available at /alkalidata, along with “Cesium D Line Data,” “Sodium D Line Data,” and “Rubidium 87 D Line Data.” This is the only permanent URL for this document at present; please do not link to any others. Please send comments, corrections, and suggestions to dsteck@.
Stat_Mech_01
Thermodynamics a nd S ta1s1cal M echanicsSpring 2012Lecture 1Introduc1on t o T hermodynamicsDimi C ulcer微尺度11－002dimi@Office h ours: b y a ppointmentMy E nglish• e.g. = f or e xample • i.e. = t hat m eans • certain ~ 某 • assignment = h omework • mean = a verage • You c an s peak i n C hinese (slowly) • You c an s end e mail i n C hinese • Assignments a re i n E nglish • You c an a nswer i n C hinese• the U K = B ritain • the U S = A merica • TA = t eaching a ssistant • 帮教 • phenomenon, p henomena• momentum, m omentaSome w ords• fundamental a dj . 基础的,必要的; n . 基本法则• empirical 以观察或实验为依据的• law 定律• principle 原理• to v iolate 违反,违背• equa1on 方程• func1on 函数• variable a dj. 可变的; n . 变量• constant 常数• thermometer 温度计• macroscopic 宏观的• microscopic 微观的• arbitrary 任意的 • aVrac1ve 吸引的 • repulsive 排斥的 • Infinitesimal 极微小的 • concept 概念 • parameter 参数 • maVer 物质 • characterize 表征,描绘 • propor1onal 成比例的 • phenomenological 唯象的• concrete 实体的 • abstract 抽象的 • en1ty 实体 • deriva1on 衍生，派生State o f m aVer a nd p hase• High-‐school p hysics u nderstanding• There a re 3 s tates o f m a)er• Solid, l iquid a nd g as• More g enerally, a s tate i s c alled a p hase• Solid p hase• Liquid p hase• Gas p hase o r g aseous p hase• Phase i s a m ore g eneral, m ore u seful c oncept • For e xample F e b ecomes f erromagne1c b elow T c• We s peak o f a n o rdinary p hase a nd a f erromagne1c p hase • Right n ow t his i s j ust v ocabulary• Later y ou w ill l earn t he p hysical d ifferenceWhat i s t hermodynamics?• Thermodynamics i s a m acroscopic t heory • It d escribes l arge, m any-‐par1cle s ystems• Thermodynamics h as t wo t asks• Define a ppropriate p hysical q uan11es i n o rder t ocharacterize m acroscopic p roper1es o f m aVer• Relate t hese q uan11es b y a s et o f e qua1ons, w hich a reuniversally v alid (i.e. d o n ot d epend o n s pecific s ystem) • Thermodynamics i s p henomenological• It t akes i ts c oncepts d irectly f rom e xperiments• Thermodynamics i s a ll c lassical p hysics• No q uantum m echanics• We d o n ot t alk a bout a toms, m oleculesThermodynamics & S ta1s1cal M echanics• Sta1s1cal m echanics i s a m icroscopic t heory • We c are a bout t he d ynamics o f i ndividual p ar1cles• Sta1s1cal m echanics h as t wo b ranches• Classical s ta1s1cal m echanics• Quantum s ta1s1cal m echanics• We w ill s tudy b oth i n t his c ourse• Sta1s1cal m echanics h elps u s t o l ink t he p hysical laws o f t he m icroscopic w orld w ith t hose o f t he macroscopic w orld• One p ar1cle – m echanics• Many p ar1cles – s ta1s1csApplica1ons o f t hermodynamics • Thermodynamics h as m any a pplica1ons• Chemical r eac1ons• Phase t ransi1ons» e.g. s olid t o l iquid, l iquid t o g as» Can b e m ore c omplicated• Solid s tate» Magne1sm» Superconduc1vity a nd s uperfluidity (e.g. l iquid H e)» Charge a nd h eat t ransport• Stars, e.g. t he f orma1on o f s tars, C handrasekhar l imit• The a tmosphere, w eather, c limate• Biology e.g. l ife• All t hese s ystems o bey c ommon & g eneral l awsOverview o f t hermodynamics • In t he first p art o f t he c ourse w e w ill s tudy • The l aws o f t hermodynamics» 0, 1, 2, 3» These a re v ery g eneral• Phase t ransi1ons» Solid t o l iquid t o g as» Paramagne1c t o f erromagne1c» These a re c alled c ri1cal p henomena• Non-‐equilibrium t hermodynamics» Heat t ransport• Kine1c t heory o f g ases» Explains p, V, T b y c onsidering d ynamics o f p ar1clesImportant c oncepts i n t hermodynamics • Thermodynamic s ystem• Dynamical s ystem w ith m any d egrees o f f reedom• Any m acroscopic s ystem i s a t hermodynamic s ystem • Environment = s urroundings = e verything e lse • Thermodynamic p arameters• Measurable m acroscopic q uan11es a ssociated w ith s ystem• Pressure, v olume, t emperature• Thermodynamic s tate• Specified b y a s et o f a ll v alues o f a ll t he t hermodynamicparameters n ecessary t o d escribe t he s ystemIsolated, c losed, a nd o pen s ystems • Isolated s ystem (idealized)• Does n ot i nteract w ith t he e nvironment i n A NY w ay• Separated b y a w all (par11on) w hich d oes n ot a llowexchange o f h eat o r p ar1cles (maVer)• Total e nergy, v olume a nd p ar1cle n umber a re c onserved • Closed s ystem• Can e xchange e nergy w ith t he e nvironment• Cannot e xchange p ar1cles w ith t he e nvironment• Par1cle n umber i s c onserved• Total e nergy i s n ot c onserved• If c losed s ystem i n e quilibrium w ith e nvironment» Total e nergy h as a verage v alue r elated t o t emperature o fenvironment» Can u se t emperature t o c haracterize s tate o f s ystemIsolated, c losed, a nd o pen s ystems • Open s ystem• Can e xchange e nergy a nd p ar1cles w ith t he e nvironment• Total e nergy n ot c onserved• Par1cle n umber n ot c onserved• If o pen s ystem i n e quilibrium w ith e nvironment» Total e nergy h as a verage v alue r elated t o t emperature o fenvironment» Par1cle n umber h as a verage v alue r elated t o t emperature o fenvironment» Can u se t emperature t o c haracterize s tate o f s ystem» Can a lso u se c hemical p oten1al t o c haracterize t he s ystem» We w ill d efine t he c hemical p oten1al l ater• Right n ow w e a re u sing t he w ord t emperature • Later w e w ill d efine i t p roperlyHomogeneous s ystems• Homogeneous s ystem• The p roper1es o f t he s ystem a re t he s ame f or a ny p art • Heterogeneous s ystem• The p roper1es o f t he s ystem c hange d iscon1nuously a tcertain s urfaces• A h eterogeneous s ystem h as h omogeneous p arts • Different p arts o f t he s ystem a re i n d ifferent p hases• Phase b oundary• One s ystem, d ifferent p hases• e.g. p ot c ontaining w ater, a ir a nd s team• There a re t wo p hases – l iquid p hase a nd g aseous p hase• The b oundary b etween t hem i s c alled p hase b oundaryThermodynamic e quilibrium• Think o f a n i solated s ystem• The s ystem i s l ej s tanding f or a l ong 1me• It c omes t o a final s tate w hich d oes n ot c hange • Thermodynamic p arameters a re c onstant• The s ystem i s i n t hermodynamic e quilibrium i f i ts thermodynamic s tate d oes n ot c hange w ith 1me • A t hermodynamic s tate i s a n e quilibrium s tate • Thermodynamic e quilibrium• Also c alled t hermal e quilibrium• Ojen j ust e quilibriumThermal e quilibrium o f t wo s ystems • Generally c onsider t wo i solated s ystems A a nd B • Bring A a nd B i nto c ontact w ith e ach o ther• Ajer a l ong 1me t he t otal s ystem A+B r eaches e quilibrium• Then A a nd B a re i n e quilibrium w ith e ach o ther• A a nd B a re a lso (separately) i n t hermal e quilibrium • Think o f a c losed s ystem• A c losed s ystem e xchanges h eat w ith t he e nvironment• We c an t hink o f t he e nvironment a s a h eat b ath• e.g. t ea o n t able• Ajer a l ong 1me t emperature o f t ea = r oom t emperature• Tea i s i n t hermodynamic e quilibrium w ith r oom• Macroscopic v ariables w hich h ave a d efinite value f or e ach e ach s tate o f t hermal e quilibrium • State v ariables a re d efined o nly i n e quilibrium • Can b e m easured o nly i n e quilibrium• Usually w e o nly n eed a f ew (e.g. 3-‐4) s tate variables t o s pecify t he s tate o f a s ystem• Microscopic q uan11es a re N OT s tate v ariables • posi1on• velocity• momentum• Heat a nd w ork a re a lso N OT s tate v ariables• State v ariables c an b e • Pressure p• Volume V• Temperature T• Energy E (or U)• Entropy S• Par1cle n umber N• Chemical p oten1al μ• Total c harge Q• Total d ipole m oment P• Magne1za1on M• Refrac1ve i ndex ε• Viscosity o f a fluid• Chemical c omposi1onIntensive a nd e xtensive v ariables • Extensive q uan1ty• Scales w ith s ystem s ize• Propor1onal t o t he a mount o f m aVer i n t he s ystem• They a re a ddi1ve• Volume, e nergy, p ar1cle n umber, e ntropy• Intensive q uan1ty• Independent o f t he s ize o f t he s ystem• Independent o f t he a mount o f m aVer i n t he s ystem• Pressure, t emperature, d ensity• Also r efrac1ve i ndex a nd o thers• Can b e d efined l ocally (i.e. f unc1on o f r)• But m ost o f t he 1me w e a ssume t hem t o b e u niformEqua1on o f s tate• Func1onal r ela1onship b etween s tate v ariables • It d escribes a s ystem i n e quilibrium• For e xample i f p arameters a re p, V a nd T• There i s s ome f unc1on f(p, V, T) s uch t hatf(p,V,T)=0• Reduces n umber o f i ndependent p arameters f rom 3 t o 2• f i s g iven w hen t he s ystem i s s pecified = s tate f unc1on• State o f s ystem i s a p oint i n p, V, T s pace• Equa1on o f s tate d efines a s urface i n t his s pace• Any p oint o n t he s urface i s a s tate i n e quilibrium• Other p arameters – o ther s paces, p oints, s urface• Experimentally• All g ases b ehave i n a u niversal w ay w hen t hey a resufficiently d ilute = w hen t he d ensity i s l ow e nough • Ideal g as• Idealiza1on o f t his d ilute l imit• Par1cles a re p oint-‐like (i.e. h ave z ero s ize)• No i nterac1ons b etween p ar1cles• An i deal g as i s a n i dealized s ystem• Parameters f or i deal g as• p, V, T, N• Boyle’s l aw (1664) – a t c onstant t emperaturepV= constant = pVpV =nRT • Ideal g as e qua1on o f s tate• Defines i deal g as t emperature s cale• Like h igh-‐school p hysics• Ideal g as – H e a t v ery l ow d ensity• Measure p V/Nk o f i deal g as a t T a t w hich w ater b oils • Also m easure a t T a t w hich w ater f reezes• Draw a s traight l ine c onnec1ng t hem• Divide i nto 100 u nits – t his i s t he K elvin s cale• How t o u se• Bring o bject i n c ontact w ith i deal g as• Measure p V o f i deal g as• Read o ff t he t emperatureMore a bout t hermometers• Remember• Measuring t emperature i s r elated t o t he e qua1on o f s tate • To d efine a s cale• Choose T0 = 273.15K i n h onour o f K elvin• p0, V0 a re g iven i n y our t extbook• Celsius T C• Water f reezes = 0• Water b oils = 100• Fahrenheit T F• T F = 1.8 T C + 32• T F = T C at -‐40 d egrees• Degrees C elsius a nd d egrees F ahrenheit• But K elvin, n ot d egrees K elvinZeroth l aw o f t hermodynamics • If• System A i s i n e quilibrium w ith s ystem B• System B i s i n e quilibrium w ith s ystem C• Then• System A i s i n e quilibrium w ith s ystem C• Two s ystems A a nd B i n e quilibrium• Func1ons o f s tate f A a nd f B• See b lackboard f or d eriva1on• Systems i n t hermal e quilibrium• They h ave a c ommon i ntensive q uan1ty – t emperature• Systems n ot i n e quilibrium h ave d ifferent t emperatures • See b lackboard f or d eriva1on• First t ake t he i deal g as e qua1on o f s tate• Real g as – p hysical c onsidera1ons• First, p roper v olume• V i s n ot a c onstant b ecause V → 0 a s T → 0• Change V t o V – N b, w here b i s s ome p arameter• Second, i nterac1ons b etween p ar1cles• Interac1on i s m ainly a Vrac1ve• Consider a g lobe w ith a d ensity N/V• Inside t he g lobe t he a verage f orce b etween p ar1cles i s 0• But n ear t he w alls t his i s n ot t rue• Par1cles o n s urface f eel n et f orce t owards i nside• So p f or r eal g as i s s maller t han f or i deal g as• p ideal = p real + p0Exact a nd p ar1al d ifferen1als• State f unc1on = f unc1on o f m any v ariables • We m ake u se o f e xact a nd p ar1al d ifferen1als• For e xample i n e quilibriumf(p,V,T)=0• This m eans w e c an r egard p=p(V,T), V=V(p,T) a nd T=T(p,V) • Differen1al a lso c alled d eriva1ve• Total d eriva1ve, t otal d ifferen1al• See b lackboard f or d eriva1onTypes o f p rocesses• Infinitesimal p rocess• Difference b etween i ni1al a nd final s tate i s i nfinitesimal • Quasi-‐sta1c p rocess (ideal p rocess)• System a nd s urroundings m aintain t hermal e quilibrium• Change m ust b e s low e nough – S LOW p rocess• Quasi-‐sta1c p rocesses a re r eversible – a p rocess i sreversible i f i t r etraces i ts h istory i n 1me w hen t he e xternalcondi1ons r etrace t heir h istory i n 1me• Isothermal• Constant t emperature• Adiaba1c• No t hermal c ontact w ith t he s urroundings• However w ork i s d one o n t he s urroundings o r b y t hesurroundingsThermocouple 热电偶• Seebeck effect – t hermoelectric effect• Temperature d ifference g enerates v oltage i n c onductor• Join s econd c onductor t o m easure t he v oltage• Second c onductor h as o pposite effect• But i f m aterial i s d ifferent n et c urrent flows ∝ T• Used a s a t emperature s ensor• Useful b ecause• Ac1ve o ver w ide r ange o f t emperatures – 000s o f d egrees• Powers i tself• However• Not v ery a ccurate – n ot s ensi1ve b y m ore t han 1 d egree• So y ou c an u se i t w hen y ou d o n ot n eed m uch p recision• e.g. g as t urbine, d iesel e ngine, k iln (=oven), i ndustrySummary• Isolated, o pen a nd c losed s ystems• Thermodynamic e quilibrium• Intensive a nd e xtensive v ariables• State v ariables a nd e qua1on o f s tate • Ideal g as – n o i nterac1ons• Van d e W aals g as – w eak i nterac1ons • Temperature – t hermodynamic d efini1on • Thermometer• Assignments w ill b e g iven n ext w eek。
gross-pitaevskii方程
gross-pitaevskii方程
Gross-Pitaevskii方程式是描述玻色气体行为的方程，它是一个非
线性的薛定谔方程，用于描述超冷玻色气体的相干结构。
该方程的形式为：$$i\hbar \frac{\partial \psi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = -
\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r},t) +
V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r},t) + g
|\psi(\mathbf{r},t)|^2\psi(\mathbf{r},t)$$。
其中，$\psi(\mathbf{r},t)$是波函数，$V(\mathbf{r})$是外部势场，$g$是相互作用强度，$|\psi(\mathbf{r},t)|^2$代表玻色气体中粒
子的密度。
这个方程式是基于绝对零度下的玻色气体，现在广泛应用于描
述超冷原子气体（Bose-Einstein condensate,BEC）中的行为。
Gross-Pitaevskii方程式被广泛的应用于玻色气体中的相干结构、
布拉格散射、研究高次谐波生成以及BEC中的soliton。
玻色-爱因斯坦凝聚态冻结光线
玻色-爱因斯坦凝聚态冻结光线1.引言1.1 概述玻色-爱因斯坦凝聚态是一种量子物质的集体现象，它是一种超流体态，具有独特的性质和行为。
而冻结光线是指通过特殊的实验技术将光子束固定在空间中的一种现象。
本文旨在介绍玻色-爱因斯坦凝聚态和冻结光线的概念、特性以及相互关系。
通过对玻色-爱因斯坦凝聚态的原理和性质进行深入的分析，进一步探讨了冻结光线的形成机制以及它们在实验中的应用。
在2.1节中，我们将介绍玻色-爱因斯坦凝聚态的起源和基本原理。
我们将重点讨论原子在低温下的玻色-爱因斯坦凝聚转变，并解释其与超流性质的关系。
此外，我们还将讨论玻色-爱因斯坦凝聚态在凝聚态物理和量子信息科学等领域的应用。
在2.2节中，我们将详细介绍冻结光线的产生方式及其特点。
我们将着重探讨通过使用光晶格和Bose-Einstein凝聚体来实现对光子束冻结的方法。
同时，我们还将探讨冻结光线在光学传感、量子计算和光量子通信等领域中的潜在应用。
在结论部分，我们将总结玻色-爱因斯坦凝聚态和冻结光线在量子物理学中的重要性和前景。
此外，我们还将对未来的研究方向和可能的应用进行展望。
通过本文的阅读，读者将能够更深入地了解玻色-爱因斯坦凝聚态和冻结光线的概念、性质和应用。
我们希望本文能够为读者们提供全面而深入的信息，并激发对这一领域的进一步兴趣和探索。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：文章结构部分的主要目的是向读者介绍整篇文章的组织和内容安排。
通过清晰地概括文章的结构，读者可以更好地理解文章的主题和思路，并且在阅读过程中可以更加有针对性地获取所需的信息。
在本篇文章中，主要分为引言、正文和结论三个部分。
首先，在引言部分，我们将对本文的主题进行概述。
我们将简要介绍玻色-爱因斯坦凝聚态和冻结光线的概念，并明确本文的目的。
其次，在正文部分，我们将详细探讨玻色-爱因斯坦凝聚态和冻结光线的相关知识。
在玻色-爱因斯坦凝聚态的部分，我们将介绍其基本原理和特点，以及相关实验和应用方面的研究成果。
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arXiv:cond-mat/9905062v2 [cond-mat.soft] 18 May 1999DissipativedynamicsofakinkstateinaBose-condensedgas.P.O.Fedichev1,2,A.E.Muryshev2andG.V.Shlyapnikov1−31FOMInstituteforAtomicandMolecularPhysics,Kruislaan407,1098SJAmsterdam,TheNetherlands.
2RussianResearchCenter,KurchatovInstitute,KurchatovSquare,123182Moscow,Russia.
3LaboratoireKastlerBrossel∗,24,RueLhomond,F-75231,ParisCedex05,France
Wedevelopatheoryofdissipativedynamicsofakinkstateinafinite-temperatureBose-condensedgas.Wefindthatduetotheinteractionwiththethermalcloudthekinkstateacceleratestowardsthevelocityofsoundandcontinuouslytransformstotheground-statecondensate.Wecalculatethelife-timeofakinkstateinatrappedgasanddiscusspossibleexperimentalimplications.
I.INTRODUCTIONTherecentsuccessfulexperimentsonBose-Einsteincondensation(BEC)intrappedcloudsofalkaliatoms[1–3]haveboostedaninterestinthephysicsofultra-coldgases[4].Oneofthechallenginggoalsistocreateandstudymacroscopically(topologically)excitedBose-condensedstates,suchas2Dor3Dvorticesandtheir1Danalogies,theso-calledkinks.Theseexcitedstatesattractawideattentionbecausetheybehaveasparticle-likeobjects(solitons)andthusbringintheanalogieswithhigh-energyphysics,whereelementaryparticlesaresug-gestedtobesolitonsoffundamentalfields.Thesimplestexampleofanexcitedcondensatestateisakink-wisestateinacylindricalharmonictrap[5–7].Thisstatehasamacroscopicwavefunctionwithonenodalplaneperpendiculartothesymmetryaxisandrep-resentsanon-linearwaveofmatter.Theinvestigationofthesewavesisespeciallyinterestingforunderstandingtowhatextenttheyaresimilartolightwavesinnon-linearopticsandwhatisthedifferencerelated,inparticular,totheinterparticleinteractioninamatterwave.Fundamentallimitationsforcreatingandstudyingkinkstatesconcerntheirstability.Firstofall,akinkstateisalwaysthermodynamicallyunstable,sinceitsen-ergyislargerthantheenergyoftheground-stateBosecondensate.Incontrasttothewell-knownkinksolutionin1D[8],inthreedimensionsthekinkstateisalsochar-acterizedbythepresenceofatransversedynamicalin-stability,i.e.theinstabilityofsmall-amplitudenormalmodesofthemotionparalleltothenodalplane.Inordertosuppressthisinstabilityinatrap,oneshouldstronglyconfinetheradial(transverse)motionandturntoanef-fectively1Dcasebymakingtheradialfrequencylargerthanthemean-fieldinterparticleinteraction[7].Itisthisconditionthatmakesakink-wisecondensatestableinthelimitofzerotemperature.Thethermodynamicinstabilitywillleadtodecayofthe
∂t=−¯h2dx2+g|Ψ0|2−µΨ0,(1)whereg=4π¯h2a/m,aisthes-wavescatteringlength,mtheatommass,andµ=gn0isthechemicalpotential.ThecondensatewavefunctionΨ0exp(−iµt/¯h)inEq.(1)ischaracterizedbyasingledistancescale,thecorrelationlengthl0=¯h/√whereSisthetransversecrosssectionofthecondensate.Forthekinkstatewiththey,znodalplanemovingwithaconstantvelocity˙qalongthexaxis,Eq.(1)gives[11,6]Ψ0(x)=√cS+c2Stanhc2S(x−q)n0g/misthespeedofsound,anditisassumedthat|˙q|andcoordinateqattimet.ThedistributionfunctionFsatisfiesthekineticequation(see,e.g.[12])
∂F∂p∂H∂q∂H
∂pAF+∂
2πR(k)∂ǫk