2014年全国高中数学青年教师展评课：向量法教学设计(山东实验中学宋晖)
2014届高三数学总复习教案：4.1平面向量的概念与线性运算
第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算(对应学生用书(文)、(理)60～62页)考情分析考点新知①了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.②掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理.③了解向量的线性运算性质及其几何意义．掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.1. (必修4P63练习第1题改编)如图在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB→＝a，AD→＝b，则BE→＝________．答案：b－12a解析：BE→＝BA→＋AD→＋12DC→＝－a＋b＋12a＝b－12a.2. (必修4P65例4改编)在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝________．(用b、c表示)答案：23b＋13c解析：因为BD→＝2DC→，所以AD→－AB→＝2(AC→－AD→)，即3AD→＝AB→＋2AC→＝c＋2b，故AD→＝23b ＋13c . 3. (必修4P 63练习第6题改编)设四边形ABCD 中，有12DC →＝AB →且|AD →|＝||BC →，则这个四边形是________．答案：等腰梯形解析：AB →＝12DC →AB →∥DC →，且|AB →|＝12|DC →|，∴ ABCD 为梯形．又|AD →|＝|BC →|，∴ 四边形ABCD 的形状为等腰梯形．4. (必修4P 66练习第2题改编)设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则实数p ＝________．答案：－1解析：∵ BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴ 存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴ p ＝－1.1. 向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的长度(或模)，记作|AB →|.(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则．③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则．3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝|λ||a|；② 当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝(λμ)a ；② (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．4. 向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．[备课札记]题型1 平面向量的基本概念例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．答案：3解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .变式训练在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m)AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m)b ，∴ ⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴ AG →＝13a ＋13b .题型3 共线向量例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1) 证明：∵ AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴ BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴ AB →，BD →共线．又它们有公共点B ，∴ A 、B 、D 三点共线． (2) 解：∵ k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴ 存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a 、b 是两不共线的非零向量， ∴ k －λ＝λk －1＝0. ∴ k 2－1＝0.∴ k ＝±1. 备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．答案：λμ＝1解析：由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝tAC →，所以λa＋b ＝t(a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．答案：12解析：如图所示，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________．(用向量a 和b 表示)答案：23a ＋13b解析：因为AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，又AB →＝2DC →，所以AO →＝23AC →＝23⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝23a ＋13b . 2. (2013·四川)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，则λ＝2.3. (2013·江苏)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23DC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：12解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →＝λ1AB →＋λ2AC →，故λ1＝－16，λ2＝23，则λ1＋λ2＝12.4. 已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________．答案：45解析：由2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，得2PA →＋4PC →＝3AB →＋3BP →，∴ 2PA →＋4PC →＝3AP →，即4PC →＝5AP →.∴ |AP →||PC →|＝45，S △PAB S △PBC ＝|AP →||PC →|＝45.1. 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，所以AB →＋AD →＝AC →，又O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →，因为AB →＋AD →＝λAO →，所以λ＝2.2. 已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________．答案：1解析：∵ A ，B ，C 三点共线，∴ AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λOB →－λOA →，∴ OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即x ＝1－λ，y ＝λ，∴ x ＋y ＝1.3. 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：12解析：易知DE ＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.4. 已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1) 求GA →＋GB →＋GO →；(2) 若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1) 解：因为GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2) 证明：因为OM →＝12(a ＋b )，且G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.又PG →＝OG →－OP →＝13(a＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ，所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎡⎦⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。
山东省郓城县实验中学2014_2015学年高中数学2.2.1量加法运算及其几何意义学案新人教A版必修4
§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义学习目标：1.掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；学习重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 学习难点：理解向量加法的定义.学习过程【知识回顾】向量：相等向量：【自主学习】向量的加法：【重难点探究】一、 向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a提问：把两个向量平移到什么位置？ 两个向量的和起点是哪个？终点是哪个？注意：(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用(2)两个向量的和向量仍是一个向量（3）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；（4）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||.当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||； A B C a +ba +b aa bba ｂb a若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.(5)“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加【自我检测】例题1：如图，已知向量a ，b ，用三角形法则求作向量a b +ab二、向量加法的平行四边形法则 在平面内过同一点O 作OE b =，=，则以OE 、OA 为邻边构造平行四边形OEBA ，则以O 为起点的对角线向量OB 即a 与b 的和aB提问： 把二个向量平移到什么位置即可做平行四边形？【自我检测】 例题2： 如图，已知向量a ，b ，用平行四边形法则求作向量a b +三、向量加法的交换律和结合律1. 问题：上题中+的结果与+是否相同？从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：2．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )证：如图：使=， =， =则(+) +==+，+ (+) ==+∴(+) +=+ (+)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.b OEA a【小试身手、轻松过关】1、在平行四边形ABCD 中，++BC CD DA 等于（ ）A ．BDB ．AC C ．ABD ．BA2、向量++++()()AB MB BO BC OM 化简后等于（ ）A ．BCB ．ABC ．ACD ．AM3、在矩形ABCD 中，AC 等于（ ）A ．+BC BAB ．+AB DAC ．+AD CD D ．4、矩形ABCD 中，==||4,||2AB BC ，则向量++AB AD AC 的长度等（ ）A ．B ．．12 D ．65、已知向量//a b 且，>>||||0a b ，则a b +的方向（ ）A ．与向量a 方向相同B ．向量a 方向相反C ．与向量b 方向相反D ．与向量b 方向相反。
2014届高考数学一轮复习课件：第七章第7课时立体几何中的向量方法(新人教A版)
【解】 (1)证明：∵平面 SAD⊥平面 ABCD，平面 SAD∩ 平面 ABCD＝AD，SE⊂平面 SAD，SE⊥AD， ∴SE⊥平面 ABCD. ∵BE⊂平面 ABCD， ∴SE⊥BE. ∵AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，AE＝ED＝ 3， ∴∠AEB＝30° ，∠CED＝60° . ∴∠BEC＝90° ，即 BE⊥CE. 又 SE∩CE＝E，∴BE⊥平面 SEC. ∵BE⊂平面 SBE， ∴平面 SBE⊥平面 SEC.
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
非零 (1)直线的方向向量Fra bibliotek 在直线上任取一_______向量作为它的
方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出： a， 是平面 α 内两 设 b 不共线向量，n 为平面 α 的法向量，则求法向量的方程组
n· a＝0 为 . b＝0 n·
思考探究
→ → 法二：∵PD＝(0,1，－2)，PA＝(2 3，4，－2)， → 假设CM∥平面 PAD， → → → 则存在 x，y 使CM＝xPD＋yPA，
则0＝x＋4y 3 2＝－2x－2y
3 ＝2 3y 2
x＝－1 ，方程组的解为 1 ， y＝4
→ → 1→ ∴CM＝－PD＋ PA. 4 → → → 由共面向量定理知CM与PD，PA共面，故假设成立． 又∵CM⊄平面 PAD， ∴CM∥平面 PAD.
(2)取 AP 的中点 E，连接 BE， → 则 E( 3，2,1)，BE＝(－ 3，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. → → 又∵BE· ＝(－ 3，2,1)· 3，3,0)＝0， DA (2 → → ∴BE⊥DA，∴BE⊥DA， 又 PA∩DA＝A. ∴BE⊥平面 PAD，又∵BE⊂平面 PAB， ∴平面 PAB⊥平面 PAD.
2014年教师资格认定考试说课指导：平面向量的数量积说课稿
尊敬的各位评委、各位老师：大家好!
今天我说课的题目是《平面向量的数量积》。
下面我将从四个方面阐述我对本节课的分析和设计。
第一部分：教学内容分析：
1、教材的地位及作用：
将平面向量引入高中课程,是现行数学教材的重要特色之一。
由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。
而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。
《平面向量的数量积》是高一数学下册第五章第六节的内容。
平面向量数量积是中学数学的一个重要概念。
它的性质很多，应用很广，是后面学习的重要基础。
本课是第一课时，学生对概念的理解尤为重要。
2、教学目标的设定：
(1)知识目标：
平面向量数量积的定义及初步运用。
(2)能力目标：
通过对平面向量数量积定义的剖析，培养学生分析问题发现问题能力，使学生的思维能力得到训练。
(3)情感目标：
通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，体会学习的快乐。
3、教学重点：平面向量的数量积定义。
4、教学难点：平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用。
第二部分：教法分析：
采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。
高中数学_向量的数量积(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计教学目标知识与技能1、了解向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其几何意义。
2、体会向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质进行简单的应用。
过程与方法1、通过对向量数量积的学习及探索，不断培养学生的自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
2、培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
情感、态度与价值观1、在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面微量的本质及它与生活和自然科学的联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法2、通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识.教学重点1、向量数量积的含义与几何意义.2、向量数量积的性质及其应用.教学难点向量数量积的概念及其应用教学过程一、课前准备复习：前面我们研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？思考：通过前面学习了向量的线性运算，那向量与向量能否“相乘”？二、新课讲解探究1如右图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W = |F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角.问题：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？新知1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a ，b ． ②当θ＝π时，向量a ，b ．③当θ＝π2时，向量a ，b ，记作a ⊥b .新知2、向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量│a ││b │cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a •b ，即有a •b = │a ││b │cos θ， （其中０≤θ≤π）.定义说明：①记法“a ·b ”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替；② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零.想一想：向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？典型例题例1、 已知│a │=5，│b │=4，a 与b 的夹角为120，求a •b 练一练：1、已知│a │=2，│b │= ，a 与b 的夹角为60o求a •b2、已知│a │=12，│b │=9，，求a 与b的夹角θ。
《向量的数量积》示范公开课教学设计【高中数学人教】
《向量的数量积》教学设计第一课时前面已学了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算----向量数量积．教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量．在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系．（1）了解向量数量积的物理背景，经历平面向量数量积概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；（2）掌握向量数量积的几何意义，理解投影的概念，体会数学研究的一般过程．教学重点：向量数量积概念的形成过程及理解．1．教学问题：（1）学习过程中，学生对脱离背景之后抽象向量数量积的概念，一时难以适应；（2）向量数量积的几何意义的应用．2．教学支持条件：科大讯飞问答系统．【问题1】如图所示，物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W为多少？◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆教学过程【设计意图】认识向量的数量积的实际背景，为引出数量积运算作铺垫． 【预设师生活动】（1）学生：cos W θ=F s ．（2）老师：功W 是向量吗？（3）学生：不是．（4）老师： 那是什么？（5）学生：数量． （6）老师：但是力F 和位移s 都是向量啊，它们作了什么运算得到了数量？（7）学生：乘法……．（8）老师：我们学过实数的加法，减法，乘法和除法．前面我们学习了向量的线性运算，今天我们来学习向量的乘法．板书设计：数学中，我们把这种向量的乘法运算叫做向量的数量积（内积）．【问题2】如何定义向量的数量积？ 【设计意图】类比物理学中的功的定义，抽象出数学中的向量数量积的定义，体会数学抽象的过程．【预设师生活动】（1）学生：cos θ⋅=a b a b ．（2）老师：向量a ，b 有什么要求吗？θ是什么？（3）学生：θ是向量a 与b 的夹角． （4）老师：我们给出向量数量积的概念：已知两个非零向量向量a 与b ，我们把数量cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即cos θ⋅=a b a b ，其中θ是a 与b 的夹角，cos θa （cos θb ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．我们规定：零向量与任一向量的数量积为0．强调：向量a 、b 的数量积⋅a b 与代数中数a 、b 的乘积ab （或a b ⋅）不同，所以书写时一定要把它们严格区分开，以免影响后面的学习．（5）老师：你能确定两个非零向量的数量积的值何时为正，何时为负吗？它能等于零吗？（6）学生：当cos θ为正时，为正；当cos θ为负时，为负；当cos θ等于零时，为零．（7）老师：向量a 与b 的夹角θ的范围是什么？cos θ何时为正，何时为负，何时为零呢？（8）学生：向量a 与b 的夹角θ的范围是[]0,π．当π[0,)2θ∈时，cos θ为正；当π(,π]2θ∈时，cos θ为负；当π2θ=时，cos θ为零． （9）老师：类似地，投影的取值正负同样由向量的夹角θ的范围决定，请同学们自行归纳．（10）老师：当≠a 0时，0⋅=a b 能推出=b 0吗？（11）学生：不能．因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有0⋅=a b ．（12）老师：已知实数a ，b ，c （0b ≠），则ab bc a c =⇒=．那对向量的数量积，该推理正确吗？（13）学生：不正确，即⋅=⋅⇒a b b c =a c ．（14）老师：那么 ⋅=⋅a b b c 等价于什么？（15）学生：不知道．（16）老师： 我们先留下这个问题，等我们学完后面的内容再回来解决．（17）老师：例1．已知5=a ，4=b ，a 与b 的夹角120θ=︒，求⋅a b ．（18）学生：由数量积的定义，算得10⋅=-a b ．（19）老师：例2． 已知1=a ，=b （1）若a b ，求⋅a b ；（2）若a 与b 的夹角3π4θ=，求⋅a b ．（20）学生：第（1）问要分类讨论，当a 与b 同向时，⋅=a b当a 与b 反向时，⋅=a b第（2）问，1⋅=-a b ．【问题3】向量的数量积有什么性质？【设计意图】对两个向量的特殊位置关系（垂直、共线）下的数量积进行研究，从细节上认识定义．让学生参与这些性质的推导过程，体会数学中的性质是概念在合理的逻辑推理下的自然产物，培养学生逻辑推理的核心素养．（1）老师：0⊥⇔⋅=a b a b ，对吗？（2）学生1：对．学生2：根据向量数量积的定义，如果向量a 与b 是非零向量，当然是对的．但是，根据规定，零向量与任一向量的数量积为0．即当向量a 与b 有零向量时，结论不对．（3）老师：同学们讲得非常好．但是，我们对零向量的方向是如何规定的？（4）学生2：哦，对了．零向量与任意向量共线，自然也就与任意向量垂直了．所以，老师，结论0⊥⇔⋅=a b a b 无论向量a 与b 是否为非零向量都是对的．（5）老师：非常好，同学们对概念的理解又深入了．这个结论也提示我们，以后我们要证明垂直时，只需证明两个向量的数量积为零即可．（6）老师：能不能用向量的数量积表示向量的模？（7）学生：按照定义，当a 与b 同向时，⋅=a b a b ．那么，2⋅=a a a ．（8）老师：非常好，我们记2⋅=a a a ，注意，2a 和a 都是实数，所以我们可以写出=a（9）老师：对于模一定的向量a 与b ，数量积⋅a b 有没有范围？（10）学生：由于cos 1θ≤，所以⋅≤a b a b ．【问题4】我们说向量本身兼具“数”和“形”，你能够说一说数量积的几何意义吗？【设计意图】进一步加深对投影的概念的理解，体会数形结合．【预设师生活动】（1）学生：由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos θb 的乘积．（2） 教师：思考题：在圆C 中，已知弦AB 的长为l ，那么AB AC ⋅的值为多少？【设计意图】进一步加深对数量积的几何意义的理解，让学生学会应用数量积的几何意义解决问题．【问题5】你能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的概念？【设计意图】课堂小结．由学生总结、概括本节课所学习的主要内容，教师进行提炼，并总结学习新概念的基本思路．【预设师生活动】（1）学生总结后得到向量数量积的定义，性质，及其几何意义．（2）老师：小结完成了，同学们是否有什么疑惑的地方？有的话，可以提出来．数量积是一种我们引入的新的运算，我们在实数的四则运算中，研究过运算律．那么，下节课我们就来研究数量积的运算律或运算法则．【习题检测】1．课中检测通过例题及思考题检测学生理解情况，注意及时收集学生反馈．2．课后检测请完成课后练习，检测学习效果．第二课时◆教材分析前面已学了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量数量积．教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量．在定义了数量积的概念后，进一步探究其运算律．◆教学目标（1）理解向量数量积的运算律，经历平面向量数量积运算律的证明过程，培养学生逻辑推理与运算的能力；（2）掌握向量数量积的运算律，进一步理解投影的概念，体会数学运算的一般法则．◆课前准备1．教学问题：（1）学习过程中，学生对新的运算的运算律感觉抽象，一时难以适应；（2）向量数量积的运算律的应用．2．教学支持条件：科大讯飞问答系统．◆教学过程【问题1】我们学过的实数的乘法运算有哪些运算律？【设计意图】以学生熟悉的实数的乘法运算律为背景，为引出数量积的运算律作铺垫．【预设师生活动】（1）学生：交换律，结合律，对加法的分配律等．（2）老师：那么，向量的数量积会不会也有这些运算律啊？ （3）学生：有……没有……有……（4）老师：那我们先不着急下结论，我们一条一条来验证．如果要证明数量积具有交换律，是证明哪个等式？（5）学生：⋅=⋅a b b a ． （6）老师：对，那怎么证明？（7）学生：这个简单，直接用定义即可，因为向量a 与b 的夹角不变，模的乘积相等．板书设计：向量的数量积（内积）的运算律：（1）交换律：⋅=⋅a b b a（8）老师： 那么分配律呢？（9）学生：()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ．（10）老师：怎么证明呢？给学生5分钟时间思考，证明．并通过科大讯飞的技术平台查看学生的证明过程． 之后演示学生中比较严谨的证明过程并表扬，然后点评证明过程中要注意的地方．（11）老师： 那么结合律呢？（12）学生：()()⋅=⋅a b c a b c ．（13）老师：很好，大家的类比还是很强．但是我说这个等式不成立，你们知道为什么吗？（14）学生：等式的两边我们可以看成向量与实数的数乘运算，结果是向量．而向量的相等需要模相等并且方向相同，而等式的左边的向量与向量c 共线，右边的向量与向量a 共线，所以一般情况下这个等式不成立．（15）老师：说的非常好，既然你提到了实数与向量的数乘运算，我们对于结合律能不能把实数与数量积的运算考虑在一起？（16）学生：()()λλ⋅=⋅a b a b ？（17）老师：非常好，能不能证明出来？请xx 同学上黑板来证明，其他同学在草稿纸上证明．老师对xx 同学的证明过程进行点评，随后通过PPT 演示证明过程．（18）学生：()()()λλλ⋅=⋅=⋅a b a b a b 成立吗？（19）老师：成立．证明方法同上，请同学们下课后完成．【问题2】在实数的四则运算中，我们有完全平方和公式和平方差公式，向量的数量积是否有类似的结论？【设计意图】类比实数运算中的公式，推导向量数量积的运算公式，体会代数运算的推导过程．【预设师生活动】（1）学生：()2222+=+⋅+a b a a b b ，()()22+-=-a b a b a b ．（2）老师：如何证明？给学生10分钟时间思考，证明．并通过科大讯飞的技术平台查看学生的证明过程．之后演示学生中比较严谨的证明过程并表扬，然后点评证明过程中要注意的地方，揭示代数运算中交换律对于运算的重要性，引导学生对运算有更本质的认识．（3）教材P105 页例3：已知6=a ，4=b ，a 与b 的夹角为60︒，求()()23+⋅-a b a b ． 设计意图：让学生熟悉数量积的运算律及数量积的概念．（4）教材P105 页例4：已知3=a ，4=b ，且a 与b 不共线．k 为何值时，向量k +a b与k -a b 互相垂直？设计意图：让学生熟悉数量积的运算律及数量积的应用．（5）已知2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为120︒，求：（1） ⋅a b （2） 22-a b （3） ()()23-⋅+a b a b （4）+a b （5） -a b设计意图：让学生熟悉数量积的运算律及数量积的应用．【问题3】你能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的知识？【设计意图】课堂小结．由学生总结、概括本节课所学习的主要内容，教师进行提炼，并总结学习新运算律的基本思路．【预设师生活动】（1）学生总结后得到向量数量积的运算律，公式等．（2）老师：小结完成了，同学们是否有什么疑惑的地方？有的话，可以提出来．数量积作为一种我们引入的新的运算，我们已经研究了运算律．向量兼具“数”与“形”，那么，下节课我们就来研究数量积的坐标运算．【习题检测】1．课中检测通过例题及思考题检测学生理解情况，注意及时收集学生反馈．2．课后检测请完成课后练习，检测学习效果．。
《空间向量基本定理》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《空间向量基本定理》教学设计◆教学目标1、理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理的内容及含义.提升学生的数学抽象素养.2、会用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理解决空间几何中的简单问题．提高逻辑推理、数学运算的数学素养．◆教学重难点◆教学重点：理解共面向量定理教学难点：利用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理解决空间几何中的简单问题.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第12-13页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习空间向量基本定理第一课时共面向量定理的知识内容．（2）本节知识主要是回顾平面向量的基本定理，及由平面向量基本定理得到的共面向量定理，是平面向量相关知识向空间的推广，因此这时的教学应继续紧扣“推广”这一重要环节．它对于下一节学习空间向量基本定理做好了铺垫，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、复习概念问题2：我们在必修第二册第六章中曾经学习过平面向量中的共线向量基本定理和平面向量基本定理，请同学们归纳出共线向量基本定理和平面向量基本定理．（板书：空间向量及其运算第一课时）师生活动：在教师的指导下共同归纳总结共线向量基本定理和平面向量基本定理． 教师讲解：平面向量中的结论(1)共线向量基本定理:如果a ≠0且b ∥a ,则存在唯一的实数λ,使得b =λa .(2)平面向量基本定理:如果平面内两个向量a 与b 不共线,则对该平面内任意一个向量c ,存在唯一的实数对(x ,y ),使得c =x a +y b .设计意图：通过复习,引导学生把握数学内容的本质,发展学生数学学科核心素养,使学生加深理解共线向量基本定理和平面向量基本定理,为下面学习空间向量基本定理打下坚实的基础.2、形成定义观察上述共线向量基本定理和平面向量基本定理,思考上述结论在空间中是否仍然成立？如何判断空间中的三个向量是否共面？师生活动：通过类比，学生自己得出共面向量定理的内容．教师讲解：可以看出,共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立． 例如,如图1-1-16所示的正方体1111-ABCD A BC D 中,P 在直线1AA 上的充要条件是,存在实数λ,使得1λ=AP AA ,如果M 在底面ABCD 内,则一定存在实数s 与t,使得=+AM sAB t AD ,而且,若ME⊥AD,MF⊥AB,则,t ==AF sAB AE AD ,另外,在空间中,由平面向量基本定理以及空间向量加法的平行四边形法则,还可以得到如下空间中三个向量是否共面的判别方法.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,则向量a ,b,c 共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c =x a +y b .设计意图：通过引入正方体的具体实例让学生进一步验证了共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立.由学生自己动手实践、观察、比较,抽象概括得出定理,让学生体会由特殊到般的思维方法,发展学生的理性思维能力.问题3：如何证明共面向量定理？师生活动：学生自己写出证明过程，教师给出答案．预设的答案：在共面向量定理的证明中,证明必要性时,因已知条件和求证结论与平面向量基本定理吻合,充分性的证明如下:因为,xa yb 分别与,a b 共线,所以,xa yb 都在,a b 确定的平面内,又因为+xa yb 是以,xa yb 为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,并且此平行四边形在,a b 确定的平面内,所以=+c xa yb 在,a b 确定的平面内,即c 与,a b 共面．设计意图：通过对定理的证明，强化共面向量定理的理解．三、初步应用例1例1如图1-1-17所示,已知斜三棱柱111-ABC A B C , 1,,===AB a AC b AA c ,在1AC 上和BC 上分别有一点M 和N,且1,==AM k AC BN kBC ,其中01≤≤k ，求证:,,MN a c 共面．师生活动：学生尝试自行解答，由老师指定学生给出证明，教师给出规范解答． 预设的答案：证明因为1==+AM k AC kb kc ，()=+=+=+-+AN AB BN a kBC a k a b=(1)-+k a kb ，所以(1)(1)=-=-+--=--MN AN AM k a kb kb kc k a kc由共面向量定理可知,,,MN a c 共面．设计意图：例1旨在说明共面向量定理的应用，可以通过分析，明确证明目标，应注意让学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立分析问题解决问题的能力．练习：已知A,B,C 三点不共线，对平面ABC 外任意一点O ，确定在下列条件下，点M 是否与A,B,C 共面： 111(1);333=++OM OA OB OC (2)2=--OM OA OB OC师生活动：学生根据例1做出解答，并由教师给出答案．预设的答案：（1）共面；（2）不共面．设计意图：加强对共面向量定理的应用，培养学生独立分析问题解决问题的能力．问题4：由共面向量定理是否可得到判断空间中四点是否共面的方法？师生活动：学生尝试总结，并相互交流，教师给出答案．预设的答案：如果A,B,C 三点不共线,则点P 在平面ABC 内的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使=+AP xAB yAC .设计意图：通过对共面向量定理的理解，得到判断四点共面的方法，提升学生逻辑推理素养．例2：如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连接P A ，PB ，PC ，PD ，点E ，F ，G ，H 分别是△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，分别延长PE ，PF ，PG ，PH ，交对边于M ，N ，Q ，R ，并顺次连接MN ，NQ ，QR ，RM ．应用向量共面定理证明：E ，F ，G ，H 四点共面．师生活动：学生先尝试识图，并给出解题思路，教师给出规范证明过程．预设的答案：∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 为所在边的中点，顺次连接M ，N ，Q ，R ，所得四边形为平行四边形，且有PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →． ∵四边形MNQR 为平行四边形，∴EG →＝PG →－PE →＝23PQ →－23PM →＝23MQ →＝23(MN →＋MR →)＝23(PN →－PM →)＋23(PR →－PM →)＝23⎝⎛⎭⎫32PF →－32PE →＋23⎝⎛⎭⎫32PH →－32PE → ＝EF →＋EH →，∴由共面向量定理得EG →，EF →，EH →共面，所以E ，F ，G ，H 四点共面．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）什么是共线向量基本定理？（2）什么是平面向量基本向量？（3）什么是共面向量定理？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：(1)共线向量基本定理:如果a ≠0且b ∥a ,则存在唯一的实数λ,使得b =λa .(2)平面向量基本定理:如果平面内两个向量a 与b 不共线,则对该平面内任意一个向量c ,存在唯一的实数对(x ,y ),使得c =x a +y b .（3）共面向量定理:如果两个向量a 与b 不共线,则向量a 、b 、c 共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x ,y ),使c =x a +y b .. 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间向量的概念的有关知识． 布置作业：教科书第16页练习A1,2题．五、目标检测设计1.O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )A ．OA →，OB →，OC →共线B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面设计意图：考查学生对共线向量基本定理的应用．2.对于空间的任意三个向量a ，b,2a －3b ，它们一定是( )A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量设计意图：考查学生对共面向量定理的简单应用．3．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．设计意图：考查学生对共线向量基本定理的应用． 参考答案：1．D [由OA →，OB →，OC →不能构成基底知OA →，OB →，OC →三向量共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面．]2．A [根据共面向量定理知a ，b,2a －3b 一定共面．] 3．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ． ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→) ＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ．∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c ． 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →．∴E ，F ，B 三点共线．。
2014年高考数学总复习教案：第四章 平面向量与复数第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示
第四章平面向量与复数第2课时平面向量的基本定理及坐标表示(对应学生用书(文)、(理)63～64页)考情分析考点新知①了解平面向量的基本定理及其意义.②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件．能正确用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，以及熟练掌握用坐标表示的平面向量共线的条件.1. (必修4P75习题2.3第3题改编)若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x ＝________．答案：－6解析：a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.2. (必修4P75习题2.3第2题改编)若向量BA→＝(2，3)，CA→＝(4，7)，则BC→＝________．答案：(－2，－4)解析：BC→＝BA→＋AC→＝BA→－CA→＝(－2，－4)．3. (必修4P74例5改编)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ＝________．答案：－1解析：λa＋b＝(λ＋2，2λ)，∵向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，∴(λ＋2)×(－2)＝2λ×1，解得λ＝－1.4. (必修4P 75习题2.3第5题改编)已知四边形ABCD 的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫2，72 解析：设D(x ，y)，则由BC →＝2AD →，得(4，3)＝2(x ，y －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4，2（y －2）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.5. 已知e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝2e 1－5e 2，CD →＝λe 1－e 2.若三点A 、B 、D 共线，则λ＝________．答案：8解析：∵ A 、B 、D 共线，∴ AB →与BD →共线，∴ 存在实数μ，使AB →＝μBD →.∵ BD →＝CD →－CB →＝(λ－2)e 1＋4e 2，∴ 3e 1＋2e 2＝μ(λ－2)e 1＋4μe 2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧μ（λ－2）＝3，4μ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝8.1. 平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2．我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2. 平面向量的直角坐标运算(1) 已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．a ∥b x 1y 2－x 2y 1＝0.[备课札记]题型1 向量的坐标运算例1 已知A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求点M 、N 及MN →的坐标．解：∵ A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴ CA →＝(1，8)，CB →＝(6，3)，∴ CM →＝3CA →＝(3，24)，CN →＝2CB →＝(12，6)．设M(x ，y)，则有CM →＝(x ＋3，y ＋4)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，∴ M 点的坐标为(0，20)．同理可求得N 点的坐标为(9，2)，因此MN →＝(9，－18)．故所求点M 、N 的坐标分别为(0，20)、(9，2)，MN →的坐标为(9，－18)．备选变式（教师专享）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝________． 答案：(－3，－5)解析：由题意，得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．题型2 向量共线的条件例2 已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，求m 的值． 解：a ＋b ＝(1，m －1)，c ＝(－1，2)． ∵ (a ＋b )∥c ，∴ 1－1＝m －12，∴ m ＝－1.变式训练已知向量a ＝(6，2)，b ＝(－3，k)，若a ∥b ，求实数k 的值． 解：(解法1)∵ a ∥b ， ∴ 存在实数λ，使b ＝λa ，∴ (－3，k)＝(6λ，2λ)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝－3，2λ＝k ，∴ k ＝－1.(解法2)∵ a ∥b ，∴ －36＝k2，∴ k ＝－1.题型3 平面向量基本定理例3 如图，已知△ABC 的面积为14，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，AE 与CD 交于P.设存在λ和μ使AP →＝λAE →，PD →＝μCD →，AB →＝a ，BC →＝b .(1) 求λ及μ； (2) 用a 、b 表示BP →； (3) 求△PAC 的面积．解：(1) 由于AB →＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .AP →＝λAE →＝λ⎝⎛⎭⎫a ＋23b ，DP →＝μDC →＝μ⎝⎛⎭⎫13a ＋b ， AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →，即23a ＋μ(13a ＋b )＝λ⎝⎛⎭⎫a ＋23b . ⎩⎨⎧λ＝23＋13μ，μ＝23λ，解得λ＝67，μ＝47.(2) BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b . (3) 设△ABC 、△PAB 、△PBC 的高分别为h 、h 1、h 2， h 1∶h ＝|PD →|∶|CD →|＝μ＝47，S △PAB ＝47S △ABC ＝8.h 2∶h ＝|PE →|∶|AE →|＝1－λ＝17，S △PBC ＝17S △ABC ＝2，∴ S △PAC ＝4.备选变式（教师专享）如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B 、C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________．答案：12解析：由B 、H 、C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x)AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x)AC →. 又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x)＝12.1. 在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S)满足p ∥q ，则C ＝________．答案：π4解析：由p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S)且p ∥q ，得4S ＝a 2＋b 2－c 2，即2abcosC ＝4S ＝2absinC ，所以tanC ＝1.又0＜C ＜π，所以C ＝π4.2. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，且3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，则a ∶b ∶c ＝________．答案：20∶15∶12解析：∵ 3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，∴ 3a(BA →＋AC →)＋4bCA →＋5cAB →＝0，∴ (3a －5c)BA →＋(3a －4b)AC →＝0.∵ 在△ABC 中，∴ BA →、AC →不共线，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝5c ，3a ＝4b ，解得⎩⎨⎧c ＝35a ，b ＝34a.∴ a ∶b ∶c ＝a ∶34a ∶35a ＝20∶15∶12.3. (2013·北京文)向量a 、b 、c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R )，则λμ＝________．答案：4解析：以向量a 、b 的交点为原点作直角坐标系，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ＝λ(－1，1)＋μ(6，2)⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4. 4. 在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一条直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(xy ≠0)，则4x ＋y 的最小值是________．答案：94解析：因为D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，所以AE →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)．又AB →＝1x AM →，AC →＝1y AN →，所以AE →＝14x AM →＋14yAN →.因为M 、E 、N 三点共线，所以14x ＋14y ＝1，所以4x ＋y ＝(4x ＋y)⎝⎛⎭⎫14x ＋14y ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4x y ＋y x ≥14⎝⎛⎭⎫5＋24x y ·y x ＝94.1. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．答案：1＋3232解析：(解法1)以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)．令AB ＝2，则AB →＝(2，0)，AC →＝(0，2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线为F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD →＝(2＋3，3)．∵AD →＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x ，2y)．即有⎩⎨⎧x ＝1＋32，y ＝32.(解法2)过D 点作DF ⊥AB 交AB 的延长线为F.由已知可求得BF ＝DF ＝32AB ，AD →＝AF →＋FD →＝⎝⎛⎭⎫1＋32AB →＋32AC →，所以x ＝1＋32，y ＝32. 2. 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若AP →＝AB →＋λ·AC →(λ∈R )，试问： (1) λ为何值时，点P 在第一、三象限角平分线上； (2) λ为何值时，点P 在第三象限．解：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP →＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)，AB →＋λAC →＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．由AP →＝AB →＋λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ，∴ 点P 坐标为(5＋5λ，4＋7λ)．(1) 若点P 在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴ λ＝12.(2) 若点P 在第三象限内，则5＋5λ<0且4＋7λ<0， ∴ λ<－1.3. 如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.4. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求1x ＋1y的值．解：设AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝x a ，AN →＝y b ， AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝14(a ＋b )．∴MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝⎛⎭⎫14－x a ＋14b ， MN →＝AN →－AM →＝y b －x a ＝－x a ＋y b .∵MG →与MN →共线，∴存在实数λ，使MG →＝λMN →. ∴⎝⎛⎭⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧14－x ＝－λx ，14＝λy ，消去λ，得1x ＋1y＝4.1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．2. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．3. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]。
全国高中数学 青年教师展评课 向量法课件(海南华侨中学)
g)运 几何（基算向量）
向量结 论
几何解释
几何结 论
向量运算
回归几何
第八页，共11页。
第九页，共11页。
五、课后巩固 (gǒnggù)
1.点P是正方形ABCD所在(suǒzài) 平面外一点,点M,N分别在 PA,BD上,且PM︰MA= BN︰ND=2︰1, 若PD⊥平面ABCD, 且 DP=DA (1)求异面直线MN与PC成角 的余弦值; (2)求平面AMN与平面PBC所 成锐二面角。
知 识 链 接
第五页，共11页。
三、向量(xiàngliàng)在立体几何问题中的应用
问题2
如果(rúguǒ)AB=AD=AA1 =1,且 ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60° （1）求BD1 （2）求直线BD1和AC所成
角的余弦值。
向量法求异面直线成角
, a,b 相等或互补
知
识
链
cos cos a,b
知 识
所以(suǒyǐ)∠A=90°
链 接
第三页，共11页。
二、知识(zhī shi) 重构
线面角
向量
第四页，共11页。
夹角公式
三、向量在立体几何(lìtǐjǐhé)问题中的应用
猜一猜
平行六面体对角线的平 方和与各条棱长的平方和 有什么(shén me)关系？
空间向量基本定理
已知：平行六面体ABCD-A1B1C1D1
求证(qiúzhèng)： AC12+DB12+BD12+A1C2 AC1 2 DB1 2 B=D41(A2 B2+AA1CD22+AA12)
2
2
2
4 AB AD AA1
BD1
2014高考数学(理)一轮复习总教案：4.1 平面向量的概念及线性运算
第四章平面向量高考导航考试要求重难点击命题展望1.平面向量的实际背景及基本概念（1)了解向量的实际背景;(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;(3）理解向量的几何表示。
2。
向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义；（3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及其坐标表示（1)了解平面向量的基本定理及其意义；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；本章重点：1。
向量的各种运算;2。
向量的坐标运算及数形结合的思想；3.向量的数量积在证明有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中的应用.本章难点：1。
向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景，同时又是数形结合思想运用的典范，正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份",所以它成为中学数学知识的一个交汇点.在高考中，不仅注重考查向量本身的基础知识和方法，而且常与解析几何、三角函数、数列等一起进行(3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;(4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4。
平面向量的数量积（1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义;（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系；（3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算;（4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5。
向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；(2）会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题。
问题中的应用；2.向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用。
综合考查.在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值.知识网络4.1 平面向量的概念及线性运算典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题:①向量AB的长度与BA的长度相等;②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同;④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上。
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全国优质课比赛《向量法》山东省实验中学宋晖一、教学内容解析作为现代数学重要标志的向量引入到中学数学中来，进一步发展和完善了中学数学知识结构体系。
向量具有数与形的双重身份，可以为解决图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种代数方法，成为研究几何、代数问题的共同工具，也是研究力学、电学以及许多现代科学技术的有力工具。
因此,向量成为中学数学知识的交汇点，通过对传统问题的分析，帮助学生建立代数与几何的联系，构造学生知识的网络，也为中学数学向高等数学的过渡打下良好的基础。
所谓向量法，即从问题的条件入手，找到与向量知识相关点，转化为向量背景下的形式，借助向量的运算法则求解，然后回到原问题中达到解决问题的目的。
通过向量解题的学习，使学生掌握解决数学问题的基本技能和技巧，认识数学内容之间的内在联系,提升运算能力和逻辑思维能力,体会向量解题思维遵循的相关原则:数形结合、转化与化归等。
二、教学目标设置根据《课程标准》的要求和教材特点，结合高三学生的认知能力，确定如下三维教学目标：1、知识与技能目标：(1)掌握向量的运算（线性运算、数量积）；(2)能用基向量法和坐标法两种向量法解决平面几何、立体几何问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
2、过程与方法目标：(1)培养学生利用思维导图总结知识结构的能力、归纳总结关键点和思想方法的能力；(2)借助题组的探究让学生体会数学结合与转化在向量法应用中的作用。
3、情感、态度与价值观目标：通过师生互动，生生互动的教学活动，培养学生锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度，激发学生学数学、爱数学的情感。
【教学重点】用基底法和坐标法两种向量法解决平面几何、立体几何问题【教学难点】用基底法解决平面几何、立体几何问题。
根据以上目标的确定，教学上力求体现三种能力：探究能力、交流能力、反思能力。
在学生已有知识和方法的基础上，通过教师引导，学生自主学习、小组讨论、交流合作的办法来实现重难点的突破，进而达到预期的教学目标。
三、学生学情分析对高三学生进行试题讲评时,应按照“三讲三不讲”的原则，即：讲易混点，讲易错点，讲易漏点；学生自己已经会了的不讲，学生自己能学会的不讲，老师讲了学生也学不会的不讲。
师生互动、生生互动时,采用“焦点访谈”方式探讨三个焦点：知识的模糊点；简单题的易错点；综合题的突破点，通过重点出击，逐个突破的教学过程使学生深化知识应用进而形成能力，实现教学目标。
【认知储备】学生已经掌握向量加法法则、数乘的意义及其运算律、向量数量积的意义和运算律以及空间向量基本定理等核心知识, 具备数形结合、转化与化归等思想方法。
【心理准备】由于学习活动形式多样,展示汇报机会较多,学生学习数学兴趣浓厚而且热情高涨，为本节课的探究活动的有效开展作好了铺垫。
四、教学策略分析【教法分析】本节复习课依据建构主义的认知理论，强调学生的自主复习、自我建构，而复习课的关键是提高复习的有效性，实施有效教学，基于以上几点分析采用“学案导学-自主探究-重点突破”复习模式。
教师课前编制学案,提出学习资源供学生参阅,批阅学案并收集其中做题方法新颖巧妙、思路简捷、一题多解等典型范例;课上向全班进行交流，以达到消除错误，引导学生顺利突破教学难点,从中总结思想方法，同时让思维得到升华。
【学法分析】美国著名数学教育家波利亚明确指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去探究发现”。
课堂不是教师的一言堂，而是学生探究的乐园，投影展示既可以完整展示学生的思路、过程又提高了课堂效率，学生的补充交流可以更好的激起思维的火花，让学生做到三“动”即：形动、心动、神动，逐步养成良好的学习习惯。
五、教学支持条件分析1、为了有效实现教学目标，借助多媒体、实物投影仪、微课等辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，真正实现高效课堂。
2、利用教师提供的学习资源包给学生一个辅助的平台，帮助学生有效解决问题。
六、教学过程设计项目前：学生课前复习平面向量、空间向量的知识，分以下三个阶段完成工作:1、自主探究：总结向量知识结构，完成学案上的题组；2、微课助学：观看视频，改进知识结构,促进问题的解决；3、合作互学：小组内交流，完善知识结构，释疑解惑。
教师批改学生的学案，总结学生的问题，为项目中做好准备。
[设计意图]通过三个阶段任务的解决，一方面可以复习相关知识，建构知识结构;另一方面可培养学生发现问题、解决问题的能力, 更多地让学生主动参与。
项目中：（一）思维导图知识建构【问题1】总结向量的知识结构，你认为重点和易错点是哪些？活动：小组代表梳理本章知识结构图，其他小组补充，教师借助思维导图加以总结。
[设计意图]知识梳理、建构是复习的“根”，它是一个不断完善的过程。
学生课前结合学案中的考纲要求来查找知识的模糊点，使学生完成对知识的第一次建构;课前小组内交流结果和课上小组代表展示成果, 加深学生对知识的理解，使学生完成对知识的第二次建构;师生共同补充总结，使学生完成对知识的第三次建构。
通过三次建构,让学生主动参与进来，提升课堂效率。
（二）典例分析方法探究【问题2】向量都有哪些应用？向量在解决平面几何、立体几何、解析几何、三角以及物理中都有广泛的应用，而高中数学中向量应用最多的还是平面几何和立体几何。
活动：学生个别回答，其他同学可以提出自己的见解，教师总结点评。
[设计意图] “学生的头脑不是盛东西的容器，而是需要点燃的火把”，设置问题2可以激发学生的探究欲望,阐明本节课的重点是回顾平面几何和立体几何这两方面的应用,其它应用可以借助微课学习进行课下探究。
探究一：向量法在平面几何中的应用题组1：1、（1）设P 是ABC ∆所在平面内的一点，设BCP ∆与ABP ∆的面积分别为21,S S ,则21:S S =_______（2）已知平面内有一点P 及一个ABC ∆，若=++，则点P 在（ ）A .ABC ∆的内部B .AC 边所在直线上C .AB 边所在直线上D .BC 边所在直线上2、（1）点O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足0)2()(=-+⋅-，则ABC ∆为 .（2）点O 为ABC ∆所在平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则O 是ABC ∆的（ ）A .外心B .内心C .重心D .垂心 活动1：对问题较多的第2题（1）问，选取两个小组的代表板书并讲解题目。
[设计意图] 学生的两种做法:一是运用了向量运算的几何意义，二是抓住了减法运算的逆运算进行拆分的技巧，很好的体现了数形结合和转化的思想方法。
活动2：投影展示个别学生的典型错误，小组讨论交流后学生本人讲解错因。
[设计意图] 解决问题过程中，“试误”和“顿悟”常常是交替进行的,它们有助于学生找到题目在整个知识体系中的落脚点，从纷繁复杂的习题中提炼本质的、共性的思想方法。
【问题3】题组1解决了平面几何的什么问题？用到了哪些知识方法？题组1主要解决了利用向量法判断平面几何中的图形关系问题，用到了向量的基本运算和运算的几何意义，体现了数形结合和转化的思想方法。
活动：小组交流讨论，派代表汇报成果，师生共同补充评价。
[设计意图] 问题3是本节课的重点，把时间还给学生，培养学生的概括总结能力，使学生对解题方法由感性认识上升到理性认识，完成了思维的提升。
题组2：1、在边长为1的正三角形ABC 中, 设,3,2CE CA BD BC ==则=⋅________．2、如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥,3BC BD =,1AD =,则AC AD = .活动1：教师屏幕展示同学们第1题出现的两种解法，并选取个别同学进行讲解。
[设计意图] 第1题的设置意在强调两种解决向量有关求值问题的方法：基底法和坐标法，尤其是抓住了图形中隐含的垂直关系建系，通过坐标法来求解可简化运算。
活动2：教师屏幕展示个别学生解决第2题的基底法，同时引导学生自主探究尝试用坐标法解决此题。
[设计意图] 第2题学生出现的问题较多，恰当选取基底可将其化繁为简, 体会转化的思想方法。
，引导学生运用坐标法巧解这个题目，既激发了学生探究新方法的兴趣，又加深了学生对基底法和坐标法两种方法的理解和应用。
同时学生探究出的特值法也是做选择填空题的常用技巧方法。
【问题4】题组2解决了平面几何的什么问题？用到了哪些知识方法？题组2解决了平面几何求值的问题,用到了向量分解和运算的知识，方法上用到了基底法和坐标法，根据题目特点可以灵活选择方法。
活动：小组交流讨论，派代表汇报成果，师生共同补充评价。
[设计意图]问题4设置的目的在于:成功的习题课必须使学生达到对知识的全面理解，对知识点强化到位，对重点和难点突破到位，对基本技能掌握到位，对思维方法发展到位，对知识的灵活运用到位。
探究二: 向量法在立体几何中的应用题组3：1、如图所示，在正方体D C B A ABCD -中，E 是棱DD 的中点。
1E（Ⅰ）求直线BE 与平面11A ABB 所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱11D C 上是否存在一点F ，使//F B 1平面BE A 1？证明你的结论。
2、如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为1的菱形，60=∠BCD ，E 是CD 的中点，⊥PA 底面ABCD ，2=PA 。
（Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角的大小。
第1题主要考查了利用向量法证线面平行和求线面角的方法，由于大部分同学完成较好，所以课堂上不集中处理。
重点探究第2题:活动1：展示部分学生的运用坐标法解题的过程,师生共同分析错因。
[设计意图]引导学生分析坐标法求解立体几何问题常见的错误:坐标写错、法向量求错、建系或步骤不规范，使学生进一步掌握运用坐标法解决立体几何问题的注意事项。
活动2：师生共同对比（Ⅰ）中运用坐标法解题的两种做法, 并寻求（Ⅱ）中法向量夹角与二面角关系的判定方法， 展示学生的正确做法和标准步骤。
[设计意图]对（Ⅰ）问,解法一是证两个面的法向量垂直，对几何判断要求较低；解法二是先通过几何条件预判线面垂直关系，再证方向向量平行于法向量,对几何判断要求较高，所以两个做法各有千秋。
（Ⅱ）问中求解二面角的问题时要注意看两个半平面的位置关系来判断二面角具体是锐角还是钝角。
活动3：小组派代表到讲台讲解用基底法的解题思路,师生共同评价方法。
[设计意图]通过对方法的分析,让学生达成共识:如果建立空间直角坐标系较难，尤其是点的坐标容易求错，用基底法完全避开这两个难题，从而使得求解过程简洁明了,学生的分析便水到渠成，从而突破了教学难点。
所以利用基底法也是解决立体几何的一种重要方法。
活动4：对比基底法和坐标法，总结用向量法解决几何问题的步骤。
向量法解决立体几何乃至平面几何问题的三个步骤：1、向量表示几何关系；（点—位置向量；直线---方向向量；面----法向量）2、进行向量运算；3、还原为几何结论。