(2021年整理)量子力学18

（完整）量子力学18
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§3-11 力学量平均值随时间的变化 守恒定律
一、力学量的平均值随t 的变化规律（量子力学运动方程或Heisenberg 运动方程) 设),(t x ψ为归一化的波函数，则 F dx t x F
t x ),(ˆ),(*ψψ=⎰ （x 代表所有自变量） 考虑到F
ˆ可能显含t (比如),(ˆˆˆt x U T H +=)，则上式两边对t 的微商可表述为 dt
F d dx t F dx t F dx F t ∂ψ∂ψ+ψ∂∂ψ+ψ∂ψ∂=⎰⎰⎰ˆˆˆ*** 由薛定谔方程得
ψ=∂ψ∂H i t ˆ1 **)ˆ(1ψ-=∂ψ∂H i t 考虑到H
ˆ为厄米算符,于是 *****ˆ11ˆˆˆˆ()ˆ1ˆˆˆˆ()d F F H F dx dx FH dx dt i t i F dx FH HF dx t i
∂=-ψψ+ψψ+ψψ∂∂=ψψ+ψ-ψ∂⎰⎰⎰⎰⎰ 即
ˆ1ˆˆ[,]d F F F H dt t i
∂=+∂ 此即为海森伯运动方程.其中右边第一项是由于F
ˆ显含时间而引起的,即使ψ不随t 变化这一项也存在；第二项是由于ψ随t 变化而引起的，即使F 不随t 变化这一项也存在。

如果F ˆ不显含时间t ，即0ˆ=∂∂t
F ，则1ˆˆ[,]d F F H dt i =。

二、守恒定律 在运动方程（1)中,如果F ˆ不显含时间t ,即0/ˆ=∂∂t F ，并且0]ˆ,ˆ[=H F （即对易），则有0/=dt F d ,即力学量F ˆ平均值不随时间变化。

这时称F 为运动积分，即守恒量.此即为量子力学中的守恒定律。

1．自由粒子的动量（动量守恒定律)
当粒子不受外力,即μ
2ˆˆ2p H =。

因为ˆ0p t ∂=∂，且 [,][,][,][,]0x y z p H i p H j p H k p H =++=
所以0dp dt
=,即为量子力学中的动量守恒定律. 2．粒子在中心力场中运动的角动量(角动量守恒定律） 中心力场中粒子的哈密顿量
)(2ˆ2ˆ2
2222r U r L r r r r H ++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=μμ 因为z
y x L L L L ˆ,ˆ,ˆ,ˆ2只和ϕθ,有关，与r 和t 无关，则 222222222ˆˆˆˆˆˆ[,],,[,()]022L L H L r L L U r r r r r μμ⎡⎤⎡⎤∂∂⎛⎫=-++=⎢⎥ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 因为2ˆˆ[,]0L L α=,所以 ˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]0x y z
L H L H L H === 所以
02
=dt L d 0=dt L d x 0=dt L d y 0=dt
L d z 此即为量子力学的角动量守恒定律。

3．哈密顿不显含时间的体系能量（能量守恒定律）
若哈密顿不显含时间，即0/ˆ=∂∂t H
，而0]ˆ,ˆ[=H H ，则有 0=dt
H d 此即为能量守恒定律。

如无限深势阱、线性谐振子、氢原子等的能量均为守恒量。

4．哈密顿对空间反演不变时的宇称（宇称守恒定律）
（1）引入宇称算符P
ˆ: 定义：若),(),(ˆt x t x P -ψ=ψ，则称P ˆ为宇称算符。

注：宇称算符P
ˆ描写了空间的对称性。

（2）P
ˆ的本征值： 本征方程
),(),(ˆt x c t x P
ψ=ψ 则
),(),(ˆ),(ˆ22t x c t x P c t x P
ψ=ψ=ψ
又
2ˆˆ(,)(,)(,)P
x t P x t x t ψ=ψ-=ψ 于是
12=c ,即1±=c
所以P
ˆ的本征值1±=c . 若),(),(ˆ11t x t x P ψ=ψ，则1ψ为有偶宇称态;若),(),(ˆ22t x t x P ψ-=ψ，则2ψ为有奇宇称态。

（3）H
ˆ在空间反演不变时的宇称守恒 设H ˆ空间反演不变，则)(ˆ)(ˆx H x H -=，0ˆ=∂∂t
P ，而 ˆˆˆˆˆˆˆ()(,)()(,)()(,)()(,)PH x x t H x x t H x P x t H x P x t ψ=-ψ-=-ψ=ψ 即
0),(]ˆ,ˆ[=ψt x H P
因为),(t x ψ为任意波函数,所以0]ˆ,ˆ[=H P
，因此 0=dt
P d 此即为宇称守恒定律，它说明如果H
ˆ空间反演不变,则态的奇偶性不随t 变化。

小 结
一、海森堡运动方程
dt F d ]ˆ,ˆ[1ˆH F i t F
+∂∂= 若如果F ˆ不显含时间t ，即0ˆ=∂∂t
F ，则dt F d ]ˆ,ˆ[1H F i =。

二、守恒定律
在运动方程(1）中，如果F ˆ不显含时间t ，即0/ˆ=∂∂t F ，并且0]ˆ,ˆ[=H F （即对易），则有0/=dt F d ,即力学量F
ˆ平均值不随时间变化。

这时称F 为运动积分，即守恒量.此即为量子力学中的守恒定律。

1．自由粒子的动量（动量守恒定律) 当粒子不受外力，即μ
2ˆˆ2p H =，如果0p t ∂=∂,则 [,][,][,][,]0x y z p H i p H j p H k p H =++= 则有0p t
∂=∂，即为量子力学中的动量守恒定律。

2．粒子在中心力场中运动的角动量（角动量守恒定律） 中心力场中粒子的哈密顿量
)(2ˆ2ˆ22222r U r
L r r r r H ++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=μμ 02=dt L d 0=dt L d x 0=dt L d y 0=dt
L d z
此即为量子力学的角动量守恒定律。

3．哈密顿不显含时间的体系能量（能量守恒定律）
若哈密顿不显含时间，即0/ˆ=∂∂t H ，而0]ˆ,ˆ[=H H ,则有0=dt
H d 此即为能量守恒定律。

如无限深势阱、线性谐振子、氢原子等的能量均为守恒量。

4．哈密顿对空间反演不变时的宇称（宇称守恒定律)
设H ˆ空间反演不变，则)(ˆ)(ˆx H x H -=，0ˆ=∂∂t P ，则0=dt
P d 此即为宇称守恒定律，它说明如果H
ˆ空间反演不变,则态的奇偶性不随t 变化。