四点共圆的四种证明方法
四点共圆的判定方法都有哪些
四点共圆的判定方法都有哪些（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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【高中数学竞赛】四点共圆专题详解
四点共圆四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
证明四点共圆有下述一些基本方法：【方法1】从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距。
【方法2 】如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆．（若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）【方法3 】把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．【方法4】把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆。
【方法5】证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．【方法6】根据托勒密定理的逆定理，在四边形ABCD中，若AC*BD=AB*CD+AD*BC，那么A，B，C，D四点共圆。
或根据西姆松定理的逆定理证四点共圆。
【方法7】证明五点或五点以上的点共圆，可以分别证各四点共圆，且四点中有三点相同。
【方法8】证连结各点所得凸多边形与某一圆内接凸多边形相似。
上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这8种基本方法中选择一种证法，给予证明．一．某些知识的补充1．已知：ABCD共圆，AB中点为E、CD中点为F，EF中点为G，过E点分别作AD、BC的垂线，垂足为H、I求证：GH=GI首先可这样转化图形：作E点关于AD、BC边的轴对称点S、T，显然I、H分别是ES、ET中点。
四点共圆的几种常用判定方法 欧阳晓善
四点共圆是一个常用的知识，它除了可以灵活运用于角与角之间的等量转换外，还可以解决与圆幂定理（相交弦定理和切割线定理）相关的问题。
四点共圆的判定是个难点，现归纳总结出四点共圆的几种常用判定方法，供同学们学习参考。
一、直接找出一点到所证四点的距离相等例1如图1所示，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为E 、F 、G 、H 。
求证：E 、F 、G 、H 四点共圆。
分析：由于E 、F 、G 、H 是菱形四边中点，从菱形的性质可知：E 、F 、G 、H 应在对角线交点O 为圆心的圆上，因此可证E 、F 、G 、H 四点到O 点的距离相等即可。
图1证明：连接OE 、OF 、OG 、OH ，ȵ四边形ABCD 是菱形，ʑAB ⊥BD ，AB =BD =CD =DA 。
又ȵ在Rt △AOB 、Rt △BOC 、Rt △COD 、Rt △AOD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，ʑOE =12AB ，OF =12BC ，OG =12CD ，．．．CZSFD 数学2011．12OH =12AD 。
又ȵAB =BC =CD =DA （已证），ʑOE =OF =OG =OH 。
ʑE 、F 、G 、H 四点共圆。
二、证明四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角例2如图2所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，过点A 和点B 的圆与AD 、BC 分别交于E 、F 点。
求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。
分析：欲证C 、D 、E 、F 四点共圆，可证以该四点构成的四边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。
由此，连接EF 构成四边形EFCD 后，证明∠BFE =∠D 即可。
图2证明：连接EF ，ȵ四边形ABFE 是圆内接四边形，ʑ∠A +∠BFE =180ʎ。
又ȵ四边形ABCD 是平行四边形，ʑ∠A +∠D =180ʎ。
ʑ∠BFE =∠D 。
四点共圆怎么判定
四点共圆怎么判定
四点共圆的判定方法：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆等。
扩展资料
判定定理
方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的`同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
方法2：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）
相关计算
圆的半径：r。
直径：d。
圆周率：π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数)，通常采用3.14作为π的数值。
圆面积：S=πr2；S=π(d/2)2。
半圆的面积：S半圆=(πr2；)/2。
圆环面积：S大圆-S小圆=π(R2-r2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。
圆的周长：C=2πr或c=πd。
半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。
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证明四点共圆的基本方法
证明四点共圆的基本方法1、利用圆的定义根据圆的定义可以知道，平面上到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这个圆是以定点为圆心，以定点到这几个点中任一点的距离为半径。
2、利用三角形的关系 (1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆； (2)同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。
已知C 、D 在线段AB 的同侧，且∠ACB=∠ADB 。
求证：A ，B ，C ，D 四点共圆。
证明：如图7-39，过A ，B ，C 三点作⊙O 。
(1)如果D 点在⊙O 内部，则延长BD 交⊙O 于D '，连A D '。
∵∠D '=∠C ，且∠ADB ＞∠D '。
∴∠ADB ＜∠C ，这与∠ADB=∠ACB 矛盾。
因此D 点不可能在⊙O 的内部。
(2)如图7-40，如果D 点在⊙O 的外部，连AD ，BD 。
则必有一条线段与⊙O 相交，设BD 与⊙O 交于D '，连A D '。
∵∠A D 'B=∠ACB ，且∠D ＜∠A D 'B 。
∴∠D ＜∠ACB ，这与∠ADB=∠ACB 矛盾。
因此，D 点不可能在⊙O 的外部。
综上所述，D 点必在⊙O 上。
3、利用四边形的关系 (1)如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆(图7-41)；(2)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆(7-42) 4、利用线段的乘积式的关系(1)线段AB ，CD 相交于P ，且PA ·PB=PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆。
证明：如图7-43，连AD ，BC ，AC 。
在△APD 和△BPC 中，∵PA ·PB=PC ·PD ，∴PBPDPC PA =。
又∠APD=∠BPC ，∴△APD ∽△BPC 。
∴∠B=∠D ，又B ，D 在线段AC 同侧。
因此，A ，C ，B ，D 四点共圆。
(2)两线段AB ，CD 的延长线相交于P ，且PA ·PB=PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆(图7-44)。
四点共圆问题
摘要：本篇文章主要介绍了以下几个方面的内容：一是四点共圆的判定；二是四点共圆的证明；三是四点共圆的应用与构造；四是提供了一些实际的例题供大家练习和巩固。
Part1四点共圆的判定1、定点定长：若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆.如图，OA=OB=OC=OD，即以O为圆心，OA为半径画圆，此时A、B、C、D四点共圆。
2、同侧张角相等，则四点共圆．若平面上A、B、C、D四个点满足∠ADB=∠ACB，则A、B、C、D四点共圆．3、异侧张角互补，则四点共圆．若平面上A、B、C、D四个点满足∠ABC+∠ADC=180°，则A、B、C、D四点共圆．其余描述方式：①四边形对角互补；②四边形外角等于内对角．4、圆幂定理的逆定理①四边形ABCD的对角线AC、BD交于H，若AH·CH=BH·DH，则A、B、C、D四点共圆.②四边形ABCD 的对边BA 、CD 的延长线交于P ，若PA·PB=PD·PC ，则A 、B 、C 、D 四点共圆.5、托勒密定理逆定理：凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则该四边形四个顶点四点共圆．凸四边形ABCD 中，若AC·BD=AB·CD+AD·BC ，则A 、B 、C 、D 四点共圆.Part2四点共圆的证明1、如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦，且CD AB ⊥于K ．E 为劣弧AC 上的一点，连接AE 交DC 延长线于F ．求证：E 、F 、B 、K 四点共圆．【解析】连接BE 、BF ，∵AB 是O ⊙的直径，∴90AEBBEF∠=∠=︒，H F E D C B A ∵CD AB ⊥，∴90FKB ∠=︒， ∴E 、F 、B 、K 四点共圆．2、AD 、BE 、CF 是ABC △的三条高，相交于垂心H ，在A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 七点中，有六组四点共圆，试逐一举出，并问各圆心在何处？【解析】（1）A 、E 、H 、F 四点共圆，圆心是AH 的中点；（2）B 、D 、H 、F 四点共圆，圆心是BH 的中点； （3）C 、D 、H 、E 四点共圆，圆心是CH 的中点； （4）A 、B 、D 、E 四点共圆，圆心是AB 的中点； （5）B 、C 、E 、F 四点共圆，圆心是BC 的中点； （6）A 、C 、D 、F 四点共圆，圆心是AC 的中点．3、如图，AD 为ABC △中BC 边上的高线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．求证：B 、C 、F 、E 四点共圆．【解析】∵AD BC ⊥，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴2AD AE AB =⋅，AE AB AF AC ⋅=⋅，∴AE AB AF AC ⋅=⋅，∴B 、E 、F 、C 四点共圆．4、如图，P 为ABC △内一点，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 边上，已知P 、D 、C 、E 四点共圆，P 、E 、A 、F 四点共圆，求证：B 、D 、P 、F 也四点共圆．【解析】（1）∵A 、E 、P 、F 四点共圆，∴AFP CEP ∠=∠，∵C 、D 、P 、E 四点共圆，∴BDP CEP ∠=∠，FE DCBAP FEDCBAA∴AFP BDP ∠=∠，∴B 、D 、P 、F 四点共圆．Part3.1四点共圆的应用四点共圆的性质：①同弧所对的圆周角相等； ②圆内接四边形的对角互补； ③圆内接四边形的外角等于内对角。
证明四点共圆的基本方法
证明四点共圆的基本方法之巴公井开创作证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理)方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是发生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为π,而且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。
角CBE=角ADE（外角等于内对角）△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）四点共圆的图片EB*EA=EC*ED（割线定理）EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）编辑本段证明四点共圆的原理四点共圆证明四点共圆基本方法：方法1把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．四点共圆的判定是以四点共圆的性质的基础上进行证明的。
四点共圆基本性质及证明
四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上,那么称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆〞.四点共圆有三个性质：(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；(2)圆内接四边形的对角互补；(3)圆内接四边形的外角等于内对角.以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证实.定理判定定理方法1:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,假设能证实其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆.(可以说成：假设线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那么这二点和线段二端点四点共圆)方法2 :把被证共圆的四点连成四边形,假设能证实其对角互补或能证实其一个外角等于其邻补南的内对南时,即可肯定这四点共圆.(可以说成：假设平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角,那么这四点共圆)托勒密定理假设ABCD四点共圆(ABCD按顺序都在同一个圆上),那么AB x DC+BC x AD二AC xBD.1)例题：证实对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数.解答：归纳法.我们用归纳法证实一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数,且这n个点共圆,并且有两点是一条直径的两端.n=1,『2很轻松.当n二3时,一个边长为整数的勾股三角形即可：比方说边长为3, 4, 5的三角形.我们发现这样的三个点共圆,边长最长的边是一条直径.假设对于n大于等于3成立,我们来证实n+1.假设直径为r 〔整数〕.找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC 〔边长a<b<c〕o把原来的圆扩大到原来的c倍,并把一个边长为ra 〈rb〈rc的三角形放进去,使得rc边和放大后的直径重合.这个三角形在圆上面对应了第n+1个点,记为P.于是根据Ptolomy定理,P和已存在的所有点的距离都是一个有理数.〔考虑P,这个点Q和直径两端的四个点,这四点共圆,于是PQ是一个有理数由于Ptolomy定理里的其它数都是整数.〕引入一个新的点P增加了n个新的有理数距离,记这n个有理数的最大公分母为M.最后只需要把这个新的图扩大到原来的M倍即可.归纳法成立,故有这个命题.反证法证实现就“假设平面上四点连成四边形的对角互补.那么这个四点共圆〞证实如下〔其它画个证实图如后〕：四边形ABCD中,ZA+ZC=180°求证：四边形ABCD内接于一个圆〔A, B, C, D四点共圆〕证实：用反证法过A, B, D作圆0,假设C不在圆0上,点C在圆外或圆内,假设点C在圆外,设BC交圆0于C',连结DC',根据圆内接四边形的性质得NA+NDC' B=180° ,V ZA+ZC=180°・・.NDC' B=ZC这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外.类似地可证C不可能在圆内.・・・C在圆0上,也即A, B, C, D四点共圆.证实方法方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆周上,假设能证实这一点,即可肯定这四点共圆.方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,假设能证实其顶角相等〔同孤所对的圆周角相等〕,从而即可肯定这四点共圆.几何描述：四边形ABCD中,NBAC二NBDC,那么ABCD四点共圆.证实：过ABC作一个圆,明显D一定在圆上.假设不在圆上,可设射线BD与圆的交点为D',那么NBD'C二NBAC二NBDC,与外角定理矛盾.方法3把被证共圆的四点连成四边形,假设能证实其对角互补或能证实其一个外南等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆.证法见上方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,假设能证实它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆〔相交弦定理的逆定理〕；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,假设能证实自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆.〔割线定理的逆定理〕上述两个定理统称为圆球定理的逆定理,即ABCD四个点,分别连接AB和CD, 它们〔或它们的延长线〕交点为P,假设PAxPB=PCxPD,那么ABCD四点共圆.证实：连接AC, BD, VPAxPB=PCxPDPA/PC=PD/PBZAPC=ZBPD.,.△APC^ADPB当P在AB, CD上时,由相似得NA二ND,且A和D在BC同侧.根据方法2可知ABCD 四点共圆.当P在AB, CD的延长线上时,由相似得NPAC二ND,根据方法3可知ABCD四点共圆.方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆.即连成的四边形三边中垂线有交点,可肯定这四点共圆.方法6四边形ABCD中,假设有ABxCD+ADxBC二ACxBD,即两对边乘积之和等于对角线乘积,那么ABCD四点共圆.该方法可以由托勒密定理逆定理得到.托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD,总有ABxCD+ADxBC^ACxBD,等号成立的条件是ABCD四点共圆.如图,在四边形内作△APBsaDCB 〔只需要作NPAB二NCDB, NPBA二NCBD即可〕由相似得NABP = NDBC, NBAP 二NBDC/• Z ABP+ Z PBD = Z DBC+ Z PBD即NABD二NPBC又由相似得AB: BD=PB ： CB=AP ： CDAABxCD=BDxAP, AABD^APBC,AD: BD=PC: BC,即AD x BC=BD x PC两个等式相加,得ABxCD+ADxBC=BDx (PA+PC) 2BDxAC,等号成立的充要条件是APC 三点共线而APC 共线意味着NBAP=NBAC,而NBAP二NBDC,NBAC=NBDC根据方法2, ABCD四点共圆方法7假设一点在一三角形三边上的射影共线,那么该点在三角形外接圆上.设有一△ABC, P是平面内与ABC不同的点,过P作三边垂线,垂足分别为L, M,N,假设L,M,N共线,那么P在AABC的外接圆上.如图,PM±AC, PN±AB, PL±BC,且L,N,M 在一条线上.连接PB, PC, V ZPLB+ZPNB=900 +90° =180°A PLBN四点共圆二. Z PLN= Z PBN,即Z PLM= Z PBA同理,ZPLM=ZPCM,即 NPLM 二NPCA=NPBA根据方法2, P 在AABC 外接圆上目判定与性质圆内接四边形的对角和为180° ,并且任何一个外角都等于它的内对角.【如图A:四点共圆的图片】图A:四点共圆的图片四边形ABCD 内接于圆0,延长AB 和DC 交至E,过点E 作圆0的切线EF, AC 、 BD 交于P,那么有：(1) NA+NC= IT , NB+ND = n (即图中 NDAB+NDCB= n , NABC+NADC= n)(2) ZDBC=ZDAC (同弧所对的圆周角相等).(3) NADE=NCBE (外角等于内对角,可通过(1)、 (2)得到)(4) AABP^ADCP (两三角形三个内角对应相等,可由(2)得到)(5) APxCP 二BPxDP (相交弦定理)(6) EBxEA=ECxED (割线定理)(7) EF 2 = EBxEA=ECxED (切割线定理)(8) ABxCD+ADxCB=ACxBD (托勒密定理)说明：切割线定理,割线定理,相交弦定理统称圆球定理[1]其他定理：弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的孤的圆心角的度数的一 半.M. CB 力为S 彩ABCt6戢 M,CDftJS 长线XT.4E。
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四点共圆的四种证明方法
证明四点共圆是数学中最富有挑战性的证明。
现将四点共圆的四种证明方法做一介绍，以供参考。
首先，证明四点共圆的最直接、简单的方法就是直接应用牛顿公式。
牛顿公式定义了一个圆周上任意两点之间的平方和，可以快速证明四点在同一圆上，特别是在多边形圆周构成和四边形构成这两种情况下。
其次，可以利用射影原理证明四点共圆。
这一原理把一个大圆的一小部分映射到另一个圆表面上，证明四点共圆的关键思想是：如果四点共圆，那么只要给定两个点，就可以将剩下的点映射到圆上；否则，这两个点的另外两个相邻点就不能映射在同一个圆上。
第三种方法，可以用三点法证明更多的四边形是由四个共圆外心组成的。
在这种方法中，一般使用三点法，将一个提供的外心与另外三个圆心连线，如果三点在同一个圆内，那么四个点就必然共圆。
最后，可以使用贝塞尔三角形证明四个点是否共圆，贝塞尔三角形由两个圆心控制，根据三角形面积可以判断这三点是否在同一圆上，从而证明四点共圆。
总之，四点共圆的四种证明方法有利于我们对数学的深入研究，提升了我们的数学能力。
因此，我们要认真学习这类方法，一定可以将一个不可能变成可能。