专题23 运用正余弦定理研究三角形或多边形(解析版)

专题23 运用正余弦定理研究三角形或多边形

关于三角形或者多边形中的边角以及面积等问题是三角函数模块中重点考查的问题，对于此类问题涉及的知识点为正余弦定理，题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决 一、题型选讲

题型一 、运用正余弦定理研究三角形中的问题

例1、【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c

，已知3,45a c B ==?．

（1）求sin C 的值；

（2）在边BC 上取一点D ，使得4

cos 5

ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．

【解析】（1）在ABC △

中，因为3,45a c B ===?，

由余弦定理2222cos b a c ac B =+-

，得292235b =+-??=，

所以b =

在ABC △中，由正弦定理sin sin b c

B C

=，

，

所以sin C =

（2）在ADC △中，因为4

cos 5

ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，

而180ADC C CAD ∠+∠+∠=?,所以C ∠为锐角.

故cos C =则sin 1tan cos 2C C C =

=. 因为4cos 5ADC ∠=-

，所以3sin 5ADC ∠==，sin 3tan cos 4

ADC ADC ADC ∠∠=

=-∠. 从而

31

tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+

∠+∠∠=?-∠-∠=-∠+∠---∠?∠--?

变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;

②22

B C

bsin

+=

这两个条

件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.

在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，a =. (1)求sinA ;

(2)如图，M 为边AC 上一点，,2

MC MB ABM π

=∠=，求ABC 的面积

【解析】若选择条件①，则答案为:

(1)在ABC 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =， 因为sin 0C ≠，所以2

2

34,916sinA cosA sin A cos A ==， 所以22516sin A =，因为0sinA >，所以4=

5

sinA . (2)解法1:设BM MC m ==，易知45

cos BMC cos BMA sinA ∠=-∠=-=-

在BMC △中由余弦定理得:22

418225m m ??

=-?- ???

，解得m = 所以21133

52252

BMC

S

m sin BMC =

∠=??= 在Rt ABM 中，

4

,52

sinA BM ABM π

==∠=

所以4

AB =，所以158

ABM

S =

， 所以31527288

ABC

S

=

+= 解法2:因为MB MC =，所以MBC C ∠=∠， 因为,2

ABM π

∠=

所以2,22

2

A C C A π

π

∠+∠=

∠=

-∠，

所以22sin C sin A cosA π??

???

=-= 因为A 为锐角，所以3

25

sin C cosA ==

又

152

sin sin sin b c a B C A ===

所以152sin ,4b B =

152

sin ,4

c C = 所以11152152445sin sin sin sin sin 2244542ABC

S

bc A B C C C π??==???=+ ???

454527

sin cos sin 2448

C C C =

== 若选择条件②，则答案为:

(1)因为252B C bsin asinB +=，所以252

A

bsin asinB π-=， 由正弦定理得252A

sinBcos sinAsinB =，

因为0sinB ≠，所以25,2A cos sinA =5222

A A A

cos sin cos =，

因为02

A

cos

≠，所以25A sin =，

则25A cos

=，所以4

sin 2sin cos 225

A A A ==. (2)同选择①

变式2、(2019徐州、连云港、宿迁三检）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，

4

cos 5

A =，5

cos 13

ACB ∠=

，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．

【解析】：（1）在ABC △中，4

cos 5

A =

，(0,π)A ∈， 所以2243

sin 1cos 1()55

A A =-=-=．

同理可得，12sin 13

ACB ∠=

． 所以cos cos[π()]cos()B A ACB A ACB =-+∠=-+∠

A B C

D

sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠

312451651351365

=?-?=． （2）在ABC △中，由正弦定理得，

1312

sin 20

3sin 135

BC AB ACB A

=

∠=?=． 又3AD DB =，所以1

54

BD AB =

=． 在BCD △

中，由余弦定理得，CD =

=

=

变式3、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）在中，

，为的平分线，，

则

___________．

【答案】

【解析】原题图形如图所示：

则： 设

，则

，又

解得：

本题正确结果：

变式4、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，

若45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．

【答案】

5

，

10

【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：

sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π

4,4

AB ADB =∠=，

5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠=

=∠==，所以5

BD =

ππcos cos()cos cos sin sin 4410

ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=

.

题型二、运用正余弦定理研究多边形中的问题

例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==

AB

⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.

【答案】1

4

-

【解析】

AB AC ⊥，AB =1AC =，

由勾股定理得2BC ==，

同理得BD =BF BD ∴==

在ACE △中，1AC =，AE AD ==

30CAE ∠=，

由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-?=+-?=， 1CF CE ∴==，

在BCF 中，2BC =，BF =，1CF =，

由余弦定理得2221461

cos 22124

CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-???.

故答案为：1

4

-

. 变式1、(2018徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，

∠CAD ＝π

4，tan ∠ADC ＝－2.

(1) 求CD 的长；

(2) 求△BCD 的面积．

【解析】： (1)因为tan ∠ADC ＝－2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC ＝255，cos ∠ADC ＝－5

5.

所以sin ∠ACD ＝sin ??

??π－∠ADC －π4

＝sin ??

??∠ADC ＋π4

＝sin ∠ADC ·cos π4＋cos ∠ADC ·sin π

4

＝10

10，(6分)

在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD ·sin ∠DAC

sin ∠ACD ＝5

(2) 因为AD ∥BC, 所以cos ∠BCD ＝－cos ∠ADC ＝55，sin ∠BCD ＝sin ∠ADC ＝25

5 在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ，

得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7, (12分)

所以S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×7×5×25

5＝7. 变式2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →

＝50.

(1) 求cos ∠BAC 的值；

(2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．

【解析】： (1) 因为AB →·AC →

＝||A B →||

A C →cos ∠BAC ，

所以cos ∠BAC ＝AB →·AC

→||A B →||

A C

→＝5013×10＝5

13.

(2) 在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65.

由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝3

5. 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2

∠CAD ＝1－????352＝45.

(3) 由(1)知，cos ∠BAC ＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)

，

所以sin ∠BAC ＝1－cos 2

∠BAC ＝

1－????5132＝1213.

从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )

＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.

所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×56

65 ＝28.

题型三、运用正余弦定理研究情境中的三角形或多边形问题

例3、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45?，沿点A 向北偏东30?前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30?，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 m B ．100 m

C ．120 m

D ．150 m

【答案】A

【解析】如图,CD 为“泉标”高度,设高为h 米，由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ?∠=，

,4530CAD CBD ?∠=∠=

．

在CBD 中,BD 3h =,在CAD 中,AD h =,

在ABD △中,3,BD h AD h =

=，,100AB =，60BAD ?∠=,

由余弦定理可得2

2

3100002100cos 60(50)(100)0h h h h h ?

=+-?∴-+=，

解得50h =或100h =- (舍去), 故选：B.

变式1、（2020·山东新泰市第一中学高三月考）某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得

（单位：千米），测得、两点的距离为___________千米.

【答案】

【解析】在中，

，，，

，则

在中，，，，则，

由正弦定理得

，可得，

在中，，，， 由余弦定理得，因此，

（千米）. 故答案为：.

变式2

、（2020届山东实验中学高三上期中）“

我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ?中边BD 所对的角为A ，BCD ?中边BD 所对的角为C

，经测量已知2AB BC CD ===

，AD =

A B D C E D 67.5ADC ∠=C 45ACD ∠=75BCE ∠=E 60BEC ∠=DC =CE =A B 3ACD △45ACD ∠=67.5ADC ∠=CD =67.5CAD ∴∠=AC CD ==BCE 60BEC ∠=75BCE ∠=CE =45CBE ∠=sin 45sin 60

CE BC

=2sin 60sin 452

CE BC =

==ABC AC =BC =18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=2222cos609AB AC BC AC BC =+-?=3AB =3

（1）霍尔顿发现无论BD cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； （2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ?与BCD ?的面积分别为1S 和2S ，为

了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出22

12S S +的最大值.

【解析】（1）在ABD ?中，由余弦定理得241216BD A A =+-=-，

在BCD ?中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，1688cos A C -=-，

则)

8

cos 8A C -=，cos 1A C -=；

（2）

1122S A A =??=，21

22sin 2sin 2

S C C =??=，

则(

)

2

2

2

2

22

1212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C A C +=+=-+，

由（11cos A C =+，代入上式得：

)

2

2222121612cos 4

124cos 12S S A A A A +=---=-++，

配方得：2

22

1224cos 14S S A ?+=-+ ??，

∴当A =时，2212S S +取到最大值14.

变式3、(2017南京、盐城二模）如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝120°，CD ＝10 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________m.

【答案】 30

解析：在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝sin120°

sin30°·10＝103(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°＝30(m)．

二、达标训练

1、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，

c

，若b =5c =，2B C =，则cos C ______，点D 为边BC 上一点，且6BD =，则ADC ?的

面积为______.

10

【解析】因为b =5c =，2B C =， 由正弦定理可得：sin sin b c

B C

=，

5sin C =，

则cos C =

；4

sin 2sin cos 25B C C ===，

14

561225

ABD S ?∴=???=，

由余弦定理可得：2cos C == 解可得5a =（舍)或11a =， 所以

6

5

ABD ADC S BD S CD ??==， 5

12106

ADC S ?∴=?=．

，10．

2、(2018南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，则tan ∠CAD 的值为________．

【答案】8＋15

7 【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD ＝∠A －45°)，也可以从和的角度(∠A ＝∠CAD ＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A 的正切值，问题就迎刃而解了．

解法1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，由余弦定理可得cos A ＝32＋22－422×3×2＝－1

4，所以tan A ＝－15，于是

tan ∠CAD ＝tan(A －45°)＝tan A －tan45°1＋tan A tan45°＝8＋15

7.

解法 2 由解法1得tan A ＝－15.由tan(45°＋∠CAD )＝－15得tan45°＋tan ∠CAD

1－tan45°tan ∠CAD ＝－15，即1＋tan ∠CAD 1－tan ∠CAD ＝－15，解得tan ∠CAD ＝8＋157.

3、

（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）在ABC ?中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .

若45ADC ∠=.BD sin C =___________.

【解析】ABD ?5sin135=

，所以sin BAD ∠=

AD 为BAC ∠的平分线即sin sin 10

BAD CAD ∠=∠=

，

()10sin sin 45C DAC ∴=∠+∠=

+=

.

4、(2019南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，则tan ∠CAD 的值为________．

【答案】8＋15

7 【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD ＝∠A －45°)，也可以从和的角度(∠A ＝∠CAD ＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A 的正切值，问题就迎刃而解了．

解法1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，由余弦定理可得cos A ＝32＋22－422×3×2＝－1

4，所以tan A ＝－15，于是

tan ∠CAD ＝tan(A －45°)＝tan A －tan45°1＋tan A tan45°＝8＋15

7.

解法 2 由解法1得tan A ＝－15.由tan(45°＋∠CAD )＝－15得tan45°＋tan ∠CAD

1－tan45°tan ∠CAD ＝－15，即1＋tan ∠CAD 1－tan ∠CAD ＝－15，解得tan ∠CAD ＝8＋157.

5、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ?面积2ABC S ?=，②6

ADC π

∠=这两个条件中任

选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34

ABC π

∠=

，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .

【解析】 选择①：

113sin 2sin 2224

ABC S AB BC ABC BC π

?=???∠=???=

所以BC = 由余弦定理可得

2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠

4822202??

=+-??-= ? ???

所以AC ==

选择②

设BAC CAD θ∠=∠=，则04

π

θ<<

，4

BCA π

θ∠=

-，

在ABC ?中sin sin AC AB

ABC BCA =∠∠，即2

3sin sin 44AC ππθ=??- ???

所以

sin 4AC πθ=

??- ???

在ACD ?中，sin sin AC CD ADC CAD

=∠∠，即

4

sin sin 6

AC πθ=

所以2sin AC θ

=

.

所以2sin sin 4πθ

θ=

??- ???

，解得2sin cos θθ=，

又04

π

θ<<

，所以sin θ=

，

所以2

sin AC θ

==

6、（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ?乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .

(1)求乙到达C 地这一时刻的甲?乙两交警之间的距离;

(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲?乙方可通过对讲机取得联系.

【解析】 (1)由3

10,6,8,90cos 5

AB km AC km BC km ACB A ===∴∠=∴=，

. 设当乙到达C 地时,甲处在D 点,则6

5310AD km =?=

所以在ACD ?中,由余弦定理得:

222223117

2cos 6323655

CD AC AD AC AD A =+-??=+-???=

5

CD ∴=

即此时甲?乙两交警之间的距离为

5

km (2)设乙到达C 地后,经过t 小时,甲?乙两交警之间的距离为()f t km , 在BCD ?中，48,7,cos 5

BC km BD km ABC ==∠= 乙从C 地到达B 地,用时4

5

t =

小时,甲从D 处到达B 地,用时75

t =小时,

所以当乙从C 地到达B 地,此时,甲从D 处行进到E 点处,且4

54,35

DE km BE km =

?==

所以当405t ≤≤

时，()t f ==

令282

()3,1,560,033

f t t t t >>∴-+>∴<<或45t >（舍去）

又当4

7

5

5

t ≤≤

时,甲?乙两交警间的距离()753f t t km =-≤

因为甲?乙间的距离不大于3km 时方可通过对讲机取得联系 所以,从乙到达C 地这一时刻算起,经过

2

5

小时,甲?乙可通过对讲机取得联系.