大学物理 角动量 角动量守恒定律课件

2
32
3


0
cosd
12
L mR (2 g sin )
L mR 2g 12 ( sin ) R
2
2.4 角动量守恒定律 例2：在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定， 一端连接一质量m = 1 kg 的滑块，如图所示．弹簧 自然长度l0= 0.2 m，劲度系数k =100 N· -1. 设t = 0 m 时，弹簧长度为l0，滑块速度v0 = 5 m·-1，方向与弹 s 簧垂直．以后某一时刻，弹簧长度l =0.5 m． 求该 时刻滑块速度 的大小和夹角θ ． v
dL M r F 0 dt
L p
o
F
r
m
2.4 角动量守恒定律
L
v r
r
m
L mvr sin m
dr dt
r sin
1 dr r sin ds 2 2m 2m dt dt
dS：矢径在dt 时间 ====扫过的面积
1 2 r gt , p mv mgt 2
r
v
2.4 角动量守恒定律
o
若以O为参考点，质点在任 意时刻的角动量为：
R
A
r
r
v
R
L0 r P ( R r ) p R mgt .
F θ r O d
力矩 M 的大小为力 F 的大小与参考点到力
的作用线的垂直距离 d 的乘积。
dL M dt
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率.
2.4 角动量守恒定律
• 质点系角动量对时间的变化率
设质点系由N个质点组成，每个质点所受的外 力力矩为M i外，内力的力矩为 M i内 ，则有
rmgt ; 方向垂直纸面向里
2.4 角动量守恒定律
• 若质点作匀速直线运动，以 O点为来自百度文库考点，质点的角动 量为：
L0 r mv r mv const
L0 r mv sin r mv
• 注意：对不同的参考点有不同的角动量
vA
v0
v mM m G m 2 ( R h) Rh mM g G 2 R
2 0
v
A
u
2.4 角动量守恒定律
R g 12 1 ) 1612 m s 得 v0 ( Rh
当飞船在A点以相对速度 u 向外喷气的短时间里 , 飞船的 质量减少了Δm 而为 m,' 并获得 速度的增量 ,v使飞船的速度 变为 v A 其值为 ,
M mgR cos
由质点的角动量定理
dL mgR cos dt
B
2.4 角动量守恒定律
dL mgR cos dt dL mgR cosdt
考虑到
d dt , L mRv mR
2
得
LdL m gR cosd
2 3
由题设条件积分上式

L
0
LdL m gR
2.4 角动量守恒定律 如图，有一个作半径为r的 圆周运动的质点m，其对o 点的角动量为
Z p L
L r p r mv
对z轴的角动量大小为
m o r
L r mv mr 2
角动量L的方向就是 r m v 的方向，可以用右手定 则判断。 刚体定轴转动时，总角动量为
如图的一对力偶，其 矢量和为零，而合力 矩不为零。
2.4 角动量守恒定律 2)一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零，从而 质点系所有内力矩之和恒为零，即 M 0

i
i内
证明：一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零
M内 r i f ij r j f r i f ij r j f ij ( r i r j ) f ij r ij f ij 0
4
2.4 角动量守恒定律 已知
m 1.20 10 kg
4
h 100 km
u 1.00 10 m s 2 g 1.62m s
4
1
R 1700 km 求 所需消耗燃料的质量 m .
vB
R O h B
解 设飞船在点 A 的 速度 v 0 , 月球质量 mM , 由万有引力和牛顿定律

2.4 角动量守恒定律 • 质点系的角动量：质点系对给定参考点的角动量， 等于各质点对该参考点的角动量的矢量和，即
L Li ri pi ri mi vi
质点在平面内运动时，质点 对平面内某参考点的角动量 矢量与这个平面垂直。这时 可以把质点对运动平面内某 参考点的角动量的数值称为 质点对过o点垂直于平面的 轴的角动量。
t0 L0
L Li ri pi ri mi vi
质点系的角动量守恒
当 M 外 0 时，L 恒矢量
2.4 角动量守恒定律 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
2 1
t1
t2
M dt
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量. 质点的角动量守恒定律
M 0, L
恒矢量
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 参考点 O 的角动量为一恒矢量.
2.4 角动量守恒定律
在有心力场中运动的质点角动量守恒： 有心力：方向始终指向或背向一个固定中心的力， 该固定中心称为力心
x o
m y
v
大小
L 的方向符合右手法则.
单位：
L
v

r
2.4 角动量守恒定律
质点做曲线运动时，对某点具有角动量，质 点做直线运动时是否也具有角动量呢？
质点作变速直线运动时
一个质量为m的质点由A点自由下落，不计 空气阻力。若以A点为参考点，则在任意时 刻t，有：
A
1 3 LA r p mt g g 0 2
dL ? dt
dL r r F M dt dt M = M r F rF sin Fd
dr v, v p 0 dt dp
F θ r O d
2.4 角动量守恒定律
dL dp r r F M dt dt M = M r F rF sin Fd
L Li m i ri m i ri
2 i i i
2
2.4 角动量守恒定律
2 . 角动量的时间变化率 dp F, Lrp dt
dL d dp dr (r p) r p dt dt dt dt
v A ( v v ) 1 vB 1709 m s
2 0
2 12
飞船在 A点喷出气体后, 在到 达月球的过程中, 机械能守恒
vB
R
B
vA
v0
mM mM 2G 即 v v 2G Rh R 2 2 于是 v ( v A v0 )1 2 100
L r p r mv
dL M dt

t2
t1
M dt L2 L1
质点的角动量守恒定律
M 0, L
恒矢量
2.4 角动量守恒定律 质点系的角动量
dL 质点系的角动量定理 M外 dt t L Mdt dL L L0 L
质点系的角动量定理：表明质点系在t0到t时间内所 受合力矩的冲量等于同一时间内质点系的角动量的 增量。
2.4 角动量守恒定律
当 M 外 0 时，L 恒矢量
质点系的角动量守恒定律：当质点系所受的外力 对某参考点的力矩的矢量和为零时，则质点系对 该参考点的总角动量不随时间变化。
2.4 角动量守恒定律 质点的角动量 质点的角动量定理
v
l l0
v0

2.4 角动量守恒定律
例3 一质量 m 1.20 10 kg 的登月飞船, 在离 月球表面高度 h 100 km 处绕月球作圆周运动.飞船 采用如下登月方式 : 当飞船位于点 A 时,它向外侧短 时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为 u 1.00 104 m s 1 . 已知 v0 B vA 月球半径 R 1700 km ; vB 在飞船登月过程中,月球的 R 重力加速度视为常量 v u 2 g 1.62m s . O A 试问登月飞船在登月过程 中所需消耗燃料的质量 h m 是多少?
2 0 2 12
2
vB
R
B
vA
v0
v
O h A
u
v A ( v v ) 质量 m ' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , m ' v0 ( R h) m ' vB R
得
角动量守恒
vB ( R h) v0 R 1709 m s 1
2.4 角动量守恒定律
开普勒第二定律 对于任一行星，由太阳 到行星的矢径在相等的 时间内扫过相等的面积
2.4 角动量守恒定律
3、质点系的角动量定理及守恒定律
质点系角动量对时间的变化率等 于质点系所受合外力矩，而与内 力矩无关。
写成积分式
dL 即： M 外 dt
L0

t
t0
L Mdt dL L L0 L
d L1 M 1外 M 1内 dt d L 2 M 2外 M 2内 dt
… … …
d 对以上各式求和，得 Li M i外 M i内 dt i i i
2.4 角动量守恒定律
说明：
1) 在质点系的情况下，合力矩是指作用于质点系 的各个力的力矩的矢量和，而不是合力的力矩 注意：作用于系统的外力矢量和为零时，合力 矩不一定为零
v
l l0
v0

2.4 角动量守恒定律 解：由角动量守恒和机械能守恒可得
mv 0 l 0 mvl sin
1 mv 2 1 mv 2 1 k (l l ) 2 0 0 2 2 2
k (l l 0 ) 2 2 v v0 4 m s 1 m
v 0 l0 arcsin( ) 30 vl
2.4 角动量守恒定律 一 角动量
•质点的角动量:质量为 m 的质 点以速度 v 在空间运动，某时 刻相对原点 O 的位矢为 r ，质 点相对于原点的角动量定义为
1. 角动量
z
L r p r mv
L rmv sin
kg m s
2 1
r
ji
O
2.4 角动量守恒定律 因此，质点系角动量对时间的变化率等于质点系所 受合外力矩，而与内力矩无关。
d Li M i外 M i内 dt i i i dL 故而： M 外 dt
2.4 角动量守恒定律
3、质点的角动量定理及守恒定律 dL t M t M dt L2 L1 冲量矩 dt
2.4 角动量守恒定律 * 角动量概念的引入 问题：将一绕通过质心的固定轴 转动的圆盘视为一个质点系，系 统总动量为多少？ p总 MvC 0
M
C
*引入与动量 p 对应的角量 L ——角动量（动量矩）
动量对参考点（或轴）求矩
由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零， 系统有机械运动，总动量却为零？ 说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。