三角函数最值问题的几种常见解法
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1
定义域、解三角不等式
知识点归纳:
1.函数()y f x =的定义域总是自变量x 的取值范围.
2.三角函数线
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位圆
;;MP OM AT 正弦线:余弦线:正切线:
三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、
余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)
A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式.
3. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
考点1 三角方程 例1 解下列三角方程 ⑴3sin x =
⑵1cos 2
x ≤- 考点2 三角函数的定义域及解三角不等式
【求三角函数的定义域问题，即解三角不等式的问题。常借助三角函数线和三角函数的图像解决】
例1 写出满足下列条件的x 的取值集合
⑴sin 0x > ⑵sin 0x < ⑶cos 0x > ⑷cos 0x <
T
M
A O P
x
y
1-1y=sinx -3π2
-5π2
-7π2
7π2
5π
2
3π2π2
-π2
-4π-3π-2π4π
3π
2ππ
-π
o
y
x
1-1y=cosx
-3π
2
-5π2
-7π
2
7π2
5π2
3π2
π2
-π2
-4π-3π
-2π4π
3π
2π
π
-π
o
y
x
y=tanx
3π2
π
π2
-3π2
-π
-π2
o
y
x
1-1y=sinx
-3π2
-5π2
-7π2
7π2
5π
2
3π2
π2
-π2
-4π-3π
-2π4π
3π
2ππ
-π
o
y x
2
⑸3sin 2
x ≥
法一:作直线3
y =
交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为
222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
法二:作正弦曲线,作直线3
y =
,在y 轴附近找到对应的角的范围(要求:角的绝对值小、角的范围连续)为2,33ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
,故满足条件的角x 的集合为 222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫
+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
⑹1cos 2
x ≤-
法一:作直线1
2
x =-
交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角x 终边的范围.故满足条件的角x 的集合为
2422,33x k x k k Z ππππ⎧⎫
+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
1-1y=cosx
-3π
2
-5π2
-7π
2
7π2
5π2
3π2
π2
-π2
-4π-3π
-2π4π
3π
2π
π
-π
o
y x
y 1-1y=sinx
-3π2
-5π2
-7π2
7π2
5π
2
3π2
π2
-π2
-4π-3π-2π4π
3π
2ππ
-π
o
y x
y=
1-1y=cosx
-3π
2
-5π2
-7π
2
7π
2
5π2
3π2
π2
-π2
-4π-3π
-2π4π
3π
2π
π
-π
o
y x
y=
3
法二: 作余弦曲线,作直线1
2
y =-
,在y 轴附近找到对应的角的范围(要求:角的绝对值小、角的范围连续)为24,33ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
,故满足条件的角x 的集合为 2422,33x k x k k Z ππππ⎧⎫
+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
若改为“1
cos 2
x ≥-
”呢? ⑺1tan 0x +≥
反思:由三角函数值的范围,写角的范围时:
⑴利用三角函数线.先作单位圆,再找到三角不等式中的数值相对应的正弦线、余弦线、正切线,然后写出一个连续的区间,最后根据周期加上2k π或k π.
⑵利用三角函数的图像.先作三角函数的图像,再作直线y =三角不等式中的数值,在y 轴附近找到角的绝对值小、角的范围连续的一个区间, 最后根据周期加上2k π或k π. 例2 已知sin cos x x >,写出使这个不等式成立的x 的取值集合
【反思:⑴凡是三角函数的性质问题,必须先是“三个1”的形式；⑵“整体代换”的思想】
1.写出使下列不等式成立的x 的取值集合
⑴sin 2
x ≥
2cos 0x ≥
⑶y =
⑷y =
⑸tan 0x - ⑹1
1cos y x
=
-
2. 设0≤2απ<
，若sin αα>
，则α的取值范围是( )
A.(
,)32
ππ
B.(
,)3
π
π
C.4(
,)33
ππ
D.3(
,)32
ππ
3.在()0,2π内,使sin cos x x >成立的x 的取值区间是( ) A.5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫
⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
B. ,4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ C. 5,44
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D. 53,,442ππππ⎛⎫⎛⎫
⋃ ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
三角函数最值问题的几种常见解法
一 一次函数型：
利用函数的有界性或单调性求解； 例1 求函数5)12
3sin(2+-
-=π
x y 的值域。