三角函数的最值问题

三角函数的最值问题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

三角函数的最值问题

三角函数最值问题散见于不同的章节，或作为问题的背景、或作为单独的数学问题、或作为解题的工具。今天，我们就求解最值的方法层面展开讨论！

一 化为单名函数的形式

例1 函数f(x)=x x x x 44sin cos sin 2cos --

① 求f(x)得最小正周期;

② ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求f(x)的最小值。 解:

(1) x x x x x f cos sin 2sin cos )(22--= x x 2sin 2cos -= )2

22sin 222(cos 2⋅-=x x )4

2cos(2π+=x ∴ f(x)最小正周期是π=T

（2）20π≤

≤x ∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+45,422πππx ∴ 442ππ=+

x 即0=x 时最大值是1 ππ=+

42x 即83π=x 时最小值是－2 注意

① 辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 的应用

② 注意三角函数区间最值的正确取舍

二 单名函数的复合型

例2 3

1sin sin =+y x ，求x y 2cos sin -的最值

解：∵ x y sin 3

1sin -= ∴ 1sin 311≤-≤-x ∴ 3

4sin 32≤≤-x ∴ 12

11)21(sin cos sin 22--=-=x x y u ∴ 21sin =x u 的最小值为12

11- ； 32sin -=x u 的最大值为94 注意：隐含条件不可忽视！

三 关系代换x x cos sin ±与x x cos sin

例3 求函数x

x x x y cos sin 1cos sin ++=的最值 解：令x x t cos sin += 则 x x t cos sin 12+=

∴ )1(2

1121

2-=+-=t t t y ∴ 22≤≤-t 且 1≠t

∴ )12(21)12(21-≤≤+-y 且 1-≠y

注意① 代换要等效 ；② 原函数中对代换量的现定！

四 限量代换

例4 求函数21x x y -+=的值域

解：函数的定义域[]1,1-∈x

令 θcos =x ， πθ≤≤0 )4

sin(2sin cos π

θθθ+=+=y ∴ 21≤≤-y

注意：限量代换要求对代换量进一步分析并“定性”

五 建立关系等式整体带入或转化

例5 设A y x =+，求y x sin sin 的最值

解：∵ y x y x y x sin sin cos cos )cos(+=- y x y x y x sin sin cos cos )cos(-=+

∴ )cos(cos )cos()cos(sin sin 2y x A y x y x y x +-=+--=

∴

2

1cos sin sin 21cos +≤≤-A y x A ∴ y x sin sin 最大值为2

1cos +A ， 最小值为21cos -A 注意：找沟通已知与未知的一个或两个函数！

练习：

1求)3

cos(sin 3π++=x x y 的最值 2 Rt ABC ∆中，090=∠C ，求B A sin sin +的最大值 3 求x x y cos sin +=的最大值与最小值

4 求x x a x f 2cos sin 42)(--=的最值

5已知A y x =+，求y x cos sin 的最值 6 )2sin(5)(ϕ+=x x f 对任意都有)3

()3(x f x f +=-ππ （1）求ϕ的最小值；

（2）ϕ取最小值时若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππx ，求f(x) 的最小值。