三角函数的最值及应用
三角函数的最值与综合应用.
a a 2 b2
,sin φ
知识清单
考点一
三角函数的最值
1.当x=2kπ- (k∈Z)时,y=sin x取最小值-1;当x=2kπ+ (k∈Z)时,y= 2 2 sin x取最大值① 1 ;正弦函数y=sin x(x∈R)的值域为[-1,1]. 2.当x=2kπ+π(k∈Z)时,y=cos x取最小值-1;当x=2kπ(k∈Z)时,y=cos x取最
k φ k φ ;函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴为x= - ,对称中心为 ,0 ω ω ω ω k φ ;函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心为 k φ .上 ,0 ,0 ω ω 2 ω 2 ω ω
2 2
y=Asin 2x+Bcos 2x+C=
B A B sin(2x+φ)+C.其中tan φ= A ,再利用有界性处理. a sin x c a cos x c (3)y= 或y= 可转化为只有分母含有sin x或cos x的函数 b sin x d b cos x d
bt c (其中a,b,c为常数,且abc≠0),令t=sin x,则转化为y=at+ b sin x
cห้องสมุดไป่ตู้ (t∈[-1,0)∪(0,1])的最值,一般利用函数的单调性或函数图象求之.
t 2 1 (3)y=a(sin x±cos x)+bsin x· cos x,可令t=sin x±cos x,则sin x· cos x=± ,把 2
2 2
1 5 = cos x - , 4 2 5 1 当cos x= ,即x=2kπ± ,k∈Z时,f(x)取得最小值- .故选D. 3 4 2
三角函数最值问题在物理学科中的应用
三角函数最值问题在物理学科中的应用三角函数最值问题在物理学科中有着广泛的应用，以下是几个例子：1. 炮弹轨迹问题在炮弹轨迹问题中，可以利用三角函数的最值来求解最大射程和最大高度。
假设炮弹的初速度为v，发射角度为θ，则炮弹的水平速度为v*cosθ，竖直速度为v*sin θ。
炮弹的水平位移为x=v*t*cosθ，竖直位移为y=v*t*sinθ-0.5*g*t^2，其中g为重力加速度，t为时间。
为了求解最大射程和最大高度，需要分别求解x和y的最大值。
由于cosθ和sinθ的最大值均为1，因此可以得到炮弹的最大射程为v^2/g*sin2θ，最大高度为v^2/2g*sin^2θ。
2. 摆锤问题在摆锤问题中，可以利用三角函数的最值来求解摆锤的最大速度和最大角度。
假设摆锤的长度为l，摆锤的初始角度为θ，摆锤的重量为m，则摆锤的运动方程为θ''+g/l*sinθ=0，其中g为重力加速度，θ''表示θ对时间的二阶导数。
为了求解最大速度和最大角度，需要分别求解θ'和θ的最大值。
由于sinθ的最大值为1，因此可以得到摆锤的最大速度为l*sqrt(2g*(1-cosθ))，最大角度为π/2。
3. 交流电路问题在交流电路问题中，可以利用三角函数的最值来求解电流和电压的最大值。
假设电路中的电阻为R，电感为L，电容为C，交流电源的电压为V，交流频率为ω，则电路的运动方程为L*i''+R*i'+1/C*i=V*sin(ωt)，其中i''表示i对时间的二阶导数，i'表示i对时间的一阶导数。
为了求解电流和电压的最大值，需要分别求解i和V的最大值。
由于sin(ωt)的最大值为1，因此可以得到电流的最大值为V/sqrt(R^2+(ωL-1/ωC)^2)，电压的最大值为V。
三角函数的最值
三角函数的最值三角函数是在几何学、微积分、物理学和数学中经常使用的古老函数，它伴随着人们对宇宙规律、地球运行等自然现象的深入研究而发展壮大。
三角函数的最值也被广泛应用于各个领域，为人们理解和掌握复杂问题提供了重要依据。
三角函数的最值是指函数在取值范围内的最小值和最大值。
在数学中，三角函数的最值可以用有理函数的积分、极限和微分等方法求出。
其中，有理函数的极限是三角函数最值的最主要的方法，利用极限，可以根据函数图像找出最值的具体的值，从而得到函数的最值。
求三角函数最值的方法一般有两个步骤。
首先，确定函数在取值范围内的最大值和最小值，然后通过有理函数极限和微分求解得出精确的最值。
有理函数极限求解三角函数最值的方法是：先求出三角函数的有理函数曲线，然后从曲线的图像上观察函数最大值和最小值的点，从而确定函数的最值。
有理函数微分也可以用来求解三角函数最值。
它是利用函数的导数，找出函数变化最快和最慢的点，由此确定函数的最值。
三角函数最值的最重要的一点是，它也有自己的变化规律，按照这一规律，可以根据函数的类型和取值范围来确定函数的最值。
例如，常见的正弦函数f(x)在取值范围内的最值是：f(x)的最大值等于1，最小值等于-1。
而余弦函数的最值仍为1和-1，但是最大值和最小值的取值范围有所不同，因此在求解最值时，要根据函数的变化规律来确定最大值和最小值的边界点，从而求得函数的最值。
同样，双曲函数的最值也是按照变化规律来求解的。
总的来说，通过研究函数变化规律，可以根据函数的类型，找出函数在取值范围内的最大值和最小值，得出函数的最值。
不仅仅是三角函数，其他函数的最值也可以通过有理函数极限和微分求解。
另外，还有一些有趣的结论，如根据函数的特性，研究和分析函数的变化规律，对于求函数的最值也有一定的指导作用。
总而言之，从上面的内容可以看出，三角函数的最值具有重要的意义，它可以为人们分析复杂问题提供借鉴，也可以在各个领域得到广泛应用。
三角函数的最值和综合应用
三角函 数的最值和综合应用
… … … ・ … ・ … … … … … … … … ・… … … ・… … ・ ・ … ・ … ・ … … … …
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一
●
０ 重庆 巴蜀 中学
李 水 艳
■ｒ 兰兰ｆ
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求三角 函数 的最值 问题 就是
通 过 适 当 的三 角 变换 或 代 数换 元 ，
三角函数 的最值问题是三角函数性质的一个重要内容 ， 是学 习高等数学和应用技术 学科 的基础 ， 又是 解决生产实际 问题的工具．因此 ， 对三角 函数最值的考查总是每年高考的一个热点 ， 题型有客观题和主观 ． ＾ 题， 多数处在高考试卷解答题 中的中档题位置 ， 也具有一定的灵活性和综合性 ． ‘ ／
大 佰 和 晶 小 信
简 方 法 多 为 三 角公 式 的 简 单 应 用 ．
式 等．
２
｛ ｄ ≤ ４ ， 故 一 ２≤ ｓ ｉ ｎ ＼ ４ ） ／ ≤
１ ， － ２ ＜ ￣ ２ Ｘ ／ ７ ｓ ｉ ｎ （ 一 ＂ ｉ Ｔ ） ≤ ２ ，
所ｖ Ｘ ＇ ｆ （ ｘ ） 的 最 小 值 为一 ２ ， 最 大值 为
（ ６ ） 含有ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ＿ ｃ ｏ ｓ ｘ ， ｓ ｉ ｎ ｘ・ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ 型：
难点 ： 三 角 函数 的最 值 都是 在
给定 区间上 取 得 的 ， 因而 特 别要 注 意题 设 中所 给 出的 角 的取 值 范 围 ，
（ ２ ） ｙ ＝ ａ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ｂ ｃ ｏ ｓ ｘ ＠ ：引 用 辅 助
三角函数的极值和最值问题
三角函数的极值和最值问题三角函数是数学中常见的一类函数，其在解决各种实际问题中起着重要的作用。
本文将探讨三角函数的极值和最值问题，帮助我们更好地理解和应用这一概念。
一、极值问题的引入在开始我们的讨论之前，我们首先来了解下什么是极值。
在数学中，对于一个函数而言，当其在某个区间内取得最大值或最小值时，称该值为函数的极值。
对于三角函数而言，我们主要关注的是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）在一定区间内的极值问题。
二、正弦函数的极值问题正弦函数的图像是一条连续的曲线，在区间[0, 2π]内，正弦函数的极大值为1，极小值为-1。
当我们需要求解正弦函数的极值时，首先要找到其周期。
正弦函数的周期为2π，即在[0, 2π]内，正弦函数呈现出一个完整的周期性。
因此，在该区间内，我们可以找到无穷多个极大值和极小值，均为1和-1。
三、余弦函数的极值问题余弦函数的图像也是一条连续的曲线，在区间[0, 2π]内，余弦函数的极大值为1，极小值为-1。
与正弦函数类似，我们需要先找到余弦函数的周期。
余弦函数的周期同样为2π，在这个区间内，余弦函数的极大值和极小值也为1和-1。
因此，在[0, 2π]内，余弦函数也有无穷多个极大值和极小值。
四、正切函数的极值问题正切函数的图像呈现出周期性，其周期为π，即在[0, π]、[π, 2π]、[2π, 3π]等区间内，正切函数的极值问题也呈现出周期性。
在每个π的区间内，正切函数的极值均为无穷大，其中极小值是负无穷，极大值是正无穷。
所以，在正切函数的图像上，我们将无法找到具体的极值点。
五、总结与应用通过以上的分析，我们可以得出以下结论：1. 正弦函数和余弦函数在其周期内有无穷多个极值点，分别为1和-1。
2. 正切函数在其周期内没有具体的极值点。
在实际问题中，我们可以利用三角函数的极值和最值来解决一些优化问题。
例如，在物理中，我们可以通过极值问题来求解质点的最大位移、速度或加速度等。
三角函数最值问题与综合应用
差异（ 角的差异、 函数名的差异 、 式子
２ ６
ｐ 、 丁． ＜／
感悟
上 述 思 路 遵 循 “ 量一 函 变
数一 值 域 ” 这样 的解 题 对 策 ， 题 思 解
路 还 是显 得 比较 自然 。 目标 函数 的解
析 式 也很 容 易得 到 ， 其 不足 之 处也 但 很 明显 ． 解题 过 程 比较 繁 杂 ， 其 原 究
为 ，心 为＿ Ｑｌ＜詈） Ｒ圆 角 ＬＯ＝０＜ ， Ｐ Ｏ
求扇形 的内接矩 形 的面积Ｓ 的最 大值．
思 索 当 扇 形 的 内接 矩 形ＡＢ ∞
对 于 三角 函数相关 的试题 ， 绝大 多数 同学都 志在 必得 ， 希望 能拿 高分 甚至 满分 ，
但 有 时事与愿违 ， 没有得到理 想 的结果 ， 如何避 免这种“ 悲剧” 的发 生呢？这 正是 本 文 的 目的所在 ．
三
●
角函数最 题与 合 值问 综 应用
婚
０ 浙江宁波北仑 中学 吴文尧（ 特级教师 ）
得到所 需结论．
．
又 因 ￣ ａ ｃ ６． 以 ｊ ｔ－＜ 所
２ ／－ 一 ＜ ， 以ｔ ２一 ＜ ， 得 ￡ Ｘ－ ｃ Ｏ 所 ￣ ￣ ｔ１０ 解 － ＜
１ ．三角 函数 的 最值 问题 的解 题 对 策不 外乎 以下 两种 ：
＋ ， 以 — ｒ ＋ｘ／ ｌ所 ￣ ｇ － Ｙ
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一
＜
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ห้องสมุดไป่ตู้
（） 过运 用 换 元 法 ， 有 关 三 １通 把 角 函数 的最 值 问 题 化 归 为代 数 函数
例 １ 在△ 中， ｃ Ａ ｃ 角 ，，
所 对 的 边 分 别 为 ａｂ Ｃ ，， ，已 知 ｓ Ａ＋ ｉ ｎ
三角函数的最值
∴f(x) 的单调递增区间为 [k- 3 , k+ ](kZ); 6 (2)由 2x+ = 得 x= [0, 2 ], 6 6 2 故当 x= 时, f(x) 取最大值 3+a. 由题设 3+a=4, ∴a=1. 6
5.设 [0, ], 且 cos2+2msin-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取 2 值范围. 解:由已知 0≤sin≤1 且 1-sin2+2msin-2m-2<0 恒成立. 令 t=sin, 则 0≤t≤1 且 1-t2+2mt-2m-2<0 恒成立. 即 f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0 对 t[0, 1] 恒成立. 故可讨论如下: (1)若 m<0, 则 f(0)>0. 即 2m+1>0. 解得 m>- 1 , ∴- 1 <m<0; 2 2 (2)若 0≤m≤1, 则 f(m)>0. 即 -m2+2m+1>0. 亦即 m2-2m-1<0. 解得: 1- 2<m<1+ 2 , ∴0≤m≤1; (3)若 m>1, 则 f(1)>0. 即 0m+2>0. ∴mR, ∴m>1. 综上所述 m>- 1. 即 m 的取值范围是 (- 1 , +∞). 2 2
∴当 t=-1, 即 x= 时, y 取最大值 27. 当 t= 2 , 即 x= 时, y 取最小值 20-8 2 4 .
5.已知函数 f(x)=2asin2x-2 3 asinxcosx+a+b(a0) 的定义域 为[0, ], 值域为 [-5, 1], 求常数 a, b 的值. 2 解: f(x)=a(1-cos2x)- 3 asin2x+a+b =-a(cos2x+ 3 sin2x)+2a+b
三角函数的极值
三角函数的极值三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
其中一个重要的概念是极值，即函数的最大值和最小值。
在本文中，将探讨三角函数的极值特性以及如何求解。
一、正弦函数的极值正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)，其中x为自变量。
正弦函数的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
正弦函数的图像是一条连续的波形，具有无限多个极大值和极小值。
我们可以观察正弦函数的图像，发现它在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π的倍数时，取得极小值-1。
由此可知，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
除此之外，正弦函数在其他点上的取值介于-1和1之间。
二、余弦函数的极值余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。
余弦函数的定义域也是所有实数，值域同样在[-1, 1]之间。
余弦函数的图像形状与正弦函数相似，但相位不同。
与正弦函数类似，余弦函数也有无限多个极大值和极小值。
观察余弦函数的图像，可以发现它在自变量增大到2π的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极小值-1。
其他点上余弦函数的取值也落在-1和1之间。
三、正切函数的极值正切函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为tan(x)。
正切函数的定义域是所有实数，但在某些点上存在无穷大或无穷小的间断点。
正切函数的值域包含所有实数。
正切函数的图像呈周期性分布，并且在自变量增大到π/2的倍数时，取得无穷大的极大值；在自变量增大到π的倍数时，取得无穷小的极小值。
其他点上正切函数的取值没有特殊限制。
四、求解要求解三角函数的极值，我们可以首先观察它们的图像，确定函数的周期性和取值范围。
然后，通过求导数的方法，找到函数在定义域内的临界点。
最后，将临界点带入函数，求得对应的函数值，进一步确定最大值和最小值。
需要注意的是，某些三角函数在定义域的某些点上没有极值，而是趋于无穷大或无穷小。
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第二章 第7节 三角函数的最值及应用
主备人： 审核人： .
班级 姓名 .
【教学目标】 1掌握求三角函数最值的常用方法：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等 2三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间
（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性
（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响
【重点难点】
1.重点：三角函数最值的常用方法
2.难点：选择求三角函数最值的方法
【教学过程】
一.知识梳理
三角函数的最值问题
(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2
. ② y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 可先降次，整理转化为上一种形式．
③ y ＝asinx ＋b csinx ＋d ⎝ ⎛⎭
⎪⎫或y ＝acosx ＋b ccosx ＋d 可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx ＝f(y) (cosx ＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．
(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y ＝asin 2x ＋bcosx ＋c 可转化为cosx 的二次函数式．
② y ＝asinx ＋c bsinx (a 、b 、c>0)，令sinx ＝t ，则转化为求y ＝at ＋c bt
(－1≤t ≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．
二.基础自测：
1．函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值
2．已知函数)(1cos sin 2
3cos 212R x x x x y ∈++= (1)求函数y 的最大值，并求此时x 的值
(2)该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
三.典型例题
例1．求函数y =
x x cos 2sin 2--的最大值和最小值
例2．已知函数()b a x x a x a x f ++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡20π，，值域为 [ －5，1 ]，求常数,a b 的值．
例3．已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得(sin )f m x -27cos )4
f x ≤+对一切实数x 均成立，求实数m 的范围
例4．求y =1+sin x +cos x +sin x cos x 的值域
例5．已知函数12)6
(,8)0(,cos 2cos sin 2)(2==+=π
f f x b x x a x f 且 （１）求实数,a b 的值；
（２）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值
四.课堂反馈
1. 函数22cos sin 21y x x =+-的最小值是 ．
2. 函数sin 3sin x y x =
+的最大值为 ，最小值为 ．
3．已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域为,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，值域是[]2,5，求,a b 的值．
五.课后练习 班级 姓名 .
1. 函数y ＝2sinx ⎝⎛⎭⎫π6
≤x ≤2π3的值域是________．
2当22x π
π
-≤≤，函数sin y x x =的最大值为 ，最小值为 ．
3．已知22326x y +=，则
2x y +的最大值是 ． 4 y =x x sin cos 2-（0＜x ＜π）的最小值是________ 5 y =x x sin 2sin +的最大值是_________
6函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－4π，4
π］上的最小值是
7. 函数y =x －sin x 在［
2π，π］上的最大值是
8. 函数y =
2sin 1sin 3+-x x 的最小值是_______
9. 已知将函数()sin 3f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭(0ω>)的图像向右平移4
π个单位后得到的图像关于原点对称,则ω的最小值为 ．
10. 已知对任意x ，恒有y ≥sin 2x +4sin 2x cos 2x ，求y 的最小值
11.设函数2()sin cos f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期T ，并求出函数()f x 的单调递增区间；
（2）求在[0,3)π内使()f x 取到最大值的所有x 的和．
-=填空题答题纸=-
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
10. .。