三角函数最大值问题
三角函数的最大值与最小值
三角函数的最大值与最小值
三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、天文、金融等领域。
其中，最大值和最小值是三角函数研究中的重要概念之一，本文将介绍三角函数的最大值和最小值。
正弦函数是最基本的三角函数之一，其定义如下：
$$\sin(x) = \frac{opposite}{hypotenuse}$$
其中，$x$表示角度，$opposite$表示角度对边的长度，$hypotenuse$表示斜边的长度。
在一般情况下，正弦函数的值域为[-1,1]，即$\sin(x)\in[-1,1]$。
因此，正弦函数的最小值为-1，最大值为1。
正切函数的定义域为除去$n\pi +\frac{\pi}{2}(n\in Z)$的所有实数，而对应的值域为实数集，即$\tan(x)\in R$。
因此，正切函数没有最大值和最小值。
五、正割函数和余割函数的最大值和最小值
最后，介绍正割函数和余割函数的最大值和最小值。
正割函数和余割函数分别定义如下：
综上所述，正弦函数和余弦函数的最大值和最小值分别为1和-1，而正切函数和余切函数没有最大值和最小值，正割函数和余割函数的最大值和最小值也是1和-1。
这些概念在三角函数的研究中有着重要的应用。
三角函数中的最值问题(4种方法)
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
三角函数的最值
三角函数的最值三角函数是一类描述几何图形以及物理场景的数学函数。
它是利用给定角度的正弦、余弦、正切函数来定义和表达平面坐标系中点和直线之间的关系，它们又被称为直角三角形函数。
它们各自的最值概念是广泛使用的，因此本文将研究并解释三角函数的最值的概念。
虽然三角函数可以用来描述几何图形，但它们本质上是数学函数，可以用最值来描述它们的表现形式。
数学家定义的最值的概念是指函数的最大值（及大于等于该值的最小值）或最小值（及小于等于该值的最大值）。
在三角函数的情况下，由于它们是周期函数，可以定义出最大值和最小值。
正弦函数的最值为（1，-1），余弦函数的最值为（1，-1），正切函数的最值为无穷大（+∞）和无穷小（-∞）。
这些最值的定义确立了三角函数的可能值范围，因此任何满足这些范围的数值都可以算作三角函数的值。
三角函数的最值可以表示为“最大值＝（x，y）”或“最小值＝（x，y）”样式，其中x和y分别表示函数的最大值和最小值。
三角函数的最值可以用函数法则来描述。
例如，正弦函数的最大值为（π／2，1），最小值为（3π／2，-1），其余最值也可以精确地定义出来。
这样的函数法则可以用于计算三角函数的最大值和最小值，也可以用于计算函数的任何一个最值。
例如，求出余弦函数的最大值和最小值，可以使用下面这个函数： f(x) = cos(x)。
若输入x=π／2，则f(x)=1（最大值）；若输入x = 3π／2，则f(x) = -1（最小值）。
此外，三角函数的最值还可以用图形的方式表示。
例如，可以画出三角函数的图形，并从中找出最大值和最小值。
对三角函数来说，图形的水平轴上的最高值即为最大值，轴上的最低值为最小值。
三角函数的最值的概念不仅可以用来解释函数作图或函数表示，它也是许多其他数学领域的重要概念，例如微积分和动力学中。
例如，考虑一个简单的物理实验：小球从地面跳起，然后运动到最高点后回落，这个过程中，小球的跳跃高度便是物理场景中的最值。
三角函数求三角形面积最大值
三角函数求三角形面积最大值标题：三角函数与三角形面积最大值的探讨在数学的世界里，三角函数是一个重要的概念。
它不仅仅是数学教学中的基础内容，更是在实际生活和工程领域中有着深远影响的数学工具。
而三角形作为几何形状中的重要一环，其面积的求解更是涉及到了三角函数。
在这篇文章中，我们将深入探讨三角函数对于求解三角形面积最大值的影响，希望通过深度的研究和广度的拓展，能够更好地理解这一问题。
一、三角形面积的求解在我们探讨三角函数对于三角形面积最大值的影响之前，首先让我们来回顾一下三角形面积的求解公式。
根据几何学的知识，我们知道三角形的面积可以通过底和高之间的关系来求解。
具体地而言，如果我们知道了三角形的底和高，那么三角形的面积就可以通过底乘以高再除以2来计算得出。
这个基本的公式在解决三角形面积问题时是非常有用的，但是在实际问题中，我们往往需要求解最大面积，这时候三角函数的知识就显得尤为重要了。
二、三角函数在求三角形面积最大值中的运用在数学中，最大值问题是一个经典的优化问题。
对于三角形的最大面积问题，我们可以通过三角函数来优化求解。
以正弦函数为例，我们知道正弦函数的图像是一个周期性的曲线，其在0到π之间的取值范围是[0,1]。
当我们在求解三角形面积最大值时，可以通过选择合适的角度来使得正弦函数的值最大化，从而求解出最大的三角形面积。
三、三角函数求解三角形面积最大值的案例分析下面，我们通过一个具体的案例来具体说明三角函数在求解三角形面积最大值中的运用。
假设我们需要求解一个固定底边长的等腰三角形的最大面积。
我们设定这个等腰三角形的底边长为a，那么根据等腰三角形的性质，上底也是a。
接下来，我们引入一个角度θ，使得等腰三角形的高为h = a * sinθ。
我们利用三角形面积公式S = 1/2 * a * h，将高h代入，则S = 1/2 * a * a * sinθ，进而得到S = 1/2 * a^2 * sinθ。
通过对sinθ的取值进行优化，我们可以求解出使得三角形面积最大的角度θ，并结合底边长a就可以求出最大面积。
[方案]三角函数中的最大值与最小值
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三 角 函 数 中 的 最 大 值 与 最 小 值湖南省南县一中 陈敬波(*****************)(413200)三角函数的最值问题是对三角函数的概念、图象与性质以及诱导公式、同角间的基本关系、两角的和与差公式的综合考查,也是函数思想的具体体现．解决三角函数的最值问题可通过适当的三角变换或代数换元,化归为某种三角函数或代数函数,再利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理,通常有以下六种类型．（１） sin y a x b =+（或cos y a x b =+）型的函数此类函数利用sin 1x ≤（或cos 1x ≤）即可求解,max min ||,|a|+b,y a b y =+=-显然这里x R ∈．例1．求sin cos 6y x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最大值与最小值．解：111sin cos sin 2sin sin 2,6266264y x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()max min 1111131,1.244244y y ∴=⨯-==⨯--=-（若不要求记忆和差与积互化公式,则按下列解法）解：21111cos 2cos cos cos cos 22222111111112cos 2sin 2cos 2sin 24442224264x y x x x x x x x x x x x x π⎫+=-=-=-⨯⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--=⨯--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()max min 1111131,1.244244y y ∴=⨯-==⨯--=-（２） sin cos y a x b x =+型的函数()αϕ+其中辅助角ϕ所在的象限由a,b 的符号确定,角ϕ的值由tan ba ϕ=确定．例2．当22x ππ-≤≤时,函数()sin f x x x =的（ ）Ａ． 最大值是１,最小值是－１ Ｂ． 最大值是１,最小值是－12１Ｃ． 最大值是２,最小值是－２ Ｄ． 最大值是２,最小值是－１解析：()sin 2sin .3f x x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭()()max min 5,,22636,,2,3261,,2 1.3622x x x x f x x x f x πππππππππππ-≤≤∴-≤+≤∴+===⎛⎫+=-=-=⨯-=- ⎪⎝⎭故选（Ｄ）（３） 22sin sin cos cos y a x b x x c x =++型的函数此类函数可先降次,再整理转化为()sin y A x B ωϕ=++的形式来解决．例3．求22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++的最小值,并求y 取最小值时的x 的集合．解：()22222sin 2sin cos 3cos sin cos 2sin cos 2cos y x x x x x x x x x=++=+++()1sin 21cos 2sin 2cos 2224x x x x x π⎛⎫=+++=++=++ ⎪⎝⎭,∴当sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即()322,428x k x k k Z πππππ+=-+=-∈时,y 取最小值2,使y 取最小值的x 的集合为3|,.8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭（４） 2sin cos y a x b x c =++型的函数此类函数可转化为形如()211y At Bt C t =++-≤≤的二次函数,从而讨论其最值．例4.求函数2cos 2sin y x a x a =--(a 为定值)的最大值M.解: ()()2222cos 2sin 1sin 2sin sin 1.y x a x a x a x a x a a a =--=---=-++-+令sin x t =,则()()221||1.y t a a a t =-++-+≤如下图(1)若-a<-1,即a>1,则当t=-1时,有最大值M=-(-1+a)2+a 2-a+1=a;(2)若-1≤-a ≤1,即-1≤a ≤1,则当t=-a 时,有最大值M=a 2-a+1;(3)若-a>1,即a<-1,则当t=1时,有最大值M=-3a.注:本例借助函数思想,把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题.（５） sin cos a x cy b x d+=+型的函数此类函数可转化为()()sin x g y ϕ+=去处理,或利用万能公式换元后用判别去处理.例5.求下列函数的最大值与最小值.()()()3cos 2cos 1;2.2sin 2cos x xy y x R x x-+==∈+-解：（1）原函数可变形为sin cos 32,y x x y +=-即()sin x ϕ+=又()|sin |1x ϕ+≤()22213213128022y y y y y ≤⇔-≤+⇔-+≤⇔≤≤故所求最小值与最大值分别为：2（2）原函数可转化为()21cos ,1y x y -=+则()221131030,1y y y y -≤⇒-+≤+解得min max 113,, 3.33y y y ≤≤∴==（６） 巧用换元法转化为代数函数的最值问题① 对于含有s i n c o s ,s i n c o x x x x ±的函数的最值问题，常用的解决方法是令sin cos ,x x t ±=||t ,将sin cos x x 转化为t 的关系式，最终化归为二次函数或其他函数的最值问题.例6.已知0a <≤求函数()()sin cos y x a x a =++的最值解: ()()()2sin cos sin cos sin cos y x a x a x x a x x a=++=+++设sin cos x x t +=,则21||cos ,2t t x x -≤=()222211122t y at a t a a -⎡⎤∴=++=++-⎣⎦.当t a =-时,2min 12a y -=;当t =, 2max 1.2y a =++例7.求函数sin 21sin cos xy x x =+-的最大值与最小值.解: sin 22sin cos 1sin cos 1sin cos x x xy x x x x==+-+-令:sin cos ,x x t -=则||t ≤且1t ≠-原函数变为:211.1t y t t-==+-则[11)(1,1y ∈--min max 11y y ==② 首先利用换元法转化为代数函数by ax x=+,再利用函数的单调性求最值.例8.已知1sin cos ,0,sin cos 2y x x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,求y 的最小值.解析:令11sin cos sin 2,0,,(0,]222u x x x x u π⎛⎫==∈∈ ⎪⎝⎭则11,(0,].2y u u u =+∈由函数的单调性的定义易证1y u u =+在1(0,]2u ∈上是减函数,min 152.22y ∴=+=。
高一数学三角函数的最值问题
三角函数的最值问题三角函数的最值问题是本学期高一的一个重要的专题，本文可作为课外辅导材料，也可作为三角函数的一个专题复习内容。
三角函数的最值问题的训练可提高学生灵活运用三角公式、三角函数图象性质的能力。
求三角函数的最值要注意其特殊性（正、余弦的有界性），同时也要注意运用求一般函数最值的通法（如运用函数的单调性，配方法等）。
求三角函数的最值往往先通过适当的三角变换或代数换元化归为基本类型的三角函数或代数函数。
常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。
（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=dx bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1cos 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。
（5）y=d x c b x a ++cos sin （y=dx c bx a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。
（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。
三角函数的最值与极值
三角函数的最值与极值三角函数是数学中重要的一类函数，它在数学和物理等领域具有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的最值与极值，介绍其定义、性质以及求解方法。
一、定义与性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：在单位圆上，对于任意实数x，都存在一个点P(x, y)与圆心O(0, 0)连接，那么正弦函数的值等于点P的纵坐标y。
2. 余弦函数（cos）：在单位圆上，对于任意实数x，同样存在一个点P(x, y)与圆心O(0, 0)连接，那么余弦函数的值等于点P的横坐标x。
3. 正切函数（tan）：正切函数的定义为tan(x) = sin(x) / cos(x)，其中x不能是90度的倍数。
三角函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
2. 最值：正弦函数和余弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，正切函数的最大值为正无穷，最小值为负无穷。
二、最值的求解方法1. 最大值与最小值的存在性：三角函数在一个周期内是连续函数，因此必定存在最大值与最小值。
2. 求解最大值与最小值的方法：a) 根据函数的周期性，我们只需考虑一个周期内的最大值与最小值。
b) 对于正弦函数和余弦函数，最大值是1，最小值是-1。
这是因为在单位圆上，最远点的纵坐标和横坐标就是1和-1。
c) 对于正切函数，它的极值点在θ=π/2 + πn，其中n是整数。
可以通过导数的方法求出极值点的具体数值。
三、举例说明下面我们以正弦函数为例，来说明最值与极值的求解过程：1. 考虑正弦函数sin(x)在区间[0, 2π]内的最值与极值。
2. 根据周期性，我们可以只考虑在该区间内的最值与极值。
3. 观察正弦函数的定义域，最大值1对应于x=π/2，最小值-1对应于x=3π/2。
4. 对于极值的求解，我们需要对正弦函数进行求导，得到导数cos(x)。
然后，令导数等于0，解方程cos(x)=0，可得极值点x=π/2 + πn。
三角函数tan的最大值和最小值
三角函数tan的最大值和最小值1. 概述三角函数是数学中的重要分支，其中tan函数在数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将探讨tan函数的最大值和最小值，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
2. tan函数的定义tan函数是三角函数中的一种，表示正切值。
在直角三角形中，tan函数的定义如下：tan(θ) = 对边/邻边其中，θ表示角度，对边表示角θ的对边长，邻边表示角θ的邻边长。
3. tan函数的周期性tan函数是周期函数，其周期为π。
即在连续的π内，tan函数的取值会重复。
在讨论tan函数的最大值和最小值时，需考虑其周期性。
4. tan函数的最大值和最小值tan函数在定义域内不断变化，但其最大值和最小值是存在的。
具体来说，tan函数的最大值是正无穷，最小值是负无穷。
4.1 tan函数的最大值当θ为90°的整数倍时，tan函数的取值趋近于正无穷。
即有lim(t→(n*π)/2)tan(t) = +∞。
这也可以通过三角函数的图像来理解，tan函数在90°的整数倍处出现无穷大的峰值。
4.2 tan函数的最小值当θ为270°的整数倍时，tan函数的取值趋近于负无穷。
即有lim(t→(2n+1)*π/2)tan(t) = -∞。
同样，也可以通过图像来观察，tan 函数在270°的整数倍处出现无穷小的谷值。
5. tan函数的应用在实际应用中，tan函数的最大值和最小值可以帮助我们求解各种三角函数方程，解决实际物理问题。
在建筑设计中，需要利用tan函数的性质计算角度和长度，以确保建筑结构的稳定和安全。
6. 结语通过本文的讨论，读者应该对tan函数的最大值和最小值有了更清晰的认识。
我们也应该意识到，数学中的概念并非孤立存在，而是和实际问题紧密相关，需要我们加以应用和理解。
希望本文能够对读者有所帮助，也欢迎读者对本文提出宝贵意见和建议。
7. tan函数的导数和变化率在讨论tan函数的最大值和最小值时，我们还需要关注其导数和变化率。
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三角函数最值问题类型归纳
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。
其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。
题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。
掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。
1．y=asinx+bcosx型的函数
特点是含有正余弦函数，并且是一次式。
解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为
只有一种三角函数。
应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。
例1．当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（ D ）
A、最大值是1，最小值是-1
B、最大值是1，最小值是-
C、最大值是2，最小值是-2
D、最大值是2，最小值是-1
分析：解析式可化为f(x)=2sin(x+)，再根据x的范围来解即可。
2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数
特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。
例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。
解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x
=1+sin2x+1+cos2x
=2+sin(2x+)
当sin(2x+)=-1时，y取最小值2-，此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}。
3．y=asin2x+bcosx+c型的函数
特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。
例3．求函数y=cos2x-2asinx-a（a为常数）的最大值M。
解：y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a，
令sinx=t，则y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1)
(1) 若-a<-1时，即a>1时, 在t=-1时，取最大值M=a。
(2) 若-1≤-a≤1，即-1≤a≤1时，在t=-a时，取最大值M=a2+1-a。
(3) 若-a>1，即a<-1时，在t=1时，取大值M=-3a。
4．y=型的函数
特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。
几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种。
例4．求函数y=的最大值和最小值。
解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+φ)=，
∵|sin(x+φ)|≤1，∴≤1，解出y的范围即可。
解法2：表示的是过点(2, 2)与点(cosx, sinx)的斜率，而点(cosx, sinx)是单位圆上的点，观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。
解法3：应用万能公式设t=tan()，则y=，即(2-3y)t2-2t+2-y=0，
根据Δ≥0解出y的最值即可。
5．y=sinxcos2x型的函数。
它的特点是关于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。
因为高中数学不涉及三次函数的最值问题，故几乎所有的三次式的最值问题（不只是在三角）都用均值不等式来解（没有其它的方法）。
但需要注意是否符合应用的条件（既然题目让你求，多半是符合使用条件的，但做题不能少这一步），及等号是否能取得。
例5．若x∈(0,π)，求函数y=(1+cosx)·sin的最大值。
解：y=2cos2·sin>0,
y2=4cos4sin2
=2·cos2·cos2·2sin2
所以0<y≤。
注：本题的角和函数很难统一，并且还会出现次数太高的问题。
6．含有sinx与cosx的和与积型的函数式。
其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子，处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化，变成二次函数的问题。
例6．求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。
解：令sinx+cosx=t (-≤t≤)，则1+2sinxcosx=t2，所以2sinxcosx=t2-1,
所以y=t2-1+t=(t+)2-，
根据二次函数的图象，解出y的最大值是1+。
相信通过这一归纳整理，大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了。
并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题。
希望同学们在做有关的问题时结合上面的知识。