求三角函数最值的四种常用解题方法
三角函数中的最值问题(4种方法)
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
求三角函数最值的四种方法
求三角函数最值的四种方法求解三角函数最值问题的基本途径与其他函数最值问题相同，一方面要利用三角函数的特殊性质，例如有界性，另一方面要将问题转化为我们熟悉的函数的最值问题。
以下介绍几种常见的求解三角函数最值的策略。
1.配方转化策略对于能够化为形如y = a sin x + b sin x + c或y = a cos x +b cos x + c的三角函数最值问题，可以将其看作是sin x或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决。
例如，对于函数y = 5 sin x + cos 2x的最值问题，可以将其转化为y = -2 sin x + 5 sin x + 1，然后利用sin x的范围[-1.1]求得最小值为-6，最大值为4.2.有界转化策略对于能够通过变形化为形如y = A sin(ωx + φ)等形式的三角函数，可以利用其有界性来求解最值。
这是常用的求解三角函数最值问题的策略之一。
3.单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略。
对于三角函数来说，常常是先化为y = A sin(ωx + φ) + k的形式，然后利用三角函数的单调性求解。
4.导数法对于一些较为复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解。
通过对函数求导，找到其临界点，然后比较临界点和函数在端点处的取值，即可求得函数的最值。
在求解三角函数最值问题时，需要注意将三角函数准确变形为sin x或cos x的二次函数的形式，正确配方，并把握sinx或cos x的范围，以防止出错。
1，即y=−x+2设点P的坐标为(x,y)，则y−0=y−yPx−2=x−xP解得xP=cosx，yP=sinx代入直线方程得y=−(cosx−2)+2=4−cosx所以y的最小值为3，当x=π/2时取到最小值。
答案]3。
高中数学如何求解三角函数的极值和最值
高中数学如何求解三角函数的极值和最值一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，求解三角函数的极值和最值是数学分析的基本技能之一。
本文将介绍如何通过分析和计算来求解三角函数的极值和最值，以及一些常见的解题技巧。
二、求解三角函数的极值1. 极值的定义在数学中，极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，极值点就是函数图像上的顶点或谷底。
2. 求解极值的方法（1）利用导数法求解对于一元函数，可以通过求导数来确定其极值点。
对于三角函数而言，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。
令f'(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。
因此，函数sin(x)在x = π/2 + kπ处取得极值。
（2）利用周期性求解由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解极值。
例如，考虑函数f(x)= sin(2x)，它的周期为π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的极值即可。
在区间[0, π]上，函数f(x)在x = π/4处取得最大值1，而在x = 3π/4处取得最小值-1。
三、求解三角函数的最值1. 最值的定义在数学中，最值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，最值点就是函数图像上的最高点或最低点。
2. 求解最值的方法（1）利用周期性求解与求解极值类似，由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解最值。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，它的周期为2π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的最值即可。
在区间[0, 2π]上，函数f(x)在x = π/2处取得最大值1，而在x = 3π/2处取得最小值-1。
（2）利用函数图像求解通过观察函数的图像，可以直观地确定函数的最值点。
例如，考虑函数f(x) = cos(x)，它的图像是一条波浪线。
从图像上可以看出，函数f(x)在x = 0处取得最大值1，而在x = π处取得最小值-1。
三角函数的最值
三角函数的最值知识要点梳理1.正弦函数、余弦函数的值域：都是[]1,1-。
2.正弦函数、余弦函数的最值：对sin y x =，当()22x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。
注意：正切函数y=tanx 在R 上的值域为R ，因此正切函数y=tanx 在R 上既没有最大值，也没有最小值。
3.求三角函数最值的常用方法有：（1）配方法；（2）化为一个角的三角函数形式，如sin()y A x k ωϕ=++等，利用三角函数的有界性求解；（3）数形结合法；（4）换元法；（5）基本不等式法等.疑难点、易错点剖析三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的角的范围，还要注意正、余弦函数的有界性.特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，要深入挖掘正、余弦函数的有界性。
一、可转化为关于x 的正弦或余弦的二次函数的三角函数的最值例1求函数2cos 3cos 2++=x x y 的最值，并求取得最值时的x 值。
思路分析：函数式中既含有角x 的余弦的平方，又含有x 的余弦的一次项，适宜用同角公式中的平方关系将函数化为关于角x 的余弦的二次函数在闭区间[-1，1]上的最值问题。
解：45)23(cos 2cos 3cos 22++=++=x x x y[]1c o s 1,1,12x -≤≤∈- 且-， ∴当23cos -=x 时，即23x k ππ=±+时，m in 54=y13x π==+max 当cos ，即 x=2k 时，y变式：求函数2sin 2y x x =++的最值，并求取得最值时的x 值。
思路分析：函数式中既含有角x 的正弦的平方，又含有x 的余弦的项，适宜用同角公式中的平方关系将函数化为关于角x 的余弦的二次函数在闭区间[-1，1]上的最值问题。
初中数学 如何求解三角函数的最值问题
初中数学如何求解三角函数的最值问题在三角函数中，最值问题是一个常见的问题，需要我们通过一些方法来求解。
下面将介绍如何求解三角函数的最值问题。
1. 求取最大值和最小值的方法-方法一：求导数对于一个连续可导的函数f(x)，其最大值和最小值必定出现在导数为零的点或者在导数不存在的点处。
因此，我们可以通过求取导数来求取最大值和最小值。
-方法二：区间分析法对于一个周期函数f(x)，其最大值和最小值必然出现在一个周期内的某个点上。
因此，我们可以通过区间分析法来求取最大值和最小值。
-方法三：三角函数的性质对于一些特殊的三角函数，我们可以通过观察函数图像或者利用其性质来求取最大值和最小值。
2. 求解最大值和最小值的步骤-步骤一：确定函数的定义域。
-步骤二：求导数或者利用区间分析法，找出导数为零的点或者周期内的最值点。
-步骤三：判断导数为零的点是否为局部最值点，并确定最大值和最小值。
-步骤四：检验求出的最值是否为全局最值。
3. 例题分析例1：求函数f(x)=2sin(x)-cos(x)在区间[0,2π]内的最大值和最小值。
解：首先，求出函数的导数：f'(x)=2cos(x)+sin(x)令导数为零，得到2cos(x)+sin(x)=0cos(x)=-sin(x)因此，最值点为x=π/4和5π/4。
然后，我们可以通过判断二阶导数来确定这两个点是否为函数的最值点。
f''(x)=-2sin(x)+cos(x)当x=π/4时，f''(π/4)<0，因此x=π/4为函数的最大值点；当x=5π/4时，f''(5π/4)>0，因此x=5π/4为函数的最小值点。
最终，得到f(x)在区间[0,2π]内的最大值为3，最小值为-1。
例2：求函数f(x)=cos2x+sin2x在区间[0,π/2]内的最大值和最小值。
解：由三角恒等式，cos2x+sin2x=1，因此f(x)=1。
如何解答三角函数最值问题
解题宝典三角函数最值问题的类型很多.要提高解答三角函数最值问题的效率，需要掌握不同类型三角函数最值问题的特点，对三角函数式进行合理的化简或转化，充分利用三角函数的性质与图象来解题.本文重点探讨一下几类常见三角函数最值问题的解法.一、f ()x =A sin ()ωx +φ+k 型对于形如f ()x =A sin ()ωx +φ+k 、f ()x =A cos(ωx +φ)+k 、f ()x =A tan ()ωx +φ+k 的三角函数最值问题，一般要利用三角函数y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 的性质和图象来求其最值.例1.求函数y =12sin æèöø2x +π3在区间[-π4，π6]上的最值.解：∵x ∈[-π4，π6]，∴-π6≤2x +π3≤2π3，由正弦函数y =sin x 的图象可知-12≤sin æèöø2x +π3≤1，-14≤12sin æèöø2x +π3≤12，∴函数y =12sin æèöø2x +π3在区间[-π4，π6]上的最大值是12，最小值是-14.解答形如f ()x =A sin ()ωx +φ+k 、f ()x =A cos(ωx +φ)+k 、f ()x =A tan ()ωx +φ+k 的三角函数最值问题，要首先从y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 的性质和图象入手，在y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 图象的基础上作相应的变换，找出对应的最值点、与坐标轴的交点、对称轴等，从而快速确定函数在定义域内的最值.二、f ()x =λsin x +μcos x +t 型对于f ()x =λsin x +μcos x +t (λ、μ不全为0，t ∈R)型三角函数的最值问题，应先把函数式进行恒等变换，利用辅助角公式，将其转化为f ()x =λ2+μ2⋅sin(x +φ)+t （其中cos φ=λλ2+μ2，sin φ=μλ2+μ2，tan φ=μλ）的形式，或转化为f ()x =μ2+λ2cos(x +φ)+t 的形式；然后根据正弦或余弦函数的有界性来求其最值.例2.在直角坐标系中，曲线C 的参数方程是ìíîïïïïx =1-t 21+t 2,y =4t 1+t 2,(t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2ρcos θ+3ρsin θ+11=0，求曲线C 上的点到直线l 的最短距离.解：将参数方程设为{x =cos α,y =2sin α,(α为参数,-π<α<π)根据点到直线的距离公式，可得曲线C 上任意一点(cos α,2sin α)到直线l 的距离为d =||||||4cos æèöøα-π3+117，当α=-2π3时，||||||4cos æèöøα-π3+11取得最小值7，则曲线C 到l 的最短距离是7.目标式2cos α+23sin α+11形如f ()x =λsin x+μcos x +t ，要求三角函数的最值，需要先利用辅助角公式进行恒等变换，将目标式转化成余弦函数式4cos æèöøα-π3；然后再根据余弦函数的有界性求其最值.三、f ()x =k sin 2x +m sin x +n (k ≠0)型对于形如f ()x =k sin 2x +m sin x +n (k ≠0)、f ()x =k cos 2x +m cos x +n (k ≠0)的三角函数最值问题，一般采用换元法求解.首先令sin x =t 、cos x =k ，得到二次函数；再利用二次函数和正余弦函数的性质求最值.例3.求函数f ()x =sin æèöø2x +3π2-3cos x的最小值.解：f ()x =sin æèöø2x +3π2-3cos x=-2cos 2x -3cos x +1，令cos x =t ，t ∈[-1,1]，得y =-2t 2-3t +1=-2æèöøt +342+178，当t =1时，函数最小值是-4.原函数可化成f ()x =k cos 2x +m cos x +n 的形式，于是通过换元，将三角函数式转化为关于t 的二次函数式，这样便可直接根据二次函数的性质求最值.在解题时，需重点关注二次函数的定义域，此时二次函数的定义域受三角函数cos x =t 的单调性和有界性影响.四、f ()x =λsin x +t μcos x +n 或f ()x =μcos x +nλsin x +t(λμ≠0)型对于此类三角函数最值问题，一般有两种解法.一余涛涛38解题宝典是解析法，将函数f ()x =μcos x +nλsin x +t化成f ()x =μλ.cos x +n μsin x +t λ，再用换元法，令k =cos x +n μsin x +t λ，这样就得到线性函数f ()k =μλ.k （λμ≠0）,即可根据线性函数的单调性求最值；或将k 看作是单位圆上的一个动点(sin x ,cos x )与定点(-t λ,-nμ)连线的斜率的最值，通过数形结合来解题.二是利用三角函数的有界性，通过恒等变形，将函数式转化成整式，再根据辅助角公式和三角函数的有界性来求最值.例4.求函数f ()x =sin x -1cos x +1的最大值.解法一：设P ()x ,y 是圆x 2+y 2=1上的动点，点A ()-1,1，k 是P 、A 两点所在直线的斜率，则PA 的直线方程是y -1=k (x +1),整理得kx -y +k +1=0.可知当直线与圆相切时，直线PA 的斜率最大，∵圆心到PA 直线的距离d ==1，解得k =0，∴f ()x =sin x -1cos x +1的最大值是0.解法二：将y =sin x -1cos x +1(x ≠(2k +1)π)变形，可得y +1=sin x -y cos x =1+y 2sin (x +φ),即sin ()x +φ=y +11+y 2，而||||||||y +11+y2=|sin (x +φ)|≤1，得||y +1≤1，则y ≤0,即函数()x =sin x -1cos x +1的最大值是0.解法一主要是运用了解析法，将函数最值问题转化为求单位圆x 2+y 2=1上的动点P (x ,y )与定点A (-1,1)连线斜率的最值，通过数形结合求得最值.解法二主要是利用正弦函数的有界性，通过三角恒等变换，将函数式转化为sin ()x +φ，再根据正弦函数的有界性|sin (x +φ)|≤1，建立关于y 的不等式，从而求得y 的最值.五、f ()x =λsin x +nμsin x 型对于形如f ()x =λsin x +nμsin x 、f ()x =λcos x +n μcos x 、f ()x =λtan x +n μtan x(λ、μ、n 为常数)的三角函数最值问题，通常利用基本不等式来求最值.当不能使用基本不等式求解时，可设t =sin x ，将原函数变为f ()t =λt +n μt ，再利用对勾函数的单调性求最值.还可以利用导数法来求最值.例5.当π4≤x ≤π2时，求函数f ()x =cos x +1cos x 的最小值.解法一：函数可变形为f ()x =cos x +12cos x+12cos x ，由基本不等式得cos x +12cos x≥2，当且仅当cos x=12cos x （即x =π4）等号成立,∵12cos x ≥，∴f ()x.解法二：∵π4≤x ≤π2，∴0<cos x ≤,令t =cos x ，∴0<t ≤,∴f ()t =t+1t为减函数，∴当t =时，f ()t =t +1t 有最小值解法三：对函数求导数，可得f ′()x =sin 3xcos 2x，∵π4≤x ≤π2，∴f ′()x >0，由此可判断出函数f ()x =cos x +1cos x在区间[π4，π2]x =π4时，函数f ()x =cos x +1cos x 取得最小值.解法一主要运用了基本不等式a +b ≥2ab(a >0,b >0)，由于cos x +12cos x为两式的和，且其积为定值，在两式相等时可取等号，这就满足了运用基本不等式的应用条件：一正、二定、三相等.解法二主要运用对勾函数f ()x =x +ax的性质.运用对勾函数的性质求最值，需熟记对勾函数的单调性和最值点.解法三主要运用到导数法来求得最值.可见，求解三角函数最值问题是有规律可循的.（1）一般是从三角函数的解析式入手，明确其结构特征，充分利用函数的性质与图象来寻找解题思路；（2）对于比较复杂的三角函数式，需要利用诱导公式、同角的三角函数关系式、两角和差公式、二倍角公式等进行恒等变换，将函数式化简或转化成单一的三角函数式来求最值；（3）在求三角函数最值时，可灵活运用换元法、基本不等式法、解析法、三角函数的有界性进行解题.掌握这些方法与规律就能有效提高求三角函数最值问题的效率.（作者单位：江苏省无锡市洛社高级中学）39。
求三角函数最值的四种常用解题方法
求三角函数最值的四种常用解题方法
求三角函数最值的常用解题方法
一.使用配方法求解三角函数的最值
例1．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论：将三角函数转化为二次函数也是求最值的通法之一，应当注意，整理成
时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。
二.使用化一法求解三角函数的最值
例2．求函数的值域。
分析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数便可求得。
—1—
解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。
三.使用基本不等式法求解三角函数的最值
例3.求函数的值域
—2—
解：
解：
四.使用换元法求解三角函数的最值
例4．求函数的最值。
分析：解此题的途径是用逆求将函数式变形，用y表示与x有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。
解：
—3—。
求三角函数最值的四种方法
求三角函数最值的四种方法解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性如有界性等，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数二次函数等最值问题.下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略1．配方转化策略对能够化为形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数最值问题，可看作是sin x 或cos x 的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决．[典例1] 求函数y ＝5sin x ＋cos 2x 的最值．[解] y ＝5sin x ＋()1－2sin 2x ＝－2sin 2x ＋5sin x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －542＋338. ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时， y min ＝－2×8116＋338＝－6；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝－2×116＋338＝4.[题后悟道]这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sin x 或cos x 的二次函数的形式；其二要正确配方；其三要把握三角函数sin x 或cos x 的范围，以防止出错，若没有特别限制其范围是[－1,1]．2．有界转化策略对于所给的三角函数能够通过变形化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值．这是解决三角函数最值问题常用的策略之一．[典例2] 设函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω>0. 求函数y ＝f (x )的最值．[解] f (x )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos 2ωx ＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx＝3sin 2ωx ＋1，因为－1≤sin 2ωx ≤1，所以函数y ＝f (x )的最大值为3＋1，最小值为1－ 3.[题后悟道]求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值．3．单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略．对于三角函数来说，常常是先化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的单调性求解．[典例3] 函数f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－32在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，17π12上的最大值为________，最小值为________．[解析] 由π≤x ≤17π12，得5π4≤x ＋π4≤5π3. 因为f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－32在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π4上是减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，17π12上是增函数，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12，所以当x ＝5π4时，f (x )有最小值为22sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＋π4－32＝－22－32. 当x ＝π时，f (x )有最大值－2.[答案] －2 －22－32[题后悟道]这类三角函数求最值的问题，主要的求解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式，然后再借助于函数的单调性，确定所求三角函数的最值．4．数形结合转化策略对于形如y ＝b －sin x a －cos x 的三角函数最值问题来说，常常利用其几何意义，将y ＝b －sin x a －cos x 视为定点(a ，b )与单位圆上的点(cos x ，sin x )连线的斜率来解决．[典例4] 求函数y ＝－sin x 2－cos x(0<x <π)的最小值． [解] 将表达式改写成y ＝0－sin x 2－cos x，y 可看成连接点A (2,0)与点P (cos x ，sin x )的直线的斜率．由于点(cos x ，sin x )的轨迹是单位圆的上半圆(如图)，所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小．设过点A 的直线与半圆相切于点B ，则k AB ≤y <0.可求得k AB ＝tan 5π6＝－33. 所以y 的最小值为－33⎝ ⎛⎭⎪⎫此时x ＝π3.[题后悟道]这类三角函数的最值问题，求解策略就是先将函数化为直线斜率的形式，再找出定点与动点满足条件的图形，最后由图形的几何意义求出三角函数的最值．。
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求三角函数最值的常用解题方法
一. 转化为二次函数求解三角函数的最值，适用于题目中出现的三角函数分别为一次和二次时
例1．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论：将三角函数转化为二次函数也是求最值的通法之一，应当注意，整理成
时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。
二. 使用辅助角公式（化一法）求解三角函数的最值
适用于题目中出现的三角函数同次时
—1—
例2．求函数的值域。
分析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数便可求得。
解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。
—2—
三.利用函数值域的有界性，求解三角函数的最值
例3.求函数的值域
解：
—3—
四.使用换元法求解三角函数的最值
例4．求函数的最值。
分析：解此题的途径是用逆求将函数式变形，用y表示与x有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。
解：
—4—。