2011-2014美赛论文评析与灵敏度分析
美赛赛题总结
美赛赛题总结一、引言概述美赛（MCM/ICM）是一项国际性的数学建模竞赛，旨在鼓励学生运用数学建模方法解决实际问题。
参与美赛不仅能够提高学生的数学建模能力，还培养了解决现实挑战的综合素养。
本文将对美赛赛题进行总结，包括解题思路、方法应用和团队合作等方面。
二、解题思路2.1 问题分析问题理解：在解题过程中，首先确保对问题有深刻的理解，梳理问题的关键信息。
问题分类：对问题进行分类，明确问题的数学建模方向，为后续的建模提供指导。
限制条件：分析问题中的各类限制条件，为建模提供问题的边界条件。
2.2 模型建立变量定义：明确定义问题中的变量，建立数学模型的基础。
方程构建：建立数学方程，将实际问题转化为数学表达式。
模型假设：根据实际情况进行模型假设，简化问题，提高建模效率。
2.3 方法选择数学工具：选择适当的数学工具，如微积分、概率统计等，用于解决建立的数学方程。
数据处理：对问题中的实际数据进行处理，确保模型的准确性。
算法应用：根据问题的特点，选择适当的算法进行求解。
三、效果评估与未来展望3.1 结果分析模型验证：针对建立的数学模型，进行模型的验证，检验模型的准确性。
结果解释：对得到的数学结果进行解释，明确数学模型在实际问题中的意义。
灵敏性分析：进行灵敏性分析，评估模型对输入参数的敏感性。
3.2 创新点总结方法创新：总结在解题过程中采用的创新方法，突出团队的独特视角。
模型创新：强调团队在模型建立中的创新点，展示团队的独特见解。
实用性评估：对模型在实际应用中的实用性进行评估，突出团队的创新成果。
3.3 团队合作分工合作：回顾团队合作过程，总结各成员在问题分析、建模和求解中的贡献。
沟通协作：强调团队成员之间的有效沟通和紧密协作对解决问题的积极影响。
团队经验：总结团队在美赛中的经验，提出未来团队合作的改进点。
总结通过对美赛赛题的总结，团队不仅加深了对实际问题的理解，还提高了数学建模和团队合作的能力。
在未来，可以更加注重创新思维，深入挖掘问题背后的数学本质，以更高水平应对各类挑战，为实际问题提供更有效的解决方案。
美赛论文
注：LEO 低地球轨道MEO中地球轨道GeO 同步卫星轨道risk-profit 风险利润率fixed-profit rate 固定利润率提出一个合理的商业计划，可以使我们抓住商业机会，我们建立四个模型来分析三个替代方案（水射流，激光，卫星）和组合，然后确定是否存在一个经济上有吸引力的机会，从而设计了四种模型分析空间碎片的风险、成本、利润和预测。
首先，我们建立了利润模型基于净现值（NPV）模型，并确定三个最佳组合的替代品与定性分析：1）考虑了三个备选方案的组合时，碎片的量是巨大的；2）考虑了水射流和激光的结合，认为碎片的大小不太大；3）把卫星和激光的结合当尺寸的这些碎片足够大。
其次，建立风险定性分析模型，对影响因素进行分析在每一种替代的风险，并得出一个结论，风险将逐渐下降直到达到一个稳定的数字。
在定量分析技术投入和对设备的影响投资中，我们建立了双重技术的学习曲线模型,找到成本的变化规律与时间的变化。
然后，我们开发的差分方程预测模型预测的量在未来的四年内每年发射的飞机。
结合结果我们从预测中，我们可以确定最佳的去除选择。
最后，分析了模型的灵敏度，讨论了模型的优势和我们的模型的弱点，目前的非技术性的信，指出了未来工作。
目录1，简介1.1问题的背景1.2可行方案1.3一般的假设1.4我们的思想的轮廓2，我们的模型2.1 时间---利润模型2.1.1 模型的符号2.1.2 模型建立2.1.3 结果与分析2.2 . 差分方程的预测模型2.2.1 模型建立2.2.2 结果分析2.3 双因子技术-学习曲线模型2.3.1 模型背景知识2.3.2 模型的符号2.3.3 模型建立2.3.4 结果分析2.4风险定性分析模型2.4.1 模型背景2.4.2 模型建立2.4.3 结果与分析3．在我们模型的灵敏度分析3.1 差分方程的预测模型。
3.1.1 稳定性分析3.1.2 敏感性分析3.2 双因子技术学习曲线模型3.2.1 稳定性分析3.2.2 敏感性分析4 优点和缺点查分方程预测模型优点缺点双因子技术学习曲线模型优点缺点时间---利润模型优点缺点5..结论6..未来的工作7．参考双赢模式：拯救地球，抓住机遇1..简介问题的背景空间曾经很干净整洁。
第四章灵敏度分析
1 0 0 1 1
代入原单纯形表，得新单纯形表为 ❖
0 0
1/ 4
0
1/ 2
0 1 1/ 2 2 1
3 5 0 00
cB xB B-1b x1
x2
x3
x4 x5
0 x3 8
1
0
1
00
5 x2 9 1/2 1 0 0 1/4
0 x4 6 -1 0 0 1 -1/2
6. 增加一个新约束的分析
•当出现新的资源限制时，模型要加入新约 束，可在原最优解的基础上进行分析：
最优解满足新约束，最优解不变； 最优解不满足新约束，应继续寻找新的 最优解； 无论加入什么类型约束，目标函数值都 不会改善。
例: 考虑范例，则原最优生产方案是否需要 改变？
0 1/3
j
48
0
0
0 1/2 1
4
5
0
00
cB xB B-1b x1
x2
x3
x4 x5
0 x3 8
1
0
1
00
5 x2 6 1/2 1
0 1/2 0
0 x5 12
0
0
0 -2 1
j
30 -2/3 0
0 5/2 0
4 x1
8
1
0
1
0
0
5 x2
2
0
1 -1/2 1/2 0
0 x5 12
0
0
0
-2 1
j
42
cB xB B-1b x1
x2
x3
x4 x5
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
lingo灵敏度分析
▪ Lingo求解模型的例子－－生产问题(问题提出)
进一步讨论以下3个附加问题： 1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投 资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工 人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元， 应否改变生产计划？
▪ Lingo求解模型的例子－－生产问题(问题描述)
！目标描述； max=72*x1+64*x2;
！约束条件描述； x1+x2<=50; ！牛奶的能力限制，不能超过50桶牛奶
12*x1+8*x2<=480; ！劳动时间的限制，不能超过480小时 3*x1<=100; ！甲车间的生产能力限制，每天最多加工 100公斤
▪ Lingo求解模型的例子－－生产问题(解决问题5)
影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量）是 有限制的。
影子价格在有意义条件下约束右端的限制范围： milk）原料最多增加10（桶 牛奶），time）劳动时间最多增加53（小时）。
现在可以回答附加问题1）的第2问：虽然应该批准用35元买1桶牛奶的投资， 但每天最多购买10桶牛奶。此外，可以用低于每小时2元的工资聘用临时工人 以增加劳动时间，但最多增加53.3333小时。
▪ Lingo求解模型的例子－－生产问题(问题提出)
一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶 牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙 车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的 A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获 利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天 正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能 加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该 厂制订一个生产计划，使每天获利最大？ 假设：x1为甲车间消耗的牛奶桶数，x2为乙车间消耗的 牛奶桶数
3对偶理论与灵敏度分析解析
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
2(2)灵敏度分析
c j→ CB 0 2 1 0 2 基 x3 x1 x2 cj-zj x3 x1 15 5 b 35/2 11/2 -1/2
2 x1 0 1 0 0 0 1
1 x2 0 0 1 0 5 1
0 x3 1 0 0 0 1 0
0 x4 5/4 1/4 [-1/4] -1/4 0 0
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2 0 1
-7
0 [2] 1 0 0 1 0
-1/2 0
最优生产计划应为每天生产7/2件家电Ⅰ， 51/4件家电Ⅲ。
分析参数aij的变化
灵 敏 度 分 析 举 例
例 在美佳公司的例子中，若家电Ⅱ每件需设备A,B和 调试工时变为8h、4h、1h，该产品的利润变为3元/件， 试重新确定该公司最优生产计划。
设生产工时变化后的新家电Ⅱ的生产量为x2′，其中：
（2）若家电Ⅰ的利润不变，则家电Ⅱ的利润在什 么范围内变化时，该公司的最优生产计划将不发 生变化？ 设家电Ⅱ的利润为（1+λ）元，如下
项目 CB 基 b 2 x1 1+λ x2 0 x3 0 x4 0 x5
0
2 1+λ
x3
x1 x2 cj-zj
15/2
7/2 3/2
0
1 0 0
0
0 1 0
1
0 0 0
15 / 2 1 / 2 3/2 3 7 4 0 2 2
1 P 6 0 0
5/4 1/ 4 1 / 4
cj→ CB 基 b
2 x1
1 x2
0 x3
0 x4
0 x5
3 x6
灵 敏 度 分 析 举 例
数学建模美赛须知
加强数学建模综合能力培养——数学中国2011年美赛工作总结华晓帅（数学中国网站CEO）马壮（数学中国网站站长）2011年2月15日——2月19日，美国大学生数学建模竞赛与美国大学生交叉学科数学建模竞赛如期举行，作为中国最大的数学建模交流基地“数学中国”来讲，与参加美赛的中国内地同学共同度过了四天四夜。
对于本次竞赛，数学中国网站作了以下的总结。
希望能同大家交流一下比赛经验。
一、保持新闻的敏感度：在每次举办国内外数学建模竞赛之前，我们数学中国都事先做好心理准备，压一下比赛题目。
在春节前，数学中国论坛发表了《2011年数学建模十大热门研究课题》，第一个研究课题便压中了美赛的A题。
当然这里不是教大家如何猜题目。
我们想告诉大家要多关心国内外的时事、政治、经济。
为什么这样讲呢？道理很简单，学习数学建模，参加竞赛的最终目的不是拿奖，而是为了掌握一门社会科学技能。
大家学习数学建模后，可以用数学的眼光看问题。
比如说这次的A题，2007年2月联合国政府间气候变化专门委员会（IPCC）发表了第四次评估报告，在国际上引起了轩然大波。
报告预测指出，从人类工业时代开始到2100年，全球平均气温的“最可能升高幅度”是1.8至4℃，海平面升高幅度是19至58厘米，北冰洋的海冰将在本世纪后半段融化消失。
这个报告引出的问题很多，事实也得到了验证。
比如2007年至2011年的冬天，我们国家遭受了50年不遇的特大雪灾，美国南部又一次遭遇了飓风。
有证据显示这些都可能是由全球气候变暖引发的极端恶劣天气。
全球气候变暖考察的问题很多，A题选取了一个佛州的例子，意在让全球气候变暖得到大家足够的重视。
当然所有的时事不可能在一次竞赛里全部体现出来。
但是当大家看新闻的时候，应该多思考一下如何使用数学模型来处理新闻热点中提到的问题，经常和队员交流一下思路，增强对新闻的敏感度，提高对数学建模的应用能力。
我们数学中国论坛将在近期成立“数学建模研究组”（暂定名称）。
2014MCM-B优秀论文
2014MCM-B-优秀论文美赛丛书目录（考虑）1. 问题2. 问题背景与问题分析3. 评价指标体系选哪些指标？理由何在？如何度量？4. 排名模型（权重模型）5. 时间因素处理6. 模型检验7. 问题综合分析与进一步研究8. 优秀论文A-26911-东南大学9. 优秀论文B - 30680-美国-北卡26160-重庆大学摘要：灰色与模糊评价模型，另外考虑了性别与时间因素。
AHP筛选特征因子，7个因子，灰色相关模型，模糊综合评价模型，灰色模型略强，时间因素对前十人选影响较小。
26160-重庆大学.pdf评价：除结果图外，乏善可陈，时间因素影响的结论有误。
26636-外经贸大学摘要：灰色相关模型，依据专家意见选择了四个评价指标：NCAA冠军，Pct，胜场数，教练报酬。
模糊相容矩阵确定各个评价指标的权值，结果与ESPN作比较。
最后讨论了时间因素，发现规律：“从前”的教练的胜率要远远高于“现在”的教练，但其他三个指标所受到的影响很小。
引入滑动平均方法，将时间因素纳入胜率计算模型中，这是本文的一个亮点。
Shannon熵用于评价稳定性。
讨论了参数敏感性。
便利与普适是我们模型的最大优点，但存在指标选择的主观性。
26636-外经贸.pdf评价：指标体系以及评价模型一般，有点投机，时间因素讨论、模型结果检验以及敏感性检验是亮点，结果对比表达清晰明了，可信度高。
缺假设与“conclusion”，是硬伤。
26911-东南大学三阶段全面评价模型，指标体系（胜率，稳定性，获得冠军数量，个人报酬，点击率，个人荣誉，职业联赛排名），谷歌趋势统计方法，线性拟合方法，加权和模型，AHP+最大熵模型，灰色相关分析，综合排名26911-东南大学.pdf评价：非常全面，思路很清晰，表达很简洁，值得效仿。
具体说：指标意义讨论充分；指标取值实用、合理；时间因素考虑到位；权重确定有技术含量；结果表达清晰；文章节奏把握好。
如果按更高标准衡量，第二种权重体系中GRA的作用不大显著。
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2011c题O奖论文
题目概要：
11325队的解答：
通过建立三个微分方程，来预测石油、天然气、电的数量变化。
经济模型
主要通过现值原理来确定使用车的成本。
8882队
：Logistic回归方程预测三个国家的汽车总量的变化情况；然后建立优
化模型（如下）来描述在各方面获得最大的利益，接着用图片表示了每个国家三
种车辆数量的变化情况。
对电动汽车和混合动力汽车建立电子需求模型（形式如下）
非高峰充电，政府可以鼓励。
最小电力成本模型：
确定发电站数量模型：
9089队
：首先巴斯扩散模型预测电动汽车的销售情况。
然后利用蚁群优化来简化上面的模型，得到预测结果。
10607队：
生命周期成本模型分析经济影响。灵敏度分析通过调整参数的值。
高斯烟羽模型分析环境影响，用来模拟和预测汽车尾气的排放。然后其他的环境影响就是通
过找到的有利的数据进行分析，如下所示的噪音污染。
引入外部和内部影响模型（主要形式都是微分方程），然后在此基础上建立诺顿模型模拟电
动汽车的数量和变化趋势（考虑EV和CV两种车）
接着估计可以保存的石油量：
最后通过AHP分析得到不同类型发电方法的权重。
2012B题O奖论文
题目概要
模型方法
元胞自动机模拟
灵敏度或者稳定性分析
一般通过微小地改变某些已经设定好的参数的值来分析结果的变化情况，如果结果前后变化
不大，那么模型具有低敏感性，满足要求。反之则不稳定。
2013B题O奖论文
题目概要
模型方法
21185队：给出五个小问题和解决方案：一，预测了中国未来13年水的供给和需求；二，
建立模型解决中国水资源在时间和空间上的不均匀分布；三，增加区域水资源总量的方法；
四，区域水污染处理和节水；五，水成本分析。
模型一：灰色预测模型：先得到水的消耗和人口之间的关联度，工业生产总值和农业产出
的关系，然后得到2025年的水需求量
模型二：变异系数、最小生成树（得出最佳的水资源转移计划）
模型三：描述每个城市的水资源要求的净化程度，得到一个植物的构建方案
模型四：基于以上四种成本战略的成本效益分析，首先用AHP各方面（经济、物理、环境）
影响的权重，
模型五：一个基于神经网络的合理的战略评价模型。
主要步骤叙述:先提出用线性拟合对未来的水需求量进行预测，然后说由于数据的缺乏，导
致预测结果不理想，然后用灰色预测模型。
2014B题O奖论文
题目概要
教练评价
模型方法
26160队：首先用层次分析法筛选因素，通过灰色关联和模糊综合评价两种方法对教练进行
评价，最后发现灰色模型有轻微的优势。然后对模型进行改进，增加时间的影响
灵敏度分析
灰色关联系数的敏感度分析：通过调整关联系数的计算公式中贝塔参数的值，原值为0.5，
然后分别对取值为0.1,0.3,0.5，0.7,0.9的模型结果进行分析，结论是贝塔取值0.5以上时模
型更加稳定。
模糊综合评价的敏感度分析：
分析了评价准则权重的敏感性，最大重量增加和减少0.2得到的教练分
数进行比较，得出模型是稳定的，低敏感性的。
26911队：通过合理地分析建立教练的评价指标体系，用结合层次分析法模型(AHP)和一个
新颖的方法称为最大熵模型(Maxent)，该方法是基于灰色关联模型。
灵敏度分析
基于最大熵的灵敏度分析的灰色关联分析模型。
AHP灵敏度分析：发现体重的微小变化是不会影响模型的结果的。
28414队：模糊综合评价的灵敏度分析。
29696队：对指标进行主成分分析，得到三个评估教练的组件（大的方面），然后对教练进
行聚类，将60位教练分为了九类，最后通过余弦相似度对教练进行排序。文章后半部分主
要是在介绍模型改进，比如考虑时间因素，社会因素等等。
灵敏度分析
通过对比余弦相似度方法和改进模型所得到的结果判断得到轻微的调整参数不会改变结果。
稳定性（鲁棒性）分析
通过对原始数据添加输入噪声，得到模型是稳定的。