新课标人教版高中数学必修1教案学案同步练习题
第一章 集合与函数概念 ................................................................................................................ 2 1.1集合 ..................................................................................................................................... 2 1.1.1集合的含义及其表示 .............................................................................................. 2 1.1.2子集、全集、补集 .................................................................................................. 5 1.1.3交集、并集 .............................................................................................................. 8 1.1.4集合复习课 ............................................................................................................ 10 1.2函数及其表示 ................................................................................................................... 12 1.2.1函数的概念与图象（1） ...................................................................................... 12 1.2.2函数的概念与图象（2） ...................................................................................... 15 1.2.3函数的概念与图象（3） ...................................................................................... 18 1.2.4函数的概念与图象（4） ...................................................................................... 20 1.2.5函数的表示方法 .................................................................................................... 24 1.3函数的基本性质 ............................................................................................................... 29 1.3.1函数的单调性（一） ............................................................................................ 29 1.3.2函数的单调性（二） ............................................................................................ 31 1.3.3函数的奇偶性 ........................................................................................................ 33 1.3.4映射的概念 ............................................................................................................ 35 第二章 基本初等函数 .................................................................................................................... 38 2.1指数函数 ........................................................................................................................... 38 2.1.1 分数指数幂(1) ...................................................................................................... 38 2.1.2分数指数幂(2) ....................................................................................................... 41 2.1.3指数函数(1) ........................................................................................................... 44 2.1.4指数函数(2) ........................................................................................................... 47 2.1.5指数函数(3)(习题课) ............................................................................................ 50 2.2对数函数 ........................................................................................................................... 53 2.2.1对数的概念 ............................................................................................................ 53 2.2.2对数的运算性质 .................................................................................................... 55 2.2.3对数函数（1） ...................................................................................................... 57 2.2.4对数函数（2） ...................................................................................................... 59 2.2.5对数函数(3) ........................................................................................................... 61 2.3幂函数 ............................................................................................................................... 63 2.3.1幂函数（一） ........................................................................................................ 63 2.3.2幂函数（二） ........................................................................................................ 67 第三章 函数的应用 ....................................................................................................................... 71 3.1函数与方程 ....................................................................................................................... 71 3.1.1二次函数与一元二次方程（一） ........................................................................ 71 3.1.2二次函数与一元二次方程（二） ........................................................................ 74 3.1.3用二分法求方程的近似解 .................................................................................... 78 3.2函数模型及其应用 ........................................................................................................... 81 3.2.1函数的模型及应用（1） ...................................................................................... 81 3.2.2函数模型及其应用（2） ...................................................................................... 85 3.2.3函数的模型及应用（3） ...................................................................................... 89
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第三章 第三章 综合训练
−
= ( > , > )的左、右焦点分别为 (−, ), (, ),
可得 = .
如果离心率为 ,可得
=
,则 = ,所以双曲线C的方程为
= + ,
如果双曲线过点(, ),可得ቐ
−
−
−
则 = = ，∴ = ， = ,
∴椭圆的方程为
+
= ( ≥ ).
对于A，椭圆的离心率是 =
=
=
，故A正确；
对于B，设(, )关于直线 = 的对称点为(, )， ≠ ,可得
=
解得
+
×
,
设( , )，∴
+
= ，∴ = − ( < < ),
∴ || = − + − ,
∴ = × ( − + − ) =
=
(
+ ),
+
− × =
+
( − ) ≤
2
− 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为1 (−5,0),2 (5,0),则
2
2
能使双曲线的方程为 − = 1的是() ABC
高中数学(人教A版)必修1同步练习题：第1章unit1.3.1第2课时函数的最大值
精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图1-3-3所示,那么此函数的最||小值、最||大值分别是()图1-3-3A．f(－2) ,0B．0,2C．f(－2) ,2D．f(2) ,2【解析】由题图可知,此函数的最||小值是f(－2) ,最||大值是2.【答案】C2．函数f(x)＝1x在[1 ,＋∞)上()A．有最||大值无最||小值B．有最||小值无最||大值C．有最||大值也有最||小值D．无最||大值也无最||小值【解析】结合函数f(x)＝1x在[1 ,＋∞)上的图象可知函数有最||大值无最||小值．【答案】A3．函数f(x)＝|x＋1|在[－2,2]上的最||小值为()A．5 B．2C．1 D．0【解析】当－2≤x≤－1时,f(x)＝|x＋1|＝－x－1 ,函数单调递减；当－1≤x≤2时,f(x)＝|x＋1|＝x＋1 ,函数单调递增,∴当x＝－1时,函数f(x)取得最||小值,∴f(x)min＝f(－1)＝|－1＋1|＝0 ,应选D.【答案】D4．函数f(x)＝9－ax2(a>0)在[0,3]上的最||大值为()A．9 B．9(1－a)C．9－a D．9－a2【解析】f(x)＝－ax2＋9开口向下,在[0,3]上单调递减,所以在[0,3]上的最||大值为9.【答案】A5．以下四个函数：①y＝3－x；②y＝1x2＋1；③y＝x2＋2x－10；④y＝－2x.其中值域为R的函数个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】y＝3－x是一次函数,值域为R；x2＋1≥1 ,∴0<1x2＋1≤1 ,∴函数y＝1x2＋1的值域不是R；y＝x2＋2x－10＝(x＋1)2－11≥－11 ,∴该函数的值域不是R；对于y＝－2x,y≠0 ,即该函数的值域不是R.∴值域为R的函数有一个．【答案】 A二、填空题6．函数f(x)＝－x2＋4x＋a,x∈[0,1] ,假设f(x)有最||小值－2 ,那么f(x)的最||大值为________．【解析】函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a ,x∈[0,1] ,且函数有最||小值－2.故当x ＝0时 ,函数有最||小值 , 当x ＝1时 ,函数有最||大值． ∵当x ＝0时 ,f (0)＝a ＝－2 , ∴f (x )＝－x 2＋4x －2 ,∴当x ＝1时 ,f (x )m ax ＝f (1)＝－12＋4×1－2＝1. 【答案】 17．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6] ,假设函数f (x )在区间[－4 ,－2]上单调递减 ,在区间(－2,6]上单调递增 ,且f (－4)<f (6) ,那么函数f (x )的最||小值是________ ,最||大值是________．【解析】 作出符合条件的函数的简图(图略) ,可知f (x )min ＝f (－2) ,f (x )m ax ＝f (6)．【答案】 f (－2) f (6)8．当0≤x ≤2时 ,a <－x 2＋2x 恒成立 ,那么实数a 的取值范围是________． 【解析】 令f (x )＝－x 2＋2x , 那么f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2] ,∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a <0. 【答案】 a <0 三、解答题9．函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最||大值2 ,求a 的值. 【解】 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1 , 当a ≥1时 ,f (x )m ax ＝f (1)＝a ； 当0<a <1时 ,f (x )m ax ＝f (a )＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时 ,f (x )m ax ＝f (0)＝1－a . 根据条件得 ,⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1 a ＝2或⎩⎨⎧0<a <1 a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤01－a ＝2解得a ＝2或a ＝－1.10．有一长为24米的篱笆 ,一面利用墙(墙最||大长度是10米)围成一个矩形花圃 ,设该花圃宽AB 为x 米 ,面积是y 平方米 ,(1)求出y 关于x 的函数解析式 ,并指出x 的取值范围；(2)当花圃一边AB 为多少米时 ,花圃面积最||大 ?并求出这个最||大面积 ? 【解】 (1)如下列图：∵0＜24－2x ≤10 ,∴7≤x ＜12 ,∴y ＝x (24－2x )＝－2x 2＋24x ,(7≤x ＜12)． (2)由(1)得 ,y ＝－2x 2＋24x ＝－2(x －6)2＋72 , ∴AB ＝6 m 时 ,y 最||大为72 m 2.[能力提升]1．假设函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0 ,m ] ,值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－254 －4 ,那么m 的取值范围是( )A ．(0,4] B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 4 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 3 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32 ＋∞ 【解析】 ∵f (x )＝x 2－3x －4＝－254 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254 ,又f (0)＝－4 ,故由二次函数图象可知：m 的值最||小为32m 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 3 ,应选C.【答案】 C2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车 ,利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．假设该公司在两地共销售15辆 ,那么能获得的最||大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元【解析】 设公司在甲地销售x 辆 ,那么在乙地销售(15－x )辆 ,公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－＋30＋1924 ,∴当x ＝9或10时 ,L 最||大为120万元． 【答案】 C3．函数g(x )＝2x －x ＋1的值域为________． 【解析】 设x ＋1＝t ,(t ≥0) ,那么x ＋1＝t 2 ,即x ＝t 2－1 ,∴y ＝2t 2－t －2＝－178 ,t ≥0 ,∴当t ＝14时 ,y min ＝－178 , ∴函数g (x )的值域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－178 ＋∞.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－178 ＋∞ 4．函数f (x )＝－x 2＋2x －3.(1)求f (x )在区间[2a －1,2]上的最||小值g(a )； (2)求g(a )的最||大值. 【解】 (1)f (x )＝－(x －1)2－2 ,f (2)＝－3 ,f (0)＝－3 ,∴当2a －1≤0 ,即a ≤12时 ,f (x )min ＝f (2a －1)＝－4a 2＋8a －6； 当0＜2a －1＜2 ,即12<a <32时 ,f (x )min ＝f (2)＝－3.所以g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4a 2＋8a －6a ≤12－312<a <32(2)当a ≤12时 ,g (a )＝－4a 2＋8a －6单调递增 ,∴g (a )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3；又当12<a <32时 ,g (a )＝－3 ,∴g (a )的最||大值为－3.精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .。
最新高中数学：必修1人教A同步练习试题及解析第1章1.3.2同步训练及详解
高中数学必修一同步训练及解析1．下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝|x |＋xB ．f (x )＝x 2＋1xC ．f (x )＝x 2＋xD ．f (x )＝|x |x2 解析：选D.只有D 符合偶函数定义．2．f (x )＝x 3＋1x的图象关于( ) A ．原点对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．y ＝－x 对称解析：选A.x ≠0，f (－x )＝(－x )3＋1－x＝－f (x )，f (x )为奇函数，关于原点对称． 3．函数f (x )＝x 3＋ax ，f (1)＝3，则f (－1)＝________.解析：显然f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.答案：－34．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________.解析：f (x )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数，∴1－a ＝0，a ＝1.答案：1[A 级 基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．函数y ＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数 B ．函数y ＝x 3(x －1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D ．函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A 中，y ＝1x在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当a ＜0时，y ＝ax 2＋c (ac ≠0)在(0,2)上为减函数，故选C.2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，如y ＝1x2，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y ＝1x，故②错；既奇又偶的函数除了满足f (x )＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，那么g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：选A.g (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝xf (x )，g (－x )＝－x ·f (－x )＝－x ·f (x )＝－g (x )，所以g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是奇函数；因为g (x )－g (－x )＝2ax 3＋2cx 不恒等于0，所以g (－x )＝g (x )不恒成立．故g (x )不是偶函数．4．如图给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)的值是________．解析：f (－2)＝－f (2)＝－32. 答案：－325．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，∴a －1＝－2a ，∴a ＝13. 又f (－x )＝f (x )，即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b . ∴b ＝0.答案：130 6．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x －1＋1－x ；(2)f (x )＝|x |＋x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1 (x >0)0 (x ＝0).x ＋1 (x <0)解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x ≥0.∴x ＝1.定义域为{1}， 不关于原点对称，∴函数f (x )为非奇非偶函数．(2)f (x )＝|x |＋x 2＝2|x |，定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．且有f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)法一：显然定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，则f (－x )＝1－x ＝－f (x )，当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x －1＝－f (x )．则f (－0)＝f (0)＝－f (0)＝0.∴f (x )为奇函数．法二：作出函数f (x )的图象，可知f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数．[B 级 能力提升]7．若f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )≥2，则当x ≤0时( )A ．f (x )≤2B ．f (x )≥ 2C ．f (x )≤－2D ．f (x )∈R解析：选B.可画出f (x )的大致图象：易知当x ≤0时，有f (x )≥2.故选B.8．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)解析：选A.∵f (x )为偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )为增函数．又∵f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，且2<3<π，∴f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)．9．若偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数，则满足f (1)≤f (a )的实数a 的取值范围是________． 解析：由已知偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (1)≤f (a )⇔⎩⎨⎧ a >0，1≥a 或⎩⎨⎧a ≤0－1≤a ⇔0<a ≤1，或－1≤a ≤0. 故a ∈[－1,1]．答案：[－1,1]10．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25，求函数f (x )的解析式． 解：∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数．∴f (0)＝0，即b 1＋02＝0，∴b ＝0， 又f (12)＝12a 1＋14＝25，∴a ＝1， ∴f (x )＝x 1＋x 2.11．设函数f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x .(1)求f (x )的表达式；(2)证明f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．解：(1)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2＋4(－x )＝x 2－4x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－(x 2－4x )＝－x 2＋4x ，因此，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0－x 2＋4x ，x <0. (2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋4x 2)－(x 21＋4x 1)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1＋4)，∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1＋4>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数．。
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第一章 充分条件与必要条件的综合应用
实数的取值范围是________________.
[解析]因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件,
− ≤ ,
所以 ⊆ .所以ቊ
解得− ≤ ≤ ，
+ ≥ ,
即实数的取值范围是{| − ≤ ≤ }.
7.已知不等式3 + ≥ 0成立的充要条件为 ≥ 2,求的值.
当 = 时,方程 − + = 有实根 = ,而当方程 − + = 有实根时不
一定是 = ,所以 = 是方程 − + = 有实根的一个充分不必要条件.
6.已知 = {| − 4 < < + 4}, = {|1 < < 3},“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件,则
第一章
习题课 充分条件与必要条件的综合应用
A级 必备知识基础练
1.下列四个条件中,使 > 成立的充分不必要条件是() B
A. > − 1B. > + 1C.2 > 2 D. > 2
2.已知集合 = {| Байду номын сангаас 2 < < + 2}, = {| ≤ −2，或 ≥ 4},则 ∩ = ⌀的充要
= 1（答案不唯一）
个充分不必要条件可以是_____________________.
[解析]因为方程 − + = 有实根,所以 ≥ ,即(−) − ≥ ,解得 ≤ .
反之,当 ≤ 时, ≥ ,则方程 − + = 有实根,
所以 ≤ 是方程 − + = 有实根的充要条件.
解3 + ≥ 0化为 ≥
人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：3.2.2 第二课时 函数奇偶性的应用
第二课时 函数奇偶性的应用新知探究问题1 图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图象，你能结合奇偶函数图象的特征画出相应图象的另一部分吗？提示 偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称.问题2 就图(1)而言，函数在区间(－∞，－2』与『2，＋∞)上的单调性是否相同？就图(2)而言，函数在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0与⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52上的单调性是否相同？提示(1)单调性相反，(2)单调性相同.1.函数的奇偶性与单调性(1)若f (x )为奇函数且在区间『a ，b 』(a <b )上为增函数，则f (x )在『－b ，－a 』上为增函数，即在对称区间上单调性一致(相同).(2)若f(x)为偶函数且在区间『a，b』(a<b)上为增函数，则f(x)在『－b，－a』上为减函数，即在对称区间上单调性相反.2.奇偶函数的运算性质在公共定义域内：(1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；(2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.3.函数的对称轴与对称中心(拓展)(1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T 是f(x)的对称轴.(2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心.拓展深化『微判断』1.若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(√)2.若对f(x)定义域内任意的x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝a＋b 2对称.(√)3.若奇函数f(x)在『a，b』上有最大值M，则f(x)在『－b，－a』上有最小值－M.(√) 『微训练』1.定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则()A.f(3)<f(－4)<f(－π)B.f(－π)<f(－4)<f(3)C.f(3)<f(－π)<f(－4)D.f(4)<f(－π)<f(3)『解析』∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π<4，∴f(3)<f(π)<f(4)，即f(3)<f(－π)<f(－4).『答案』 C2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x－x2，则当x>0时，f(x)＝________.『解析』设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－x－(－x)2＝－x－x2.又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x＋x2.『答案』x＋x2『微思考』1.若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？提示不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数.2.函数y＝xx－1的图象有对称中心吗？若有，指出对称中心.提示y＝xx－1＝1＋1x－1，对称中心为(1，1).题型一利用奇偶性求函数『解析』式角度1求对称区间上的『解析』式『例1－1』(1)函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.(2)函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则f(x)＝________. 『解析』(1)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1).(2)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.综上，f (x )的『解 析』式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋3x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x <0.『答 案』 (1)x (x ＋1) (2)⎩⎨⎧－2x 2＋3x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x <0角度2 构造方程组求『解 析』式『例1－2』 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的『解 析』式.解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1，① 用－x 代替x ， 得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1， ∴f (x )－g (x )＝1－x －1，② (①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1； (①－②)÷2，得g (x )＝x x 2－1.规律方法 已知函数f (x )的奇偶性及函数f (x )在某区间上的『解 析』式，求该函数在整个定义域上的『解 析』式的方法如下：(1)求哪个区间上的『解 析』式，x 就设在那个区间上；(2)把x 对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数『解 析』式中；(3)利用f (x )的奇偶性将f (－x )用－f (x )或f (x )表示，从而求出f (x ).『训练1』 (1)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2－x ，求函数f (x )的『解 析』式；(2)设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的『解 析』式.解 (1)设x >0，则－x <0， ∴f (－x )＝－(－x )2－(－x )＝－x 2＋x .又f (x )是R 上的奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝x 2－x . 又∵函数定义域为R ，∴f (0)＝0，综上可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x <0，x 2－x ，x ≥0.(2)∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.① 用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2， ∴f (x )－g (x )＝－2x ＋x 2，② (①＋②)÷2，得f (x )＝x 2； (①－②)÷2，得g (x )＝2x . 题型二 函数奇偶性的应用角度1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小『例2－1』 若对于任意实数x 总有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，－1』上是增函数，则( ) A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (2)B.f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)C.f (2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D.f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)『解 析』 ∵对任意实数x 总有f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，∴f (2)＝f (－2).又f (x )在区间(－∞，－1』上是增函数，－2<－32<－1.∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)，故选B.『答 案』 B规律方法 比较大小的方法：①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 角度2 利用奇偶性、单调性解不等式『例2－2』 (1)设定义在『－3，3』上的奇函数f (x )在区间『0，3』上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围；(2)定义在『－2，2』上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围.解 (1)因为f (x )是奇函数且f (x )在『0，3』上是减函数， 所以f (x )在『－3，3』上是减函数.所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－3≤m ≤3，－3≤1－m ≤3，解得－2≤m <12，即m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，12.(2)∵g (x )在『－2，2』上为偶函数，且x ≥0时为减函数，∴g (1－m )≤g (m )⇔g (|1－m |)<g (|m |)⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |>|m |⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，（1－m ）2>m 2⇒－1≤m <12.即m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－1≤m <12.规律方法 利用函数奇偶性和单调性解不等式解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.角度3 利用函数奇偶性求参数(值)『例2－3』 (1)若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. (2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.『解 析』 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )， 即(x ＋a )(x －4)＝(－x ＋a )(－x －4)， 整理得，2a ＝8，∴a ＝4.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝－f （－2），f （1）＝－f （－1），则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝－2，a ＋b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.当a ＝－1，b ＝1时，经检验知f (x )为奇函数，故a ＋b ＝0. 『答 案』 (1)4 (2)0规律方法利用函数奇偶性求参数值的方法(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决.(2)在定义域关于原点对称的前提下，若『解析』式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若『解析』式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数.(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x∈R等式恒成立的特征求参数.『训练2』(1)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A.『－2，2』B.『－1，1』C.『0，4』D.『1，3』(2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0』上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是________.『解析』(1)∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1.∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1).又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.(2)设h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，补全f(x)，g(x)的图象(图略)，由图象可知：当－4<x<－2时，f(x)>0，g(x)<0，此时h(x)<0；当0<x<2时，f(x)<0，g(x)>0，此时h(x)<0，∴h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2).故『答案』为(－4，－2)∪(0，2).『答案』(1)D(2)(－4，－2)∪(0，2)题型三证明函数图象的对称性(拓展)『例3』求证：二次函数f(x)＝－x2－2x＋1的图象关于x＝－1对称.证明任取x∈R，∵f(－1＋x)＝－(－1＋x)2－2(－1＋x)＋1＝－x2＋2，f(－1－x)＝－(－1－x)2－2(－1－x)＋1＝－x2＋2，∴f(－1＋x)＝f(－1－x)，∴f(x)的图象关于x＝－1对称.规律方法(1)要证明函数f(x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x).(2)要证明函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.『训练3』证明函数f(x)＝xx＋1的图象关于点(－1，1)对称.证明函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞). 任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∵f(－1＋x)＋f(－1－x)＝－1＋x－1＋x＋1＋－1－x－1－x＋1＝－1＋xx＋1＋xx＝2，即f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2×1，∴f(x)的图象关于点(－1，1)对称.一、素养落地1.通过本节课的学习，提升直观想象和逻辑推理素养.2.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.3.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).4.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、『解析』式、比较大小、解不等式等核心问题是转化.5.对于抽象函数(未给出『解析』表达式的函数)可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.二、素养训练1.已知函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)的『解析』式是()A.f(x)＝－x(x＋2)B.f(x)＝x(x－2)C.f(x)＝－x(x－2)D.f(x)＝x(x＋2)『解析』设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x2＋2x，又f(x)为R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x＋2)，故选A.『答案』 A2.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是()A.1B.2C.3D.4『解析』f(－x)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x ＋(m2－7m＋12)，由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，即m＝2.『答案』 B3.(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有()高中数学人教A 版（新教材）必修第一册11 A.f (x )g (x )是偶函数B.|f (x )|＋g (x )是偶函数C.f (x )|g (x )|是奇函数D.|f (x )g (x )|是奇函数『解 析』 ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴|f (x )|是偶函数，|g (x )|是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f (x )g (x )为奇函数，f (x )|g (x )|为奇函数，所以|f (x )g (x )|为偶函数，故选项A ，选项D 错误，选项C 正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B 正确.故选BC.『答 案』 BC4.设函数y ＝f (x )是偶函数，若f (－3)＋f (－1)－5＝f (3)＋f (1)＋a ，则a ＝________. 『解 析』 ∵f (x )是偶函数，∴f (－3)＝f (3)，f (－1)＝f (1)，故由题意知a ＝－5. 『答 案』 －55.证明函数f (x )＝1x ＋1的图象关于(－1，0)对称. 证明 要证f (x )的图象关于(－1，0)对称，只需证明f (x )对任意的x ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f (－1＋x )＝－f (－1－x ).∵f (－1＋x )＝1－1＋x ＋1＝1x ， f (－1－x )＝1－1－x ＋1＝－1x ， ∴f (－1＋x )＝－f (－1－x )，故y ＝1x ＋1的图象关于(－1，0)对称.。
高一数学必修1(人教版)同步练习第一章第一节集合
2011-2012学年高一数学必修1（人教版）同步练习第一章第一节集合一. 教学内容：集合二、本周教学目标：1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，并初步掌握集合的表示方法；2. 了解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义。
3. 理解补集的含义，会求补集；4. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
5. 渗透数形结合、分类讨论的数学思想方法。
［知识要点］一、集合的含义及其表示1、一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。
集合中的每一个对象称为该集合的元素。
集合的性质：（1）确定性：班级中成绩好的同学构成一个集合吗？（2）无序性：班级位置调换一下，这个集合发生变化了吗？（3）互异性：集合中任意两个元素是不相同的。
如：已知集合A＝{1，2，a}，则a应满足什么条件？［知识要点］一、集合的含义及其表示1、一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。
集合中的每一个对象称为该集合的元素。
集合的性质：（1）确定性：班级中成绩好的同学构成一个集合吗？（2）无序性：班级位置调换一下，这个集合发生变化了吗？（3）互异性：集合中任意两个元素是不相同的。
如：已知集合A＝{1，2，a}，则a应满足什么条件？常用数集及记法（1）自然数集：记作N（2）正整数集：记作（3）整数集：记作Z（4）有理数集：记作Q（5）实数集：记作R例：下列各种说法中，各自所表述的对象是否确定，为什么？（1）我们班的全体学生；（2）我们班的高个子学生；（3）地球上的四大洋；（4）方程x2－1＝0的解；（5）不等式2x－3>0的解；（6）直角三角形；2、集合的表示法（1）列举法：把集合中的元素列举在一个大括号里：{…}（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x| P（x）}的形式。
如：{x︱x为中国的直辖市}（3）集合的分类：有限集与无限集<1>有限集：含有有限个元素的集合。
作业14新教材同步学案 数学 必修 第一册(人教A版)
课时作业(十四)1．若0<x<1，则函数y ＝x(3－3x)取得最大值时x 的值为( ) A.12 B.34 C.23 D.25答案 A解析 ∵0<x<1，∴1－x>0，∴y ＝x(3－3x)＝3x(1－x)≤3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（1－x ）22＝34，当且仅当x＝1－x ，即x ＝12时取等号．2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a<b)，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a<v<ab B ．v ＝ab C.ab<v<a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 v ＝21a ＋1b＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab.因为2aba ＋b －a ＝2ab －a 2－ab a ＋b ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，所以2aba ＋b>a ，即v>a.故选A. 3．若函数y ＝x ＋1x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．3B ．1＋ 3C ．1＋ 2D ．4答案 A解析 y ＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x>2，∴x －2>0. ∴y ＝x －2＋1x －2＋2≥2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．又∵y 在x ＝a 处取最小值，∴a ＝3.4．已知x ，y ，z 均为正数，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 A5．已知a>0，b>0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5 答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴y ＝1a ＋4b ＝a ＋b 2a ＋2a ＋2b b ＝12＋b 2a ＋2a b ＋2≥52＋2b 2a ·2a b ＝92，当且仅当b 2a＝2ab且a ＋b ＝2时取等号． 6．设0<x<1，则4x ＋11－x 的最小值为( )A ．10B ．9C ．8 D.272答案 B解析 ∵0<x<1，∴1－x>0，4x ＋11－x ＝[x ＋(1－x)]·(4x ＋11－x )＝4＋4（1－x ）x ＋x1－x ＋1≥5＋24（1－x ）x ·x1－x＝5＋2×2＝9.当且仅当4（1－x ）x ＝x 1－x，即x ＝23时，等号成立．∴4x ＋11－x的最小值为9.7．我市某公司，第一年产值增长率为p ，第二年产值增长率为q ，这两年的平均增长率为x ，那么x 与p ＋q 2的大小关系是________．答案 x ≤p ＋q28．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元． 答案 1 760解析 设水池的造价为y 元，长方体底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4xm ．那么 y ＝120·4＋2·80·⎝⎛⎭⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320·2x·4x＝1 760(元)． 当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 9．已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为________．答案 18解析 ∵8x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y)×⎝⎛⎭⎫8x ＋1y ＝8＋x y ＋16yx ＋2＝10＋⎝⎛⎭⎫x y ＋16y x . ∵x>0，y>0，∴x y >0，16yx >0.∴x y ＋16yx≥2x y ·16yx＝8， 当且仅当⎩⎨⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16yx ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3，时等号成立．∴x ＋2y 的最小值为18.10．已知a ，b 均为正实数，且2a ＋8b －ab ＝0，求a ＋b 的最小值． 解析 ∵2a ＋8b －ab ＝0，∴8a ＋2b ＝1，又a>0，b>0，∴a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫8a ＋2b ＝8b a ＋2ab ＋10≥28b a ·2ab＋10＝18， 当且仅当8b a ＝2ab ，即a ＝12，b ＝6时取等号．∴a ＋b 的最小值为18.11．已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9.证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a>0，b>0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. (2)∵a>0，b>0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba ，同理，1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋ab ≥5＋4＝9. ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 12．围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地的围墙的总费用最少，并求出最少总费用． 解析 (1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360. 由已知ax ＝360，得a ＝360x .∴y ＝225x ＋3602x －360(x>0)．(2)∵x>0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元． ►重点班·选做题13．已知a>0，b>0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5答案 C解析 ∵a>0，b>0，∴1a ＋1b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．∴1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22ab·2ab ＝4. 当且仅当a ＝b ＝1且2ab＝2ab 时，取等号． 故1a ＋1b＋2ab 的最小值为4. 14．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a ＝6，b ＋c ＝8，则此三角形面积的最大值为( ) A ．37 B ．8 C ．47 D ．9 3答案 A解析 由题意p ＝7，S ＝7（7－a ）（7－b ）（7－c ）＝7（7－b ）（7－c ）≤7·7－b ＋7－c 2＝37，当且仅当7－b ＝7－c ，即b ＝c ＝4时等号成立，此三角形面积的最大值为37，故选A.15．2020年新冠病毒疫情期间，一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达武汉灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于v 2800 km(车长忽略不计)，那么这批物资全部到达灾区最少需要________ h. 答案 10解析 当最后一辆汽车出发，第一辆汽车行驶50·v 2800v ＝v16(小时)，最后一辆车驶完全程共需要400v 小时，所以一共需要(400v ＋v 16)小时，由基本不等式，得400v ＋v 16≥2400v ·v16＝10，当且仅当v 16＝400v，即v ＝80时，等号成立，故最小值为10小时．1．在算式“30－△＝4×□”中的△，□分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(□，△)应为( ) A ．(4，14) B ．(6，6) C ．(3，18) D ．(5，10)答案 D2．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33D.233答案 B3.如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________ dm 2.答案 564．设a ＋b ＝2，b>0，则12|a|＋|a|b 取最小值时，a 的值为________．答案 －2或235．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 206．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(1)ab(a ＋b)＋bc(b ＋c)＋ca(c ＋a)≥6abc ；(2)(a ＋b ＋c)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋c ≥4.证明 (1)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2 ＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2) ≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2 ＝6abc ＝右边，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． (2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝[a ＋(b ＋c)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋c≥2a （b ＋c ）·21a （b ＋c ）＝4＝右边，当且仅当a ＝b ＋c 时，等号成立． 7．已知x>0，y>0且2x ＋5y ＝20. (1)求xy 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解析 (1)∵2x ＋5y ＝20，x>0，y>0， ∴2x ＋5y ≥210xy ， ∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当x ＝5，y ＝2时，等号成立， ∴xy 的最大值为10. (2)1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·120(2x ＋5y) ＝120⎝⎛⎭⎫2＋5＋5y x ＋2x y ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥7＋21020，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立． ∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 8．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，求4x ＋1＋1y的最小值． 解析 因为x ＋y ＝1，所以(x ＋1)＋y ＝2. 所以4x ＋1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋1y ×（x ＋1）＋y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4y x ＋1＋x ＋1y ≥12(5＋24)＝92， 当且仅当4y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝13，y ＝23时，等号成立．所以4x ＋1＋1y 的最小值为92.9．已知x ，y 均为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值． 解析 方法一：x 1＋y 2＝x 2（1＋y 2）＝2x 2·⎝⎛⎭⎫12＋y 22≤2·x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 222＝324，当且仅当x 2＝y 22＋12，即x ＝32，y ＝22时取等号． 方法二：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22.同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为12.x1＋y 2＝x2·1＋y 22＝2x ·12＋y 22， 将x ，12＋y 22分别看成两个因式， x ·12＋y 22≤x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 2222＝x 2＋y 22＋122＝34. ∴x1＋y 2＝2x ·12＋y 22≤324，当且仅当x ＝12＋y 22，即x ＝32，y ＝22时取等号． 10．已知x ，y 均为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值．解析 若利用算术平均与平方平均之间的不等关系：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，本题很简单，3x ＋2y ≤2·（3x ）2＋（2y ）2＝2·3x ＋2y ＝2 5.否则，这样思考：条件与结论均为和的形式，无法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢．W>0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x)2＋(2y)2＝10＋(3x ＋2y)＝20，∴W ≤20＝2 5.。
人教版高中数学必修1全套教学教案试题第一章-1.1.2
1.1.2集合间的基本关系[学习目标] 1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断.2.了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系.3.了解空集的含义及其性质．[知识链接]1．已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，则它们的大小关系是a＝b.2．若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？x≥1时呢？3．方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？[预习导引]1．Venn图(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．(2)适用范围：元素个数较少的集合．(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．2．子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A中任意一个元素都是集合B 中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)3．集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果A⊆B且B⊆A，就说集合A与B相等A＝B真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是B的真子集A B(或B A)4.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．5．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.要点一有限集合的子集确定问题例1写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．解由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．跟踪演练1已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．解当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.要点二集合间关系的判定例2指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解 (1)集合A 的代表元素是数，集合B 的代表元素是有序实数对，故A 与B 之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B . (3)集合B ＝{x |x ＜5}，用数轴表示集合A ，B 如图所示，由图可知A B .(4)由列举法知M ＝{1,3,5,7，…}，N ＝{3,5,7,9，…}，故NM .规律方法 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的一种图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．跟踪演练2 集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合A 和B 的关系． 解 A ＝{－3,2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－72.∵－3＞－72，2＞－72，∴－3∈B,2∈B ∴A ⊆B 又0∈B ，但0∉A ，∴A B .要点三 由集合间的关系求参数范围问题例3 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解 ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得{m |m ≥－1}．规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误． 2．涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． 跟踪演练3 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解 (1)若A B ，由图可知a ＞2.(2)若B ⊆A ，由图可知1≤a ≤2.1．集合A ＝{x |0≤x ＜3，x ∈N }的真子集的个数为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．16 答案 B解析 可知A ＝{0,1,2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，即共有23－1＝7(个)．2．设集合M ＝{x |x ＞－2}，则下列选项正确的是( ) A ．{0}⊆M B ．{0}∈M C ．∅∈M D ．0⊆M 答案 A解析 选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误．3．已知M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则能表示M ，N 之间关系的V enn 图是( )答案 C解析 M ＝{－1,0,1}，N ＝{0，－1}，∴N M .4．已知集合A ＝{2,9}，集合B ＝{1－m,9}，且A ＝B ，则实数m ＝________. 答案 －1解析 ∵A ＝B ，∴1－m ＝2，∴m ＝－1. 5．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≤14解析 ∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}． ∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅. 即x 2－x ＋a ＝0有实根． ∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断A ⊆B 的常用方法．(2)不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．一、基础达标1．下列命题中，正确的有()①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.A．①②B．②③C．②④D．③④答案 C解析①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由Venn图易知④正确．2．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为() A．6 B．5 C．4 D．3答案 A解析集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．3．设集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝x2}，则P与Q的关系是()A．P⊆Q B．P⊇QC．P＝Q D．以上都不对答案 D解析集合P是指函数y＝x2的自变量x的取值范围，集合Q是指所有二次函数y＝x2图象上的点，故P，Q不存在谁包含谁的关系．4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a满足()A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4答案 D解析由A B，结合数轴，得a≥4.5．集合{－1,0,1}共有________个子集． 答案 8解析 由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8个子集．6．设集合M ＝{x |2x 2－5x －3＝0}，N ＝{x |mx ＝1}，若N ⊆M ，则实数m 的取值集合为________． 答案 {－2,0，13}．解析 集合M ＝{3，－12}．若N ⊆M ，则N ＝{3}或{－12}或∅.于是当N ＝{3}时，m ＝13；当N＝{－12}时，m ＝－2；当N ＝∅时，m ＝0.所以m 的取值集合为{－2,0，13}．7．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集． 解 ∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }， ∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． 二、能力提升8．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则实数a 的取值是( ) A ．1 B ．－1 C ．0,1 D ．－1,0,1 答案 D解析 因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根． (1)当a ＝0时，方程化为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意． (2)当a ≠0时，由Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1， ∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意． ∴a ＝0或a ＝±1.9．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 3，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 6，k ∈Z ，则( )A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A 与B 关系不确定 答案 A解析 对B 集合中，x ＝k 6，k ∈Z ，当k ＝2m 时，x ＝m 3，m ∈Z ；当k ＝2m －1时，x ＝m 3－16，m ∈Z ，故按子集的定义，必有A B .10．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，则实数a 的值为________． 答案 －1或2解析 A ⊇B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.11．已有集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的集合． 解 由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. ∴集合A ＝{1,3}．(1)当B ＝∅时，此时m ＝0，满足B ⊆A .(2)当B ≠∅时，则m ≠0，B ＝{x |mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m .∵B ⊆A ，∴3m ＝1或3m ＝3，解得m ＝3或m ＝1.综上可知，所求实数m 的集合为{0,1,3}． 三、探究与创新12．已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 当B ＝∅时，只需2a ＞a ＋3, 即a ＞3. 当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a ＞4.解得a ＜－4或2＜a ≤3. 综上，实数a 的取值范围为{a |a ＜－4或a ＞2}．13．若集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }至多有一个真子集，求a 的取值范围． 解 ①当A 无真子集时，A ＝∅， 即方程ax 2＋2x ＋1＝0无实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝4－4a <0，所以a >1.②当A 只有一个真子集时，A 为单元素集，这时有两种情况： 当a ＝0时，方程化为2x ＋1＝0，解得x ＝－12；当a ≠0时，由Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1. 综上，当集合A 至多有一个真子集时，a的取值范围是a＝0或a≥1.。
高中数学人教版(新教材)必修1学案4：1.5.1 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词情景导入生活中经常遇到这样的描述：“我国13亿人口，都解决了温饱问题”“我国还存在着犯罪活动”“今天，全班所有同学都按时到校”“这次数学竞赛至少有3人参加”等等．其中“都”“存在”“所有”“至少”在数学命题中也经常出现，它们在命题中充当什么角色呢？它们对命题的真假的判断有什么影响呢？新知导学1．全称量词与全称量词命题(1)短语“___________”、“___________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“___”表示，含有全称量词的命题，叫做_________．(2)全称量词命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：________________．(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示_____________的含义．2．存在量词与存在量词命题(1)短语“__________”、“_____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“___”表示，含有存在量词的命题，叫做____________．(2)存在量词命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，___________________．(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示______________的含义．预习自测1．下列命题中全称量词命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．32．选出与其他命题不同的命题()A．有一个平行四边形是菱形B．任何一个平行四边形是菱形C．某些平行四边形是菱形D．有的平行四边形是菱形3．下列命题中，假命题是()A．∀x∈R,3x－2>0B．∀x∈N*，(x－2)2>0C．∃x∈R，lg x0≤2D．∃x∈R，tan x0＝24．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是______________.5．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“∃x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是______________.课堂探究命题方向1⇨全称量词命题与存在量词命题的判定典例1 (1)下列命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立．其中是全称量词命题的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)下列命题为存在量词命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3规律总结 1.判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．3．一个全称(或存在量词)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．跟踪练习1判断下列语句是否是全称量词命题或存在量词命题．(1)有一个实数a，a不能取对数；(2)若所有不等式的解集为A，则有A⊆R；(3)三角函数都是周期函数吗？(4)有的向量方向不定；(5)自然数的平方是正数．命题方向2⇨全称量词命题与存在量词命题的真假判断典例2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假.(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1、x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．规律总结1.全称量词命题的真假判断要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．2．存在量词命题的真假判断要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．跟踪练习2①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，x20≤x0；④∃x0∈N*，x0为29的约数，其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4学科核心素养含量词命题的应用典例3命题p：∀x∈R，sin x cos x≥m，若命题p是真命题，求实数m的取值范围.跟踪练习3若命题“∃x0∈R使得x20＋mx0＋2m＋5<0”为假命题，则实数m的取值范围是()A．『－10,6』B．(－6,2』C．『－2,10』 D．(－2,10)课堂检测1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 ( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2 2．下列命题是真命题的是 ( )A ．a >b 是ac 2>bc 2的充要条件B ．a >1，b >1是ab >1的充分条件C ．∀x ∈R,2x >x 2D ．∃x 0∈R ，e x 0<03．下列四个命题中真命题是 ( )p 1：∀x ∈(0，＋∞)，(12)x ≥(13)x p 2：∀x ∈(0,1)，log 12 x ≤log 13xp 3：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x 0≤log 12x 0p 4：∃x 0∈(0，13)，(12)x 0≥log 13x 0 A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 44．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是 ( )A ．对任意的a 、b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x ∈R ，x 2＝xD ．对数函数在定义域上是单调函数——★ 参*考*答*案 ★——新知导学1．(1)对所有的对任意一个∀全称量词命题(2)∀x ∈M ，p (x )(3)整体或全部2．(1)存在一个至少有一个∃存在量词命题(2)∃x 0∈M ，p (x 0)(3)个别或一部分预习自测1．『答案』C『解析』①③为全称量词命题，②为存在量词命题．2．『答案』B『解析』B 选项为全称量词命题，其余的为存在量词命题．3．『答案』B『解析』特殊值验证x ＝2时，(x －2)2＝0，∴∀x ∈N *，(x －2)2>0是假命题，故选B ．4．『答案』(－∞，3』『解析』a <x 在x ∈(3，＋∞)恒成立，令g (x )＝x ，则a <g (x )min ，∵g (x )min >g (3)＝3，∴a ≤3.5．『答案』m <－2『解析』由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2. 课堂探究命题方向1 ⇨全称量词命题与存在量词命题的判定典例1 (1)『答案』B(2)『答案』D 『解析』(1)中，只有②③含有全称量词，故选B ．(2)中，只有选项D 含有存在量词，故选D ．跟踪练习1解：因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为存在量词命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均含有全称量词，故为全称量词命题，(3)不是命题．综上所述，(1)(4)为存在量词命题，(2)(5)为全称量词命题，(3)不是命题．命题方向2 ⇨全称量词命题与存在量词命题的真假判断典例2 解：(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan0＝tanπ，所以该命题是假命题．(4)存在一个函数f (x )＝0，它既是偶函数又是奇函数，所该命题是真命题．跟踪练习2『答案』C学科核心素养含量词命题的应用典例3解：m ≤sin x cos x ，∀x ∈R 恒成立，令f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ， f (x )min ＝－12，∀x ∈R ∴m ≤－12∴实数m 的取值范围(－∞，－12』． 跟踪练习3『答案』C课堂检测1．『答案』B2．『答案』B3．『答案』A4．『答案』D『解析』A 中含有全称量词“任意的”，因为a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0；故是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B 是假命题，C 是存在量词命题，故选D ．。
（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）
（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“?”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ?__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3?N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5?Z，√2?Z;?是有理数,则?∈Q ;π 是无理数，则π∈R 故答案为:(1)∈;(2)? ;(3)? ;(4)? ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“?”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国?A,印度∈A，英国?A.(2)若A={x|x2=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x2=x}={0, 1},则-1?A.(3)若B={x|x2+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x2+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3?B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1?C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x< p="">二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来: (1) {2，4，6，8, 10};</x<>。