《立体几何中的垂直关系》 复习课的教学设计与反思
2021年垂直教学反思
2021年垂直教学反思2021年垂直教学反思1教学《认识垂直》之前，学生已经学习了图形的平移，量角和画角，直线的相交与平行，这些都是学生学习本课用量角器、直尺和三角尺画垂线的基础。
因此，我在以下几个环节充分利用学生的原有经验。
教学认识垂直时，我从例题图中展现的生活情境中抽象出两组相交成直角的直线。
让学生说一说每组直线之间的关系，并说明理由然后让学生运用已有的知识进行操作验证，如用三角尺上的直角比量、用量角器量、用直尺上一个直角比量。
教学画垂线时，更是让学生自主尝试画垂线的方法，有困难的学生可以看教师提供的课本上的表示画图方法和步骤的图，然后给与充分的时间摸索尝试，再组织交流。
指名学生描述画的方法，同时指名一人根据这名学生的描述再现画的过程，并结合动画展现画法，在这些充分的展示、交流的基础上归纳画法和步骤。
到此，教师又组织交流“有没有不同的画法”，引出只用三角尺画这种方法。
之后又通过“如果这个点不在直线上呢？引出经过直线外的一点A分别画出已知直线的垂线”，让学生结合前面的学习独立画图，再引导比较两种情况作图的相同点，沟通过直线上一点或过直线外一点画已知直线的垂线时，都要按“一重合、二紧靠、三平移、四画线”的步骤，注意点也相同。
不足之处是：钻教学“画垂线”时安排学生独立尝试后自己说出画的方法和步骤，要求过高，学生还不会用自己的话表达画的.过程。
今后要多注重培养学生的语言表达的能力。
2021年垂直教学反思2教材分析1．帮助学生初步理解垂直于平行是同一平面内两条直线的两种特殊关系，初步认识。
2．在“空间与图形”的领域中，垂直与平行是学生以后认识平行四边形，梯形及长方体、正方体等几何形体的基础。
也为培养学生空间观念提供了一个很好的载体。
学情分析从学生思维角度看，垂直与平行这些几何图形，在日常生活中应用广泛，学生头脑中已经积累了许多表象，但由于学生生活的局限性，理解概念中“永不相交”比较困难；再加上以前学习的直线、射线、线段等研究的都是单一对象的特征，而垂线和平行线研究的是同一平面内两条直线未知的相互关系，这种相互关系，学生还没有建立表象。
平行与垂直教学设计教学反思（精选9篇）
平行与垂直教学设计教学反思平行与垂直教学设计教学反思（精选9篇）作为一名教师，就有可能用到教学设计，借助教学设计可使学生在单位时间内能够学到更多的知识。
怎样写教学设计才更能起到其作用呢？以下是小编为大家整理的平行与垂直教学设计教学反思，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
平行与垂直教学设计教学反思篇1《数学课程标准》中指出：“在掌握基础知识的同时，感受数学的意义”。
提出了“重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学和理解数学”，使学生感受到数学就在我们身边，感受到数学的趣味、作用。
在我们的日常生活中，平行与垂直的现象无处不在，由于四年级学生的知识积累与生活经验少，学习垂直与平行这两个概念理解起来比较抽象。
但是这两个概念的体验对今后的学习尤为重要。
反思“垂直与平行”这节课，我认为有以下几个好的地方：一、以分类为主线，通过学生自主探索，体会同一平面内两条直线间的位置关系。
从教材上来看，本课从研究同一平面内两条直线的位置关系入手，逐步分析出两条直线的位置关系有相交和不相交之分，相交中还有相交成直角与不成直角的情况。
这样设计，不仅符合学生的认知规律，也更有利于学生展开探索与讨论，研究的意味浓了。
所以，在设计教案时我大胆地让学生以分类为主线，通过观察、讨论、交流、教师点拨等活动，帮助学生在复杂多样的情况中逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况。
再通过演示、想像，领悟到同一平面内，永不相交的则是平行，相交成直角的则是互相垂直。
通过两次分类、分层理解，提高学生的空间想像能力，培养学生初步的问题研究意识。
二、在知识探究的过程中完成自主探究意识与空间想象能力的培养。
这节课的第一个环节让学生分类，注重对学生自主探究意识的培养。
首先，从学生已有的知识经验和认知发展水平出发，放手让学生尝试在白纸上画一画两条直线的位置关系，并选取不同情况贴在黑板上让学生进行分类。
其次，对两条直线位置关系的理解，以学生为主体展开讨论进行分类整理。
《相交与垂直》的教学案例与反思
相交与垂直的教学案例与反思1. 引言在数学教学中，相交与垂直是一个基础且重要的概念。
学生通过学习相交与垂直的关系，能够更好地理解平面几何中的基本性质，培养他们的空间想象力和逻辑思维能力。
本文将以《相交与垂直》为题，介绍一款教学案例，并从中总结教学反思。
2. 教学案例2.1 教学目标本次教学的主要目标是让学生理解相交与垂直的概念，并能够正确判断两条线段是否相交或垂直。
2.2 教学准备•幻灯片或黑板•直尺和量角器•板书工具2.3 教学步骤步骤一：引入概念首先，引导学生回顾线段的定义，并解释相交和垂直的概念。
通过举例说明，让学生了解相交与垂直之间的关系。
步骤二：示例展示在幻灯片或黑板上展示几个示例，让学生观察并判断线段是否相交或垂直。
提醒学生观察线段之间的相对位置和角度。
步骤三：小组讨论将学生分为小组，让每个小组分析一个示例，并讨论他们的判断依据和推理过程。
教师可以适时地给予引导和补充，以确保学生正确理解概念。
步骤四：整体总结请学生在小组内共享他们的讨论结果，并从各组中选出代表汇报。
教师可以指导学生归纳相交和垂直的判断准则，强调重要的关键点。
步骤五：巩固练习请学生在课后完成一些练习题，以巩固他们对相交与垂直的理解。
教师可以提供不同难度级别的题目，以满足不同学生的需求。
3. 教学反思本次教学中，通过引入概念、示例展示、小组讨论和巩固练习等多种教学方法，帮助学生理解相交与垂直的概念。
教师在教学过程中起到了引导和促进学生思维的作用，使学生正确理解并能够运用所学知识。
然而，在教学过程中也存在一些问题。
首先，学生对相交与垂直的概念理解得不够深入，有些学生只是简单机械地判断线段是否相交或垂直，没有形成更深层次的思考。
其次，部分学生在小组讨论环节中缺乏积极性，导致讨论的深度和广度不够。
针对上述问题，我将采取以下改进措施。
首先，增加实例展示的数量和难度，向学生提供更多挑战。
其次，引导学生思考相交和垂直的原因和条件，帮助他们形成自己的思维模型。
高三复习课：空间中的垂直关系
高三复习课：空间中的垂直关系作者：***来源：《中学课程辅导·教育科研》2020年第02期【中图分类号】 G633.6【文献标识码】 A【文章编号】 1992-7711（2020）02-175-020一、教学内容分析本节内容是复习数学必修2的第二章《直线与平面垂直的判定及其性质》（第一课时），鉴于长方体是一个重要的空间几何模型，运用长方体可以帮助我们直观认识和理解空间中直线和平面的的垂直，异面直线的垂直关系，平面与平面的垂直，所以本节课以长方体为复习对象的起点，将立体几何中的垂直关系串联起来组织复习教学，从课本出发，熟悉线面垂直的判定定理，然后以高考题真题进行检测。
本节课的教学重点是：回顾空间中线面垂直的判定方法及用这个判定定理去判定线面垂直。
二、学生学情分析我所面对的学生基础比较薄弱，虽然他们已经基本掌握了线面垂直的判定定理和性质，但在运用判定定理时，缺乏逻辑推理的严密性，缺乏对基本几何模型的研究，缺乏书写的规范性。
这些知识和能力是学生需要提高的地方。
本节课的教学难点是：让学生“看得出来，说的清楚，写的正确”，培养直观想象、逻辑推理、数学建模等能力。
三、教学目标设计1）以长方体为载体，复习空间中线面，线线，面面的垂直的判定及关系。
2）结合长方体引导学生完成发现，证明问题的过程，提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养，积累数学探究活动经验。
四、教学策略分析为实现教学目标，结合学生的实际情况，这节课选用了综合型教学策略。
在内容上精编典型例题与练习，学生在通过独立思考、合作交流、互评互助学习或完成这些例题练习的过程中，实现灵活应用相关定理分析问题、解决问题目的;在形式上，采用集体教学、师生互动、分组探究、个别指导等多种形式相结合，学生在学习中既能感受轻松愉悦的参与感、又能体验被个别关注的存在感;在方法技术上，将实物模型观察、计算机软件演示等引入课堂，学生既可以借助这些技术手段帮助思考，从而提高学习兴趣，激发学习欲望和探究精神。
垂直的教学反思
垂直的教学反思垂直的教学反思身为一位优秀的老师，我们都希望有一流的课堂教学能力，写教学反思能总结教学过程中的很多讲课技巧，写教学反思需要注意哪些格式呢？以下是小编为大家收集的垂直的教学反思，仅供参考，欢迎大家阅读。
本节课是在学生学习了“直线”及“角的认识”的基础上进行教学的，是认识平行四边形和梯形的基础，重点是理解平行线与垂线的特征，垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，在生活中有着广泛的应用，如何唤起学生的生活经验，感知生活中的垂直与平行的现象？如何进一步发展学生的空间想象能力，让学生发现同一平面内两条直线的位置关系并得出结论是本课的难点。
在教学中我主要通过让学生观察、讨论、操作、交流等活动，让学生去感知、理解、发现和认识。
感知生活中垂直与平行的现象，初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系，发现同一平面内两条直线的位置关系的不同情况，初步认识垂线与平行线，并且通过一系列的数学活动使学生的空间想象能力得到进一步的发展，为了上好这一课，在教学中我努力体现出以下的几个特点：1、创设数学研究的问题情境，用数学自身的魅力感染学生。
在教学导入时，并没有从生活中的现象入手，而是直接进入纯数学知识的研究氛围，带领学生进行空间想象，把两条直线的位置关系画到纸上，然后进行梳理和分类。
2、以分类为主线，通过学生自主探索，体会同一平面内两条直线间的位置关系，通过小组汇报，全班讨论，教师点拨等活动，帮助学生在复杂多样的情况下逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况。
在相交中有的成直角和不成直角两种情况，通过两次分类，分层理解提高了学生的空间想象能力，培养了学生初步的问题研究意识。
3、在知识探究过程中完成了对学生自主探究意识与空间想象能力的培养。
在教学中也出现了一些问题：如学生分类的标准不统一，把相交和不相交以及相交成几个角看成了三种情况，暴露了学生对分类知识掌握的欠缺与不足，对学生空间想象能力的培养还可以进一步加强。
67.立体几何讲义2：垂直问题 课件-广东省惠来县第一中学2021届高三数学一轮复习
第四方面：基于代数运算下的垂直关系 ★基于代数运算下的垂直关系，经常涉及勾股 定理和余弦定理的运用。
第四方面：基于代数运算下的垂直关系
题目问题111：1：如图，在直三棱柱
ABC
A1B1C1
中，ACB
90
，AC
BC
1 2
AA1
1
，D
，
第二方面：基于菱形（正方形）的垂直关系+基于矩形（正方形）的垂直关系
第二方面：基于菱形（正方形）的垂直关系+基于矩形（正方形）的垂直关系
题目3：（选自2013年全国高考文科Ⅰ卷） 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1， ∠BAA1＝60°， 证明：AB⊥A1C。
第二方面：基于菱形（正方形）的垂直关系+基于矩形（正方形）的垂直关系
7.全等三角形（相似三角形） 8.余弦定理
题目探讨：
第一方面：等腰三角形折叠模型+基于筝形的垂直关系
五、问题探讨：
第一方面：等腰三角形折叠模型+基于筝形的垂直关系 1.有着共底边的两个等腰三角形构成的立体图形，两个顶点的连线一定垂直于底边； 2.筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形，也可以说是两组邻边相等的四边形，它的形状就像一个风 筝，基于筝形可以设计许多垂直问题。
题目1：
D
C
E
B A
第一方面：等腰三角形折叠模型+基于筝形的垂直关系
题目2：
第二方面：基于菱形（正方形）的垂直关系+基于矩形（正方形）的垂直关系
第二方面：基于菱形（正方形）的垂直关系+基于矩形（正方形）的垂直关系
垂直教学反思范文（2篇）
垂直教学反思范文认识垂直这部分内容是在学生学习了直线的相交与平行的基础上安排的，主要让学生认识两条直线互相垂直和怎样画垂线。
我从学生熟悉的马路导入，引出两种相交，自然地使学生在比较中初步感知垂直这种特殊的相交。
在教学垂直这部分概念时，我主要通过学生自学，有利于知识的内化，又能培养他们的独立思考的习惯和自学的接着通过三角尺巩固了对垂直的认识，并让学生在一组判断题中总结了判断两条直线是否互相垂直的关键是什么。
这样是知识得到升华让学生举生活中垂直的例子进一步巩固了对垂直的认识。
在教学画垂线的过程中，先让学生自己创作两条互相垂直的直线，充分给学生机会展示各类方法。
在直线上一点和过直线外一点画已知直线的教学中，同样放手让学生先自己想办法，或是看书，然后再通过老师演示——总结方法——再演示，把方法规范化在层层深入的练习中，学生的思维得到了提高。
也让所学知识最后在回到生活中去，体现了生活也数学的紧密联系。
本节课的教学学生学得相当主动积极，不仅课堂参与程度高，而且思维灵活多样，富有创造性。
在这堂课中，学生的主体地位凸现了，真正亲历了知识形成的全过程，在自主学习，同桌合作交流的活动中升华了对知识的理解。
学生学得没负担，真正成为了学习的主人。
垂直教学反思范文（2）垂直教学是一种将学习内容按照年级层次进行分段教授的教学模式。
以往的教学模式往往是按照学科内容进行划分，将一门知识体系的全部内容一次性教授给学生。
而垂直教学则将知识内容进行分层，根据学生的年级特点和学习能力，将不同层次的知识逐步传授给学生，从而更好地满足他们的学习需求。
然而，在实际的教学过程中，垂直教学也存在一些问题和挑战。
首先，垂直教学需要教师具备较为全面的知识储备和教学能力。
因为教师需要熟悉不同年级的教材内容和学生的学术需求，能够灵活地在不同层次的教学中切换。
这对于教师的专业水平要求较高，不仅需要丰富的学科知识，还需要精湛的教学技巧。
其次，垂直教学需要提供合适的教学资源和教辅材料。
2020届一轮复习人教B版 立体几何中的平行与垂直的证明 学案
考查角度1立体几何中的平行与垂直的证明分类透析一证明平行关系如图,在菱形ABCD中,∠BAD=π,ED⊥平面ABCD,EF∥DB,M3AD=2.是线段AE的中点,DE=EF=12(1)证明:DM∥平面CEF.ABCDEF的表面积.连接AC,设AC,BD的交点为O,连接MO,可证平面MOD∥从而DM∥平面CEF;(2)先判断各个面的形状,找出垂直关系,,再计算表面积.连接AC,设AC与BD的交点为O,连接MO.EF,DO⊄平面CEF,∴DO∥平面CEF.∵M是线段AE的中点,O为AC的中点,∴MO是△ACE的中位线,∴MO∥EC.又MO⊄平面CEF,∴MO∥平面CEF.又MO∩DO=O,∴平面MDO∥平面CEF.又DM⊂平面MDO,∴DM∥平面CEF.(2)连接FO,由菱形ABCD可得AC⊥BD.∵ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴ED⊥AC.又BD∩ED=D,∴AC⊥平面EDBF.又OF⊂平面EDBF,∴AC⊥OF.∵EF∥DO,且EF=DO,ED⊥DO,ED=DO,∴四边形EDOF为正方形,ED=DO=OF=FE=2.在Rt△ADE和Rt△CDE中,∵AD=CD=4,DE=2,∴AE=EC=2√5,∴S△ADE=S△CDE=4.在Rt△AOF和Rt△COF中,∵AO=CO=2√3,OF=2,AF=CF=4,∴△AEF和△CEF是直角三角形,∴S△AEF=S△CEF=4.∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=DA=4,S ABCD=8√3.又AF=CF=AB=CB=4,FB=2√2,∴S△AFB=S△CFB=2√7.∴多面体ABCDEF的表面积为4×2+4×2+2√7×2+8√3=16+4√7+8√3.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两条直线平行.②利用面面平行的性质,即两个平面平行,在其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.分类透析二证明垂直关系如图,已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,为菱形,∠BAD=60°.(1)证明:PB⊥BC.(2)若平面PAD⊥底面ABCD,E为线段PD上的点,且PE=2ED,求三的体积.设AD的中点为O,通过证线面垂直得到线线垂直;(2),寻找三棱锥P-ABE的体积与三棱锥B-PAD的体积间的关系,然后求出三棱锥B-PAD的体积,最后得到三棱锥P-ABE的体积.解析 (1)如图,设AD的中点为O,连接PO,BO.,∴PO⊥AD.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴OB⊥AD,OP∩OB=O,∴AD⊥平面POB.又AD∥BC,∴BC⊥平面POB.∵PB⊂平面POB,∴PB⊥BC.V B-PAD.(2)连接BD,由题知V P-ABE=V B-PAE=23∵平面PAD⊥底面ABCD,∴OP,OA,OB两两垂直且OP=OB=√3.则V B-PAD =13×12×2×√3×√3=1,故V P-ABE =2V B-PAD =23.有关空间中垂直关系的证明:主要用到线线垂直、线,再结合题意进行推理或证明完成,有些题目需要添加一些辅助线.分类透析三 平行关系和垂直关系的综合应用如图,在三棱锥P-ABC 中,AB ⊥平面PAC ,∠APC=90°,E 是AB ,M 是CE 的中点,点N 在PB 上,且4PN=PB.证明:(1)平面PCE ⊥平面PAB ; ∥平面PAC.先证明直线PC ⊥平面PAB ,再证平面PCE ⊥平面PAB ;(2)设AE Q ,连接MQ ,NQ ,证明平面MNQ ∥平面PAC ,从而MN ∥平面∵AB ⊥平面PAC ,PC ⊂平面PAC , PC.∵∠APC=90°,∴AP ⊥PC.又AP ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,AP ∩AB=A , ∴PC ⊥平面PAB.∵PC ⊂平面PCE , ∴平面PCE ⊥平面PAB.(2)取AE 的中点Q ,连接NQ ,MQ. ∵M 是CE 的中点,∴MQ ∥AC. ∵PB=4PN ,AB=4AQ ,∴QN ∥AP.又AP ∩AC=A ,AP ⊂平面APC ,AC ⊂平面APC ,QN ∩QM=Q ,QN ⊂平面MNQ ,QM ⊂平面MNQ ,∴平面MNQ ∥平面PAC.∵MN ⊂平面MNQ ,∴MN ∥平面PAC.如图,△ABC 内接于圆O ,AB 是圆O 的直径,四边形DCBE 为平行四边形,DC ⊥平面ABC ,AB=2,BE=√3.(1)证明:平面ACD ⊥平面ADE.(2)记AC=x ,V (x )表示三棱锥A-CBE 的体积,求V (x )的最大值.要证平面ACD ⊥平面ADE ,只需证明DE ⊥平面ADC ,DC ⊥BC ,BC ⊥AC ,从而得证;(2)先利用体积公式求出V (x x 的解析式,再利用不等式求出最值.∵四边形DCBE 为平行四边形,BE ,BC ∥DE.∵DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , ∴DC ⊥BC.∵AB 是圆O 的直径, ∴BC ⊥AC.又DC ∩AC=C , ∴BC ⊥平面ADC. ∵DE ∥BC ,∴DE ⊥平面ADC. 又∵DE ⊂平面ADE ,∴平面ACD ⊥平面ADE.(2)在Rt△ABC 中,∵BC=√AB 2-AC 2=√4-x 2(0<x<2),∴S △ABC =12AC ·BC=12x √4-x 2,又BE=√3, ∴V (x )=V E-ABC =13S △ABC ·BE=√36x ·√4-x 2(0<x<2).若V (x )取得最大值,则x √4-x 2=√x 2(4-x 2)取得最大值.∵x 2(4-x 2)≤(x 2+4-x 22)2=4,当且仅当x 2=4-x 2,即x=√2时,“=”成立,故V (x )的最大值为√33.立体几何中最值问题的求解策略主要有:(1)转化为函解有些立体几何的最值问题可先引入线参数或角参数,再建立关于这些变量的函数关系,转化为函数的最值问题来解决.(2)利用重要不等式求最值.1.(2018年全国Ⅱ卷,文19改编)如图,在三棱锥P-ABC 中,AB=BC=2√2,PA=PB=PC=AC=4,O 为AC 的中点. (1)证明:PO ⊥平面ABC.(2)若点M 在棱BC 上,且MC=2MB ,求V C-POM ∶V P-ABMO .因为AP=CP=AC=4,O 为AC 的中点, 所以OP ⊥AC ,且OP=2√3.如图,连接OB ,因为AB=BC=√22AC ,所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB=12AC=2.由OP 2+OB 2=PB 2知,OP ⊥OB.由OP ⊥OB ,OP ⊥AC ,OB ∩AC=O 知,PO ⊥平面ABC. (2)作CH ⊥OM ,垂足为H.又由(1)可得OP ⊥CH ,所以CH ⊥平面POM. 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离. 由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=4√23,∠ACB=45°, 所以OM=2√53,CH=OC ·MC ·sin∠ACB OM =4√55. 所以V C-POM =13S △COM ×PO=13×12×2√53×4√55×PO=49PO , V P-ABMO =13×(12×2√2×2√2-12×2√53×4√55)×PO=89PO , 所以V C-POM ∶V P-ABMO =1∶2.2.(2018年全国Ⅲ卷,文19改编)如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD⏜所在平面垂直,M 是CD ⏜上异于C ,D 的点. (1)证明:CM ⊥平面AMD.(2)设P 是AM 的中点,求证:MC ∥平面PDB.∵平面ABCD⊥半圆面CMD,CMD,∴AD⊥平面MCD.∵CM在平面MCD内,∴AD⊥CM.又M是半圆弧CD⏜上异于C,D的点,∴CM⊥MD.又AD∩MD=D,∴CM⊥平面AMD.(2)连接AC与BD交于点O,连接PO.在矩形ABCD中,O是AC的中点,P是AM的中点,∴OP∥MC.∵OP⊆平面PDB,MC⊄平面PDB,∴MC∥平面PDB.3.(2017年全国Ⅰ卷,文18改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PCD⊥平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求AB 的长度.由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.AB∥CD,故AP⊥CD.因为AP∩PD=P,所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,AB∩AD=A,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=√2x,PE=√22x.故四棱锥P-ABCD的体积V P-ABCD=13AB·AD·PE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而AB=2.1.(2018年湖北省八校高三第二次联考测试)如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥AB ,PA=AB=BC=4,∠ABC=90°,PC=4√3,D 为线段AC 的中点,E 是线段PC 上一动点.(1)当DE ⊥AC 时,求证:PA ∥平面EDB.(2)当△BDE 的面积最小时,求三棱锥E-BCD 的体积.在Rt△ABC 中,AC=4√2.在△PAC 中,由PA 2+AC 2=PC 2知,PA ⊥AC , ∵DE ⊥AC ,∴PA ∥DE.又PA ⊄平面EDB ,∴PA ∥平面EDB. (2)在等腰直角△ABC 中, 由D 为AC 的中点知,DB ⊥AC.∵PA ⊥AC ,PA ⊥AB ,AB ∩AC=A ,∴PA ⊥平面ABC. ∵DB ⊂平面ABC ,∴PA ⊥DB.又DB ⊥AC ,PA ∩AC=A ,∴DB ⊥平面PAC. ∵DE ⊂平面PAC ,∴DE ⊥DB , 即△EBD 为直角三角形,∴当DE 最小时,△BDE 的面积最小,过点D 作PC 的垂线,当E 为垂足时,DE 最小,为2√63, 此时,EC=√(2√2)2-(2√63)2=4√33,∴V E-BCD =13×S △BDE ×EC=13×12×2√2×2√63×4√33=169.2.(2018年辽宁大连高三上学期期末)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点,AB=BC.证明: (1)BC 1∥平面A 1CD.(2)1EC ⊥平面ACC 1A 1.如图,连接AC 1,交A 1C 于点O ,连接DO ,则O 是AC 1的中点.因为D 是AB 的中点,所以OD ∥BC 1. 因为OD ⊂平面A 1CD ,BC 1⊄平面A 1CD , 所以BC 1∥平面A 1CD.(2)取AC 的中点F ,连接EO ,OF ,FB ,因为O 是AC 1的中点,所以OF ∥AA 1且OF=12AA 1.显然BE ∥AA 1,且BE=12AA 1,所以OF ∥BE 且OF=BE.则四边形BEOF 是平行四边形,所以EO ∥BF.因为AB=BC ,所以BF ⊥AC.又BF ⊥CC 1,AC ∩CC 1=C , 所以直线BF ⊥平面ACC 1A 1.因为EO ∥BF ,所以EO ⊥平面ACC 1A 1.因为EO ⊂平面A 1EC ,所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.3.(四川省德阳市2018届高三二诊考试)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD ⊥平面ABCD ,PD=AD=2,点E 、F 分别为AB 、PD 的中点.(1)求证:直线AF ∥平面PEC ; (2)求点A 到平面PEC 的距离.取PC 的中点Q ,连接EQ ,FQ ,由题意知,FQ ∥DC 且FQ=12CD ,AE ∥CD 且AE=12CD ,故AE ∥FQ 且AE=FQ ,所以四边形AEQF 为平行四边形. 所以AF ∥EQ.又EQ ⊂平面PEC ,AF ⊄平面PEC , 所以AF ∥平面PEC.(2)连接AC ,设点A 到平面PEC 的距离为d. 由题意知在△EBC 中,EC=√EB 2+BC 2-2EB ·BC ·cos∠EBC =√1+4+2×1×2×12=√7,在△PDE 中,PE=√PD 2+DE 2=√7,在△PDC 中,PC=√PD 2+CD 2=2√2,故EQ ⊥PC ,EQ=AF=√5,S △PEC =12×2√2×√5=√10,S △AEC =12×1×√3=√32,所以由V A-PEC =V P-AEC ,得13×√10·d=13×√32×2,解得d=√3010.4.(山东省枣庄市2018届高三第二次模拟考试)在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面SAB ⊥平面ABCD ,平面SAD ⊥平面ABCD ,且SA=2AD=3AB.(1)证明:SA ⊥平面ABCD ;(2)若E 为SC 的中点,三棱锥E-BCD 的体积为89,求四棱锥S-ABCD 外接球的表面积.由底面ABCD 为矩形,得BC ⊥AB ,SAB ⊥平面ABCD ,平面SAB ∩平面ABCD=AB ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面SAB ,所以BC ⊥SA.同理可得CD ⊥SA. 又BC ∩CD=C ,BC ⊂平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以SA ⊥平面ABCD.(2)设SA=6a ,则AB=2a ,AD=3a.V E-BCD =13×S △BCD ×h=13×(12×BC ×CD)×(12SA)=13×(12×2a ×3a)×(3a )=3a 3.又V E-BCD =89,所以3a 3=89,解得a=23.四棱锥S-ABCD 的外接球是以AB ,AD ,AS 为棱的长方体的外接球,设其半径为R ,则2R=√AB 2+AD 2+AS 2=7a=143,即R=73,所以四棱锥S-ABCD 外接球的表面积为4πR 2=196π9.。
怎样安排高中《立体几何》复习计划(授课以及相应训练)
怎样安排高中《立体几何》复习计划（授课以及相应训练）复习的几点建议一、教学课时分配建议第一课时空间几何体的结构特征及三视图和直观图第二课时空间几何体的表面积与体积第三课时平面基本性质及两直线的位置关系第四课时空间直角坐标系和空间向量及其运算第五课时空间中的平行关系（一）第六课时空间中的平行关系（二）第七课时空间中的垂直关系（一）第八课时空间中的垂直关系（二）第九课时空间向量应用（一）——位置关系的向量解法第十课时空间向量应用（二）——空间角第十一课时空间向量应用（三）——空间角•二. 立体几何复习应突出什么样的数学思维特征？•内容设置（理念变化）1.《大纲》从直线、平面到简单几何体，即从局部到整体展开几何内容的方式不同.《标准》按整体到局部的视角来展开几何内容，即从空间几何体出发到点、线、面之间的位置关系.符合学生学习几何的一般认知规律，有助于培养几何直观能力• 2. 在研究线面、面面平行和垂直的位置关系中，与《大纲》从线面、面面出发分别研究平行和垂直的处理方式有所不同，《标准》中以平行和垂直为两条主线，先研究线线、线面、面面平行，再研究线面、面面垂直.这样处理既突出平行和垂直两种基本位置关系，又突破《大纲》中线面、面面关系自成体系的格局，使二者之间自然、有机地联系起来，易于实现线线、线面位置关系之间的互相转化，形成知识之间的实质性联系，最终使学生形成较系统的知识结构.• 3.与《大纲》相比，《标准》在立体几何初步中删减的主要是度量关系方面的内容. 线线、线面、面面之间的角以及三垂线定理和逆定理在立体几何初步中未涉及，而放在选修系列2 中用向量方法解决. 主要目的在于使学生体味向量法解决几何问题的基本思想；突出用向量方法解决几何问题.(适度逻辑推理，突出向量方法)其次，删减了异面直线的距离、点到平面的距离、平行平面间的距离. 可见立体几何内容的删减辐度较大。
几何体及构成几何体的元素之间的关系：位置关系(平行、垂直、等)及其数量关系（几何体的度量：长度、面积、体积）三、典型例题分析（一）.基础知识、概念1. 空间中的直线与平面（1）平面的基本性质.例1. 对于平面M、直线a、点P，已知P∈a，P∈M，则a和M的位置关系是C(A) a⊂M(B ) a∩M＝P(C) a⊂M或a∩M＝P(D) a⊄M（2）空间两直线的位置关系.例2. 有三个图形：(1)两条平行线，(2)一个四边形，它的两个相邻的内角分别是60度角和120度角(3)一个四边形，它的两条对角线成60度角.其中一定是平面图形的是C （A）（1）和（2）（B）（1）和（3）（C）（1）（D）（2）和（3）（3）空间直线及平面平行的概念、判定和性质例3. 对于直线a、b和平面M、N，判断下列各命题的正误.如果a∥b，那么a和任意一个过b的平面平行；(×)过不在a上的一点，可以有无数个平面与a平行；(√)过不在M内的一点，可以有无数条直线与M平行；(√)如果a∥M，那么a平行M内的无数条直线；(√)如果a∥M，那么a平行M内的任意一条直线；(×)例4. 对于直线a、b和平面M、N，判断下列各命题的正误.如果a∥b，那么分别经过a和b的两个平面平行；(×)过不在M内的一点，可以有无数个平面与M平行；(×)过不在M内的一条直线，一定有一个平面与M平行；(×)如果N∥M，那么N内的任意一条直线平行M内的无数条直线；(√)如果N∥M，那么N平行M内的任意一条直线；(√)（3）空间直线及平面垂直的概念、判定和性质例5. 对于直线l、m、n和平面α、β，判断下列各命题的正误.如果m⊥α，m∥n，那么n和α内的任意一条直线垂直；(√)过空间中一点，有且只有一个平面与m垂直；(√)过不在α上的一点，可以有无数条直线与α垂直；(×)如果m⊥α，n∥α，那么m垂直于过n的每个平面；(×)如果m⊥α，那么m垂直于α内的任意一条直线；(√)例6. 对于直线m、n和平面α、β，判断下列各命题的正误.如果m⊥n，那么分别经过m和n的两个平面垂直；(×)过空间中的一点，可以有无数个平面与α垂直；(√)过不在α上的一条直线，一定有一个平面与α垂直；(√)如果β⊥α，那么β内的任意一条直线与平面α垂直；(×)如果β⊥α，那么过β内任意一点，垂直于交线的直线与平面α垂直；(√)（二）. 空间直线、平面平行、垂直的判定及性质的应用1.定理应用例7.如图，已知：等腰△ABC与等腰△DBC有公共底边但不在同一个平面内，O、E、F分别是BC、BD、CD的中点.求证：平面AEF ⊥平面AOD .2.用向量方法证明直线、平面垂直或平行例8．如图，已知：E 是正方体ABCD -1111A B C D 中11A B 的中点.求证：平面AC 1D ⊥平面AE 1D .例9（2009浙江）（三）. 求空间中成角常用方法例10（2009天津卷）（四）. 柱、锥、台、球的概念和表面积、体积公式的应用例11. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q分别在侧棱AA 1和CC 1上如图，AP =C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为 （ B ） A ．2V B ．3V C ．4V D ．5V 例12. (2009辽宁卷)正六棱锥P-ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D-GAC 与三棱锥P-GAC 体积之比为（ C ）（A ）1：1 （B ）1：2 （C ）2：1 （D ）3：2例13．（2008江西卷）如图，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 BD ．(写出所有真命题的代号) ．（五）.加强对新增内容的复习——三视图（平行投影，正投影）例14．（2009广东卷）例15．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(C ).A.2π+B. 4π+C. 23π+D. 43π+例16． 一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）. (Ⅰ)求证：MN ∥平面CDEF ；(Ⅱ)求多面体A —CDEF 的体积．P1Ax三视图直观图E N MF D CB A例17．已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形，且31=AA ，设D 为1AA 的中点.(Ⅰ)作出该几何体的直观图并求其体积；(Ⅱ)求证：平面⊥C C BB 11平面1BDC ；(Ⅲ)BC 边上是否存在点P ，使//AP 平面1BDC ？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论.。
垂直教学设计反思
垂直教学设计反思在教育领域，教学设计是一项至关重要的工作。
它涉及到教师需要准备和组织的各种教学材料、活动和资源。
垂直教学设计是一种教学方法，旨在提高学生的学习效果和表现。
然而，垂直教学设计在实践中可能遇到一些挑战和问题。
本文将从几个方面对垂直教学设计进行反思，并提出改进的建议。
首先，垂直教学设计的核心是将课程内容根据学生的学习需求进行划分，以便更好地满足他们的需求。
然而，在实践中，有时教师可能会忽视一些学生的个别差异。
这可能导致某些学生无法跟上教学进度，从而影响他们的学习效果。
因此，在设计垂直教学计划时，教师应充分考虑学生的学习差异，并提供个性化的学习支持。
其次，在垂直教学设计中，评估和反馈也是至关重要的一环。
评估可以帮助教师了解学生的学习进展和理解程度，从而对教学方法和内容进行适当的调整。
然而，在实践中，有时教师可能只关注学生的成绩，而忽视了他们的学习过程和发展。
这可能导致学生只关注取得好成绩，而忽视了知识的深入理解。
因此，在垂直教学设计中，教师应注重学生的全面发展，并提供有针对性的反馈，以促进他们的学习和成长。
另外，垂直教学设计还需要有很好的教学资源和教学活动的支持。
然而，在一些学校和地区，教师可能面临资源匮乏的问题，这给教学设计带来了一定的困难。
缺乏资源可能会限制教师的教学创新和发展。
因此，教育机构和政府应该提供充足的资源支持，以帮助教师更好地进行垂直教学设计。
此外，教师的专业发展也是垂直教学设计的重要因素。
垂直教学设计需要教师掌握一定的教学技能和知识。
然而，有些教师可能缺乏必要的培训和支持，导致他们无法充分发挥垂直教学设计的潜力。
因此，教育机构应该加强对教师的培训和支持，帮助他们不断提高自己的教学水平和能力。
综上所述，垂直教学设计是一种有潜力提高学生学习效果和表现的教学方法。
然而，在实践中，我们需要认识到垂直教学设计可能面临的挑战和问题，并采取相应的措施加以改进。
教师应充分考虑学生的学习差异，注重个性化学习支持；注重学生的全面发展，并提供有针对性的评估和反馈；提供充足的教学资源和活动支持；加强教师的专业发展培训和支持。
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《立体几何中的垂直关系》复习课的教学设计与反思一、教学内容解析 垂直关系是直线与平面间的一种特殊位置关系，它是点、线、面位置关系中的核心概念之一。近几年的高考中都出现了有关证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的内容，所以本节复习课更要以高考的要求让学生掌握证明的思路、格式及书写的规范，能把定义、定理用三种语言灵活表达出来是基础，线线、线面、面面垂直的相互转化是解决有关问题的关键。二、学习目标解析1．识记直线、平面垂直的定义、定理，能准确的用图形语言和符号语言表达；2．理解线线、线面、面面垂直的相互转化；3．能运用有关定理或性质证明直线、平面间有关垂直的问题。三、教学方法与学法解析 1、教学方法：本节课是高三第一轮复习中的《立体几何中的垂直关系》，重点是构建空间中三种垂直关系的知识网络，打通相互间的联系，提升转化与化归的能力。2、教学手段：利用多媒体和导学案，导学案把大容量的信息提前呈现给学生，让学生提前思考，培养学生自学能力；多媒体演示使空间图形更加直观；利用黑板适当的板书弥补导学案在即时信息，反馈和信息的储存方面的不足。 3、学法指导：根据高三学生已具备了一定分析问题、解决问题的能力和积极参与意识，自主探索意识，由本节课的内容特点及学生已有的知识、能力、情感等因素定为问题探究式学法。四、教学过程设计（一）构建知识网络直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直
laα问题1：请把下面四个定理用文字语言、图形语言、符号语言表示出来。文字语言图形语言符号语言
线面垂直判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
⇒l⊥α0abablalb
线面垂直性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.Error!⇒a∥b
面面垂直判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
Error!⇒α⊥β
面面垂直性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.Error!⇒l⊥α
问题2：线线垂直、线面垂直、面面垂直之间有什么联系？又是通过什么进行联系的？3
设计意图：准确地把直线、平面垂直的定义、定理用文字语言、图形语言和符号语言表达出来，通过对它们的分析找到相互之间的联系，构建出垂直关系的知识网络。师生活动：1. 让学生把四个定理用文字语言、图形语言、符号语言表示出来，通过学生板书或投影进行批改；2. 提问：线线垂直、线面垂直、面面垂直之间有什么联系？引导学生分析相互之间的关系，让学生体验构建知识网络的过程。 （二）典例解析例1.证明线面垂直判定定理即：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.已知：直线，，求证：l⊥.a⊂α,b⊂αa∩b=P,l⊥a,l⊥bα
证明：设c是平面α内任意一条直线，则只需证l⊥c，设直线a，b，c，l的方向向量分别是，a，b，c，l∵a⋂b=p
Pab
l
c∴a与b不共线，直线a,b，c，在同一平面α内，根据平面向量基本定理存在实数λ，μ使得 ，c=λa+μb
则 ，l∙c=λ(l∙a)+μ(l∙b)
，∵l⊥a,l⊥b
，∴l∙a=0,l∙b=0
∴ ，即l⊥c ， ∴l∙c=0
所以直线l垂直于平面α。
设计意图：通过证明深入理解垂直的核心定理，通过证明方法沟通不同知识板块的联系，提升综合能力；师生活动：1.找出命题的条件与结论；2.用图形语言和符号语言表示定理的条件和结论； 3.引导学生引入空间向量来证明。例2. 【2017江苏15 题改编】 如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD. 求证： AD⊥AC
证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD， 平面BCD，BC，∴平面.BCBDBCABD
∵平面，∴.ADABDBCAD又∵AB⊥AD，BC∩AB=B，平面ABC，平面ABC，ABBC∴AD⊥平面ABC，又∵AC平面ABC，∴AD⊥AC.5
设计意图：学习线线、线面、面面垂直的相互转化的方法；师生活动：1.引导学生由结论找判定定理，从已知条件找性质定理；2.学生完成证明，检查书写是否准确；例 3． 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.
证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 设计意图：理解线面垂直与线线垂直的转换，学会用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的问题。师生活动：1.若学生证明有困难可分析证明思路：由结论出发，选择结论成立时的可能用到的定理，再寻找定理中的条件是否已具备，不具备的条件需要进一步证明。2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.引导学生对判定定理与性质定理的进行合理转化 .3.提问：平面内证明两直线垂直的方法有哪些？（三）课堂小结问题：在解决直线、平面垂直的有关问题时怎样利用线线、线面、面面垂直的相互转化关系去寻找证明思路？在书写时要注意些什么？设计意图：1.回顾本节的内容和方法，构建知识网络中的一节点。2.由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。3. 明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得 出相应结论。师生活动：学生回答，老师整理。（四）变式练习1.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.90BAPCDP
o
证明： 平面PAB⊥平面PAD.
2.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB.证明:(1)∵在菱形ABCD中,G为AD的中点,∠DAB=60°,∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADI平面ABCD=AD,∴BG⊥平面PAD.(2)连接PG,如图,∵△PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD,PGIBG=G,∴AD⊥平面PGB,∵PB平面PGB,∴AD⊥PB.3.如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E；
证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①，②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.五、教学反思1.复习课要注重构建知识网络更要加强核心素养的培养 以往复习课是从罗列知识点开始，再讲例题，再做练习，这样做不能适应现在高考对能力考查的要求。高考命题的要求已经从知识立意转为能力立意，这就要培养学生基础知识和基本技能的过程中，强化对学生能力的培养，在高考备考时注重提升学生的数学核心素养。让学生把垂直关系中的几个定理的三种语言相互表述，目的是让学生通过亲自的体验，理解定理的同时构建垂直关系的知识网络，提升数学抽象的能力。通过引导学生探讨线线、线面、面面垂直关系的相互转化，提升转化与化归的能力，培养逻辑推理能力。在教学过程中应该尽可能由学生独立完成，通过学生板演，提问等方法了解学生中存在的问题，再进行引导，从而构建垂直关系的知识网络，切不可为快速进入解题环节而直接展示垂直关系的知识网络。2.复习课也可进行定理的证明定理的证明一般是在新课学习过程中进行证明，但线面垂直的定理用一般方法证明比较繁琐，用向量证明方法就比较简单，而学生在学习这块内容时又没学习向量，所以课本并没有证明这个定理。在复习课时，学生已具备证明所需知识，通过证明不仅体现了数学所有定理均需证明的严谨性，进一步理解线面垂直的判定定理，也是沟通数学不同知识板块的联系，形成知识网络的重要途径。本节课在例1中证明线面垂直的判定定理，通过学生的探究，老师的引导，基本上能想到用向量法证明本定理，但有些学生学不能在“实际问题—空间向量—向量运算—实际问题”间进行转化，说明用数学工具解决数学问题实际问题的能力还要加强。