安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考数学理试题 Word版含答案
安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2017-2018学年高一上学期入学考试数学试题
安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.中国海军第一艘国产航母001A 型航母在2017年4月26日下水，该航母的飞行甲板长约300米，宽约70米，总面积约21000平方米，将21000用科学记数法表示应为（ ）A ．50.2110⨯B ．42.110⨯C ．32110⨯D ．52.110⨯2.下列整式计算的结果为6a 是（ ）A ．33a a +B ．122a a +C ．23()aD ．24()a 3.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5是指（ ）A ．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次B ．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次C.抛掷2n 次硬币，恰好有n 次“正面朝上”D ．抛掷n 次，当n 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.55.分式11x --可变形为（ ） A ．11x -- B ．11x + C. 11x -+ D ．11x -6.不等式12x +≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C.D ． 7.已知实数755+的小数部分为a ，575-的小数部分为b ，则57a b +的值为（ ） A ． 4 B ．5 C. 6 D ．78.在抛物线223y ax ax a =--上有1(0.5,)A y -、2(2,)B y 、3(3,)C y 三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则1y 、2y 和3y 的大小关系为（ ）A ．312y y y <<B ．321y y y << C. 213y y y << D ．123y y y <<9.如图，在矩形ABCD 中，AB a =，AD b =，分别延长AB 至点E ，AD 至F ，使得()AF AE c b a c ==<<，连接EF ，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则AMN ∆的面积为（ ）A ．1()2c a b c +-B ．1()2c b c a +- C. 1()2c a c b +- D ．1()2a b c a +- 10.挑棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走，如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走（ ）A ．②号棒B ．⑦号棒 C.⑩号棒 D ．⑧号棒二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11.分解因式：224ax ay -= ．12.已知集合{||2|3}A x R x =∈+<，集合{|()(2)0}B x R x m x =∈--<，且(1,)AB n =-，则m = ，n = ．13.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，以点A 为圆心，AB 长为半径画圆弧交边DC 于点E ，则BE 的长度为 ．14.如图，,AD AE 分别是ABC ∆的中线和交平分线，2AC =，5AB =，过点C 作CF AE ⊥于F ，连接DF ，有下列结论：①若将ACF ∆沿直线AE 折叠，则点C 恰好落在AB 上；②327AD <<；③若30B ∠=，15FCE ∠=，则55ACB ∠=；④若ABC ∆的面积为S ，则DFC ∆的面积为320S ． 其中正确的结论是 ．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题 （本大题共4小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.计算：01112cos 45(1)()42π--++. 16.已知函数2()426f x x ax a =+++.（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求a 的值；（2）若函数()f x 的函数值均为非负数，求()2|3|g a a a =-+的值域.17. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -.（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；（2）将ABC ∆绕着点B 顺时针旋转90后得到22A BC ∆，请在图中画出22A BC ∆，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）.18. 如图，在楼房AB 和塔CD 之间有一棵树EF ，从楼顶A 处经过树顶E 点恰好看到塔的底部D 点，且俯角α为45，从距离楼底B 点1米的P 点处经过树顶E 点恰好看到塔的顶部C 点，且仰角β为30，已知树高6EF =米，求塔CD 的高度.（结果保留根号）四、（本大题共2小题，每题6分，满分12分）19.在反比例函数6(0)y x x =>的函数图像上有点1231,,,,,n n P P P P P +，过点1231,,,,,n n P P P P P +分别作x 轴，y 轴的垂线段，构成若干个矩形，将图形中阴影部分面积从左至右依次记为123,,,,n S S S S .（1）若点1234,,,P P P P 的横坐标依次为1,2,3,4，则1S = ，2S = ，3S = ；（2）若点1231,,,,,n n P P P P P +的横坐标依次为2,4,6，…，则9S = ； 若点1231,,,,,n n P P P P P +的横坐标依次为,2,3,a a a ，则n S = .20.如图，圆O 与直线l 相离，OA l ⊥于点A ，OA 交圆O 于点C ，过点A 作圆O 的切线AB ，切点为B ，连接BC 交直线l 于点D .（1）求证：AB AD =；（2）若tan 2OCB ∠=，圆O 的半径为3，求BD 的长.五、（本大题共1小题，每题10分，满分10分）21.已知抛物线21222y x mx m =+--与x 轴交于,A B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点C . （1）当1m =时，求点A 和点B 的坐标；（2）抛物线上有一点(1,)D n -，若ACD ∆的面积为5，求m 的值；（3）P 为抛物线上,A B 之间一点（不包含,A B ），PM x ⊥轴于点M ，求AM BM PM•的值. 六、（本大题共1小题，每题12分，满分12分）22.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知8AB =.问题思考：如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以,AP BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE .（1）在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果是请求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.（2）分别连接,,AD DF AF ，AF 交DP 于点K ，当点P 运动时，在APK ∆、ADK ∆、DFK ∆中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点,P Q 在正方形ABCD 的边上运动，且8PQ =，若点P 从点A 出发，沿A B C D →→→的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长.（4）如图3，在“问题思考”中，若点,M N 是线段AB 上的两点，且1AM BM ==，点,G H 分别是边,CD EF 的中点，请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM OB +的最小值.安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题答案一、选择题1-5 B C A D D 6-10 D B A A C二、填空题11. )2)(2(y x y x a -+ 12.－1,1 13.π32 14. ①②④ 三、计算15.223+ 16.（1）－1或1.5 （2） g （a ）的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,419- 17.（1）略 （2）π413 18. 米)326(+ 四、 19.（1）3 121 （2） 151 （3） )1(6+n n 20.（1）证明：连接OB ，∵AB 是圆O 的切线，OA l ⊥，∴90OBA OAD ∠=∠=，又OB OC =，∴OBC COB ACD ∠=∠=∠，∴ADB ABD ∠=∠，∴AB AD =（2）∵tan tan 2AD OCB ACD AC ∠=∠==， 圆O 的半径为3，设AC a =，则2AB AD a ==，在Rt AOB ∆中，222OA AB OB =+，∴222(3)(2)3a a +=+，∴2a =过点A 作AE BD ⊥，则5BD BE ==，∴BD = 五、（1）∵m ＝1，∴ y ＝12x 2＋x －4． 当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0， 解之，得x 1＝﹣4，x 2＝2．∴A （﹣4，0），B （2，0）；（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．当y ＝0时，12x 2＋mx －2m －2＝0， ∴(x －2)(x ＋2m ＋2)＝0，x 1＝2，x 2＝﹣2m －2．∴点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），C （0，﹣2m －2）．∴OA ＝OC ＝2m ＋2，∴∠OAC ＝45°．∵D （﹣1，n ），∴OE ＝1，∴AE ＝EF ＝2m ＋1．又∵n ＝﹣3m －32， ∴DE ＝3m ＋32， ∴DF ＝3m ＋32－(2m ＋1)＝m ＋12． 又∵S △ACD ＝12DF ·AO ． ∴12(m ＋12)(2m ＋2)＝5． 2m 2＋3m －9＝0，(2m －3)(m ＋3)＝0，（3）点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），点B 的坐标为：（2，0）．设点P 的坐标为（p ，q ）．则AM ＝p ＋2m ＋2，BM ＝2－p ．AM ·BM ＝(p ＋2m ＋2)( 2－p )＝﹣p 2－2mp ＋4m ＋4．PM ＝﹣q ．因为，点P 在抛物线上，所以，q ＝12p 2＋mp －2m －2． 所以，AM ·BM ＝2 PM ．即，AM ·BM PM ＝2． 六、21.（1）不是定值，最小值32（2）存在设AP a =，则8PB BF a ==-，∵//PE BF ， ∴PK AP BF AB =，即88PK a a =-， ∴(8)8a a PK -=， ∴2(8)88a a a DK PD PK a -=-=-= ∴21(8)216APK a a S PK PA ∆-=•=，21(8)216DFK a a S DK EF ∆-=•=， ∴DFK APK S S ∆∆=（3）当点P 从点A 出发，沿A B C D →→→的线路，向点D 运动时，不妨设点Q 在DA 边上， 若点P 在点A ，点Q 在点D ，此时PQ 的中点O 即为DA 边的中点，若点Q 在DA 边上，且不在点D ，则点P 在AB 上，且不在点A ，此时，在Rt APQ ∆中，O 为PQ 的中点，所以142AO PQ ==， 所以点O 在以A 为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上，PQ 的中点O 所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如图所示，所以PQ 的中点O 所经过的路径的长为32464ππ⨯⨯=， （4）点O 所经过的路径的长为3，OM OB +113安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题答案一、选择题1-5 B C A D D 6-10 D B A A C三、填空题12. )2)(2(y x y x a -+ 12.－1,1 13.π32 14. ①②④ 四、计算 16.223+ 16.（1）－1或1.5 （2） g （a ）的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,419- 17.（1）略 （2）π413 18. 米)326(+ 四、 22.（1）3 121 （2） 151 （3） )1(6+n n 23.（1）略 （2）5516 五、（1）∵m ＝1，∴ y ＝12 x 2＋x －4． 当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0，解之，得x 1＝﹣4，x 2＝2．∴A （﹣4，0），B （2，0）；……………………………3分（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．当y ＝0时，12x 2＋mx －2m －2＝0， ∴(x －2)(x ＋2m ＋2)＝0，x 1＝2，x 2＝﹣2m －2．∴点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），C （0，﹣2m －2）．……………………………4分 ∴OA ＝OC ＝2m ＋2，∴∠OAC ＝45°．∵D （﹣1，n ），∴OE ＝1，∴AE ＝EF ＝2m ＋1．又∵n ＝﹣3m －32， ∴DE ＝3m ＋32， ∴DF ＝3m ＋32－(2m ＋1)＝m ＋12．……………………………6分 又∵S △ACD ＝12DF ·AO ． ∴12(m ＋12)(2m ＋2)＝5． 2m 2＋3m －9＝0，(2m －3)(m ＋3)＝0，分（3）点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），点B 的坐标为：（2，0）．设点P 的坐标为（p ，q ）．则AM ＝p ＋2m ＋2，BM ＝2－p ．AM ·BM ＝(p ＋2m ＋2)( 2－p )＝﹣p 2－2mp ＋4m ＋4．……………………………10分 PM ＝﹣q ．因为，点P 在抛物线上，所以，q ＝12 p 2＋mp －2m －2．所以，AM ·BM ＝2 PM ．即，AM ·BM PM ＝2．……………………………12分 六、24.（1）不是定值，最小值32（2）存在DFK APK DFK APK S S a a EF DK S a a PA PK S a a a a PK PD DK a a PK a a PK AB AP BF PK BFPE aBF PB a AP ∆∆∆∆=∴-=⋅=-=⋅=∴=--=-=∴-=∴=-=∴-===16)8(21,16)8(2188)8(8)8(888222，即，则设。
安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学(文)试题Word版含答案
安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{M x =∈R 2||}x x =，{1,0,1}N =-，则M N =( )A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设z =1i1i +-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=( ) A ．1- B ．i C ．1D ．43． 钝角三角形ABC 的面积是1，且AB = AC = 2，则BC =( )A ．B ．C ．1D 1 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =( )A ．23B ．32C ．35D ． 385．将函数x y cos =的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y =sin ()6x π-的图象，则ϕ等于( ) A ．6π B ．56πC ． 34πD ．35π6．两个非零向量,a b 满足||||2||+=-=a b a b a ，则向量b 与-a b 夹角为( )A. 56πB. 6πC. 23π D. 3π7．某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )A ．25 B ．12 C ．34 D ．56 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．38π B ．4π C ．524π D ．724π（第8题图） （第10题图）9．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=,＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的弦长为a 3，则双曲线的离心率为( )A．3B ．73CD ．55 10．执行如图所示的程序框图，若输出的p 的值等于11，那么输入的N 的值可以是( )A ．121B ．120C ．11D ．10 11．下列命题是假命题．．．的是( ) A ．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若用分层抽样的方法抽出一个容量为30的样本，则一般职员应抽出18人B ．用独立性检验（2×2列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量K 2的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大C ．已知向量a (1,2)x =-，b (2,1)=，则2->x 是0⋅>a b 的必要条件D ．若()()12321-222++=++y x y x ，则点),(y x M 的轨迹为抛物线12．若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数x xx a x g -=2cos 2sin 2)(的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为()A ．(,[2,)-∞+∞B ．112⎡-⎢⎣⎦，C ．21⎛⎡⎤--∞+∞ ⎢⎥ ⎝⎦⎣⎦，D ．1⎤⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足不等式组1030,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪∈⎩N ，则2x y -的所有值构成的集合中元素个数为____个．14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称A轴的方向射出．今有抛物线22y px =（0p >），如图，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后又射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为．（第14题图） （第16题图）15．已知等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，且对任意的n ∈N *，都有12n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为______________． 16．如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P 到点B 的距离始终等于P 在三棱锥表面形成的曲线的长度为_____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）已知函数tx x f -=1)(，且方程0)cos 3()(sin =+B f B f 有解，求实数t 的取值范围．18．(本小题满分12分)詹姆斯·哈登（James Harden ）是美国NBA 当红球星，自2012年10月加盟休斯顿火箭队以来，逐渐成长为球队的领袖．2017-18赛季哈登当选常规赛（Ⅰ）根据表中数据，求y 关于t 的线性回归方程a t b y ˆˆ+=（110t ≤≤，t ∈N ）；（Ⅱ）根据线性回归方程预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分．【附】对于一组数据1122(,),(,),(,)n n t y t y t y ，其回归直线a t b yˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为：∑∑==---=ni ini i it ty y t tb121)())((ˆ，t b y aˆˆ-=． (参考数据:6.17))((61=--∑=i i iy y t t，计算结果保留小数点后一位）19、(本小题满分12分)如图，ABCD 为矩形，点A 、E 、B 、F 共面，且ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且BAE AFB ∠=∠=90°．（Ⅰ）若平面ABCD ⊥平面AEBF ，证明平面 BCF ⊥平面ADF ；（Ⅱ）问在线段EC 上是否存在一点G ，使得 BG ∥平面CDF ，若存在，求出此时三棱锥G-ABE 与三棱锥G-ADF 的体积之比．20．(本小题满分12分)已知函数()21xfx e x a x =---．（Ⅰ）若f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的范围；（Ⅱ）设函数()()3x g x xf x e x x =-++，若()g x 至多有一个极值点，求a 的取值集合．21．(本小题满分12分)如图，C 、D 是离心率为12的椭圆的左、右顶点，1F 、2F 是该椭圆的左、右焦点， A 、B 是直线x =-4上两个动点，连接AD 和BD ，它们分别与椭圆交于点E 、F 两点，且线段EF 恰好过椭圆的左焦点1F . 当EF CD⊥时，点E 恰为线段AD 的中点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-⎩（t 为参数，0απ<<）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（且两种坐标系取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为24sin cos θρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，若AB ≥16，求角α的取值范围．23．已知关于x 的函数()f x =|1|||x x m ++-．（Ⅰ）若()3f x ≥对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若关于x 的不等式2()2f m m x x -≥-的解集非空，求实数m 的取值范围．安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题（文）参考答案13、7 14、23y x = 15、136 162 17、解：（1）在ABC △中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．……………（2分） 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=，tan （4分）又因为A ………………………………（6分）（2）)(x f 的图像关于)0,(t 对称，由0)cos 3()(sin =+B f B f ，可得t B B 2c o s 3s i n =+，)3sin(π+=B t ，……………（9分）又ABC △为锐角三角形，所以24ππ<<B ，……………（10分）653127πππ<+<B ，426)3sin(21+<+<πB ，所以)426,21(+∈t ．………………………………（12分）18、解：（1）由题意可知：5.3=t ，……………（1分）9.27=y ，……………（2分）622222221()( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5i i t t =-=-+-+-+++=∑，……………（4分）∴0.15.176.17^==b ，………………………………（6分） 又4.245.30.19.27^^=⨯-=-=t b y a， ∴y 关于t 的线性回归方程为 1.024.4y t =+. （010t ≤≤，*t ∈N ）………（8分） （2）由（1)可得，年份代码8t =，……………（9分）此时 1.0824.432.4y =⨯+=，所以，可预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分为32.4. ………………………………（12分）19、证明：（1）∵ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，又∵平面ABCD ⊥平面AEBF ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD∩平面AEBF=AB ， ∴BC ⊥平面AEBF ， ……………（2分）又∵AF ⊂平面AEBF ，∴BC ⊥AF. ……………（3分） ∵∠AFB=90°，即AF ⊥BF ，且BC 、BF ⊂平面BCF ，BC∩BF=B ， ∴AF ⊥平面BCF. ……………（5分）又∵AF ⊂平面ADF ，∴平面ADF ⊥平面BCF. ………………………………（6分） （2）∵BC ∥AD ，AD ⊂平面ADF ，∴BC ∥平面ADF.∵ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且BAE AFB ∠=∠=90°， ∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF ∥BE ，又AF ⊂平面ADF ，∴BE ∥平面ADF ， ∵BC∩BE=B ，∴平面BCE ∥平面ADF.延长EB 到点H ，使得BH =AF ，又BC //AD ，连CH 、HF ，易证ABHF 是平行四边形， ∴HF //AB //CD ，∴HFDC 是平行四边形，∴CH ∥DF.过点B 作CH 的平行线，交EC 于点G ，即BG ∥CH ∥DF ，（DF ⊂平面CDF ） ∴BG ∥平面CDF ，即此点G 为所求的G 点. ………………………………（9分） 又22AF BH ==，∴EG=23EC ，又2ABE ABF S S ∆∆=， 2444433333G ABE C ABE C ABFD ABF B ADF G ADF V V V V V V ------=====， 故43G ABE G ADF V V --=..………………………………（12分） 20、解：(1)由02)('≥--=a x e x f x，……………（1分）得x e a x 2-≤， 令x e x h x 2)(-=，02)('=-=xe x h .……………（3分）得2ln =x ，当2ln <x 时，0)('<x h ，当2ln >x 时，0)('>x h ．故当2ln =x 时，2ln 22)2(ln )(min -==h x h ．2ln 22-≤∴a ．………………………………（6分） (2) x x e ax xe x g --=2)(，)2()('a e x x g x -=．……………（7分） 当0≤a 时，由0)(',0>>x g x 且0)(',0<<x g x ，故0是)(x g 唯一的极小值点；……………（9分）令,0)('=x g 得)2ln(,021a x x ==.当21=a 时，21x x =，0)('≥x g 恒成立，)(x g 无极值点．故⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∈210或a a a ．………………………………（12分）21. 解（1）∵当EF CD ⊥时，点E 恰为线段AD 的中点，∴4a c c +=-，又12c e a ==，联立解得：1c =，2a =，b =……………（3分）∴椭圆的方程为22143x y +=.………………………………（4分） （2）设EF 的方程为：1x my =-，E （11,x y ）、F （22,x y ），221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩联立得：22(34)690m y my +--= ∴22(6)36(34)0m m ∆=-++>，∴122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩……（*） ………………………………（6分）又设(4,)A A y -，由A 、E 、D 三点共线得11116623A y y y x my --==--，同理可得2263B y y my -=-. ……………（8分） ∴22121212221212122296236623()34346()6()696333()9393434A B mmy y my y y y m m y y m m my my m y y m y y m m m m -----++++=+=-=-=----++-+++∴1212221212122266||||18()333()9393434A B y y y y y y my my m y y m y y m m m m ----=-===---++-+++. ………………………………（10分）设AB 中点为M ，则M 坐标为（4,2A By y +-）即（4,-3m ）， ∴点M 到直线EF的距离211||||22A B d y y AB ===-=.故以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切. ………………………………（12分） 22. 解：（1）∵24sin cos θρθ=，∴2cos 4sin ρθθ=，∴22cos 4sin ρθρθ=，……………（2分）即24x y =. 故曲线C 的直角坐标方程为24x y =. ………………………………（4分） （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 中得 22cos4(1sin )t t αα=-，∴22cos 4sin 40t t αα⋅+⋅-=，由题意cos 0α≠，2212212216sin 16cos 164sin cos 4cos t t t t ααααα⎧⎪∆=+=⎪-⎪+=⎨⎪-⎪=⎪⎩……………（6分）∴1224||||16cos AB t t α=-===≥，……………（7分）∴21cos 4α≤，∴11cos 22α-≤≤且cos 0α≠， 又0απ<<，∴角α的取值范围为{|32ππαα≤<或2}23ππα<≤. ………………………………（10分）23. 解：（1）()|1||||1|3f x x x m m =++-≥+≥，∴13m +≥或13m +≤-， ∴2m ≥或4m ≤-.故m 的取值范围为(,4][2,)-∞-+∞. ………………………………（5分） （2）∵2()2f m m x x -≥-的解集非空，∴2min |1|2()m m x x +-≥-，∴1|1|24m m +≥-，……………（7分） ①当18m <时，1204m -<，1|1|24m m +≥-恒成立，即18m <均符合题意；②当18m ≥时，1204m -≥，10m +>，∴不等式1|1|24m m +≥-可化为1124m m +≥-，解之得1584m ≤≤.由①②得，实数m 的取值范围为5(,]4-∞. ………………………………（10分）。
2021届安徽省合肥一中等六校教育研究会高三上学期第一次素质测试数学(理)试题Word版含解析
2021届安徽省合肥一中等六校教育研究会上学期第一次素质测试高三数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{|14}M x x =-<<，{}2|log (2)1N x x =-<，则()U M C N ⋂=（ ）A.φB.{|42}x x -<≤C.{ |4<<3}x x -D.{|12}x x -<≤ 【答案】D【解析】解对数不等式求出集合N 的取值范围，然后由集合的基本运算得到答案。
【详解】由2log (2)1x -<得20x ->且22x -<，所以24x <<， 所以{}24U C N x x x =≤≥或，则()U M C N ⋂={|12}x x -<≤【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算，属于简单题。
2．已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ）A ．2i --B ．2i -C ．2i -+D ．2i +【答案】D【解析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由(2)z |34|5i i -=+=， 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若236,,a a a 成等比数列，则A.130,0a d dS >>B.130,0a d dS ><C.130,0a d dSD.130,0a d dS <<【答案】C【解析】由236,,a a a 成等比数列．可得2326a a a =，利用等差数列的通项公式可得（211125a d a d a d +=++）（）（） ，解出11020a d a d ＜，+= ．即可． 【详解】由236,,a a a 成等比数列．可得2326a a a =，可得（211125a d a d a d +=++）（）（），即2120a d d +=，∵公差d 不等于零， 11020a d a d ∴+=＜，．23133302dS d a d d ∴=+=（）＞． 故选：C ．【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题．4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为( )A 1B C D 【答案】A【解析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-，利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程，得到关于e 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：12PF PF ⊥，且2PF c =，又122PF PF a += 12PF a c ∴=-由勾股定理得：()222224220a c c c e e -+=⇒+-=，解得：1e =本题正确选项：A【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够结合椭圆定义和勾股定理建立起关于,a c 的齐次方程.5．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A ．23B ．43C ．13D ．213【答案】B 【解析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长22l=2r -PQ =225-13=43∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为43．故选：B ．6．某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。
【数学】安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三第二次联考试题(理)
安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三第二次联考数学试题（理）【参考答案】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分13. 14. －ln3 15. 2,33ππ 16. 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.解：(1)设数列{a n }公比为q ,由已知q >0,由题意得：{a 1+a 1q =3a 1q 2−a 1q =2得3q 2−5q −2=0，又q >0，解得q =2，a 1=1，则a n =2n−1 ………3分 设数列{b n }的公差为d ，由题意得：{b 1+2d =54b 1+6d =16解得b 1=1，d =2，则b n =2n −1 ………6分 (2)由(1)有|P n P n+1|=a n+1−a n =2n −2n−1=2n−1，|P n Q n |=b n =2n −1， 故c n =S ∆P n Q n P n+1=2n−1（2n−1）2………8分T n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n=12×1+1×3+2×5+⋯+(2n −1)2n−2 ① 2T n =1×1+2×3+4×5+⋯+(2n −1)2n−1 ② ○1-○2得-T n =12+2(1+2+⋯2n−2)−(2n −1)2n−1=12+2(1−2n−1)1−2−(2n −1)2n−1=(3−2n )2n−1−32故T n =(2n −3)2n−1+32 (n ∈N +) ………12分18.解：根据题意，以B 为原点，以BC ，BA ，BB ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0，0，0)，A (0，4，0)，A ′(0，4，4)，C (4，0，0)，C ′(4，0，4)，B ′(0，0，4)． (1)证明：设D (0，a ，0)(0≤a ≤4)，则E (4－a ，0，0)， 得B ′C →＝(4，0，－4)，C′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－4，a ，－4)， 故B ′C →·C ′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，有B ′C →⊥C ′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即总有B ′C ⊥C ′D . ………4分 (2) 解： V B−DB ′E =V B ′−DBE =13×12×a (4−a )×4=23a (4−a )≤23(a+4−a 2)2=83当且仅当a ＝2时，取等号，此时D (0，2，0)，E (2，0，0) ………6分则B ′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−4),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0),设面DB ′E 的法向量为n ⃗ , 由{B ′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n ⃗ =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n ⃗ =0可取n ⃗ =（2，2，1） 同理可得面A ′B ′E 的一个法向量m ⃗⃗ =（2，0，1） ………10分 由cos 〈n ⃗ ，m ⃗⃗ 〉=3×√5=√53易得二面角D-B ′E-A ′的余弦值为√53。
安徽省合肥一中、芜湖一中等六校教育研究会2017-2018学年高三第二次联考理数试题 Word版含解析
2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)1z i i -=+，则2016z =（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．i - 【答案】A考点：复数的运算. 2. 设非空集合P Q 、满足PQ P =，则（ ）A ．x Q ∀∈，有x P ∈B ．x Q ∀∉，有x P ∉C ．0x Q ∃∉，使得0x P ∈D ．0x P ∃∈，使得0x Q ∉ 【答案】B 【解析】 试题分析：因为P Q P =所以P Q ⊆所以x Q ∀∉，有x P ∉ 故答案选B考点：集合间的关系.3. 在等差数列{}n a 中，“13a a ”是“数列{}n a 是单调递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C考点：等差数列；的充分必要性.4.如图，网格纸上每个正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面中互相垂直的平面有（ ）对 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】试题分析：由三视图得几何体如图所示，AB AC ==，4BC =，4CD =，2BE =，CD ⊥面ABC ，//CD BE考点：三视图；平面与平面垂直的判定.5. 在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-，2BA BC ∙=，则ABC ∆的面积为（ ）A． 32C．．【答案】C 【解析】试题分析：因为cos 3cos cos b C a B c B =-由三角形的正弦定理得sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =- 即sin cos sin cos 3sin cos sin()3sin cos B C C B A B B C A B +=⇒+= 1sin 3sin cos cos 3A AB B ⇒==⇒=所以sin 3B ===由2cos 26BA BC AB BC B AB BC ∙=⇒⨯⨯=⇒⨯=11sin 622ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯= 故答案选C考点：正弦定理；数量积；三角形面积.6. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k 的值是6，则输入的整数0S 的可能值为（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．15【答案】C考点：程序框图的识别.7. 若抛物线2:2cos C y x A =（其中角A 为ABC ∆的一个内角）的准线过点2(,4)5，则2cos sin 2A A +的值为（ ）A ．825-B ．85C ．825D ．125- 【答案】A考点：抛物线；三角恒等变换.8. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，245,2,a a a +成等差数列，12a =，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，则104S S -=（ ） A ．1008 B ．2016 C ．2032 D ．4032 【答案】B 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q 因为245,2,a a a +成等差数列所以344252(2)2(22)22a a a q q q +=+⇒+=+ 因为0q >，解得2q =所以10102(12)204612S -==-，442(12)3012S -==- 1042046302016S S -=-=故答案选B考点：等比数列和等差数列.9. 已知点,A B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，点P 是双曲线C 上异于,A B 的另外一点，且ABP ∆是顶角为0120的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A 0y ±=B ．0x =C ．0x y ±=D 0y ±= 【答案】C考点：双曲线的性质.10. 如图，正方体1111ABCD A BC D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面积相交所得到的两段弧之和等于（ ） A ．56π B ．23π C ．π D ．76π【答案】A 【解析】试题分析：由球的性质知，圆弧GF 是以B 圆心，1为半径的圆上的一段弧，圆弧EF 是以A 圆心，2为半径的圆上的一段弧 因为GB BF ⊥，所以圆弧GF 长等于12142ππ⨯⨯⨯=考点：球截面.【方法点睛】解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．11. 已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）和函数()sin 2g x x π=，若()f x 与()g x 两图象只有3个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．19(,1)(1,)52 B ．19(0,)(1,)72 C ．11(,)(3,9)72 D ．11(,)(5,9)73【答案】D 【解析】试题分析：()f x 与()g x 的图像如图所示：当1a >时，()f x 与()g x 两图像只有3个交点，可得59a <<；当01a <<时，()f x 与()g x 两图像只有3个交点，可得1173a <<所以a 的取值范围是11(,)(5,9)73故答案选D考点：函数与方程；数形结合.【方法点睛】在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数()y f x =，()y g x =，即把方程写成()()f x g x =的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．12. 如图，在扇形OAB 中， 060AOB ∠=，C 为弧AB 上且与,A B 不重合的一个动点，且OC xOA yOB =+，若u x y λ=+（0λ>）存在最大值，则λ的取值范围为（ ）A．(1,3) B．1(,3)3C．1(,1)2D．1(,2)2【答案】D考点：平面向量的坐标运算；函数的性质；函数的零点.【方法点睛】解此题首先把已知条件坐标化，这是我们解决平面向量中最值问题的常用手段，其次在把问题转化为方程有解的问题，这个是解决这道问题的关键点，同时本题也极易忽略验证在函数零点处函数是不是取得最大值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 设221(32)a x x dx =-⎰，则二项式261()ax x-展开式中的第4项为 .【答案】31280x - 【解析】 试题分析：22322323211(32)()|(22)(11)4x x a x x dx x x ===-=-=---=⎰所以二项式261()ax x-即为二项式261(4)x x-，其展开式的通项2661231661(4)()4(1)r r r r rr r r T C x C x x---+=-=-令3r =所以363312333464(1)1280T C x x --⨯=-=-故答案为31280x - 考点：二项式.14. 若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且267n S n n =-++，则数列{}n a 的最大项的值为 . 【答案】12考点：数列的通项公式.15. 过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为 .【答案】910【解析】试题分析：由APB α∠=，则2OPA α∠=在Rt OAP ∆中，1sin OA OPA OP OP∠== 当OP 最大时，OPA ∠就最小，则APB α∠=也最小如图阴影部分为不等式组202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩表示的区域显然OE 两点的距离最大所以max OP OE ===此时sin OPA ∠=sin2α=由2cos 12sin 2αα=-所以29cos 110α=-=故答案为910考点：线性规划.【方法点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.16. 对于实数a 和b ，定义运算“*”： 22,*,a ab a ba b b ab a b⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，设()(21)*(1)f x x x =--，且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123xxx 的取值范围是 .【答案】13114816h -==(1)0h =所以1()016h t <<所以123x x x 的取值范围为故答案为 考点：新定义的函数问题；分段函数；函数与方程.【方法定睛】本题是一道新定义题，通过这道题发现，新定义问题并不神秘，表面上是没有见过的问题，但是只要理解了新定义并紧扣新定义，抓住新定义本质特征或隐含的规律，或抓住新定义运算法则或顺序，就可将其转化为我们熟悉的问题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 已知函数()2cos(2)2cos 13f x x x π=+-+.（1）试将函数()f x 化为()sin()(0)f x A x B ωϕω=++>的形式，并求该函数的对称中心； （2）若锐角ABC ∆中角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求bc的取值范围.【答案】（1）()2sin(2)16f x x π=-++，(,1)()122k k Z ππ-+∈；（2）1(,2)2.考点：三角函数解析式；对称中心；正弦定理. 18. （本小题满分12分）一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分. （1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到(*)n n N ∈分的概率. 【答案】（1）分布列略，152；（2）11[2()]32n+-.【解析】试题分析：（1）抛掷5次的得分ξ可能为5,6,7,8,9,10，且正面向上和反面向上的概率相等，都为12，所以得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===，即可得分布列和数学期望；（2）令n P 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次反面.，因为“不出现n 分”的概率是1n P -，“恰好得到1n -分”的概率是1n P -，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1112n n P P --=，即1212()323n n P P --=--，所以2{}3n P -是以121213236P -=-=-为首项，以12-为公比的等比数列，即求得恰好得到n 分的概率. 试题解析：（1）所抛5次得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===，其分布列如下105555115()22i i E iC ξ-===∑考点：等可能事件的概率；分布列和数学期望；“恰好”事件的概率. 19. （本小题满分12分）如图，高为3的直三棱柱111ABC A B C -中，底面是直三角形，2AC =，D 为11AC 的中点，F 在线段1AA 上，1CF DB ⊥，且11A F =.（1）求证：CF ⊥平面1B DF ；（2）求平面1B FC 与平面AFC 所成的锐角二面角的余弦值.【答案】（1）略；（2考点：直线与平面垂直的判定；空间二面角. 20. （本小题满分12分）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点00(,)A x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆221:12x C y +=和椭圆222:4x C y λ+=（1,λλ>为常数）.（1）如图（1），点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，求OCD 面积的最小值；（2）如图（2），过椭圆2C 上任意一点P 作1C 的两条切线PM 和PN ，切点分别为,M N ，当点P 在椭圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2；（2）存在，.（2）设(,)P m n ，则椭圆1C 在点33(,)M x y 处的切线为：3312x x y y += 又PM 过点(,)P m n ，所以3312x m y n +=，同理点44(,)N x y 也满足4412xm y n +=所以,M N 都在12x m yn +=上，即直线MN 的方程为12xm yn +=，又(,)P m n 在2C 上，224m n λ+=， 故原点O 到直线MN的距离为：d ==，所以直线MN 始终与圆221x y λ+=相切.考点：直线与椭圆的位置关系；定值问题；面积最值问题.【方法点睛】圆锥曲线中求最值常见的解法有两种：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. （本小题满分12分）已知()ln 1f x x x =-+()x R +∈，()1(0)g x mx m =->.（1）判断函数()y f x =的单调性，给出你的结论；（2）讨论函数()y f x =的图象与直线()1(0)g x mx m =->公共点的个数；（3）若数列{}n a 的各项均为正数，11a =，在2m =时，1()()2(*)n n n a f a g a n N +=++∈，求证：21n n a ≤-.【答案】（1）函数()y f x =在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数；（2）①当01m e <<-时，函数()y f x =的图象与直线()g x 有2个公共点；②当1m e =-时，函数()y f x =的图象与直线()g x 有1个公共点；③当1m e >-时，函数()y f x =的图象与直线()g x 有0个公共点；（3）略.（2）当0x >时，函数()y f x =的图象与直线()1(0)g x mx m =->公共点的个数等价于曲线ln 21x y x+=-与直线(0)y m m =>公共点的个数.令ln 2()1x h x x +=-，则'21ln ()x h x x +=-，所以'1()0h e =. 当1(0,)x e ∈时，'()0h x >，()h x 在1(0,)e 上是增函数；当1(,)x e ∈+∞时，'()0h x <，()h x 在1(,)e+∞上是减函数.所以，()h x 在(0,)+∞上的最大值为1()10h e e=->，且21()10h e =-<，224()10h e e=-<，考点：导函数的应用；函数的零点个数；函数与数列；数列与不等式.【方法点睛】与数列有关的不等式的常用的方法有：比较法(作差作商) 、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年的热点．这类题目技巧性比较强，需要平时一定量的训练与积累，在后续复习时应予以关注.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 的半径长为4，两条弦,AC BD 相交于点E ，若BD =BE DE >，E 为AC 的中点，AB =.（1）求证：AC 平分BCD ∠； （2）求ADB ∠的度数.【答案】（1）略；（2）030.（2）连接OA，由点A是弧BAD的中点，则OA BD⊥，设垂足为点F，则点F为弦BD的中点，BF=连接OB，则2OF===，∴21cos42OFAOBOB∠===，060AOB∠=.∴01302ADB AOB ∠=∠=.考点：三角形相似；有关圆的证明和计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（其中θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=. （1）分别写出曲线1C 与曲线2C 的普通方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求线段AB 的长.【答案】（1）221:143x y C +=，2:10C x y -+=；（2）247.（2）联立2210143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得27880x x +-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1287x x +=-，1287x x =-，于是1224|||7AB x x =-==.故线段AB 的长为247.考点：参数方程；极坐标方程；直线与圆锥曲线的位置关系. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-. （1）求不等式()2f x <；（2）若函数()()(1)g x f x f x =+-的最小值为a ，且(0,0)m n a m n +=>>，求2221m n m n+++的最小值. 【答案】（1）13(,)22-；（2. （2）由条件得()|21||23||21(23)|2g x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13[,]22x ∈时，其最小值2a =， 即2m n +=.又21121121()()(3)(3222n m m n m n m n m n +=++=++≥+，考点：绝对值不等式；基本不等式.。
安徽省合肥一中等六校教育研究会2021届高三上学期第一次联考数学文试题Word版含答案
②若 ，则当 时 ，当 时 ，所以函数 在 上递减，在 上递增，所以 ，又因为 ，所以不合题意.
综合得 .
13.某植树小组测量了一批新采购的树苗的高度，所得数据如茎叶图所示（单位: ),则这批树苗高度的中位数为．
14.从直线 上一动点出发的两条射线恰与圆 都相切，则这两条射线夹角的最大值为．
15.已知 中， 为边 上靠近 点的三等分点，连接 为线段 的中点，若 ，
则 ．
16.已知三棱锥 中， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 和函数的最小值（2）求函数 的单调递增区间.
18.已知数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足： ，求数列 的前 项和 .
19.一生物科研小组对升高温度的多少与某种细菌种群存活数量之间的关系进行分析研究，他们制作5 份相同的样本并编号1、2、3、4、5，分别记录它们同在 下升高不同的温度后的种群存活数量， 得到如下资料：
A． B． C． D．
3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.“ ”是“ 成立”的（)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
6.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
（2）由数据求得 ， ，则
，所以y关于x的线性回归方程为
（3）利用直线方程 ，可预测温度升高15℃时此种样本中细菌种群存活数量为
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安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题答案（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分13. 14. －ln 3 15. 2,33ππ三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.解：(1)设数列公比为,由已知,由题意得：得，又，解得，则 ………3分设数列的公差为，由题意得：解得，则 ………6分(2)由(1)有=，，故 ………8分+○1○2 ○1-○2得-=故 ………12分18.根据题意，以B 为原点，以BC ，BA ，BB ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0，0，0)，A (0，4，0)，A ′(0，4，4)，C (4，0，0)，C ′(4，0，4)，B ′(0，0，4)． (1)证明：设D (0，a ，0)，则E (4－a ，0，0)， 得B ′C →＝(4，0，－4)，＝(－4，a ，－4)，故B ′C →·＝0，有B ′C →⊥，即总有B ′C ⊥C ′D . ………4分(2)当且仅当a ＝2时，取等号，此时D (0，2，0)，E (2，0，0) ………6分 则,设面DB ′E 的法向量为,由可取同理可得面A ′B ′E 的一个法向量 ………10分由易得二面角D-B ′E-A ′的余弦值为。
………12分19.解：(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为，设Y 为三人中使用微信支付的人数，Z 为使用现金支付的人数，事件A 为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数”， 则P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且Z=0) == ………6分(2)由题意可知,故所求分布列为………10分 E(X)=………12分20. 解：由（1）222221y x x ya b =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2222244a b y a b =+ 2c e a ==，222212a b e a -== ,a c b ∴==………2分2c ==1b a =⎧⎪⎨=⎪⎩2212x y += ………5分 （2）设直线AB 的方程为2(0)y x m m =+≠由22212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2298220x mx m ++-= 226436(22)0m m ∆=-->，得29m <，()()3,00,3m ∴∈- ………7分设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则21212822,99m x x m x x -+=-=0004,299mx m y x m =-=+=200001222000281118116y y x y m k k x x x m +=+==+---288116m =-（0m ≠） ………10分 ()128,0,7k k ⎛⎫∴+∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ………12分21. 解：(1) ()()12x xf x e x e x '=+--, (1)2f e '=-(1)1f =-,所求切线方程为()21y e x e =-+- ………4分(2)令22()()()(1)210(0)x h x f x g x x a e x ax a x =-=---+-+>()(1)22()(2)x x x h x e x a e x a x a e '=+---+=--① 当0a ≤时，0x a ->，0ln 2x <<时，()0h x '<；ln 2x >时，()0h x '>()h x ∴在()0,ln 2上是减函数，在()ln 2,+∞上是增函数，22()(ln 2)(2ln 22)ln 22ln 280h x h a a ∴≥=-+--++>(ln 22)(ln 24)0a a ∴---+<，即ln 240a -<≤ ………7分② 当0ln 2a <<时，()h x 在()0,a 上是增函数，在(),ln 2a 上是减函数，在()ln 2,+∞上是增函数，要使()0h x >，则(ln 2)0(0)0h h >⎧⎨≥⎩，解得0ln 2a << ………9分③ 当ln 2a =时，()0h x '≥，()h x 在()0,+∞上是增函数，2(0)9ln 2ln 20h =-->，成立 ………10分④ 当ln 2a >时，()h x 在()0,ln 2上是增函数，在()ln 2,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数，要使()0h x >，则()0(0)0h a h >⎧⎨≥⎩，解得ln 2ln10a <<综上，实数a 的取值范围为()ln 24,ln10- ………12分22. 解：(1)由32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩，消去α，得()()22314x y -+-=将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=， 化简得26cos 2sin 6ρρθρθ--+ ………5分 (2) 由1sin 2cos θθρ-=，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即210x y -+=圆心()3,1C 到直线210x y -+=的距离d ==所以C 上点到直线的最大距离为2d r +=………10分 23.（1）222222n n n n n x m x n x m x x x m x m m ++-=++-+-≥++-≥+=+ 1,222nm m n ∴+≥+≥，2m n +的最小值为2 ………5分 （2）①当2x ≤-时，2235x x ---+>，得43x <-，2x ∴≤-②当322x -<<时，2235x x +-+>,得0x <，20x ∴-<<③当32x ≥时，2235x x ++->，得2x >，2x ∴>综上，不等式解集为()(),02,-∞+∞ ………10分。
2017-2018学年安徽省合肥八中、淮南二中等十校联考高三第一学期摸底数学试卷(理科)〖详解wor
百度文库一一让每个人平等地提升自我2021-2021学年安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联考高三第一学期摸底数学试卷〔理科〕、选择题：本大题共 12个小题,每题 5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只 有一项为哪一项符合题目要求的1. (5 分)设集合 A={x|x2 —4x+3<0}, B = {x|3x―6>0},那么 AAB=()A . (-2, 1)B. (-2, 3)C. (1, 2)D, (2, 3)2. (5分)i 是虚数单位,假设复数(1-mi) (1 + i)的实部与虚部相等,那么实数m=()A . - 1B. 0C. 1D. 23. (5分)向量□= (3, -2), b= (1, -4),假设向量4^+b 与a -止平行,那么实数 入中生有一颗类似芦苇的植物,露出水面一尺,假设把它引向岸边,正好与岸边齐〔如图所 示〕,问水有多深,该植物有多长？其中一丈为十尺.假设从该葭上随机取一点,那么该点取 自水下的概率为〔〕“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.〞其意思是：有一水池一丈见方,池 5. 〔5分〕?九章算术?勾股章有一 “引葭赴岸〞问题:那么 f (iog25)=()L1B.二(5分)函数 =3 x+0 ) (A>0, 3>.,假设将函数f 〔x 〕的图象向左平移 g-个单位,那么所得图象对应的函数可以为〔6. 102〔5分〕函数1+工 ,|X |<1,其中 a>0 且 awl,假设 f ( — 1) =f (2),7. 8. 〔5分〕执行如下图的程序框图,那么输出的〔5分〕假设实数x, yi 的值为〔C. 6击的最小值是〔D -1D. 79.10的图象如下图,»A • 尸-2si 门〔2x1 J ： 〕 B- 尸2sin ⑵।手 〕4冗 耳冗C.二 一 ,n ：二门,'D. 一「一 一 1 门 i 一 二H:—:10. 〔5分〕假设两个正实数 x, y 满足/L ■+ :=1,且 4+去-6冗恒成立,那么实数 m 的取值范围是〔 〕 A. 〔-8, 2〕 B.〔-巴 8〕 U 〔 2, +8〕 C. 〔-2, 8〕D. 〔-8, - 2〕 U 〔8, +8〕11. 〔5分〕在平面直角坐标系 xOy 中,点A 〔-1, 1〕在抛物线 C: x 2= ay 〔aw0〕上,抛 物线C 上异于点A 的两点P, Q 满足的二黑赢〔入<0〕,直线OP 与QA 交于点R, △ PQR 和△ PAR 的面积满足Sh PQR = 3S APAR ,那么点P 的横坐标为〔 〕 A.-4B. - 2C. 2D. 412. 〔5分〕函数f 〔x 〕 = 〔 1+ax+x 2〕 e x -x 2,假设存在正数x0,使得f〔x0〕< 0,那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. [e- 2, +8〕B, 〔-8, e- 2]C. [—-2,D. 〔-co,工-2]ee二、填空题〔每题 5分,,茜分20分,将答案填在做题纸上〕13. 〔5分〕在〔x-2〕 8 〔x+1〕的展开式中,x7的系数为 .〔用数字作答〕 14. 〔5分〕k 可-2, - 1],那么双曲线x 2+ky 2=1的离心率的取值范围是15. 〔5分〕某三棱锥的三视图如下图,那么该三棱锥的四个面中最大的面积为俯视图一*、一一、八一、、“一… ,,」a1,a2,…,an 〔nC N 〕满足 an+an+1 = an+2+an+3,就称该数列为相侧视图16. 〔5分〕假设有穷数列邻等和数列〞,各项都为正整数的数列 ｛an ｝是项数为8的“相邻等和数列〞 =8, a2+a3=9,那么满足条件的数列｛an ｝有 个.三、解做题〔本大题共 6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤 .〕17. 〔10分〕递增的等比数列 ｛an ｝和等差数列｛bn ｝,满足ai+a4=18, a2a3=32, b2是 ai 和a2的等差中项,且b3=a3- 3.〔I 〕求数列｛an ｝和｛bn ｝的通项公式;(I )求AC, CD 的长;[60, 70), [70, 80), [80, 90), [90 , 100]分组,得到如下图的频率分布直方图.〔I 〕假设同一组数据用该组区间的中点值代表,估计参加这次知识竞赛的学生的平均成 绩；〔n 〕估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数〔结果保存一位小数〕；〔出〕假设规定80分以上〔含80分〕为优秀,用频率估计概率,从全体参赛学生中随机 抽取3名,记其中成绩优秀的人数为E,求E 的分布列与期望.,且 ai+a2(□)假设 ,求数列｛Cn ｝的前n 项和Sn.18. (12 分)如图,在^ ABC 中,C= — 456,COS -ZADB=-Z -. 、J 5 ,不•西=48,点D 在BC 边上,且 AD =19. 〔12分〕2021年?诗词大会?火爆荧屏,某校为此举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国〞 的诗词知识竞赛,从参赛的全体学生中抽出60人的成绩作为样本.对这 60名学生的成绩进行统计,并按[40, 50〕, [50, 60〕, (n)求 cos/ BAD 的值.20. (12分)在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,AC=AB, PA ,平面 ABCD ,E, F 分别是AB, PD 的中点.(n)假设 AB=2AP=2,求平面PAD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值.21. (12分)椭圆Ci ：(a>b>O )的离心率为—,椭圆Ci 截直线y=x 所得的b 22弦长为织〞.过椭圆Ci 的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点 M,直线l 与圆C2： (x5-4) 2+y 2=r 2 (r>0)相切于点 N. (I )求椭圆C1的方程；(n)右AN=^MN ,求直线।的方程和圆C2的半径r. 22. (12 分)设函数 f(K )=-^^-+x-a+2(a6R) .(I)当曲线y = f (x)在点(1, f (, 1))处的切线与直线 y=x 垂直时,求a 的值; (n)假设函数尸(力二£(*)记一有两个零点,求实数 a 的取值范围.成绩(I )求证:AF//平面 PCE;4x2021-2021学年安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联考高三第一学期摸底数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .【解答】解：求解不等式可得：A={x|1<x<3}, B={x|x>2},A n B= {x|2v xv 3},写为区间的形式即(2, 3).应选：D.2 .【解答】解：♦「( 1-mi) (1 + i) = 1 + m+ (1 - m) i的实部与虚部相等,-- 1 + m= 1 - m,解得m=0.应选：B.3 .【解答］解：4 为+b=4 (3, — 2) + (1, — 4) = (13, —12),己一入b= (3—入,—2+4 X),;向量4a+b与0—北平行,13 (—2+4 A +12 (3— X) =0,解得上一工.4应选：C.4 .【解答】解：由题意知,函数f (x)的定义域为(-8, 0) U (0, +8),:•一_「,,.Jn Jk A L Jite -e e -e・♦・函数f (x)是偶函数,排除C、D;又f(l)二一排除B,e-e应选：A.5 .【解答】解：设水深为x尺,那么(x+1) 2=x2+52,解得x=12,即水深12尺.又葭长13尺,…_ 一一1 2那么所求概率：,6 .【解答】解：:函数f(x)=,1+工,其中a>0且aw 1,.••f ( - 1) = ----------- W ----- =且,f (2) = a2,1+ C-l)2 2•••f (― 1) =f (2), •••包工〞,2 S解得a= ',2log14"f (log25) = (1) 1.叼5=普)2 =±应选：D.7 .【解答] 解：当S= 0, i=1时,不满足S> 1,那么S=9, i = 2; -w-当S= —, i= 2 时,不满足S> 1,那么S= —, i = 3;2 4当S= —, i= 3 时,不满足S> 1,那么S= —, i = 4;4 12当S=HL, i = 4时,不满足S> 1,那么S=筌,i = 5;12 24当S=2», i=5 时,满足S>1,24故输出的i值为5,应选：B.8 .【解答】解：作出实数x, y满足〞对应的平面区域如图：L设z=3±£=1+X二二,那么z的几何意义为过Q ( - 1, 1)的直线的斜率加1;z+1 x+1由图象可知当直线经过点A时,直线QBA的斜率最小,G二1 1 91q由, ,解得A (1, 3),此时QA的斜率k=-7—= 4,[x=2y 2 1+1 4应选：C.根据余弦函数图象：工卫2" 8' B 2解得：T=兀. 利用周期公式：- ,■ 3解得：3=2.根据函数的图象,当 x='L 时,二o ,8 8贝u ： 2?工f K kn+三〔k Cz 〕,82解得：氏kn+W-〔k &〕. 4由于回|<-^-, 解得0=21, 4 那么：., 「ill.,将函数f 〔X 〕的图象向左平移 三个单位,2得到। ,,整理得：g 〔i 〕=-2sin 〔2x-4^〕. 应选：A.【解答】解：：Vx+Wy=〔Vx+Wy 〕〕〔JL+3〕 当x=4y,即x=36且y=9时,虫后取最小值16. <4+4>々>3-6口恒成立,贝U 16>m 2-6m,解关于m 的不等式可得-2vmv8, 应选：C.11 .【解答】解：,一点A (― 1, 1)在抛物线 C: x 2= ay (aw0)上,,a= 19. 10 【解答】 解：根据余弦函数的图象的对称性求得： A=2,>16,••・抛物线方程为：x2=y.•••抛物线C上异于点A的两点P, Q满足而工£了(入<0),直线OP与QA交于点R,可得图形如下,且OA//PQ, (P在第二象限).,「koA=-1,可设PQ 的方程为：y= - x+b, P (x1, y1), Q (x2, y2)OA II PQ, S AF AQ=S；A POQ, ? S A PAR= S A ORQ•--S APQR=3S A PRA,'-S A PQR=3S A ORQ••.PR: OR=3: 1? OA： PQ = 1： 3PQ= 30A = 3&由,r= *+b得x% b=o,JX可x1+x2= — 1, x1x2= - bPQ=<1 + 1 ./"])2_4"卜’=3,厄,解得b= 2可得P ( - 2, 4)12 .【解答】解：当a=- 2 时,函数f (x) = ( 1 - 2x+x2) ex-x2,显然x=1 时,f (1)=-1<0,满足题意,排除选项A, C.当2 = 3- 2 时,函数 f (x) = ( ex+1 — 2x+x2) e' — x2= (1—x) 2ex+ e^〔x — x2= (1—x)2ex+x (ex+1- x),x>0时,(1-x) 2ex>0, x (e x+1-x) >0,所以不存在满足题意的正数xo,使得f (xo) <0,排除选项B.应选：D.填空题〔每题 5分,？茜分20分,将答案填在做题纸上〕「2?22-「1?2=96. 故答案为：96.其焦点在x 轴上,2其标准方程为 箕2茎「二1, k 、21其离心率e 2= £—2a又由 kq-2, - 1], 那么有 Wwe 2w2, 2 即丞wg 加,2故答案为： 曲,收•【解答】解：由题意知,该三棱锥的直观图如图中的A- BCD 所示,那么$ABCD 至黑1 X 2二1,江的而乂近X 2=V^,①好匚至乂在X 1=^故其四个面中最大的面积为可得：a2= 8 - a, a3=1+a, a4=7—a, a5=2+a, a6= 6- a, a7= 3+a, as= 5 - a. :数歹U {an}各项都为正整数,13 【解答】解：〔x — 2〕 8=C?x8-；x 7?2+/?22-.x ?27i?28,(x-2) 8 (x+1)的展开式中,x 7的系数为14 【解答】解：根据题意,双曲线的方程为x 2+ky 2=1,且 kC[ —2, - 1],L I -I ,k15 ,△ABD =V * 近又^[2 _3那么有离心率eC16故答案为:,设 a1 = a,-,I _ *解得：1 w aw 4, a CN ,那么满足条件的数列｛an｝有4个.故答案为：4.三、解做题(本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.)a [ + 3, a 二1817 .【解答】(I)由题意知,〞已1%二行2%二32%<为’七二2解得1 1,射16设等比数列｛an｝的公比为q,111q = 2,由题意知,•. I :,那么等差数列｛bn｝的公差d=2,'1• bn= b2+ ( n - 2) d = 3+2 (n - 2) = 2n - 1.(n) r ---------- ------- -<-- ----- -% (2n-D(2n+l) 2 ^2n-l 2n+l)4吟(*i)+…4易r忌T)__ 之18 .【斛答】斛：(I )在^ ABD 中,.8S NADB==",5. 4sinN ADB 5sin / CAD = sin (/ ADB - / ACD& 乂返也乂返必--- A-■—A ".5 2 5 2 10在4ADC中,由正弦定理得——芈——二sinZADC AC_CD〞一返一叵,5 10 2解得：AC=8,CD=^.(n) CA,CB：48, C=—.4V2•・一’・,1：, )sinz_ADBcQs -cusz_ADBsin—£5 ________ AL, sinZCAD sinZACD解得：口二6b,二-1 : 1,在△ ABC 中,：叱2_2XgX6&X *二2疝, 〔2715产+ 〔5料〕2-〔研〕* /2X2后 X5VS 节19 .【解答】解：〔I 〕 设样本数据的平均数为：X , 那么 三二45 乂0. 05+55X0. 15+65 乂0.2+75X0.3+85X0. 2+95 乂0. 1=72. .,估计参赛学生的平均成绩为 72.5分.〔n 〕设样本数据的中位数为 a,由0.05+0.15+0.2+0.3 >0.5知aC 〔70, 80〕. • ・0.05+0.15+0.2+ 〔a — 70〕 X 0.03 = 0.5,解得 ^^^^73,3, 故估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为73.3分.〔出〕由题意知,样本中 80分以上〔包括80分〕的概率为 旦, 10 那么随机抽取一名学生的成绩是优秀的概率为 旦,,hB 〔3,旦〕.1010・"需=.〕=喘〕3裁,p 〔a=i 〕=c ；x 磊X 〔4〕2二就；P02〕pX 扁号掇;pg 步号尸后a［〔.二3X 卷号.20.【解答】 证实：〔I 〕取PC 中点H,连接EH 、FH.・•.E 为AB 的中点,ABCD 是菱形,,AE//CD,且AE 』CD, 2又F 为PD 的中点,H 为PC 的中点,,FH // CD,且FHh^CD , AE// FH ,且AE=FH,那么四边形 AEHF 是平行四边形, AF // EH .又 AF?平面 PCE, EH?面 PCE,・•.AF//平面 PCE.解：〔n 〕取BC 的中点为 O, ABCD 是菱形,AC=AB,第12页〔共18页〕在4ABD 中,由余弦定理可得:G 口 s/BAD=令y=- 1,那么丑=2, .•・平面PCE 的一个法向量为 7=〔我,-L 2〕, 又平面PAD 的一个法向量为ir= 〔1, 0, 0〕..一,-一、—m *n cosv ip,门〉 ~I m I , I n |Vo V【解答】解：〔I 〕由题意知, 工妾,即一 / 4, •- a 2=4b 2, a / a "•.・由椭圆C1截直线y=x 所得的弦长为 丝°,5AO± BC,AO, AD , AP 所在直线分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 A - xyz,B (V5, -i, o), c(V5,i, o), D (O ,PCO, 0, 1), E 除卷,0), T), EC=(淬,y* 0),访二(泥,2, 0).〕,设平面的法向量为7=21即平面PAD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值为・♦.弦在第一象限的端点的坐标为(2杏,等),—^―-I一=1,将a2=4b2代入上式,解得a=2, b=1.5a2 5b22.♦・椭圆Ci的方程为：+/二i；(n)由(I)知, A (― 2, 0),设M (xi, yi), N(X2, y2),• -* 4 —,, • -• 1 -r 40 .. 」一- AN=yMN,一姗万视,倚y2=4yi,设直线l的方程为x= ?y- 2 (入W 0),s= X y-2联立* 丫？9,得〔 ,+4〕 y2-4'=0, v 二―—全+ /=1 1联立*町,得〔？+1〕 y2— 12 少+36 — r2= 0,&-4产+/二产..A n . 2 36 口6 入• △= 0,• • r =_G—,且疗_$—X 2+12 X 2+1••• 6｝二4・4：,解得了工得x2+l X 2+452 r2 = 2 0,,直线I的方程为：5K ±2浜片10二0,圆C2的半径r= 2泥.22.【解答】解：(I)由题意知,函数f(x)的定义域为(0, +8),£'〔¥〕二.〔1口：_]〕+], f 〔1〕 = 1 - a= - 1,解得a=2. x2(n)假设函数卜6)二£@)+^—有两个零点,4z那么方程且皿^F+240—二0恰有两个不相等的正实根,x 4x2即方程-皂1口工+ x ^―(a_2) x+~~二0恰有两个不相等的正实根.4x2设函数晨K)=-&lnx+ J-Ca-2)工+^■,.』,％口 / 力、a_ 2s2-(a-2)x-a (2x-a) (x+1)g lx)=2K-(a-2) x------- ----------------- 二 ------------当aw.时,g' (x) >0恒成立,那么函数g (x)在(0, +°0)上是增函数,・♦・函数g (x)最多一个零点,不合题意,舍去;当a>0时,令g' (x) >0,解得x>—,令g' (x) < 0,解得.<算<且,2 2那么函数g (x)在(0, 内单调递减,在伊 +8)上单调递增.易知x—0时,g 〔x〕 >0恒成立,要使函数g 〔x〕有2个正零点, 2 2贝U g〔x〕的取小值名瑞.〕<o,即一皂］—〔0一2〕义"^"+今一<0, 即Flrr1+a<0,丁a> 0,1 成?1,解得a>2e,即实数a的取值范围为〔2e, +8〕■ ■>_>|, Z" .♦y ( 1—一"x2+(——— 5 0y -♦_x+y ~>一»♦_♦_■6—,第17页〔共18页〕'Ll - -一I,“1. ■■ ,■I a-i—IIS ■" .■■■I ,,"。
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31097221983
2
1
否
是
(1)?
S=0, n=1, i=1
开始
安徽省六校教育研究会2018届高三（上）第一次联考
数学（理科）试卷
命题人：郑林建 审题人：周宗雅
（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知复数21izi，其中i为虚数单位，则z的虚部是（ ）
A．12 B．32 C．32i D．32i
2．集合{1,0,1,2,3}A，2{|log(1)2}Bxx，则AB（ ）
A．{0,1,2}B．{0,1,2,3}C．{1,0,1,2,3}D．{1,0,1,2}
3．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数
据落在区间[22,31)内的频率为（ ）
A．0.2 B．0.4
C．0.5 D．0.6
4．已知等比数列{}na满足12a，23564aaa，则3a的值为（ ）
A．1 B．2 C．14 D．12
5．已知变量x，y满足约束条件241xyxyy，则目标函数2zxy的最小值为
（ ）
A．1 B． 1 C．3 D．7
6．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)上单调递增的是（ ）
A．ln(||1)yx B．1||yxx C．cos||xyx D． xxyee
7．28(1)(1)xxx的展开式中，6x的系数为（ ）
A．154 B．42 C．42 D．126
8．如图，给出的是计算111147100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和
执行框中的(2)处应填的语句是( )
x
y
(1,12)
Γ
O
A
D
B
C
x
y
M
A
O
C
B
A．100i，1nn
B．34i，3nn
C．34i，3nn
D．34i，3nn
9．关于函数3cos(2)13yx，下列叙述有误的是（ ）
A．其图象关于对称直线3x对称
B．其图象可由3cos()13yx图象上所有点的横坐标变为原来的12得到
C．其值域是[2,4]
D．其图象关于点5(,1)12对称
10．某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训
项目，每
位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教
师中的任
何一位教师选择的情况数为（ ）
A．5400种 B．3000种 C．150种 D．1500种
11．如图，等边ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，
y
轴的非负半轴上滑动，M为AB中点，则OAOM的最大值为（ ）
A．7 B．572 C．72 D．3332
12．已知函数,0()|ln|,0xexfxxx，则函数21()[()]()1Fxffxfxe（e为自然
对数的底数）的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知命题:pxR，都有2240xx，则
p
为 ．
14．如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD为正方形，
C
ADB
P
且点C坐标为1(1,)2．抛物线的顶点在原点，关于x轴对称，
且过点C．在正方形ABCD内随机取一点M，则点M在阴影
区域内的概率为 ．
15．已知三棱锥PABC，ABC为等边三角形， PAC为直角三角形，
90PAC
，
30PCA，平面PAC平面ABC．若3AB，则三棱锥PABC
外接球的表
面积
为 ．
16．已知1F，2F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，过1F的直线
l
与双曲线C的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交于Q，P两点，且
2
||||PQPFa
，则双曲线C的渐近线方程为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3A．
（1）若3a，求ABC面积的最大值；
（2）若12ca，求sinB的值．
18．（12分）已知正项数列{}na的前n项和为nS，满足212()(*)2nnSanN．
（1）求数列{}na的通项公式；
（2）设数列1221nnnnnaabaa，求数列{}nb前n项和nT的值．
19．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，
1
2
ADCDBCAB
，PAD为等边三角形，PABD．
（1）求证：平面PAD平面ABCD；
（2）求二面角APBC大小的余弦值．
O体重(公斤)频率组距757065605550
0.013
0.037
20．（12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考
飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了
测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方
图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率
之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．
（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学
生中（人数很多）任选2人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分
布列和数学期望．
21．（12分）已知点M是圆心为E的圆22(3)16xy上的动点，点(3,0)F，
线段MF的垂直平分线交EM于点P．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）矩形ABCD的边所在直线与曲线C均相切，设矩形ABCD的面积为S，求
S
的取值范围．
22．（12分）已知函数()lnxfxex．
（1）研究函数()fx的单调性；
（2）若不等式()(1)fxax在(1,)上恒成立，求实数a的取值范围．