基于Matlab的离散卷积

基于Matlab的离散卷积刘国良(洛阳理工学院　河南洛阳　471000)

摘　要:卷积运算广泛用于通讯、电子、自动化等领域的线性系统的仿真、分析及数字信号处理等方面。在Matlab中可以使用线性卷积、圆周卷积和快速傅里叶运算实现离散卷积。线性卷积是工程应用的基础,但圆周卷积和快速傅里叶运算实现线性离散卷积具有速度快等优势,圆周卷积采用循环移位,在Matlab中没有专用函数,需要根据圆周卷积的运算过程编制程序代码;快速傅里叶运算(FFT)是DSP的核心算法,在序列比较长时FFT是一种最合适的方法,运算速度快、程序简单,序列越长其优势越明显。以同一个例子介绍了进行离散卷积仿真运算的两种方法与特点。关键词:Matlab;数字信号处理;离散卷积运算;快速傅里叶运算中图分类号:TP311 文献标识码:B 文章编号:10042373X(2009)052125202

DiscretedConvolutionBasedonMatlabLIUGuoliang(LuoyangInstituteofScienceandTechnology,Luoyang,471000,China)

Abstract:Theconvolutionoperationiswidelyappliedinthefieldoflinearsystemsimulations,analysisandDSPdesignofcommunication,electronics,automaticsystemandsoon,linearconvolution,circularconvolutionandFFTfordiscretedconvolu2tionemulationoperationcanbeadoptedinMatlab.Linearconvolutionisthefoundationofprojectapplication,butcircularcon2volutionandFFTinlinearconvolutionhaveadvantagesoffastspeed.Circularconvolutionadoptscirculatingshift,thereisnotprivatelyfunctioninMatlab,itneedstodrawupprogramcodeaccordingtotheoperationalcourseofcircularconvolution.FFTisthemajoroperationofDSP,whensequencegrowsfairly,FFTisakindofmostsuitablemethod,itismorerapidlyinopera2tionalspeedandprogramsimple,thelongerofthesequencethemoreofitsadvantage.Withasameexample,tocarryoutcharacteristicandtwokindsofmethodofemulationoperationfordiscretedconvolutionareintroduced.Keywords:Matlab;DSP;discretedconvolutionoperation;FFT

收稿日期:2008207202

0　引　言在数字信号处理(DSP)系统中,无论在时域或频域都离不开卷积运算和快速傅里叶(FFT)运算。Matlab

具有强大的矩阵运算能力,方便实用的绘图功能和语言的高度集成性,在DSP开发中,使用Matlab可以快速对系统进行仿真运算。设输入信号为x(t),其频谱函数为X(jΩ),该信号通过滤波器h(t)后,其输出信号y(t)的频谱函数Y(jΩ)是频谱函数X(jΩ)与滤波器的频谱函数H(jΩ)的乘积,即:

Y(jΩ)=X(jΩ)H(jΩ)(1) 该信号通过低通滤波器的示意图如图1所示。而在时域,输出信号y(t)实际是输入信号x(t)与滤波器h(t)的卷积。就是说频谱函数的乘积相当于时

间函数的卷积,反之亦然。即:

y(t)=x(t)3h(t)=∫∞-∞x(τ)h(t-τ)dτ(2)

图1　信号通过低通滤波器的示意图 由于DSP主要依靠计算机完成,而计算机无论在时域或频域只能处理有限长的离散信号,因此上述关系

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《现代电子技术》2009年第5期总第292期　󰃞测试・试量・自动化󰃜可表示为:Y(ω)=X(ω)H(ω)(3)y(n)=∑∞m=-∞x(m)h(n-m)=x(n)3h(n)(4)式中:n表示离散时间;数字频率ω=ΩTs=2πf/fs;f为输入信号频率;fs,Ts为抽样频率和周期。1　实现离散卷积的方法可以使用线性卷积、圆周卷积实现离散卷积,也可以根据时域信号函数与频谱函数的关系,使用快速傅里叶变换(FFT,IFFT)实现离散卷积。1.1　圆周卷积线性卷积是求离散系统响应的主要方法之一,许多重要应用都建立在这一理论基础上,如卷积滤波等,专用函数conv(x,h)可完成线性卷积过程。圆周卷积的计算速度要远远快于线性卷积,如果选择圆周卷积的长度L≥N1+N2-1,则可以用圆周卷积取代线性卷积。方法如下:(1)定义圆周卷积的长度:选择L=N1+N2-1。(2)将两个序列的长度都补足为L:将长为N1的序列x(n)延长到L,补L-N1个零,将长为N2的序列h(n)延长到L,补L-N2个零。(3)反转x(n),周期延拓为序列󰁯x(n),取主周期。(4)循环移位:与线性卷积不同,圆周卷积运算中采用的是循环移位,有限长序列x(n)的循环移位定义为:f(n)=x((n+m))NRN(n)其含义如下:①x((n+m))N表示x(n)的周期延拓序列󰁯x(n)的移位:x((n+m))N=󰁯x(n+m) ②x((n+m))NRN(n)表示对移位的周期序列x((n+m))N取主值序列,所以f(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。为此定义一个位移函数cirshiftd.m如下:%保存函数为cirshiftd.mfunctionfm=cirshiftd(x,m,N);n=[0:1:N-1];fm=x(mod(n-m,N)+1);这里的x[mod(n-m,N)+1]即表示对向右移位N位的周期序列x((n+m))N取主值序列的运算。(5)将序列x与h进行循环移位生成的矩阵H的转置矩阵相乘,即完成将x(m)和h(n-m)所有对应项相乘之后相加,完成圆周卷积。例:已知x=[1　2　3　2]和h=[1　1　1],求两序列的卷积。用圆周卷积的计算程序如下:

%′圆周卷积′主程序x=[1　2　3　2];h=[1　1　1];N=length(x)+length(h)-1;x=[x,zeros(1,N-length(x))];h=[h,zeros(1,N-length(h))];n=[0:1:N-1];h=h(mod(-n,N)+1);H=zeros(N,N);forn=1:1:NH(n,:)=cirshiftd(h,n-1,N);　%调用位移函数endy=x3H′;n0=[0:1:N-1];stem(n0,y);title(′圆周卷积′);xlabel(′(n)′);ylabel(′y(n)′);

运行结果:y=[1　3　6　7　5　2]

1.2　线性卷积的FFT算法FFT运算具有速度快、计算量小等优越性,是DSP的核心算法。根据信号在时域与频域的关系,可以用FFT计算线性卷积。方法如下:(1)定义长度:选择N=N1+N2-1。

(2)求两个要卷积序列的N点频谱函数:

求X(k)=FFT[x(n)]

求H(k)=FFT[h(n)]

(3)将两个频谱函数相乘

:

求Y(k)=H(k)X(k)

(4)对乘积进行N点快速傅里叶反变换(IFFT):

求y(n)=IFFT[Y(k)]

可见,只要进行二次FFT,一次IFFT就可完成线性卷积计算。在x(n),h(n)两序列长度比较接近或相等的情况,当运算的序列长度N>32时,上述计算线性卷积的方法比直接计算线性卷积有明显的优越性,长度值越大优势越明显。上例用FFT运算的程序如下:

x=[1　2　3　2];h=[1　1　1];N=length(x)+length(h)-1;X=fft(x,N);H=fft(h,N);Y=X.3H;

y=ifft(Y,N);n=0:1:N-1;stem(n,y);title(′FFT线性卷积′);xlabel(′(n)′);ylabel(′y(n)′);

(下转第138页)　

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自动化技术刘国良:基于Matlab的离散卷积图6　串行口中断服务子程序流程图5　结　语与传统智能家居系统相比,该系统控制中心硬件采用ARM微处理器作为控制核心,软件采用Linux216

内核作为系统的嵌入式操作系统,采用Boa为嵌入式Web服务器,采用SQLite为系统嵌入式数据库,使控制中心具有丰富的软硬件资源和可扩展接口,便于系统的开发、调试、维护、升级及扩展,同时也提高了系统的稳定性、可靠性。该系统控制中心与智能终端之间采用

蓝牙无线传输方式,避免了有线连接方式布线复杂、线路易腐蚀、维护不方便、影响室内美观等缺点。因此,该系统设计在实际应用中具有一定的借鉴意义。

参　考　文　献[1]薛晓明,陈震.蓝牙芯片BlueCore03b在远程控制智能家居系统的应用[J].泰州职业技术学院学报,2004,4(4):

26228.

[2]于明,范书瑞,曾祥烨.ARM9嵌入式系统设计与开发教程[M].北京:电子工业出版社,2006.[3]刘淼.嵌入式系统接口设计与Linux驱动程序开发[M].北京:北京航空航天大学出版社,2006.

[4]付保川,王中杰.基于ARM的嵌入式Web服务器研究[J].电子器件,2006,29(2):42245.

[5]陆永健,王萍,吴佳,等.嵌入式Web服务器Boa的移植及其应用[J].河海大学常州分校学报,2005,19(4):44247.

[6]赖于树,李迅波,杜平安.基于嵌入式Web服务器的多通道温湿度监测仪[J].仪表技术与传感器,2006(5):16218.

[7]雷小俊,李伟.SQLite在嵌入式Web服务器中的应用[J].信息技术,2006(6):1282130.

作者简介　李红刚　男,工学硕士。主要研究方向为计算机测控、嵌入式系统及农业信息化。张素萍　女,硕士研究生。主要研究方向为电路设计自动化及集成电路IC设计。方　佳　男,研究员,硕士生导师。主要研究方向为农业信息化。董玲娇　女,硕士,讲师。主研方向为计算机智能控制。

(上接第126页)2　结　语用圆周卷积和FFT运算离散卷积具有很大优势,

在Matlab中圆周卷积没有专用函数,需要自己编制,在序列比较长时FFT是一种最合适的方法,可以快速得出仿真运算的结果。选择圆周卷积或FFT运算线性离散卷积可提高DSP设计的效率。