2020届湖北省宜昌市高三下学期4月线上统一调研测试数学(理)试题
湖北2020 届高三调研测试理科数学试卷
高三理科数学 第 1 页（共 5 页）2⎨ ⎩湖北 2020 届高三调研测试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A = {x | x 2 - 2x - 3 < 0} ， B = {x |log 2x >0} ，则 A B = A ．{x |1 < x < 2}B ．{x | 0 < x < 2}C ．{x | 1 < x < 3}D ．{x | 0 < x < 1}2． i 为虚数单位，复数 z = 1 - 2i (1 + i )2的虚部为A ． 1B ． - 1C ． 1iD ． - 1 i2 22 23．设等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，且a ≠ 0 ，若a 5=3a 3，则59S S = A ．5 B ．9 C ．5 D ． 59 5 3274．已知函数 f ( x ) 是定义域为R 的奇函数，当 x > 0 时， f ( x ) = 2x + 2x - a ，则 f (-1) = A. 3B. - 3C. - 2D. - 1⎧2x + y - 2 ≥ 0, 5． 已知实数 x ， y 满足 ⎪3x - y - 3 ≤ 0, 则 z = x - 3y 的最小值为⎪x - 2 y + 4 ≥ 0,A ．- 7 B ． - 6C ．1D ．66．已知(3x + a )( 1- 1)5 的展开式中常数项为 14，则实数a 的值为xA ． - 1B ．1C ． 4D ． - 455高三理科数学 第 2 页（共 5 页）37．若tan α = 3 tan 2π7，则3cos()42sin()7παπα-=- A ．1B ．2C ．3D ．48．已知a = ln 3 ， b = A ． c < b < a3 ln 2 ， c = log 3 2 ，则 B ． c < a < bC ． a < b < cD ． a < c < b9 ． 已知直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的表面上， 若 AB = AC = 1 ，AA 1 = 2 , ∠BAC =23π，则球O 的体积为A ．32π 3B ． 3πC ．4π 3D ．24π 310．如图所示，在由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设 DF = 3FA ，则A ．36246363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rB ．36126363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rC ． 48246363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD ．48126363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r11．已知双曲线C : 22221x y a b-= (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ， P 为双曲线C的右支上一点，点 M 和 N 分别是∆PF 1F 2 的重心和内心，且 MN 与 x 轴平行，若| PF 1 |= 4a ，则双曲线的离心率为A ． 3B ．2C ．D ． 212．已知一个正方形的四个顶点都在函数 f ( x ) = x 3 - 9x + 1的图像上，则此正方形的面积2为 A ．5 或17 B ．5 或 10C ．5 或 17D ．10 或 1723 2高三理科数学 第 3 页（共 5 页）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
湖北省2020届高三4月调研考试数学试卷(理)有答案(加精)
2019年湖北省高三四月调考理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z ⋅=D.2i 2.设集合(){}(){},|1,,|1A x y y x B x y x y ==+=+=，则AB 中的元素个数为A.0个B. 1个C. 2个D.无数个3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12464,30a a a a =++=，则6S = A. 54 B. 44 C. 34 D. 244.已知点()()1,0,1,0A B -为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点，点M 在双曲线上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120，则该双曲线的标准方程为A. 2214y x -=B. 2212y x -=C.221x y -= D.2212y x -= 5.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，6x 的系数为A. 15B. 6C. -6D. -156.已知随机变量η满足()()15,15E D ηη-=-=，则下列说法正确的是 A. ()()5,5E D ηη=-= B. ()()4,4E D ηη=-=- C. ()()5,5E D ηη=-=- D. ()()4,5E D ηη=-=7.设,,a b c 均为非零向量，已知命题:p a c =是a cbc ⋅=⋅的必要不充分条件，命题:1q x >是1x >成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是 A. p q ∧ B. p q ∨ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.()p q ∨⌝ 8.已知函数()()cos 0,,2xx f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫=><∈ ⎪⋅⎝⎭在区间[]3,3-上的图象如图所示，则a ω可取A. 4πB. 2πC.πD.2π9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5y =，则满足条件的实数x 的个数为A. 4B. 3C. 2D. 110.网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 2B. 4C.3D. 13+11.已知实数,x y 满足()2221x y +-=的取值范围是A.2⎤⎦ B. []1,2 C. (]0,2D. ⎤⎥⎝⎦12.过圆2225x y +=内一点)P 作倾斜角互补的直线AC 和BD ，分别交圆于A,C,和B,D ，则四边形ABCD 的面积的最大值为A.C.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为为 .14.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ，若()()111,131n n a b S n n N *===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最大项为第 项.15. 某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若实数,x y 满足约束条件2527x y x y x ->⎧⎪-<⎨⎪<⎩，则该单位集合栽种这两种树的棵树最多为 . 16.函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的值域为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且cos .a C b=（1）求B ；（2）设CM 是角C 的平分线，且1,6CM b ==，求cos BCM ∠.18.（本题满分12分） 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1BB 上，两条直线,MA MC 与平面ABCD 所成角均为θ，AC 与BD 交于点O.（1）求证：AC OM ⊥；（2）当M 为1BB 的中点，且4πθ=时，求二面角11A D M B --的余弦值.19.（本题满分12分）在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图:（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求,x y 的值；（2）现从这20名学生中任意抽取一名男生和一名女生对他们进行训练，记一分钟内跳绳次数不低于115且不超过125的学生被选上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）.20.（本题满分12分）已知平面内动点P 与点()3,0A -和点()3,0B 的连线的斜率之积为8.9- （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹且曲线C ，过点()1,0的直线与曲线C 交于M,N 两点，记AMB ∆的面积为1S ，ANB ∆的面积为2S ，当12S S -取得最大值时，求12S S 的值.21.（本题满分12分）已知函数()()ln ,.xx f x x x g x e ==（1）证明方程()()f x g x =在区间()1,2内有且仅有唯一实根；（2）记{}max ,a b 表示,a b 两个数中的较大者，方程()()f x g x =在区间()1,2内的实数根为()()(){}0,max ,x m x f x g x =，若()()m x n n R =∈在()1,+∞内有两个不等的实根()1212,x x x x <，判断12x x +与02x 的大小，并说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
湖北省宜昌市第七中学2020届高三数学4月线上考试试题文PDF
A. 19 2
B. 19 2
C. 7 2
D. 7 2
11. 某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，M1 为正视图一边的 中 点， 且几 何体 表面 上 的点 M、A、B 在 正视 图上 的 对应 点分 别 为
M1、A1、B1 . 在此几何体中，平面 过点 M 且与直线 AB 垂直，则平面
60
80
140
合计
150
150
300
….…………………………….…...…..5 分
所以 K 2 的观测值为 k 300 (90 80 60 70)2 75 5.357 5.024 ………………..…………...…..6 分 150150 160 140 14
….…………………......…..2 分
“长潜伏者”即潜伏期时间不低于 6 天的频率为 0.5
所以 500 人中“长潜伏者”人数为 500 0.5 250 人.
….………..……..……………...…..4 分
（2）由题意补充的列联表如图：
短潜伏者
长潜伏者
合计
60 岁及以上
90
70
160
60 岁以下
cosBPC 4 2 4 2 ,sin BPC 22 2 4
14 . 设 4
PN
PB
2 ，由VDPBC
VPDBC
得 D 到平面 PCB 的距离为 2 21 ，则 D 到平面 PNC 的距离也为 2 21 . ….………………….…...10 分
7
7
VN PCD
VDPCN
11 32
2 2
……………………………………….….…….5 分
（2）因为 PO 面ABCD, 所以 PB 与平面 ABCD 所成角为 PBO 30 °， ……………...….…….6 分
湖北省2020届高三数学4月线上调研考试试题文
湖北省2020届高三数学4月线上调研考试试题 文本试卷共5页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．考试过程中，请考生自觉遵守考试纪律等相关规定，诚信应考，不得有作弊、泄露试题等行为。
请家长做好监考工作。
2．请确保网络环境、考试环境良好，备好答题所用的白纸和笔。
3．登录好分数APP ，点击“作业测试”，进入对应考试科目。
“试卷”将根据考试时间准时显示。
开考后：考生首先在白纸上手写答题。
答题结束后点击“填写答题卡”，进入到“在线答题卡”。
将事先准备好的答案，填写至在线答题卡上（选择题、多选题及判断题，直接在“在线答题卡”上勾选答案；主观题按照要求将手写的答案竖向拍照，并分别上传），然后点击“提交答题卡” 完成提交。
答题卡上传提交后考试时间范围内还能继续提交覆盖，为了避免大家都在考试最后快结束的时间上传造成拥堵，建议提前上传。
备注：主观题要确保答案及照片清晰，干净、完整；为留取拍照时间，考试将延长10分钟。
4．此次全省联考是检测复课前线上备考成效的一次重要考试，有利于调整和优化复课后备考策略，请考生和家长高度重视。
考试结束后，考试组织方将为所有考生免费提供《考试成绩和学情分析报告》。
请考生或家长及时扫描右方二维码，关注“育路通”微信公众号。
依次点击“高考测评一查看报告”，即可免费查询。
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0542<--=x x x A ，集合{}0>=y y B ，则A ∩B=（ ） A ．{}50<<x x B ．{}05<<-x x C ．),1(+∞- D ．{}101≤<-x x 2．已知),(33R b a i b ii a ∈+=-，其中i 为虚数单位，则复数bi a z -=在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知2log ,2log ,25.051.0===z y x ，则（ ）A ．y ＜x ＜zB ．y ＜z ＜xC ．z ＜x ＜yD ．z ＜y ＜x4．已知平面向量n m ,均为单位向量，若向量n m ,的夹角为3π，则n m 43+=（ ） A ．37 B ．25 C ．37 D ．55．若不等式m x x ≥-+4111，对)41,0(∈x 恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．106．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误．．的是（ ） A ．第三组的频数为18人B ．根据频率分布直方图估计众数为75分C ．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分D ．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像特征．如函数]2,2[,1cos cos 22ππ-∈++-=x x x y 的图象大致为（ ）8．函数)2cos()22cos(3)(x x x f ++-=ππ的单调增区间为（ ）A ．Z k k k ∈++-],3,6[ππππB ．Z k k k ∈++-],6,3[ππππC ．Z k k k ∈++-],12,125[ππππD ．Z k k k ∈++-],125,12[ππππ 9．已知F 是抛物线x y 42=的焦点，过焦点F 的直线l 交抛物线的准线于点P ，点A 在抛物线上，且3==AF AP ，则直线l 的斜率为（ ）A ．1±B ．2C ．2±D ．210．已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,731,)(2x ax x ax x x f ，若存在R x x ∈21,，且21x x ≠，使得)()(21x f x f =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（-∞，3）B ．（-∞，3]C ．（-2，2）D ．（-2，2]11．平面四边形ABCD 中，3,,13,23150=⊥===∠CD AB BD AC BC AB ABC ，ο，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．232+B ．13+C ．37D ．237 12．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若以21F F 为直径的圆过点B ，且A 为B F 1的中点，则C 的离心率为（ ）A ．13+B ．2C ．3D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线y=e x+1上点P 处的切线平行于直线01=--y x ，则点P 的坐标是 ．14．已知θsin()5cos 24πθθθ+=，则tan θ = ．15．已知A ，B ，C 是球O 球面上的三点，AC=BC=6，AB=，且四面体OABC 的体积为24．则球O 的表面积为 ．16．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t 的A 型卡车，6辆载重为10t 的B 型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t 物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车5次，B 型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A 型卡车1200元，B 型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60分．17．（本小题满分12分）已知函数)(log )(3b ax x f +=的图像经过点A （2，1）和B （5，2），)(*N n b an a n ∈+=.（1）求{}n a ；（2）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，2(2)n b n n =++，求{}n b 的前n 项和T n ．18．（本小题满分12分）2020年春节期间，新型冠状病毒（2019-nCoV ）疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻全国人民众志成城．共克时艰，为疫区助力．我国S 省Q 市共100家商家及个人为缓解湖北省抗疫消毒物资压力，募捐价值百万的物资对口输送湖北省H 市．（1）现对100家商家抽取5家，其中2家来自A 地，3家来自B 地，从选中的这5家中，选出3家进行调研．求选出3家中1家来自A 地，2家来自B 地的概率．（2）该市一商家考虑增加先进生产技术投入，该商家欲预测先进生产技术投入为49千元的月产增量．现用以往的先进技术投入i x （千元）与月产增量i y （千件）（i=1，2，3，…，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线x b a y +=的附近，且：8.6,563,6.46===t y x ，281()289.9ii x x =-=∑，281() 1.6i i t t =-=∑，81()()1469i i i x x y y =--=∑，81()()108.8i i i t t y y =--=∑，其中，i i t x =，8118i i t t ==∑，根据所给的统计量，求y 关于x 回归方程，并预测先进生产技术投入为49千元时的月产增量．附：对于一组数据),)(,(2211v u v u ，其回归直线u v βα+=的斜率和截距的最小二乘法估计分别为u v u uv v u u n i i n i i i βαβˆˆ)())((ˆ121-=---=∑∑==，19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S -ABCD 中，侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD ，CD =SD ，点M 是SA 的中点，AD// BC ，∠ABC =90°，AB =AD=12BC=a ．（1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若∠SDC=120°，求三棱锥C —MBD 的体积20．（本小题满分12分）已知椭圆：22221x y a b+= （a ＞b ＞0）过点E 1），其左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点为F 1，F 2，其中F 1（，0）．（1）求栖圆C 的方程：（2）设M （x 0，y 0）为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，MN ⊥AB 于点N ，直线042:00=-+y y x x l ，设过点A 与x 轴垂直的直线与直线l 交于点P ，证明：直线BP 经过线段MN 的中点．21．（本小题满分12分）已知函数x a x x f cos )(2+= （1）求函数f （x ）的奇偶性．并证明当2≤a 时函数f （x ）只有一个极值点；（2）当π=a 时，求f （x ）的最小值；（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x （θ为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为αρ22sin 314+=. （1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线kx y l =:与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于P 、Q ，且PQ OQ =，点M 的直角坐标为)0,1(，求PMQ ∆的面积.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知实数a ，b 满足322=-+ab b a .（1）求b a -的取值范围；（2）若ab ＞0，求证：ab b a 4431122≥++.。
宜昌市 2020 届高三年级 4 月线上统一调研考试 文数答案
（2） f (x) (1 a)x x cos x 即 2sin x x cosx ax 0.
设 h(x) 2sin x x cos x ax , x 0,
h(x) 2cos x cos x x sin x a cos x x sin x a ………………………………………...…..6 分
……………………………………….….…….4 分
在△ ABC 中， sin C 0,tan B 3. 又 0 B ,B .
3 （2）面积 S 1 acsin B 2 3 ac 8.
2
……………………………………….………..5 分 ……………………………………….….….….6 分
a b c 9a b c
9 aabbcc
1（6 2 2a 2b 2 2c 2a 2 2b 2c ) 2 ，当且仅当 a b c 3 时等号成立
9
ba
ac
cb
所以 t 2.
………………………………………....…..5 分
（2）当 t
2 时，
f
(x)
x2
2x3
x
8, x 3 3x 4,3
3
33
3
所以最小值为 min{ f ( ）, f (2 )}. 3
又因为 f ( ) 3, f (2 ) 2 ， f ( ) f (2 ) ，
33
3
所以 x [0,2 ]时，
f
( x) min
f
( ) 3
3
3.
……………………….…...…..3 分 …………………………...…..5 分
x
2 ，可得
f
(x) 5.
……….……....…..7 分
2020届湖北省华大新高考联盟高三4月教学质量检测试卷理科数学试题Word版含解析
2020届湖北省华大新高考联盟高三4月教学质量检测试卷理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,所以；因为所以,选B.2. 设复数满足，则（）A. 2B.C.D. 1【答案】C【解析】因为，所以因此选C.3. ①只有甲参加，乙和丙才会在一起吃饭；②甲只到自己家附件的餐馆吃饭，那里距市中心有几公里远；③只有乙参加，丁才会去餐馆吃饭.若以上叙述都正确，则下列论断也一定正确的是（）A. 甲不会与丁一起在餐馆吃饭B. 丙不会与甲、丁一起在餐馆吃饭C. 乙不会在市中心吃饭D. 丙和丁不会一起在市中心吃饭【答案】D【解析】若甲与丁一起在餐馆吃饭，则甲乙丙丁都在餐馆吃饭.这种情况可以发生；若丙与甲、丁一起在餐馆吃饭，则甲乙丙丁都在餐馆吃饭.这种情况可以发生；若乙在市中心吃饭，则甲不在市中心吃饭，丙不在市中心吃饭，这种情况可以发生；4. 在某校高三年级的高考全真模拟考试中，所有学生考试成绩的取值(单位:分)是服从正态分布的随机变量，模拟“重点控制线”为490分（490分及490分以上都是重点），若随机抽取该校一名高三考生，则这位同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为（）(附：若随机变量服从正态分布，则，，)A. 0.6826B. 0.6587C. 0.8413D. 0.3413【答案】C【解析】因为，所以，即,选C.5. 秦久韶算法是中国古代数学史上的—个“神机妙算”，它将一元次多项式转化为个一次式的算法，大大简化了计算过程，即使在现代用计算机解决多项式求值问题时，秦久韶算法依然是最优的算法.如图所示的程序框图展示了求值的秦久韶算法，那么判断框可以填入的条件的输出的结果表示的值分别是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以选A.6. 某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，如图，体积为选B.7. 函数的大致图像有可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，,所以去掉B,C;因为,所以去掉D，选A.8. 锐角的外接圆半径为1，,，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为因为，所以即，因此或，或，因为，所以，即，选C.9. 展开式中除—次项外的各项系数的和为（）A. 121B.C. 61D.【答案】B【解析】因为展开式中—次项系数为所以展开式中除—次项外的各项系数的和为，选B.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.10. 已知以双曲线的右焦点为圆心，以为半径的圆与直线交于两点，若，求双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】因为右焦点到直线的距离为，所以,选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11. 将函数图象上的点向右平移个单位长度后得到点，若点在函数的图象上，则（）A. 的最小值为B. 的最小值为C. 的最小值为D. 的最小值为【答案】A【解析】因为，所以或因此或即的最小值为，选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.12. 若，函数有两个极值点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为为两根，因此，从而令，解得，故当时，；当时，；因此的取值范围为，选A.点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若是夹角为的单位向量，向量，且，则__________．（用弧度制表示）【答案】【解析】因为所以14. 设满足约束条件，则的取值范围为__________．（用区间表示）【答案】【解析】作可行域，则直线过点A(1,0)时取最大值3，过点B(0,1)时取最小值-2，因此的取值范围为.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 已知二面角的大小为，点，点在内的正投影为点，过点作，垂足为点，点，点，且四边形满足.若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为__________．【答案】【解析】因为，所以四点共圆，直径为AC.因为PA垂直平面，，所以由三垂线定理得，即为二面角的平面角，即设球的半径为R，则点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16. 设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，与抛物线准线交于点，若，则AF=__________．【答案】2【解析】设，则由得，由得，所以（舍去负值），因此.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列为单调递增数列，，其前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式；（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）10【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义及其通项公式得数列的通项公式；（2）先根据裂项相消法求，再解不等式得，即得的最小值.试题解析：（1）由知：，两式相减得: ，即，又数列为单调递增数列，，∴，∴，又当时，，即，解得或 (舍），符合，∴是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴.（2），∴，又∵，即，解得，又，所以的最小值为10.18. 如图，四棱锥中，为等边三角形，，平面平面，点为的中点，连接.（1）求证:平面PEC平面EBC；（2）若，且二面角的平面角为，求实数的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）设为中点，先由等边三角形性质得根据面面垂直性质定理得平面，再根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，由向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补得方程，解得实数的值.试题解析：（1）证明：∵为等边三角形，为中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，而平面，∴平面平面.（2）如图，在平面中，作交于点.易知，以分别为轴建立空间直角坐标系.设，则，∴，，易知，平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，即不妨令，解得，由题知：，解得.19. 随着“北京八分钟”在韩国平昌冬奥会惊艳亮相，冬奥会正式进入了北京周期，全社会对冬奥会的热情空前高涨.（1）为迎接冬奥会，某社区积极推动冬奥会项目在社区青少年中的普及，并统计了近五年来本社区冬奥项目青少年爱好者的人数（单位：人）与时间（单位：年），列表如下：依据表格给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01).(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据.（2）某冰雪运动用品专营店为吸引广大冰雪爱好者，特推出两种促销方案.方案一:每满600元可减100元；方案二:金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折. v两位顾客都购买了1050元的产品，并且都选择第二种优惠方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的冰雪运动用品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求均值，再代入公式得r，最后与参考数据比较即可作出判断，（2）①可以根据对立事件概率关系求解，即先求顾客没有中奖概率，再用1减即得结果，②先确定方案二中随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望，比较与方案一数值即可作出判断.试题解析：（1）由题知，，，，∴.∴与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件，则，故所求概率为.②若选择方案一，则需付款元，若选择方案二，设付款元，则可能取值为700,800,900，1000.；；；.∴元，∵，∴选择方案二更划算.20. 已知椭圆的离心率为，是椭圆上的两个不同点.（1）若，且点所在直线方程为，求的值；（2）若直线的斜率之积为，线段上有一点满足，连接并廷长交椭圆于点，求的值.【答案】(1) ；（2）【解析】试题分析：（1）设，由得，化简得，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得的值；（2）根据条件得，设，则得点,代入椭圆方程，利用，，以及由直线斜率之积为，得，代入化简可得的值.试题解析：（1）由题知，∴，∴椭圆的方程为.设，将直线代入椭圆方程得:，∴由韦达定理知:.∵，∴，即，将代入得，即，解得，又∵，∴.（2）设，，由题知，∴，∴.又∵，∴，即.∵点在椭圆上，∴，即.∵在椭圆上，∴，① ，②又直线斜率之积为，∴，即，③将①②③代入得，解得.21. 已知函数.（1）若，证明:；（2）若只有一个极值点，求的取值范围，并证明:.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）构造函数利用导数易得，即证得结论，（2）研究导函数零点，先求导数，再根据导函数零点，根据a的正负分类讨论：当时，单调，再根据零点存在定理得有且仅有一个零点；当时，先增后减，再根据零点存在定理得有且仅有两个零点；最后研究极值点函数值范围：继续利用导数研究函数单调性，根据单调性确定取值范围.试题解析：（1）∵，∴要证，即证.设，令得，且，单调递増；，单调递减，∴，即成立，也即.（2）设，.①当时，令得;.，单调递増；，单调递减.若，恒成立，无极值；若，即，∴.∵，∴由根的存在性定理知，在上必有一根.∵，下证：当，.令，∴.当时，单调递増；当时，单调递减，∴当时，，∴当时，，即，由根的存在性定理知，在上必有一根.此时在上有两个极值点，故不符合题意.②当时，恒成立，单调递增，当时，；当时，，下证：当时，.令，∵在上单调递减，∴，∴当时，，∴由根的存在性定理知，在上必有一根.即有唯一的零点，只有一个极值点，且，满足题意.∴.由题知，又，∴，∴.设，，当，单调递减，∴，∴成立.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中有射线和曲线. （1）判断射线和曲线公共点的个数；（2）若射线与曲线交于两点，且满足，求实数的值.【答案】（1）一个；（2）2【解析】试题分析：（1）根据三角函数平方关系得曲线直角坐标方程，根据将射线极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直线与圆联立方程组解交点，即得个数，（2）将代入曲线的方程，并由韦达定理得，再由得，解得实数的值.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为，曲线是以为圆心，以为半径的圆，其直角坐标方程为：，联立解得，直线与曲线有一个公共点.（2）将代入曲线的方程得:，即，由题知，解得.设方程两根分别为，则由韦达定理知: ，由知，即，∴.23. 已知，函数的最小值为3.（1）求的值；（2）若,且，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值三角不等式得最小值为，再解方程可得的值；（2）代入化简不等式右边得,再根据作差法可得，即可证得结果. 试题解析：（1）由知：，解得或（舍）. （2）由（1）知，又，∴，同理，，∴.。
2020年湖南省、湖北省四校高考(理科)数学(4月份)模拟试卷 含解析
2020年高考（理科）数学模拟试卷（4月份）一、选择题（共12小題）.1．已知集合P＝{x∈R|0≤x≤4}，Q＝{x∈R||x|＜3}，则P∪Q＝（）A．[3，4]B．（﹣3，4]C．（﹣∞，4]D．（﹣3，+∞）2．若x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，则|x|+|y|等于（）A．B．2C．2D．43．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20B．27C．54D．644．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝2DC，若，则＝（）A．B．C．2D．5．已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b ＝f（log25），c＝f（2+m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（）A．2B．2C．D．27．已知双曲线C：的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），又点．若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|+|MN|＞4b，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．8．已知在关于x，y的不等式组，（其中a＞0）所表示的平面区域内，存在点P（x0，y0），满足（x0﹣3）2+（y0﹣3）2＝1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．C．D．9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B﹣b cos A＝，则tan（A ﹣B）的最大值为（）A．B．C．D．10．已知函数在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x﹣y+1＝0，F是C的焦点，P是l上一点过P作抛物线C的一条切线与y轴交于Q，则△PQF外接圆面积的最小值为（）A．B．C．D．2π12．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（0，]二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知二项式（ax﹣）6的展开式中的常数项为﹣160，则a＝．14．观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是．15．设函数f（x）＝e x（x﹣1），函数g（x）＝mx，若对于任意的x1∈[﹣2，2]，总存在x2∈[1，2]，使得f（x1）＞g（x2），则实数m的取值范围是．16．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin A：sin B：sin C＝ln2：ln4：lnt，且，有下列结论：①2＜t＜8；②；③t＝4，a＝ln2时，△ABC的面积为；④当时，△ABC为钝角三角线．其中正确的是．（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．已知数列{a n}，{b n}满足：．（1）证明：是等差数列，并求数列{b n}的通项公式；（2）设S n＝a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，求实数a为何值时4aS n＜b n恒成立．18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝．已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′﹣EF﹣B的大小是60°．连接C′B，C′A，如图：（Ⅰ）求证：平面C′FA⊥平面ABC′；（Ⅱ）求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．19．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为P n＝P1（）n﹣1+（n＝1，2，3），其中P i表示第i个出场选手解密成功的概率，并且P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立．①求该团队挑战成功的概率；②该团队以P i从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列与数学期望．20．如图，设抛物线C1：y2＝﹣4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：的右焦点F2，F1为C2的左焦点．椭圆的离心率为e＝，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动．（1）当取最小值时，求C1和C2的方程；（2）若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程．21．已知函数，其中a为常数．（1）若直线是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数a的值；（2）当a＝﹣1时，若函数上有两个零点．求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分。
湖南湖北四校2020届高三下学期4月学情调研联考数学(理)试题 Word版含解析
湖南湖北四校2020届高三学情调研联考理科数学试题卷一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|04}P x R x =∈≤≤，{|||3}Q x R x =∈<，则P Q ⋃=（ ） A. [3,4] B. (3,)-+∞ C. (,4]-∞ D. (3,4]-【答案】D 【解析】 【分析】化简集合Q,根据集合的并集运算即可. 【详解】由题意得，[0,4]P =，(3,3)Q =-， ∴(3,4]P Q ⋃=-，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题. 2.x ，y 互为共轭复数，且()23i 46i x y xy +-=-则x y +=（ ）A. 2B. 1C. 22D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求解，设复数i x a b =+，则其共轭复数i y a b =-，然后将x ，y 代入()23i 46i x y xy +-=-中化简，可求出,a b 的值，从而可求出复数x ，y 的模.【详解】设i x a b =+，i y a b =-，代入得()()22223i 46i a a b -+=-，所以()224a =，()2236a b +=，解得1=a ，1=b ，所以22x y +=故选：C【点睛】此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题.3.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A. 20B. 27C. 54D. 64【答案】B【解析】【分析】设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为312x x-，设落在小正方形内的米粒数大约为N，利用概率模拟列方程即可求解．【详解】设大正方体的边长为x，则小正方体的边长为312x x-，设落在小正方形内的米粒数大约为N，则22312200x xNx⎛⎫-⎪⎝⎭=，解得：27N≈故选B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题．4.如图所示，在ABC∆中，点D在线段BC上，且3BD DC=，若AD AB ACλμ=+，则λμ=（）A.12B.13C. 2D.23【答案】B 【解析】分析：从A 点开始沿着三角形的边转到D ，则把要求的向量表示成两个向量的和，把BD 写成BC 的实数倍，从而得到AD 1344AB AC =+，从而确定出13,44λμ==，最后求得结果. 详解：34=+=+AD AB BD AB BC 3()4AB AC AB =+-1344AB AC =+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果. 5.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.【详解】解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3），b ＝f （2log 5），c ＝f （2）；∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ．【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）A. 23B. 22C. 6D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，分别计算4个面的面积，即可得到结果.【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，故1AC =，2PA =，5BC PC ==22AB =3PB =∴12112ABC PAC S S ∆∆==⨯⨯=，1222222PAB S ∆=⨯⨯=，123262PBC S ∆=⨯=∴该多面体的侧面最大面积为22 故选：B ．【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三角形面积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.7.已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A. 135⎝B. (5,13)C. 131,(5,)3⎛+∞ ⎝⎭D. 5)(13,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即()1min24MFMNa b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点共线时，1MF MN+最小，转化为不等式23242b a b a+>，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=，若2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>， 如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a+>，即22348b a ab +>,223840,(2)(23)0b ab a a b a b∴-+>∴-->,23a b∴>或222,49a b a b<∴>或22224,913a b c a<∴<或22135,1cc aa>∴<<或5,ca>∴双曲线C的离心率的取值范围为131,(5,)3⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析1|||MF MN+‖的最小值，转化为,a b的代数关系，最后求ca的范围.8.已知在关于x，y的不等式组10x y ax yy+-≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，(其中0a>)所表示的平面区域内，存在点()00,P x y，满足()()2200331x y-+-=，则实数a的取值范围是（）A. (],3-∞ B. )62,⎡+∞⎣ C.(,62-∞ D.)62,⎡+∞⎣【答案】D【解析】【分析】先由条件画出可行域，而()()2200331x y-+-=表示可行域中的点()00,P x y到点(3,3)的距离的平方等于1，由图可知只需点,22a aA⎛⎫⎪⎝⎭到(3,3)的距离的平方小于等于1即可，从而求出a的取值范围.【详解】由条件可得可行域，如图所示，由0y x x y a =⎧⎨+-=⎩，得,22a a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为直线0x y a +-=与直线y x =垂直，所以只需圆心到A 的距离小于等于1满足题意即可，即2233122a a ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6262a ≤≤+，当62a ≥a 的取值范围)62,⎡+∞⎣ 故选：D【点睛】此题考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此题的关键，综合性较强，属于中档题.9.设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为 3 B.34C.323【答案】B 【解析】3cos cos 5a Bb Ac -=∴由正弦定理，得35sinAcosB sinBcosA sinC -=， C A B sinC sin A B π=-+⇒=+（）（），， ∴35sinAcosB sinBcosA sinAcosB cosAsinB -=+（），整理，得4sinAcosB sinBcosA =，同除以cosAcosB ， 得4tanA tanB = ， 由此可得23311144tanA tanB tanBtan A B tanAtanB tan BtanB tanB（），--===+++A B 、 是三角形内角，且tan A 与tanB 同号，A B ∴、 都是锐角，即00tanA tanB ＞，＞，11444tanB tanB tanB tanB +≥⋅= 33144tan A B tanB tanB-=≤+（），当且仅当14tanB tanB =，即12tanB = 时，tan A B -（）的最大值为34． 故选B ．10.已知函数22()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间25,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A. 30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】将函数()f x 用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立ω的不等量关系，即可求解.【详解】22()2sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭2sin [1cos()]sin sin 2x x x x πωωωω=⋅+--=，()f x 在区间25,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 250,56x ωπωωπω>-≤≤，53,0625ππωω∴≤∴<≤. 当22(),()22k x k k Z x k Z πππωπωω=+∈=+∈时，()f x 取得最大值， 而()f x 在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，222πωπππωω≤⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得1522ω≤<，综上，1325ω≤≤. 故选:D.【点睛】本题考查三角函数恒等变换、正弦函数的性质，整体代换是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线C ：24y x =和直线l ：10x y -+=，F 是C 的焦点，P 是l 上一点，过P 作抛物线C 的一条切线与y 轴交于Q ，则PQF ∆外接圆面积的最小值为（ ）A.2π B.222πD. 2π【答案】A 【解析】 【分析】设出过点P 的切线方程，将切线方程与抛物线方程联立，即可得到切线斜率，进而得到点Q 坐标，利用斜率乘积为-1可判断出PQF ∆为直角三角形，外接圆的圆心即为斜边的中点，即可求出圆的半径，从而得到圆的面积，即可得到最值.【详解】将直线l 与抛物线联立2410y x x y ⎧=⎨-+=⎩，得()210x -=，即直线l 与抛物线相切且切点为（1,2），又P 是l 上一点，当点P 为切点（1,2）时，Q(0,1),F(1,0)，此时PQF ∆为直角三角形，且外接圆的半径为1，故圆的面积为π；当点P 不为切点时，设点()001P x x +,,切线斜率为k,则切线方程为()()001y x k x x -+=-，即0010kx y kx x --++=，将切线方程与抛物线方程联立200410y x kx y kx x ⎧=⎨--++=⎩得200104ky y kx x --++=，其中()()0110k kx =--=，则01PQ k x =，此时切线方程化简得00y x x x =+，此时点Q ()00,x ,可得0FQ k x =-,即PQF ∆为直角三角形，PF 中点M 0011,22x x ++⎛⎫ ⎪⎝⎭即为外接圆的圆心，则22222000111||222x x x r MQ +-+⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,面积为22012x r ππ+=，当00x =时面积取到最小值为2π，综上，面积最小值为2π， 故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线相切，考查三角形外接圆的面积问题，关键是能确定出三角形为直角三角形.12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（ ） A. 163B. 83C. 23D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】在四面体A BCD -中，设,2AB CD a AC AD BD BC ======,过点A 作AE CD ⊥于E ，连接BE ，得244a AE BE =-=，求得641462A BCD a V a -=-，令()6442a f a a =-，利用导数即可求解其最大值，进而得到体积的取值范围，得出答案. 【详解】如图所示，设,2AB CD a AC AD BD BC ======,过点A 作AE CD ⊥于E ，连接BE ，则244a AE BE =-=，又AB a =，所以21424ABEa S a ∆=⋅- 所以2641114432462A BCDa a V a a a -=⨯⨯-=-，令()6442a f a a =-，则()35163f a a a -'=，解得2163a =，所以体积的最大值为()max16327A BCD V -=， 所以此三棱锥的体积的取值范围是1630,⎛⎤⎥ ⎝⎦，故选A.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征和体积的计算，以及利用导数求解最值的应用，其中解答中根据几何体的结构特征和体积公式，得到体积的表达式，准确利用导数求解最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知二项式61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-，则a =__________．【答案】2 【解析】 【分析】在二项展开式通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160-求得实数a 的值．【详解】二项式61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项公式为()662161r rr r r T C a x --+=⋅-⋅⋅，令620r -=，求得3r =，可得常数项为336160C a -⋅=-，2a ∴=，故答案为2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14. 观察分析下表中的数据： 多面体 面数（）顶点数（)棱数（)三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6812猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.【答案】2F V E +-= 【解析】试题分析：①三棱锥：5,6,9F V E ===,得5692F V E +-=+-=；②五棱锥：6,6,10F V E ===,得66102F V E +-=+-=；③立方体：6,8,12F V E ===,得68122F V E +-=+-=；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：2F V E +-=，故答案为2F V E +-=考点：归纳推理.15.设函数()()e1xf x x =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．【答案】1(,)2-∞-【解析】 【分析】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m 的取值范围.【详解】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值. ()e x f x x '=，当[]2,0x ∈-时，()0f x '≤，此时函数()f x 单调递减；当(]0,2x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增.()()00e 011f =-=-，即函数()f x 在[]22-,上的最小值为-1. 函数()g x mx =为直线，当0m =时，()0g x =，显然10-<不符合题意；当0m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 的最小值为()1g m =，则1m <-，与0m >矛盾；当0m <时，()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 的最小值为()22g m =，则12m ->，即12m <-，符合题意.故实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.16.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，且2CA CB mc =⋅，有下列结论：①28t <<； ②229m -<<； ③4t =，ln 2a =时，ABC ∆215ln 2；④当58t <<时，ABC ∆为钝角三角形.其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号） 【答案】①②④ 【解析】 【详解】sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，∴::ln 2:ln 4:ln a b c t =，故可设ln 2a k =，ln 42ln 2b k k ==，ln c k t =，0k >.b a c b a -<<+，∴ln 23ln 2k c k <<， 则28t <<，当58t <<时，2220a b c +-<，故ABC ∆为钝角三角形.面2222222225ln 2cos 222a b c a b c k c CA CB ab C ab ab +-+--⋅==⋅==， 又2CA CB mc =⋅，∴222222225ln 25ln 21222k c CA CB k m c c c -⋅===-. ln 23ln 2k c k <<，∴2222222255518ln 222ln 2k k k k c k <<，即22255ln 251822k c <<，∴229m -<<.当4t =，ln 2a =时，ABC ∆215ln 2，故四个结论中，只有③不正确.填①②④．【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为180来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧．三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列{}n a 、{}n b 满足：114a =，1n na b +=，121n n n b b a +=-. （1）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=+++⋅⋅⋅+，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立． 【答案】（1）见解析，23n n b n +=+；（2）1a ≤ 【解析】 【分析】（1）由已知变形为112n n b b +=-，再构造111111n n b b +-=---，从而证明数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求通项公式；（2）由（1）可知113n n a b n =-=+，再写出n S ，利用裂项相消法求和，4n n aS b <恒成立整理为()()()()213682404334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=<++++恒成立，分1a =，1a >和1a <三种情况讨论*n N ∈时恒成立求a 的取值范围.【详解】（1）∵()()()111122nn n n n n n nb b b a a b b b +===-+--，∴11112n n b b +-=--，∴12111111n n n n b b b b +-==-+---． ∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以-4为首项，-1为公差的等差数列．∴()14131n n n b =---=---，∴12133n n b n n +=-=++． （2）∵113n n a b n =-=+． ∴()()12231111455634n n n S a a a a a a n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅⨯⨯++()114444n n n =-=++，∴()()()()21368244334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=++++． 由条件可知()()213680a n a n -+--<恒成立即可满足条件，设()()()21328f n a n a n =-+--，当1a =时，()380f n n =--<恒成立， 当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立．当1a <时，对称轴3231102121a a a -⎛⎫-⋅=--< ⎪--⎝⎭，()f n 在[)1,+∞为单调递减函数． ()()()113684150f a a a =-+--=-<，∴154a <，∴1a <时4n n aS b <恒成立． 综上知：1a ≤时，4n n aS b <恒成立．【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式，裂项相消法求和，以及数列和函数结合的综合性问题，意在考查转化与化归，讨论的思想和计算能力，属于中高档习题.18.在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，1tan 2ACB ∠=.已知E F ，分别是BC AC ，的中点.将CEF ∆沿EF 折起，使C 到C '的位置且二面角C EF B '--的大小是60°，连接C B C A ''，，如图：（1）证明：平面AFC '⊥平面ABC '（2）求平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）45° 【解析】 【分析】（1）设AC '的中点为G ，连接FG ，设BC '的中点为H ，连接GH ，EH ，从而BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角，60BEC ∠='，推导出EH BC '⊥，从而EF ⊥平面BEC '，则AB EH ⊥，即EH AB ⊥，进而EH ⊥平面ABC '，推导四边形EHGF 为平行四边形，从而FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，由此即可得证.（2）以B 为原点，在平面BEC '中过B 作BE 的垂线为x 轴，BE 为y 轴，BA 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【详解】（1）∵F 是AC 的中点，∴AF C F '=. 设AC '的中点为G ，连接FG . 设BC '的中点为H ，连接GH ，EH . 易证：C E EF '⊥，BE EF ⊥，∴BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角. ∴60BEC ∠='，而E 为BC 的中点.易知BE EC '=，∴BEC '∆为等边三角形，∴EH BC '⊥.① ∵EF C E '⊥，EF BE ⊥，C EBE E '=，∴EF ⊥平面BEC '.而EF AB∥，∴AB ⊥平面BEC '，∴AB EH ⊥，即EH AB ⊥.② 由①②，BC AB B '=，∴EH ⊥平面ABC '.∵G H ，分别为AC BC ''，的中点. ∴四边形EHGF平行四边形.∴FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，又FG ⊂平面AFC '. ∴平面AFC '⊥平面ABC '.（2）如图，建立空间直角坐标系，设2AB =.则()002A ，，，()000B ，，，()201F ，，，()200E ，，，()13C '，， 显然平面BEC '的法向量()001m =，，，设平面AFC '的法向量为()n x y z ，，=，()132AC ='-，，，()201AF =-，，， ∴20320x z x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴()132n =，，. 2cos ,2m n m n m n ⋅==⋅， 由图形观察可知，平面AFC '与平面BEC '所成的二面角的平面角为锐角. ∴平面AFC '与平面BEC '所成的二面角大小为45°.【点睛】本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为()11911,2,31010n n P n P n --⎛⎫+= ⎪⎝=⎭，其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.①求该团队挑战成功的概率；②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列与数学期望.【答案】（1）0.026a =，0.024b =，甲在1分钟内解密成功的频率0.9；（2）①0.999361；②详见解析，() 1.109E X =. 【解析】 【分析】（1）根据中位数左右两边的矩形面积之和均为0.5可求得a 、b 的值，并根据频率分布直方图求得甲在1分钟内解密成功的频率；（2）①由（1）得出10.9P =，求出2P 、3P 的值，由此得出该团队挑战成功的概率为()()()1231111P P P ----；②由题意可得出随机变量X 的可能取值有1、2、3，利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量X 在不同取值下的概率，据此可得出随机变量X 的分布列，结合期望公式可计算出X 的数学期望值.【详解】（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，()0.0150.014550.034547450.040.5a ∴⨯+⨯++⨯+-⨯=，解得0.026a =，0.0430.032550.01100.5b ⨯+⨯++⨯=，解得0.024b =，由频率分布直方图知，甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-⨯=；（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =，第二个出场选手解密成功的概率为2910.910.911010P =⨯+⨯=， 第三个出场选手解密成功的概率为23910.920.9291010P ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭， 所以该团队挑战成功的概率为()()()123111110.10.090.0710.999361P P P P =----=-⨯⨯=； ②由①可知按()1,2,3i P i =从小到大的顺序的概率分别1P 、2P 、3P ， 根据题意知X 的取值为1、2、3，则()10.9P X ==，()()210.90.910.091P X ==-⨯=，()()()310.910.910.009P X ==-⨯-=，所以所需派出的人员数目X 的分布列为：X1 2 3P0.90.091 0.009因此，()10.920.09130.009 1.109E X =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查利用频率分布直方图中的中位数求参数，同时也考查概率的计算、随机变量分布列以及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.20.如图，设抛物线C 1:24(0)y mx m =->的准线1与x 轴交于椭圆C 2：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 2，F 1为C 2的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P ，连接PF 1并延长其交C 1于点Q ，M 为C 1上一动点，且在P ，Q 之间移动.（1）当32a +取最小值时，求C 1和C 2的方程； （2）若△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ 面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程.【答案】（1）24y x =-,22143x y +=；（2125642:6633MP y x =【解析】 【分析】（1）由题意，c m =和12c e a ==，得到2a m =，3b m =，根据32a +取最小值时1m =，即可求得抛物线和椭圆的方程；（2）用m 表示出椭圆的方程，联立方程组得出P 点的坐标，计算出12PF F ∆的三边关于m 的式子，从而确定实数m 的值，求出PQ 得距离和M 到直线PQ 的距离，利用二次函数的性质，求得MPQ ∆面积取最大值，即可求解．【详解】（1）由题意，抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线方程为:l x m =，椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2(,0)F c ，所以c m =，又由12c e a ==，则2a m =，3b m =，所以32a +取最小值时1m =，所以抛物线C 1:24y x =-，又由2a =，23b =，所以椭圆C 2的方程为22143x y +=．（2）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，3b m =， 设椭圆的标准方程为2222143x y m m+=，0011(,),(,)P x y Q x y ， 联立方程组222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得063y m =，即2263m m P ⎛- ⎝⎭，于是153m PF =，21723m PF a PF =-=，12623mF F m ==， 又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =， 此时抛物线方程为212y x =-，1(3,0)F -，(2,6)P -，则直线PQ 的方很为26(3)y x =+，联立226(3)12y x y x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,362Q ⎛-- ⎝.所以22925||2(2636)22PQ ⎛⎫=-+++= ⎪⎝⎭， 设2,((36,26))12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ 的距离为d ，则266752d t ⎛=- ⎝⎭， 当6t =-max 675562d ==， 所以MPQ ∆的面积最大值为12556125622⨯=， 此时MP ：426633y x =. 【点睛】本题主要考查椭圆和抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数()ln xf x a x e=+，其中a 为常数． （1）若直线y x e2=是曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值； （2）当1a =-时，若函数()()ln xg x f x b x=-+在[)1+∞，上有两个零点．求实数b 的取值范围．【答案】(1) 1a = (2) 11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）设切点()00,x y ， 由题意得000012,2ln a e x ex x a xe e ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可得结果；（2）函数()()ln x g x f x b x =-+在[)1+∞，上有两个零点等价于，函数ln ln x x y x x e=+- 的图象与直线y b =有两个交点，设ln ()ln (0)x xh x x x x e=+->，利用导数可得函数()h x 在x e =处取得极大值1()h e e =，结合1(1)h e=-，()323313h e e e e =+-<-，从而可得结果.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()a x aef x e x ex +'=+=，曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为y x e2=. 由题意得000012,2ln a e x e x x a xee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1a =，0x e =.所以a 的值为1. （2）当1a =-时，()ln x f x x e =-，则11()x ef x e x ex-'=-=，由()0f x '>，得x e >，由()0f x '<，得0x e <<，则()f x 有最小值为()0f e =，即()0f x ，所以ln ()ln x xg x x b e x=--+，(0)x >， 由已知可得函数ln ln x xy x x e=+- 的图象与直线y b =有两个交点， 设ln ()ln (0)x xh x x x x e=+->， 则211ln 1()x h x x x e -'=+-22ln ex e e x x ex +--=， 令2()ln x ex e e x x ϕ=+--，22()2e ex e x x e x x xϕ--'=--=，由220ex e x --<，可知()0x ϕ'<，所以()x ϕ在(0,)+∞上为减函数，由()0e ϕ=，得0x e <<时，()0x ϕ>，当x e >时，()0x ϕ<， 即当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<， 则函数()h x 在(0,)e 上为增函数，在(,)e +∞上为减函数， 所以，函数()h x 在x e =处取得极大值1()h e e=， 又1(1)h e=-，()322331341h ee e e e=+-<-<-<-， 所以，当函数()g x 在[1,)+∞上有两个零点时，b 的取值范围是11b e e-<， 即11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的零点，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.22.在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2,1x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线21:1C y x =-以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为424πρα⎛⎫=-⎪⎝⎭. （Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP ⋅的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为()2,1-，求QM QN -的值. 【答案】（Ⅰ）21]； 2. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用参数方程表示出目标式BA BP ⋅，结合三角函数知识求解； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线2C ，结合参数的几何意义可求. 【详解】（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10,(1,0),(0,1)x y A B ++=∴--.1C 的方程可化为221(0)x y y +=≥，设点P 的坐标为(cos ,sin ),0θθθπ≤≤，cos sin 12121]4BA BP πθθθ⎛⎫∴⋅=-++=-+∈ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-=.直线l 的标准参数方程为222212x m y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），代入2C 得：2270m m -=设,M N 两点对应的参数分别为12,m m12122,70m m m m +==-< ,故12,m m 异号 122QM QN m m ∴-=+=‖‖【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标之间的转化及参数方程的应用，利用参数的几何意义能简化计算过程，达到事半功倍的效果.23.已知函数()223f x x x m =+++, m R ∈． (1)当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）若(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1） 12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）322m ≥--【解析】 【分析】（1）当2m =- 时，f （x ）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩ ，分段解不等式即可． （2）f （x ）＝|2x|+|2x+3|+m ＝33,02343,2m x x m x ⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩．当302x -<<时，得23m x x +≥+ ，当32x ≤-时，得253m x x≥++，利用恒成立求最值，可得m 的取值范围． 【详解】（1）当m ＝﹣2时，f （x ）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当，解得； 当恒成立当解得﹣2，此不等式的解集为（2）当x∈（﹣∞，0）时f（x）＝|2x|+|2x+3|+m＝33,02343,2m xx m x⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩．当32x-<<时，得23m xx+≥+恒成立，由当且仅当即时等号成立．∴，∴当32x≤-时，得243x m xx--+≥+．∴253m xx≥++恒成立，令253y xx=++，，∵22228375559932yx=-≥-=-=⎛⎫⎪⎝⎭'-，∴在上是增函数．∴当时，取到最大值为356-∴.又3517332266-=--<--所以322m≥--【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查利用恒成立求参数的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
湖南湖北四校2020届高三下学期4月学情调研联考数学(理)试题 Word版含解析
【解析】
【分析】
在四面体 中，设 ,过点A作 于E，连接 ，得 ，求得 ，令 ，利用导数即可求解其最大值，进而得到体积的取值范围，得出答案.
【详解】如图所示，设 ,
过点A作 于E，连接 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，解得 ，
所以体积的最大值为 ，
所以此三棱锥的体积的取值范围是 ，故选A.
【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析 的最小值，转化为 的代数关系，最后求 的范围.
8.已知在关于x，y的不等式组 ，(其中 )所表示的平面区域内，存在点 ，满足 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
17.已知数列 、 满足： ， ， .
（1）证明： 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，求实数 为何值时 恒成立．
【答案】（1）见解析， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知变形为 ，再构造 ，从而证明数列 是等差数列，并求通项公式；
（2）由（1）可知 ，再写出 ，利用裂项相消法求和， 恒成立整理为 恒成立，分 ， 和 三种情况讨论 时恒成立求 的取值范围.
故选：C
【点睛】此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题.
3.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为 ，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取 ），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A. B.
C. D.
【4月湖北宜昌一调文数】湖北省宜昌市2020届高三年级4月线上统一调研测试文科数学试题及答案解析(4.24)
97
M ，且 FM MP ，则直线 PF 的斜率为
.
高三文数试卷 第 2页 共 4 页
三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17～21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分. 17.（本题满分 12 分）
2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 填 错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13. 已知函数 f (x) 为 R 上的奇函数， x 0 时， f (x) x2 x ，则 f (2)
.
14.
若实数
x,
y
满足约束条件
xy
1 1
宜昌市 2020 届高三年级 4 月线上统一调研测试
数学试题（文科）
本试卷共 4 页，23 题（含选考题）. 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
1. 已知集合 A {x y x2 2x 3}, B {y y 2x 1, x R}，则 A B
高三文数试卷 第 1页 共 4 页
尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤. 问依次每一尺各重多少斤？” 假定该金杖被截成长度相等
的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列. 若将该金杖截成长度相等的 20 段，则中间两段的重量和为
A. 6 斤 5
B. 4 斤 3
C. 3 斤 2
9.
对于函数
Hale Waihona Puke log51 6，
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A. 1 i
B. 1 i
1
3.设
x
1 2
3
，
y
log5
1 6
，
z
log
1 4
3
，则（
A. x y z
B. y z x
4.运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（
C. 2 2i
） C. z x y ）
D. 2 2i
D. z y x
A. 0
B. 1
C. 3
D. 2 3
5.已知函数 f x sin x
2
（1）求证： BC / / 平面 AED ；
（2）M 为 CF 上的点， FM FC 0 1 ，若二面角 B MD E 的余弦值为 7 ，求 的值.
7
19.已知 A1 、A2 分别是离心率 e
2 2
的椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左右项点，P
是椭圆
E 的上顶点，
（2）若 ABC 的面积为 2 3 ， b 2 6 ，求 ABC 的周长. 18.如图 1，直角梯形 ABCD 中，AD / /BC ，AB AD ，E、F 分别是 AD 和 BC 上的点，且 AB / / EF ，AE 2 ， AB DE 1 CF 3 ，沿 EF 将四边形 ABFE 折起，如图 2，使 AE 与 FC 所成的角为 60°.
27
B. 28
C.
26 27
9
D.
8
7.已知箱中装有 6 瓶消毒液，其中 4 瓶合格品，2 瓶不合格品，现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被
抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用 A 表示“第一次取到不合格消毒液”，用 B 表示“第二次仍
取到不合格消毒液”，则 P B | A （ ）
1
A.
宣传费用 x
3
4
5
6
销量 y
2.5
3
4
4.5
经计算得回归直线方程 yˆ bˆx aˆ 的斜率为 0.7，若投入宣传费用为 8 万元，则该品牌汽车销量的预测值为
________________万辆.
15.如图，在四棱锥
P
ABCD
中， PA
平面
ABCD
， ABCD 是菱形，ABC
பைடு நூலகம்
3
，
PA
AB
2
3，
3 cos x
，下列命题：①
f
x
关于点
3
,
0
对称；②
f
x
的最大值为
2；③
f
x
的最小正周期为 ；④ f x 在区间 0, 上递增.其中正确命题的个数是（ ）
2
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6.设正项等比数列
an
的前 n 项和为 Sn ，且 anan1
1 9n
，则
S6 S3
（
）
28
A.
6
1
B.
5
1
C.
4
1
D.
3
8.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重
二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下 1 尺，重
4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤.问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，
A. 6 2
B. 6 4
C. 3 2
D. 3 4
12.定义在 R 上的偶函数
f
x 满足
f
5 x
f
x 3 ，且
f
x
2x2
x
2
ln
4x, x,1
0
x
x
1 4
，若关于
x
的不
等式 f 2 x a 1 f x a 0 在 20, 20 上有且仅有 15 个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）
E 是 PD 上的一动点，当点 E 满足_____________时， AD EC ；在（1）的条件下，三棱锥 E ACD 的
外接球的体积为________________.
16.已知双曲线 C
: x2
y2 2
1 的左，右焦点分别为 F1 、 F2 ，点
G
位于第一象限的双曲线上，若点
H
满足
OH
其重量从粗到细构成等差数列.若将该金杖截成长度相等的 20 段，则中间两段的重量和为（ ）
A.
6
斤
5
B.
4
斤
3
C.
3
斤
2
D. 5 斤 4
9.四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一.四色定理的内容是“任何一张地图最
多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算
宜昌市 2020 届高三年级 4 月线上统一调研测试数学试题（理科）
一、选择题
1.已知集合 A x y x2 2x 3 ， B y y 2x 1, x R ，则 A B （ ）
A. 1,3
B. 1,
C. 1,3
D. 3,
2.复数 z 满足 1 i z 2 2i ，则 z （ ）
且 PA1 PA2 1 .
（1）求椭圆 E的方程；
（2）若动直线 l 过点 0, 4 ，且与椭圆 E 交于 A、B 两点，点 M 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直线 AM 恒
过定点. 20.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组 织专家统计了该地区 500 名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分 布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者， 称为“长潜伏者”.
对该地图的五个区域涂色，每个区域只使用一种颜色，现有 4 种颜色可供选择（4 种颜色不一定用完），满
足四色定理的不同的涂色种数为（ ）
A. 96
B. 72
C. 108
D. 144
10.已知抛物线 C : y2 8x 的焦点为 F，M 是抛物线 C 上一点，N 是圆 (x 6)2 ( y 3)2 9 上一点，则
MN MF 的最小值为（ ）
A. 4
B. 5
C. 8
D. 10
11.某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形， M1 为正视图一边的中点，且几何体表面上的点 M、
A、B 在正视图上的对应点分别为 M1 、 A1 、 B1 ，在此几何体中，平面 过点 M 且与直线 AB 垂直.则平面 截该几何体所得截面图形的面积为（ ）
A. 1, ln 2 2
B. 2 ln 3 3, 2 ln 2 2
C. 2 ln 3 3, 2 ln 2 2
D. 2 2 ln 2, 3 2 ln 3
二、填空题
13.若向量
r a
1,
2
，
r b
2,
m
，且
(a
2b )
a
，则
m
______________
.
14.某种品牌汽车的销量 y（万辆）与投入宣传费用 x（万元）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：
OG
|
GF1 GF1
|
|
GF2 GF2
|
(
0)
，且直线
GH
与
x
轴的交点为
P
3 3
,
0
，则
G
点的坐标为
_______________.
三、解答题 17.在 ABC 中，角 A、B、C的对边分别是 a、b、c，且 3(a b cos C) c sin B .
（1）求角 B 的大小；