江苏省苏州市第五中学高中数学 2.1圆锥曲线学案(无答案)苏教版选修21
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2 求曲线的方程学案 苏教版选修21
2．6.2 求曲线的方程[学习目标] 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．知识点一 坐标法和解析几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x ，y )所满足的方程f (x ，y )＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫坐标法．用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．知识点二 解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质． 知识点三 求曲线的方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系；(2)设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )； (3)列出符合条件P (M )的方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 思考 (1)求曲线的方程的步骤是否可以省略？ (2)求曲线的方程和求轨迹一样吗？答案 (1)可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程． (2)不一样．若是求轨迹则要先求出方程，再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚．题型一 直接法求曲线方程例1 动点M 与距离为2a 的两个定点A ，B 的连线的斜率之积等于－12，求动点M 的轨迹方程．解 如图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－a,0)，B (a,0)．设M (x ，y )为轨迹上任意一点，则k MA ＝yx ＋a，k MB ＝yx －a(x ≠±a )．∵k MA ·k MB ＝－12，∴y x ＋a ·yx －a ＝－12，化简得：x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a )．∴点M 的轨迹方程为x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a )．反思与感悟 直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M |p (M )}直接翻译成x ，y 的形式F (x ，y )＝0，然后进行等价变换，化简为f (x ，y )＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．跟踪训练1 已知在直角三角形ABC 中，角C 为直角，点A (－1,0)，点B (1,0)，求满足条件的点C 的轨迹方程．解 如图，设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋1，y )，BC →＝(x －1，y )． ∵∠C 为直角，∴AC →⊥BC →，即AC →·BC →＝0. ∴(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0. 化简得x 2＋y 2＝1.∵A 、B 、C 三点要构成三角形， ∴A 、B 、C 三点不共线，∴y ≠0. ∴点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)． 题型二 定义法求曲线方程例2 已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．解 如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ ，设M 为OC 的中点，则M 的坐标为(12，0)．∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以点M (12，0)为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．反思与感悟 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．跟踪训练2 已知定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．解 作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知OM ＝12AB ＝3.所以M 的轨迹是以原点O 为圆心，以3为半径的圆， 故点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9. 题型三 代入法求曲线方程例3 已知动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，点M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求点P 的轨迹方程．解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.反思与感悟 代入法求轨迹方程就是利用所求动点P (x ，y )与相关动点Q (x 0，y 0)坐标间的关系式，且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P 的坐标(x ，y )表示相关动点Q 的坐标(x 0，y 0)，即利用x ，y 表示x 0，y 0，然后把x 0，y 0代入已知曲线方程即可求得动点P 的轨迹方程．跟踪训练3 已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0，0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．解 设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以3y ＝(3x －6)2＋3， 整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故点M 的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.求曲线方程忽略限制条件致错例4 直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．错解 设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)， 再由OM ⊥MP ，得OP 2＝OM 2＋MP 2， ∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25， 整理得(x －52)2＋y 2＝254.正解 设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)， 再由OM ⊥MP ，得OP 2＝OM 2＋MP 2， ∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25， 整理得(x －52)2＋y 2＝254.∵点M 应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －522＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16，得两曲线交点的横坐标为x ＝165，故点M 的轨迹方程为(x －52)2＋y 2＝254(0≤x <165)．易错警示1．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－3，0)，B(3，0)，顶点C的轨迹是________．(填序号)①一条直线②一条直线去掉一点③一个点④两个点答案②解析注意当点C与A、B共线时，不符合题意，应去掉．2．到点(－1,0)与直线x＝3的距离相等的点的轨迹方程为________．答案y2＝－8x＋8解析由已知得x＋2＋y2＝|x－3|，变形为：y2＝－8x＋8.3．下列各点中，在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上的点是________．(填序号)①(2，－2) ②(4，－3)③(3,10) ④(－2,5)答案③解析依次把四个点代入x2－xy＋2y＋1，当x＝3，y＝10时，x2－xy＋2y＋1＝0.4．在第四象限内，到原点的距离为2的点M的轨迹方程是________．(填序号)①x2＋y2＝4 ②x2＋y2＝4(x>0)③y＝－4－x2④y＝－4－x2(0<x<2)答案④解析设M(x，y)，由MO＝2得，x2＋y2＝4，又∵点M在第四象限，∴y＝－4－x2(0<x<2)．5．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且PA＝1，则动点P的轨迹方程是__________________．答案(x－1)2＋y2＝2解析圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则PB2＝PA2＋r2.∴PB2＝2.∴动点P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2.1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．2．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．3．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．4．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学案 苏教版选修21
2．3.1 双曲线的标准方程[学习目标] 1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一 双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 知识点二 双曲线的标准方程思考121212件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案 (1)当距离之差等于F 1F 2时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F 1、F 2，当距离之差大于F 1F 2时，动点的轨迹不存在． (2)a ，b 的值及焦点所在的位置．题型一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9，(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. (2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.反思与感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，从而简化求解过程． 跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)． 解 (1)由双曲线的定义知，2a ＝8，所以a ＝4， 又知焦点在x 轴上，且c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， 所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)因为焦点在x 轴上，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4b 2＝1， ①24a 2－8b 2＝1， ②解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1.题型二 双曲线定义的应用例2 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得|MF 1－MF 2|＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2－PF 1|＝2a ＝6两边平方得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2 ＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002×32＝0，且∠F 1PF 2∈(0°，180°)，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴12PF F S＝12PF 1·PF 2 ＝12×32＝16. 反思与感悟 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF 1－PF 2|＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF 1－PF 2|＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．跟踪训练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得PF 1－PF 2＝±6，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°，所以102＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2， 所以PF 1·PF 2＝64，所以12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin∠F 1PF 2 ＝12×64×32＝16 3. 题型三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知AB ＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sinA ＋sin C ＝2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝BC 2R ，sin B ＝AC 2R ，sin C ＝AB2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2BC ＋AB ＝2AC ，从而有AC －BC ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6， 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．反思与感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪训练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ， 则有MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3<10＝F 1F 2.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32)．1．已知F 1(3,3)，F 2(－3,3)，动点P 满足PF 1－PF 2＝4，则P 点的轨迹是________．(填序号) ①双曲线 ②双曲线的一支 ③不存在④一条射线答案 ②解析 因为PF 1－PF 2＝4，且4<F 1F 2，由双曲线定义知，P 点的轨迹是双曲线的一支．2．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________．答案 ±3解析 由题意知，34－n 2＝n 2＋16， ∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.3．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为________． 答案 4 3解析 由标准方程得a 2＝10，b 2＝2， 所以c 2＝a 2＋b 2＝12，c ＝23， 所以焦距2c ＝4 3.4．已知双曲线中a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为______________________． 答案x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 解析 当焦点在x 轴上时，方程为x 225－y 224＝1，当焦点在y 轴上时，方程为y 225－x 224＝1. 5．P 是双曲线x 2－y 2＝16的左支上一点，F 1，F 2分别是左，右焦点，则PF 1－PF 2＝________. 答案 －8解析 将x 2－y 2＝16化为标准形式为x 216－y 216＝1，所以a 2＝16,2a ＝8， 因为P 点在双曲线左支上， 所以PF 1－PF 2＝－8.1．双曲线定义中|PF1－PF2|＝2a (2a<F1F2)不要漏了绝对值符号，当2a＝F1F2时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1 (mn<0)的形式求解．。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学案 苏教版选修21
2.3.1 双曲线的标准方程1．了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)2．理解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点) 3．椭圆与双曲线标准方程的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理 双曲线的标准方程阅读教材P 39～P 40例1以上部分，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(2)在双曲线标准方程中，a ，b 和焦点F 2(c,0)满足a 2＝b 2＋c 2.( ) (3)双曲线y 2－x 2＝1的焦点坐标在y 轴上．( ) (4)在双曲线y 29－x 24＝1中，焦点坐标为(±5,0)．( )【解析】 (1)方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a >0，b >0.a ＝b 时也是双曲线，故不正确；(2)在双曲线标准方程中，都有a 2＋b 2＝c 2.故不正确． (3)根据标准方程特点，正确．(4)在y 29－x 24＝1中，c ＝9＋4＝13，所以焦点坐标为(0，±13)．【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．【精彩点拨】 解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a ，b ，c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．【自主解答】 (1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9.(舍去)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P ，Q 两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 法二：∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.1．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．[再练一题]1．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程. 【导学号：09390030】【解】 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(1)如果方程m ＋2＋m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________．(2) “ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．(3)若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．【精彩点拨】 根据双曲线标准方程的特征常列不等式组求解．【自主解答】 (1)由题意知(2＋m )(1＋m )＜0，解得－2＜m ＜－1.故m 的取值范围是(－2，－1)．(2)若ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b＝1表示双曲线，则c 2ab <0，这就是说“ab <0”是必要条件，然而若ab <0，c 等于0时不表示双曲线，即“ab <0”不是充分条件．【答案】 (1)(－2，－1) (2)必要不充分(3)由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m <0，m 2－2m －3>0，解得m >5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．方程表示双曲线的条件及参数范围求法1．对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当mn ＜0时表示双曲线．进一步，当m ＞0，n ＜0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＜0，n ＞0时表示焦点在y 轴上的双曲线．2．对于方程x 2m －y 2n＝1，则当mn ＞0时表示双曲线．且当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m ＜0，n ＜0时表示焦点在y 轴上的双曲线．3．已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．[再练一题]2．讨论x 225－k ＋y 29－k＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？【解】 由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k <9,9<k <25，k >25，分别进行讨论． (1)当k <9时，25－k >0,9－k >0，所给方程表示椭圆，此时，a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，a 2－b 2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(2)当9<k <25时，25－k >0,9－k <0，所给方程表示双曲线，此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(3)当k >25时，所给方程没有轨迹．[探究共研型]探究1 12中MF 1，MF 2，F 1F 2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？【提示】 焦点三角形中，常用的关系式有： (1)MF 1－MF 2＝±2a ；(2)S △F 1MF 2＝12MF 1·MF 2·sin∠F 1MF 2；(3)F 1F 22＝MF 21＋MF 22－2MF 1·MF 2·cos∠F 1MF 2.探究2 在双曲线的焦点三角形中，如何确定它的面积？随着∠F 1PF 2的变化，△F 1PF 2的面积将怎样变化？【提示】 由公式S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2，cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝PF 1－PF 22－F 1F 22＋2PF 1·PF 22PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＋2PF 1·PF 22PF 1·PF 2＝－4b 2＋2PF 1·PF 22PF 1·PF 2＝－2b 2PF 1·PF 2＋1， ∴PF 1·PF 2＝2b21－cos ∠F 1PF 2.从而得S △PF 1F 2＝b 2tanθ2(θ＝∠F 1PF 2)．∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内，1tanθ2是单调递减的，∴当θ增大时，S △F 1MF 2＝b 2tanθ2减小．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 24＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的周长及△F 1PF 2的面积．【精彩点拨】 由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF 1与PF 2的长，或利用整体代入法先求PF 1＋PF 2与PF 1·PF 2，再求周长与面积．【自主解答】 法一：∵点P 在双曲线x 24－y 24＝1上，∴|PF 1－PF 2|＝4，F 1F 2＝4 2.又∵∠F 1PF 2＝90°，∴△F 1PF 2为直角三角形， ∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝32.列方程组⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1－PF 2|＝4，PF 21＋PF 22＝32，解得⎩⎨⎧PF 1＝23＋2，PF 2＝23－2或⎩⎨⎧PF 1＝23－2，PF 2＝23＋2.∴△F 1PF 2的周长为PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝43＋42， △F 1PF 2的面积为12PF 1·PF 2＝12(23＋2)(23－2)＝4.法二：同解法一得|PF 1－PF 2|＝4，F 1F 2＝42，PF 21＋PF 22＝32. ∴(|PF 1－PF 2)2＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2， 即16＝32－2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝8.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝32＋16＝48， ∴PF 1＋PF 2＝4 3.∴△F 1PF 2的周长为PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝43＋42， △F 1PF 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×8＝4.在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合MF 1－MF 2＝±2a ，运用平方的方法，建立它与MF 1·MF 2的联系，体现了数学中的一种整体思想.[再练一题]3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，PF 1＝2PF 2，则cos ∠F 1PF 2＝________.【解析】 由双曲线方程得a ＝2，b ＝2，则c ＝a 2＋b 2＝2.因为PF 1－PF 2＝22，且PF 1＝2PF 2，所以PF 1＝42，PF 2＝22，而F 1F 2＝4，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝34.【答案】 34[构建·体系]1．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．【解析】 据题意知(k ＋3)(k ＋2)＜0， 解得－3＜k ＜－2. 【答案】 (－3，－2)2．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1－PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是________．【解析】 由条件可知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，c ＝5，则b 2＝c 2－a 2＝16，∴动点P 的轨迹方程为x 29－y 216＝1.【答案】x 29－y 216＝1 3．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.【导学号：09390031】【解析】 由条件可得4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1. 【答案】 14．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________． 【解析】 方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1.由条件可知－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.【答案】 －15．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)以椭圆x 28＋y 25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)．【解】 (1)依题意，双曲线的焦点在x 轴上且a ＝3，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.(2)法一：∵c 2＝16＋4＝20，∴c ＝25， ∴F (±25，0)， ∴2a ＝|2－252＋4－2＋252＋4|＝43，∴a 2＝12，∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴双曲线方程为x 212－y 28＝1.法二：设所求双曲线方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2016·徐州高二检测)双曲线y 216－x 29＝1上一点P 到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是________．【解析】 据题意知|PF 1－PF 2|＝|PF 1－10|＝8，∴PF 1＝18或2. 【答案】 18或2 2．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是________．【解析】 由题意，得c ＝m 2＋＋－m2＝4，∴焦距为2c ＝8.【答案】 83．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|.又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】 －14．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P (－3,2)的双曲线的标准方程是________．【解析】 由题意，焦点在y 轴上，且c ＝2，可设双曲线方程为y 2m －x 24－m＝1(0<m <4)，将P (－3,2)代入，解得m ＝1.因此所求双曲线标准方程为y 2－x 23＝1.【答案】 y 2－x 23＝15．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．【解析】 不妨设P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝PF 21＋PF 22，又因为|PF 1－PF 2|＝2，所以(PF 1－PF 2)2＝4，可得2PF 1·PF 2＝4，则(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝12，所以PF 1＋PF 2＝2 3.【答案】 2 36．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________. 【导学号：09390032】【解析】 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5代入双曲线可得|y M |＝163，即双曲线上一点M 到右焦点的距离为163，故利用双曲线的定义可求得点M 到左焦点的距离为2a ＋|y M |＝6＋163＝343.【答案】3437．(2016·江西九江模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是PF 1的中点，若OM ＝1，则PF 1的值为________．【解析】 因为M 是PF 1的中点，所以PF 2＝2OM ＝2，又由双曲线的定义知：PF 1－PF 2＝2a ＝8，所以PF 1＝10.【答案】 108．(2016·云南玉溪模拟)若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________. 【导学号：09390033】【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －9＝0，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3.∵圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A (0，－3)，B (0,3)，且a ＝3,2c ＝18，∴b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822－32＝72，∴双曲线方程为y 29－x 272＝1.【答案】y 29－x 272＝1 二、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． 【解】 (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.10．已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．【解】 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[能力提升]1．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由题意知PF 1－PF 2＝2a ＝2， ∴43PF 2－PF 2＝2， ∴PF 2＝6，PF 1＝8. 又F 1F 2＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°， ∴S △PF 1F 2＝12×6×8＝24.【答案】 242．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为_____．【解析】 对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13， 又离心率e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5. 由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1共焦点， ∴c 2＝5.又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝c 22－a 22＝3，又焦点在x 轴上， 故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.【答案】x 216－y 29＝13．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．【解析】 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2. 根据勾股定理得PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 22＝20.根据双曲线定义，有PF 1－PF 2＝±2a . 两边平方并代入PF 1·PF 2＝2，得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1. 故双曲线的标准方程是x 24－y 2＝1.【答案】x 24－y 2＝14．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图231所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA ，PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．图231【解】 矩形灾民区ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路PA 送药较近，第二类沿道路PB 送药较近，第三类沿道路PA 和PB 送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任一点，则PA ＋MA ＝PB ＋MB ，MA －MB ＝PB －PA ＝50(定值)，∴界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵a ＝25,2c ＝|AB |＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507， ∴c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3 750，故双曲线的标准方程为x 2625－y 23 750＝1.注意到点C 的坐标为(257，60)，故y 的最大值为60，此时x ＝35，故界线的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35，y >0)．。
江苏省宿迁市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 第8课时 双曲线的标准方程2导学案(无答案)苏教版选修21
第8课时 双曲线的标准方程（2）【学习目标】1．掌握双曲线的定义,标准方程； 2．根据已知条件求双曲线的标准方程． 【问题情境】焦点在x 轴上的双曲线标准方程为 ； 焦点在y 轴上的双曲线标准方程为．【合作探究】试比较双曲线与椭圆的异同：【展示点拨】例1．若双曲线k y x =-222的焦距为6，求实数k 的值．例2．若双曲线112422=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离为8，求点P 到它的左焦点的距离．例3．已知双曲线与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点)2,23(，求双曲线的方程．例4．已知方程422=+y kx ，其中k 为实数，对于不同的范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【学以致用】1．方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈____．2．已知双曲线2288kx ky -= 的一个焦点为(0,3)，则k = ．3．以椭圆221169144x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程是 ． 4．已知双曲线1366422=-y x 的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且02190=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．5．在△MNG 中，已知NG ＝4，当动点M 满足条件M N G sin 21sin sin =-时，求动点M 的轨迹方程．第8课时 双曲线的标准方程（2）【基础训练】1．椭圆2x 2－3y 2＝1焦点坐标为 ．2．已知方程2211x y k k-=-表示双曲线，则k 的取值范围是 ．3．焦距为(3,5)M -的双曲线的标准方程为 ．4．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是 ．5．已知焦点为12(4,0),(4,0)F F -，且经过点2)M 的双曲线的标准方程是 ．6．若椭圆14222=+my x 与双曲线1222=-y m x 有相同焦点，则实数m 的值为 ． 【思考应用】7．若表示何种变化时，方程则当1,,222222=-+-∈>λλλλb y a x R b a 曲线?它们是否有相同的焦点？8．求焦点的坐标轴上，且经过)523,2(1-P 和)4,734(2P 两点的双曲线的标准方程．9．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程；10．已知221,13x y k k -=---○1方程表示双曲线；○2表示焦点在x 轴上的双曲线；③表示焦点在y 轴上的双曲线【拓展提升】11．已在双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．12．在周长为48的390,tan =4o Rt MPN MPN PMN ∆∠=∠中，，求以M,N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．。
高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(6.2)word学案
2．6.2求曲线的方程[学习目标] 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．[知识链接]求曲线方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解．答：坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的烦杂程度．[预习导引]1．平面解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．(2)通过方程，研究平面曲线的性质．2．求曲线(图形)的方程一般有下面几个步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．(2)写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}．(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0.(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有直接法、代入法、定义法、参数法、待定系数法．要点一直接法求曲线方程例1已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．解如图所示，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.设点M(x，y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合P＝{M|MF－MB＝2}．由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为x 2＋(y －2)2－y ＝2，① 将①式移项后两边平方，得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2， 化简得y ＝18x 2.因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.虽然原点O 的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是y ＝18x 2 (x ≠0)．规律方法 直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M |p (M )}直接翻译成x ，y 的形式F (x ，y )＝0，然后进行等价变换，化简为f (x ，y )＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少． 跟踪演练1 已知在直角三角形ABC 中，角C 为直角，点A (－1,0)，点B (1,0)，求满足条件的点C 的轨迹方程．解 如图，设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋1，y )，BC →＝(x －1，y )． ∵C 为直角，∴AC →⊥BC →，即AC →·BC →＝0. ∴(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0. 化简得x 2＋y 2＝1.∵A 、B 、C 三点要构成三角形， ∴A 、B 、C 不共线，∴y ≠0， ∴点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)． 要点二 定义法求曲线方程例2 已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．解 如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ ，设M 为OC 的中点，则M 的坐标为(12，0)．∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以点M (12，0)为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)． 规律方法 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征．跟踪演练2 已知定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．解 作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知 OM ＝12AB ＝3.所以M 点的轨迹为以原点O 为圆心，以3为半径的圆，故M 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝9. 要点三 代入法求曲线方程例3 已知动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， ∵P 为MB 的中点．∴⎩⎨⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14. ∴P 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14. 规律方法 代入法求轨迹方程就是利用所求动点P (x ，y )与相关动点Q (x 0，y 0)坐标间的关系式，且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P 的坐标(x ，y )表示相关动点Q 的坐标(x 0，y 0)，即利用x ，y 表示x 0，y 0，然后把x 0，y 0代入已知曲线方程即可求得所求动点P 的轨迹方程．跟踪演练3 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9.过原点作圆C 的弦OP ，求OP 的中点Q 的轨迹方程． 解 方法一(直接法)如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得OQ 2＋QC 2＝OC 2， 即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9， 所以x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(x ≠0)． 方法二(定义法)如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(x ≠0)． 方法三(代入法)设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为P 点在圆C 上，所以x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4(y －32)2＝9，即x 2＋(y －32)2＝94(x ≠0)．1．已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (－3，0)，B (3，0)，顶点C 的轨迹是__________________．答案 一条直线(C 不与A 、B 共线)解析 注意当点C 与A 、B 共线时，不符合题意，应去掉．2．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M 的轨迹方程是________________． 答案 y ＝－4－x 2(0<x <2)解析 设M (x ，y )，由MO ＝2得，x 2＋y 2＝4， 又∵点M 在第四象限， ∴y ＝－4－x 2(0<x <2)．3．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________________________． 答案 4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0 解析 可设动点坐标为(x ，y )， 则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.4．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且P A ＝1，则动点P 的轨迹方程是________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，半径r ＝1， 则PB 2＝P A 2＋r 2.∴PB 2＝2. ∴P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．2．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x ，y )，而不要设成(x 1，y 1)或(x ′，y ′)等．3．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f (x ，y )＝0化成x ，y 的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．4．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状.一、基础达标1．平面内有两定点A ，B ，且AB ＝4，动点P 满足|P A →＋PB →|＝4，则点P 的轨迹是________． 答案 圆解析 以AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A (－2,0)、B (2,0)．设P (x ，y )，则P A →＋PB →＝2PO →＝2(－x ，－y )．∴x 2＋y 2＝4.2．已知动点P 到点(1，－2)的距离为3，则动点P 的轨迹方程是________________． 答案 (x －1)2＋(y ＋2)2＝9解析 设P (x ，y )，由题设得(x －1)2＋(y ＋2)2＝3， ∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.3．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________________． 答案 x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)解析 设P (x ，y )，∵△MPN 为直角三角形， ∴MP 2＋NP 2＝MN 2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得，x 2＋y 2＝4. ∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2， ∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)．4．与点A (－1,0)和点B (1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是________________． 答案 x 2＋y 2＝1(x ≠±1) 解析 设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋1，k PB ＝yx －1， 所以k P A ·k PB ＝y x ＋1·yx －1＝－1.整理得x 2＋y 2＝1，又k P A 、k PB 存在，所以x ≠±1. 所以所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1(x ≠±1)．5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是_______________． 答案 4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0解析 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度AB ＝(2＋1)2＋42＝5.设C 点的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.6．已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程是__________________． 答案 y ＝9x 2＋12x ＋3解析 设△ABC 的重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得⎩⎨⎧x ＝－2＋0＋x13，y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. ∵点C (x 1，y 1)在曲线y ＝3x 2－1上， ∴3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．7．等腰三角形ABC 中，若一腰的两个端点分别为A (4,2)，B (－2,0)，A 为顶点，求另一腰的一个端点C 的轨迹方程． 解 设点C 的坐标为(x ，y )，∵△ABC 为等腰三角形，且A 为顶点．∴AB ＝AC . 又∵AB ＝(4＋2)2＋22＝210， ∴AC ＝(x －4)2＋(y －2)2＝210. ∴(x －4)2＋(y －2)2＝40.又∵点C 不能与B 重合，也不能使A 、B 、C 三点共线． ∴x ≠－2且x ≠10.∴点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝40 (x ≠－2且x ≠10)． 二、能力提升8．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是____________． 答案 x ＋y －5＝0(0≤x ≤5)解析 由截距式可得直线为x 5＋y5＝1，则线段方程为x ＋y －5＝0(0≤x ≤5)．9．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________． 答案 4π解析 设P 点的坐标为(x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π.10．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x 2＋2y 2＝4交于A 、B 两点，P 是l 上满足P A →·PB →＝1的点，则点P 的轨迹方程是________________________． 答案 x 26＋y 23＝1(－2＜x ＜2)解析 如图，设P 点的坐标为(x ，y )，则由方程x 2＋2y 2＝4得 2y 2＝4－x 2， ∴y ＝±4－x 22， ∴A 、B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫x ， 4－x 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－ 4－x 22. 又P A →·PB →＝1，∴⎝⎛⎭⎪⎫0， 4－x 22－y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－ 4－x 22－y ＝1， 即y 2－4－x 22＝1，∴x 26＋y 23＝1.又直线l 与椭圆交于两点， ∴－2＜x ＜2，∴点P 的轨迹方程为x 26＋y 23＝1(－2＜x ＜2)．11．若动点P 在y ＝2x 2＋1上移动，则点P 与点Q (0，－1)连线的中点的轨迹方程是什么？ 解 设PQ 的中点为M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则⎩⎨⎧x ＝x 0＋02，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1， 又∵点P 在y ＝2x 2＋1上，∴y 0＝2x 20＋1， 即2y ＋1＝8x 2＋1，即y ＝4x 2为所求的轨迹方程．12．如图，过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程． 解 方法一 设点M 的坐标为(x ，y )． ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)， ∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1. 而k P A ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0，∴21－x ·2－y1＝－1 (x ≠1)．整理，得x ＋2y －5＝0 (x ≠1)． ∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.方法二 设M 的坐标为(x ，y )，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2PM ＝AB . 而PM ＝(x －2)2＋(y －4)2， AB ＝(2x )2＋(2y )2，∴2(x －2)2＋(y －4)2＝4x 2＋4y 2，化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求轨迹方程． 方法三 ∵l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，∴O 、A 、P 、B 四点共圆，且该圆的圆心为M ， ∴MP ＝MO ，∴点M 的轨迹为线段OP 的垂直平分线． ∵k OP ＝4－02－0＝2，OP 的中点坐标为(1,2)， ∴点M 的轨迹方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 三、探究与创新13．如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 为切点)，使得PM ＝2PN .试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 则O 1(－2,0)，O 2(2,0)． 由已知PM ＝2PN ， ∴PM 2＝2PN 2.又∵两圆的半径均为1，∴PO 21－1＝2(PO 22－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 即(x －6)2＋y 2＝33.∴所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33 (或x 2＋y 2－12x ＋3＝0)．。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2 求曲线的方程学案 苏教版选修21
2.6.2 求曲线的方程1．了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．(重点)2．掌握求动点轨迹方程的常用方法．(难点)3．对动点轨迹方程的限制与检验．(易错点)[基础·初探]教材整理求曲线的方程阅读教材P63例1以上的部分，完成下列问题．1．求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：建立适当的坐标系↓设曲线上任意一点M的坐标为x，y↓列出符合条件p M的方程f x，y＝0↓化方程f x，y＝0为最简形式↓证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上求曲线方程的流程图可以简记为：建系→设点→列式→化简→证明2．求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．( )(2)化简方程“|x |＝|y |”为“y ＝x ”是恒等变形．( ) (3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．( )(4)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系．( )【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√2．在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M 的轨迹方程是________．【解析】 由圆的定义知，点M 的轨迹是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆，则其方程为x 2＋y 2＝4.【答案】 x 2＋y 2＝43．设P 为曲线x 24＋y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则动点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则x 0＝2x ，y 0＝2y ， ∵x 204＋y 20＝1，∴x 2＋4y 2＝1. 【答案】 x 2＋4y 2＝14．到A (－3,0)，B (5，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________.【导学号：09390058】【解析】 设P (x ，y )，PA ＝PB ，即x ＋2＋y 2＝x －2＋y ＋2，即(x＋3)2＋y 2＝(x －5)2＋(y ＋1)2，化简得16x －2y －17＝0.【答案】 16x －2y －17＝0[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]在△a ，c ，b 成等差数列，AB ＝2，求顶点C 的轨迹方程．【精彩点拨】 由a ，c ，b 成等差数列可得a ＋b ＝2c ；由a >c >b 可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB ＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解．【自主解答】 以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C 点坐标为(x ，y )，由已知得AC ＋BC ＝2AB .即x ＋2＋y 2＋x －2＋y 2＝4，整理化简得3x 2＋4y 2－12＝0，即x 24＋y 23＝1.又∵a >c >b ，∴x <0且x ≠－2. 所以顶点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x <0且x ≠－2)．直接法求动点轨迹的关键及方法1．关键(1)建立恰当的平面直角坐标系； (2)找出所求动点满足的几何条件． 2．方法求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：①建系、设点；②根据动点满足的几何条件列方程；③对所求的方程化简、说明．[再练一题]1．若将本例已知条件“a >c >b 且a ，c ，b 成等差数列”改为“△ABC 的周长为6且AB ＝2”，求顶点C 的轨迹方程．【解】 以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )， 由已知得AC ＋BC ＋AB ＝6. 即x ＋2＋y 2＋x －2＋y 2＝4.化简整理得3x 2＋4y 2－12＝0，即x 24＋y 23＝1.∵A ，B ，C 三点不能共线， ∴x ≠±2.综上，点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2).A 外切并与直线l相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．【精彩点拨】 利用平面几何的知识，分析点P 满足的条件为抛物线，可用定义法求解． 【自主解答】 如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则KQ ＝1，所以PQ ＝r ＋1，又AP ＝r ＋1，所以AP ＝PQ ，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线．∴p2＝2，∴p ＝4， ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征.[再练一题]2．点P 与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【解】 设d 是点P 到直线x ＝8的距离，根据题意，得PF d ＝12.由圆锥曲线的统一定义可知，点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，x ＝8为准线的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a2c＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 故点P 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.M 的轨迹方程．【精彩点拨】 设M (x ，y )，由M 为线段PQ 的中点，可表示出在已知抛物线上运动的点P 的坐标，代入到已知抛物线，进而得到所求动点的轨迹方程．【自主解答】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)． 由M 为线段PQ 的中点， 得x 0＋42＝x ，y 0＋22＝y ，则x 0＝2x －4，y 0＝2y －2. 因为P (x 0，y 0)在抛物线y ＝x 2上， 即y 0＝x 20，得2y －2＝(2x －4)2， 化简得y ＝2x 2－8x ＋9.即线段PQ 的中点M 的轨迹方程为y ＝2x 2－8x ＋9.1．动点满足的条件不方便用等式求出，但动点随着另一个动点(相关点)而运动时，可以用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关动点法，也称代入法．2．代入法求动点轨迹，要设从动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 0，y 0)，用x ，y 表示x 0，y 0，不要弄反代入而导致错误．[再练一题]3．在例3中，若点M 满足PQ →＝3MQ →，则点M 的轨迹方程是什么？【解】 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20，设M (x ，y )，则PQ →＝(4－x 0,2－y 0)，MQ →＝(4－x,2－y )，由PQ →＝3MQ →，得⎩⎪⎨⎪⎧4－x 0＝－x ，2－y 0＝－y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －8，y 0＝3y －4，又y 0＝x 20，∴3y －4＝(3x －8)2，化简得y ＝3x 2－16x ＋683，即点M 的轨迹方程为y ＝3x 2－16x ＋683. [探究共研型]探究1【提示】 建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征，例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．同一曲线，坐标系建立的不同，方程也不相同．所以要遵循垂直性和对称性的原则建系．一方面让尽可能多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷．探究2 “轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？【提示】 (1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x ，y )所适合的方程f (x ，y )＝0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形，故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．探究3 在求动点的轨迹方程时 ，如何确定变量的取值范围？【提示】 在求动点的轨迹方程时，注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出变量的适当范围．探究4 如何利用参数法求轨迹方程，利用参数法求轨迹方程时要注意什么？ 【提示】 (1)当动点坐标x ，y 满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作为参数，间接地表示出关于x ，y 的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式．在具体问题中，往往以直线的斜率k ，倾斜角α，截矩b ，时间t 等作为参数．(2)利用参数法求轨迹方程时，应注意参数的取值范围．同时，参数法求动点轨迹方程的一个难点就是消参数，应选用适当的方法消去参数．例如代入法、加减法、恒等式法等．设椭圆方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，当直线l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．【精彩点拨】 设出直线的方程，其斜率为k ，运用所给条件，用k 表示点P 的纵、横坐标，消去k ，得x ，y 的关系式，即动点P 的轨迹方程．【自主解答】 直线l 过定点M (0,1)，当其斜率存在时设为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A ，B 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1，消去y ，得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0，∴x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k2. P (x ，y )是AB 的中点，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 1＋x 2＝－k4＋k2，y ＝12y 1＋y 2＝12kx 1＋1＋kx 2＋＝44＋k2，消去k ，得4x 2＋y 2－y ＝0；当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程， 故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0. [再练一题]4．过原点作直线l 和抛物线y ＝x 2－4x ＋9交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 由已知，直线l 的斜率一定存在，设l 的方程为y ＝kx ，把它代入抛物线方程中，得x 2－(4＋k )x ＋9＝0.由Δ＝(4＋k )2－36>0，得k >2或k <－10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4＋k ，则x ＝x 1＋x 22＝k ＋42，y ＝kx ＝k 2＋4k2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋42，y ＝k 2＋4k2，消去参数k ，得y ＝2x 2－4x .由k >2或k <－10，知x >3或x <－3，即所求的轨迹方程为y ＝2x 2－4x (x >3或x <－3)．[构建·体系]1．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是________．【解析】 设P (x ，y )到两坐标轴的距离相等，则|x |＝|y |，即y ＝±x . 【答案】 y ＝±x2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是________．【解析】 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.【答案】 2x －y ＋5＝03．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________. 【导学号：09390059】【解析】 设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |， 得x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为2的圆， 即轨迹所包围的面积等于4π. 【答案】 4π4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________．【解析】 设MN 的中点P (x ，y )，则点M (x,2y )在椭圆上，∴x 2a2＋y 2b 2＝1，即x 2a2＋4y2b 2＝1.【答案】 x 2a 2＋4y 2b2＝15．已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，边AC ，BC 所在直线的斜率之积为－14，求顶点C 的轨迹方程．【解】 设顶点C 的坐标为(x ，y )， 则k CA ＝y x ＋3(x ≠－3)，k BC ＝yx －3(x ≠3)． ∵k CA ·k BC ＝－14，∴y x ＋3·y x －3＝－14.化简得x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)． 当x ＝±3时，A ，B ，C 三点共线，则不能构成三角形，故x ≠±3. ∴所求顶点C 的轨迹方程为x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2－6，则点P 的轨迹方程是________．【解析】 PB →＝(3－x ，－y )，PA →＝(－2－x ，－y )，∴PA →·PB →＝(3－x )·(－2－x )＋y 2＝x 2－x －6＋y 2＝x 2－6，∴y 2＝x . 【答案】 y 2＝x2．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的__________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分3．平面内有两定点A ，B ，且AB ＝4，动点P 满足|PA →＋PB →|＝4，则点P 的轨迹方程是________．【解析】 以AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设A (－2,0)，B (2,0)．∵|PA →＋PB →|＝|2PO →|＝4，∴|PO →|＝2.设P (x ，y )，∴x 2＋y 2＝2，即x 2＋y 2＝4， ∴点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4. 【答案】 x 2＋y 2＝44．已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是__________________．【解析】 由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是________． 【解析】 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，AB ＝＋2＋42＝5.设C 点的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.【答案】 4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝06．(2016·沈阳高二检测)已知AB ＝3，A ，B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O 为坐标原点，OP →＝23OA →＋13OB →，则动点P 的轨迹方程是________. 【导学号：09390060】【解析】 设P (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)．∵AB ＝3，∴x 20＋y 20＝9，OP →＝(x ，y )＝23OA→＋13OB →＝23(x 0,0)＋13(0，y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，13y 0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23x 0，y ＝13y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32x ，y 0＝3y ，又x 2＋y 20＝9，所以94x 2＋9y 2＝9，即x 24＋y 2＝1.【答案】x 24＋y 2＝17．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 如图，AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．【答案】x 29－y 216＝1(x >3) 8．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程是________．【解析】 ∵RA →＝AP →，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由RA →＝AP →，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝x －1，－y 1＝y ，即x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x ，∴点P 的轨迹方程为y ＝2x .【答案】 y ＝2x 二、解答题9．已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP →＝12(OF 1→＋OQ →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，求点P 的轨迹方程．【解】 因为点P 满足OP →＝12(OF 1→＋OQ →)，所以P 是线段 QF 1的中点，设P (x ，y )，由于F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，则F 1(－6，0)，故Q ()2x ＋6，2y ，由点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，则点P 的轨迹方程为x ＋6216＋y210＝1，故点P 的轨迹方程为2x ＋328＋2y25＝1. 10．如图264，过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．图264【解】 法一：设点M 的坐标为(x ，y )． ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)， ∴PA ⊥PB ，k PA ·k PB ＝－1.而k PA ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0，∴21－x ·2－y1＝－1(x ≠1)．整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2PM ＝AB . 而PM ＝x －2＋y －2，AB ＝x 2＋y 2，∴2x －2＋y －2＝4x 2＋4y 2，化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求轨迹方程．法三：∵l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，∴O ，A ，P ，B 四点共圆，且该圆的圆心为M ， ∴MP ＝MO ，∴点M 的轨迹为线段OP 的垂直平分线． ∵k OP ＝4－02－0＝2，OP 的中点坐标为(1,2)，∴点M 的轨迹方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.[能力提升]1．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________．【解析】 设P (x ，y )，∵△MPN 为直角三角形， ∴MP 2＋NP 2＝MN 2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得x 2＋y 2＝4.∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2， ∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)． 【答案】 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)2．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF →1＋PF →2，则动点Q 的轨迹方程是________．【解析】 由OQ →＝PF →1＋PF →2，又PF →1＋PF →2＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.【答案】 x 24a 2＋y 24b2＝13．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，P 是l 上满足PA →·PB →＝1的点，则点P 的轨迹方程是________．【解析】 如图，设P 点的坐标为(x ，y )，则由方程x 2＋2y 2＝4得2y 2＝4－x 2，∴y ＝±4－x22， ∴A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，4－x 22，⎝⎛⎭⎪⎫x ，－4－x 22. 又PA →·PB →＝1，∴⎝⎛⎭⎪⎫0，4－x 22－y ·⎝⎛⎭⎪⎫0，－4－x 22－y ＝1， 即y 2－4－x22＝1，∴x 26＋y 23＝1. 又直线l 与椭圆交于两点，∴－2<x <2， ∴点P 的轨迹方程为x 26＋y 23＝1(－2<x <2)．【答案】x 26＋y 23＝1(－2<x <2) 4．过点A (2,1)的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，求l 被截得的弦的中点的轨迹方程．【解】 法一：设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x －2)，设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，则把l 方程代入椭圆方程消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(1－2k )2－2＝0，Δ＝16k 2(1－2k )2－8(1＋2k 2)[(1－2k )2－1]>0，得－2k 2＋4k >0， ∴0<k <2，x ＝x 1＋x 22＝－2k－2k1＋2k2. ∵中点满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，x ＝2k k －1＋2k 2，消去k 得轨迹方程x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)． 法二：设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，得x 1＋x 2x 1－x 22＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∴y 1－y 2x 2－x 1＝－12×x 1＋x 2y 1＋y 2，又∵k PQ ＝k AM ，∴y －1x －2＝－12×x y，∴2y (y －1)＝－x (x －2)，即x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)．。
江苏省宿迁市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 第9课时 双曲线的几何性质1导学案(无答案)苏教版选修21
第9课时双曲线的几何性质（1）【学习目标】1．了解双曲线的简单几何性质，如范围．对称性．顶点．渐近线和离心率等．2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．【问题情境】1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？【合作探究】双曲线的几何性质【展示点拨】例1．求双曲线22143x y-=的实轴长和虚轴长．焦点的坐标．离心率．渐近线方程．例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在y 轴上,焦距为16,离心率为34,求双曲线的方程．变式：“焦点在y 轴上”变为“焦点在坐标轴上”．例3．求与椭圆18522=+y x 有相同焦点且经过点)1,0(的双曲线的标准方程．例4．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,M N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求该双曲线的离心率．【学以致用】1．说出下列双曲线的顶点,焦点,焦距,实轴长,虚轴长,离心率和渐近线方程：（1）221916x y -=；（2）22145y x -=.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； （2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在y 轴上．3．已知双曲线的两条渐近线的方程是x y 34±=，焦点为)0,5(),0,5(-，求此双曲线的标准方程．4．双曲线的离心率为53，且与椭圆2214015x y +=有公共焦点，求此双曲线的标准方程．5．已知1F ,2F 是双曲线的两个焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ∆，若边1MF 的中点在此双曲线上,求此双曲线的离心率．第9课时 双曲线的几何性质（1）【基础训练】1．双曲线1254922=-y x 的焦点坐标为 ． 2．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 3．等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为F(0，22)则双曲线的标准方程是________． 4．双曲线的两条渐近线线互相垂直，那么它的离心率是 ．5．双曲线1322=-y x 的两条渐近线所成的锐角是 ． 6．已知双曲线1422=-ky x 的离心率)2,1(∈e ，实数k 的取值范围是 ． 【思考应用】7．求满足下列条件的双曲线的标准方程． （1）两焦点的距离为14，两顶点间的距离为12； （2）一焦点坐标为（0，-4），一条渐近线为320y x -=．8．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点且垂直于实轴的弦与另一焦点的连线所成角为90o ，求此双曲线的离心率．9．已知双曲线的离心率为53，且与椭圆2214015x y +=有公共焦点，求此双曲线的标准方程．10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左．右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1=4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值．【拓展提升】11．焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为03=±y x ，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．12．已知双曲线2212515x y -=，焦点为1F ,2F ,P 为双曲线上一点，,且012120F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．。
高中数学学案：圆锥曲线(苏教版)
数学选修1-1知识点
第2章 圆锥曲线与方程 （4）圆锥曲线
1．圆锥曲线的第二定义：一个动点P到定点F的距离与P到定直线的距离的比为.
若0＜＜1，则动点P的轨迹是椭圆；
若=1，则动点P的轨迹是抛物线；
若＞1，则动点P的轨迹是双曲线.
注： ()
“点点距为分子、点线距为分母” ()
2．圆锥曲线的焦半径公式如下图：
注：椭圆的焦半径公式和．
双曲线的焦半径公式
抛物线的焦半径公式
3．以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；
以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；
以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切.
4．若直线与圆锥曲线交于两点，则弦长为 或；
（由方程消去y得到，,为直线的斜率，）.
江苏省泰兴中学高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 13 圆
圆锥曲线复习（1）[知识要点]1．圆锥曲线的标准方程及其简单几何性质，能熟练地进行基本量a 、b 、c 、e 的互求； 2．求圆锥曲线标准方程的基本步骤①定型；②定量； 3．圆锥曲线的第一、第二定义，会用定义解题.4．学会用方程思想处理常见的直线和圆锥曲线位置关系问题 [课前预习]1．ABC ∆中，已知B 、C 的坐标分别为(0,4)-和(0,4)，且ABC ∆的周长等于18，则顶点A 的轨迹方程为2．设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为___________3．若椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，则m 的值是_________ 4．点P 在椭圆192522=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______5．顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．能使这抛物线方程为210y x =的条件为_________（填写合适条件的序号）6.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左、右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积是__________ [典例剖析]例1．求下列圆锥曲线方程：（12-）的椭圆的方程.（2）与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线，且过点（12，－6）的双曲线的方程. （3）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（－2，3）的抛物线的方程.例2．椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 是椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围. 变式1：求12cos F PF ∠的范围变式2：若焦点为1F 、2F 的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点M ，使得1290F MF ∠=︒，求椭圆离心率e 的取值范围.例3．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点1122(1,2),(,),(,)P A x y B x y 均在抛物线上.（1）写出该抛物线的方程及准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y +的值及AB 的斜率.江苏省泰兴中学高二数学课后作业（18）班级: 姓名: 学号：【A 组题】1． 双曲线)0(122≠=-mn n y m x 的离心率为2，则nm =___________ 2．设双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为____________3．R y x ∈,，→→j i ,为直角坐标平面内y x ,轴正方向上的单位向量，若向量→→→++=j y i x a )4(， →→→-+=j y i x b )4(，且6||||=-→→b a ，则点),(y x M 的轨迹方程为____________423e =的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B两点，则2ABF ∆的周长为__________________5．双曲线的渐近线方程是320x y ±=，则该双曲线的离心率等于______ ____6.过抛物线24y x =的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分 别是p 、q ，则11p q+=_______ 7．已知点(3,4)P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 为椭圆的两焦点，若12PF PF ⊥，求：①椭圆的方程； ②12PF F ∆的面积8．抛物线)0(22>=p px y 有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是2y x =，斜边长是.【B 组题】1.已知121(0,0)m n m n+=>>，则当mn 取得最小值时，椭圆22221x y m n +=的离心率是______2．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是 3. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右准线1l 与一条渐近线2l 交与点M ，F 是双曲线C的右焦点，O 为坐标原点. （1）求证：OM MF ⊥；（2）若MF=1且双曲线C ，求双曲线C 的方程.。
江苏省宿迁市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 第5课时 椭圆的几何性质2导学案(无答案)苏教版选修21
第5课时椭圆的几何性质（2）【学习目标】1．根据椭圆的标准方程和几何性质处理实际问题；2．培养学生的数形结合的解题思想．【问题情境】椭圆2212516x y+=的顶点坐标是 _____；长轴长为；短轴长为____；焦点坐标是；焦距为；对称轴方程为；离心率为．【合作探究】2007年10月24日18时05分，在西昌卫星发射中心，“嫦娥一号”卫星顺利升空，24分钟后，星箭成功分离，卫星首次进入以地心为焦点的椭圆形调相轨道，卫星近地点为约200公里，远地点为约51000公里．设地球的半经为R，试探究卫星轨道的离心率．【展示点拨】例1．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6371km．求卫星运行的轨道方程．例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程，（1）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6；（2）焦点在x轴上,与椭圆2214xy+=有相同的离心率,且过点P(2,-1)．例3．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为),0(),0,(),0,(1b B a A c F --是其两个顶点，如果1F 到直线AB 的距离为7b ，求椭圆的离心率e ．例4．椭圆14922=+y x 的左右焦点为1F ，2F ，点P 为椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求点P 的横坐标0x 的取值范围．【学以致用】1．已知点)2,3(P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上，则以点P 为顶点的椭圆的内接矩形PABC 的面积是 ．2．已知椭圆11222=+++k y k x 的左右焦点为1F ，2F ，弦AB 过1F ，若1ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为 ．3．地球运行的轨道是长半轴长为1．50810km ⨯,离心率为0．02的椭圆,太阳在这椭圆的一个焦点上,求地球到太阳的最远距离．4．已知椭圆在x 轴和y 轴正半轴上的两顶点分别为A ．B ，原点到直线AB又该椭圆的离心率e =，求该椭圆的方程．5．如图所示，过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点P 作x 轴的垂线，恰好通过椭圆的一个焦点F 1，此时椭圆与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，所确定的直线AB 与OP 平行，求离心率e ．第5课时 椭圆的几何性质（2）【基础训练】1．椭圆19422=+y x 的离心率为 ． 2．椭圆1251622=+y x 上顶点与右顶点之间的距离为 ．3．已知椭圆C 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C 的离心率等于 ．4．设(,)P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则32y -的取值范围是 ． 5．若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为 ．6．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22=e ，点A 是椭圆上的一点，且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4，则椭圆方程为 ．【思考应用】7．椭圆2211612x y +=上一点P 到两焦点12,F F 的距离之差为2，试判断12PF F V 的形状．8．已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成030角的平面截这个圆柱得到的一个椭圆，求所得的椭圆离心率．9．已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点， P 是椭圆上的动点，(1,1)A 是一定点,求PA PF +的最大值．10．设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，短轴的一个顶点B 与两焦点12,F F 组成的三角形的周长为4+，且122,3F BF π∠=求椭圆的标准方程．【拓展提升】 11．已知F 为椭圆12222=+b y a x 的右焦点，P 为椭圆上的动点，求PF 长的最大值和最小值，并求出对应点P 的坐标．12．设F 1．F 2为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上的动点，A 为椭圆的一个短轴的顶点．求证：2PF F I ∠的最大值为2AF F I ∠。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．1 圆锥曲线 一、学习内容、要求及建议
二、预习指导 1．预习目标 (1)认识用平面截圆锥面得到的各种曲线； (2)掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义； (3)会根据不同的已知条件，利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹． 2．预习提纲 (1)查找有关轨迹的概念，回答下列问题： ①平面内到线段两端点距离相等的点的轨迹是____________； ②平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________； ③空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________． (2)阅读教材选修4－1的71页到78页，教材选修2－1的25页到27页写下列空格： ①一个平面截一个圆锥面，改变平面的位置，可得到如下图形____________， ____________，____________，____________，____________； ②平面内到两个定点F1，F2的距离_____等于常数(__________)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__________； ③平面内到两个定点F1，F2的距离____________等于常数(______________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距； ④平面内到一个定点F和一条定直线l(________________)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的_________． (3)阅读课本例1，动手实践借助细绳画椭圆，结合课本27页习题2．1第3题，动手实践借助拉链画双曲线，并说明理由，以此加深对椭圆、双曲线定义的认识． 3．典型例题 例1 动点P(x，y)与两个定点A(－2，0)、B(2，0)构成的三角形周长为10． (1)试证：动点P在一个椭圆上运动； (2)写出这个椭圆的焦点坐标． 分析：找动点P满足的条件，利用圆锥曲线的定义． 解：(1)由题意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4． 由椭圆的定义得：动点P在以A(－2，0)、B(2，0)为焦点的椭圆上运动． (2)由(1)得：这个椭圆的两个焦点坐标为A(－2，0)、B(2，0)． 点评：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义中，条件都有特定的限制，如在具体问题中不加以判断，会造成错解．如本题中PA+PB=6>4是十分必要的． 在椭圆的定义中，PF1+PF2等于常数，常数大于F1F2的判断是必不可少的．若常数等于F1F2，则轨迹是线段F1F2；若常数小于F1F2，则不表示任何图形．
在双曲线的定义中，注意两个限制：一是常数小于F1F2，二是差的绝对值，两者缺一不
知识、方法 要求 建议 椭圆、抛物线的定义 掌握 学生通过用平面截圆锥面，从具体情境中抽象出圆锥曲
线模型，掌握椭圆和抛物线的定义，了解双曲线的定义． 双曲线 了解 可．若PF1－PF2是正常数且常数小于F1F2，则点的轨迹是双曲线以F2为焦点的一支；若PF2
－PF1是正常数且常数小于F1F2，则点的轨迹是双曲线以F1为焦点的一支；若|PF1－PF2|是常
数且等于F1F2，则点的轨迹是两条射线；若PF1－PF2是常数且等于F1F2，则点的轨迹是以F2
为端点与F1F2同向的射线；若PF2－PF1是常数且等于F1F2，则点的轨迹是以F1为端点与F1F2
反向的射线．
在抛物线的定义中，当点F在直线l上时，则点P的轨迹是过点F与直线l垂直的直线．
例2 已知圆221:31Cxy和圆222:39Cxy，动圆M同时与圆C1及圆C2
相外切，试问动圆圆心M在怎样的曲线上运动? 分析：两圆外切，则圆心距等于半径之和． 解： 设动圆的半径为R，则由动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得：
12
13MCRMCR
消去R得：MC2－MC1=2，故可知动点M到两定点C1，C2的距离之差是常数2． 由双曲线的定义得：动圆圆心M在双曲线的一支(左边的一支)上运动． 点评：本题由于动点M到两定点C1，C2的距离之差是常数，而不是差的绝对值为常数，因此其轨迹只能是双曲线的一支．这一点在应用过程中要特别注意． 4．自我检测 (1)已知点A(1，0)、B(－1，0)，动点P满足：PA+PB=4，则动点P的轨迹是__ ． (2)已知点A(－2，0)、B(2，0)，动点M满足：|MA－MB|=2，则动点M的轨迹是 ____ ，其两个焦点分别为 ． (3)已知定点A(1，0)和定直线l：x= －3，若点N到定点A与到定直线l的距离相等，则点N的轨迹是 ，其焦点为 ，准线为 ．
(4)已知点A(－2，0)、B(2，0)，动点M满足：|MA－MB|=4，则动点M的轨迹是 _． (5)在△ABC中，B(0，－3)，C(0，3)，且AB，BC，AC成等差数列，试证：点A在以B、C为焦点的椭圆上运动． 三、课后巩固练习 A组 1．用合适的选项填写下列轨迹 ( 要求只填写序号 )①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤双曲线的一支；⑥抛物线；⑦线段 (1)动点P到两定点F1(－4，0)、F2(4，0)的距离和是8，则动点P的轨迹为_______； (2)已知椭圆的焦点为F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得PQ=PF2，那么动点Q的轨迹是_________； (3)动点P到直线x+4=0的距离减去它到M(2，0)的距离之差等于2，则动点P的轨迹是___________； (4)经过定圆外一定点，并且与定圆外切的动圆圆心的轨迹是__________．
2．已知O(0，0)、A(3，0)为平面内两个定点，动点P满足：PO+PA=2，求动点P的轨迹． 3．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且b，a，c成等差数列，b≥c．已知顶点B、C的坐标为B(－1，0)，C(－1，0)．试证：点A在以B、C为焦点的左半椭圆上运动．
4．在△ABC中，A为动点，(,0)(,0)(0)22aaBCa、为定点，且满足： 1sinsinsin2CBA，试问动点A在怎样的曲线上运动?
B组 5．圆O1与圆O2的半径分别为1和2，O1O2=4，动圆与圆O1内切而与圆O2外切，则动圆圆心的轨迹是_____________________． 6．已知定点A(－3，3)和定直线l：x=－3，若点N到定点A与到定直线l的距离相等，则点N的轨迹是 ．
7．已知圆的方程为22100xy，点A的坐标为(－6，0)，M是圆O上的任意一点，AM的垂直平分线交OM于点P，试证明：点P在以A、O为焦点的椭圆上运动． C组 8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，记椭圆的另一个焦点为F，证明：点F在以A(0，7)、B(0，－7)为焦点的双曲线的一支上运动． 9．已知两个同心圆，其半径分别为R，r(R>r)，AB为小圆的一条定直径，求证：以大圆切线为准线，且过A、B两点的抛物线的焦点F在以A、B为焦点的椭圆上． 10．若一个动点P(x，y)到定点F1(－1，0)，F2(1，0)距离之和为定值m(m≥0)，试讨论点P的轨迹．
知识点 题号 注意点 椭圆的定义 2，3，7，9，10 注意椭圆定义的前提条件 双曲线的定义 4，5，8 注意双曲线定义的前提条件；注意轨迹是双曲线的哪一支 抛物线的定义 6 注意抛物线定义的前提条件 综合问题 1 注意寻找动点满足的等量关系 四、 学习心得
五、拓展视野 我们身边的圆锥曲线 圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现．在笛卡尔直角坐标系中，这些曲线的方程是二次方程，所以圆锥曲线又叫做二次曲线．对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高．在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线．例如，我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆．这个事实是由开普勒第一定律确定的，之所以沿着椭圆轨道运动，是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度．事实证明，假如这个速度过大了，运动就会沿着抛物线或双曲线轨道运行．相对于一个静止的物体，并按照万有引力定律受它吸引的物体运动，不可能有任何其他的轨道．因此，二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的．又如，如果让抛物线绕其轴旋转，就得到一个叫做旋转抛物面的曲面．在抛物面的轴上，有一个具有美妙性质的焦点，任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后，在指向上都平行于抛物面的轴．而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状，并且把灯泡放在焦点上，那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束．这显然是一个 很大的优点，因为正是这样一束光线在空间中，甚至于在离光源距离相当大的情况下，很少扩散．当然，实际上我们得不到理想的平行光束，因为灯泡不是一个点，但对于实用的目的来说，只要接近于这样的光束就够了． 天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的．它的作用刚好和探照灯的作用相反：探照灯的反射镜把光线反射到空间，天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上．只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了，这样，我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息，这比肉眼观察所能提供的信息要多得多．那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴．如果使双曲线绕这条轴旋转，那么，形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处．单叶双曲面是直纹曲面．上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，而与另一组母线永远相交．正是这种性质在技术中得到了应用．例如，用直立木杆造水塔，如果把这些杆垂直地放置，那就只能得到一个很不牢固的建筑物，他会因为非常小的负荷而损坏．如果立杆时，使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使他们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物．许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理． 在尝试解决古代名题的过程中，所发现的各种美妙曲线远不限于螺线，蚌线和圆锥曲线．可是，不管找到了多少美妙的曲线，他们还是解决不了古代名题．要知道，正像我们还记得的那样，要求不只是解出这些名题，而是除了直尺和圆规外，不准利用其他任何工具．而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话，对这个问题给与肯定的回答，原则上显得比给与否定的回答更容易，只不过需要尝试才能找到这个答案．经过或多或少接连不断的寻找，这种题解通常可以找到．在题解不存在的情况下，事情则难办的多．这时，只停留在普通的几何直观上，几乎不可能得到所需要的答案．在这种情况下，可以对问题进行精确的代数分析，以便归结为完成某些代数方程的不可能性证明解答这个问题的不可能性．这样，就要求助于代数！